Таблица частных производных: Частные производные функции и их нахождение (Таблица)

Частные производные. Примеры решений — Мегаобучалка

 

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.

 

Пример: — функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

 

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

 

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:

или – частная производная по «икс»

или – частная производная по «игрек»

Начнем с .

Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменнаясчитается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке будем сразу приводить полное решение, а комментарии давать ниже.

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всюфункцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно!Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования ; . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные и .

(4) Упрощаем ответ.

Теперь определим . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования ; . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива для(и вообще для любой буквы).В данном случае, используемые нами формулы имеют вид: и .

Итак, частные производные первого порядка найдены

 

 

Частные производные второго порядка с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением

Предположим, что функция определена в области D и имеет в этой области частные производные и . Эти частные производные являются функциями двух переменных, определенными в области D.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции имеем: и т.д. А запись означает, что функция продифференцирована раз по переменной , а затем раз по переменной .

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми, например, являются производные , и .

Аналогично определяются частные производные высших порядков и для функции большего числа переменных.

Если первая производная переменной найдена, получите вторую производную функции, взятую дважды для переменной.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Примеры с решением

Пример 1.

Найти частные производные второго порядка функции

Решение:

Частные производные первого порядка для данной функции имеют вид:

Тогда

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Частная производная функции

Частные производные первого порядка

Определитель матрицы примеры решения

Как найти область определения функции: решение

Пример 2.

Найти функции .

Решение:

Имеем, тогда .

Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:

В этих двух примерах смешанные частные производные , и равны.

Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.

Теорема 1. Если производные и определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в самой точке , то они равны в этой точке: .

Следствие. Если производные и . определены и непрерывны в некоторой области, то они равны в этой области.

Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более высокого порядка.

Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.

Доказательство. Пусть функция определена в области D и имеет в этой области непрерывные частные производные и

Возьмем любые точки и из этой области. Рассмотрим выражение

. Введем вспомогательную функцию.

Тогда А запишется в виде. Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим

, где . Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции одной переменной на отрезке с концами в точках ,.

Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной ), получим

С другой стороны, А можно переписать в виде

. Введя вспомогательную функцию и рассуждая аналогично, получим

Сравнив выражения для А, получим

или

Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая непрерывность производных второго порядка в области D (в частности, в точке ), получим

,

то есть

Методом математической индукции доказанное утверждение можно распространить на частные производные любого порядка.

Исчисление

— Как использовать многомерное цепное правило и таблицу значений для поиска частных производных?

спросил 4 года, 7 месяцев назад

Изменено 4 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Я не знаю, что я должен сделать в первую очередь с этим вопросом. Как можно применить принципы многомерной формы цепного правила для решения этого вопроса? Спасибо. Я пытаюсь использовать эту версию цепного правила 9u + \cos v.$ Как это вписывается в формулу цепного правила? (Плохо в этом утверждении цепного правила то, что $u$ означает разные вещи в двух частях уравнения. В левой части это означает $g,$, а в правой части это означает $ f$. Это не особенность цепного правила для нескольких переменных. Цепное правило с одной переменной также демонстрирует это явление.)

Во всяком случае, в левой части $u$ означает $g$ и $t_i $ — это одна из переменных, по которым мы дифференцируем: скажем, $u$. Тогда в правой части $u$ означает $f,$, а $x_i$ — это переменные в определении $f$. Итак, мы можем взять $x_1 = x, x_2 = y$. Это дает нам: $$ \ гидроразрыва {\ парциальное г} {\ парциальное и} = \ гидроразрыва {\ парциальное е} {\ парциальное х} \ гидроразрыва {\ парциальное х} {\ парциальное и} + \ гидроразрыва {\ парциальное е} {\ парциальное у} \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное и} $$ Получаем совершенно аналогичное уравнение для производной относительно $v$.

Теперь вам нужно вычислить частные производные от $x$ и $y$ относительно $u$ и $v$ и подставить их в приведенные выше формулы.

На всякий случай упомяну, что в задаче $g_u,$, например, означает $\frac{\partial g}{\partial u}.$

Попробуйте сейчас.

$\endgroup$

4

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Частная производная — Статистические инструкции

Производные >

Частная производная — это производная, в которой одна или несколько переменных остаются постоянными.

При наличии многомерной функции с более чем одной независимой переменной, например z = f ( x , y ), обе переменные x и y могут влиять на z . Частная производная сохраняет одну переменную постоянной, что позволяет исследовать, как небольшое изменение второй переменной влияет на результат функции. Например, частная производная х относительно х содержит х постоянным. По сути, вы найдете производную только для одной из переменных функции.

Формально частная производная для однозначной функции z = f(x, y) определяется для z по отношению к x (т.е. где y считается постоянным) как:

И для z по отношению к y (где x считается постоянным) как:

В одномерных функциях есть только одна переменная, поэтому частная производная и обычная производная концептуально одинаковы (De la Fuente, 2000).

Обозначение

Частная производная может быть обозначена в разными способами .

Распространенным способом является использование нижних индексов, чтобы показать, какая переменная дифференцируется. Например, D _{x i} f(x), f _{x i} (x), f _i (x) или f _x .

Какие обозначения вы используете, зависит от предпочтений автора, преподавателя или конкретной области, в которой вы работаете. Например, в термодинамике (∂z.∂x _i ) _{x ≠ x i} (с фигурным обозначением d) является стандартным для частной производной функции z = (x _i ,…, x _n ) относительно x _i (Сычев, 1991).

Частные производные находятся так же, как и обычные производные (например, с помощью цепного правила или правила произведения. Единственное отличие состоит в том, что перед тем, как найти производную для одной переменной, вы должны оставить другую константой.

Пример вопроса: Найдите частную производную следующей функции по x:
f(x, y) = x ² + y ⁴ .

Шаг 1: Замените переменную, которую вы не дифференцируете, на константу. не имеет значения, какую константу вы выберете, потому что все константы имеют производную от нуля.В этом вопросе вы дифференцируете по x, поэтому я собираюсь поставить произвольную цифру «10» в качестве константы:
f(x, y) = x ² + 10.

Шаг 2: Дифференцируйте как обычно. Для этой конкретной функции используйте правило степени:
f′ _x = 2x ^(2-1) + 0 = 2x.

Частная производная этой функции по x равна 2x.

Ссылки

Abramowitz, M. and Stegun, I.A. (Eds.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, 9-е издание. Нью-Йорк: Довер, стр. 883–885, 1972.
Де ла Фуэнте, А. (2000). Математические методы и модели для экономистов. Издательство Кембриджского университета.