Таблица функции производные: Таблица производных и правила дифференцирования

Таблица производных. Таблица производных полная для студентов и правила дифференцирования. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

Если x — независимая переменная, то:
Производная степенной функции	Производная степенной функции
—
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
—

Производная. Таблица производных. Связь функции с производной. Касательная. Первообразная

Факт 1.
Таблица производных: \[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\ \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline &&\\ \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[4ex] \hline \end{array}\]

 

Факт 2.
Пусть \(f=f(x), g=g(x)\) – функции.
\(\bullet\) Если \(c\) – число, то: \[(c\cdot f)’=c\cdot f’\] \(\bullet\) Производная суммы/разности двух функций: \[(f\pm g)’=f’\pm g’\] \(\bullet\) Производная произведения двух функций: \[(f\cdot g)’=f’\cdot g+f\cdot g’\] \(\bullet\) Производная частного двух функций: \[\left(\dfrac fg\right)’=\dfrac{f’\cdot g-f\cdot g’}{g^2}\] \(\bullet\) Производная сложной функции: \[\big(h(f(x))\big)’=h’_f(f)\cdot f’_x(x)\]

 

Факт 3.
\(\bullet\) Если \(y=f(x)\) – некоторая функция, то касательная к ней в точке с абсциссой \(x_0\) имеет вид: \[y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\] \(\bullet\) Следовательно, \(k=f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\alpha\) – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\), он же угловой коэффициент касательной, если ее уравнение записать как \(y=kx+b\).

 

Факт 4.
\(\bullet\) Если \(f'(x)>0\) на \((a;b)\), то \(f(x)\) возрастает на \((a;b)\).
\(\bullet\) Если \(f'(x)<0\) на \((a;b)\), то \(f(x)\) убывает на \((a;b)\).
\(\bullet\) Если \(f'(x_0)=0\) и в точке \(x_0\) производная меняет свой знак, то \(x_0\) — функции \(f(x)\):
— если производная меняет знак с “\(-\)” на “\(+\)” (считая слева направо), то \(x_0\) — ;

— если производная меняет знак с “\(+\)” на “\(-\)” (считая слева направо), то \(x_0\) — .  

Факт 5.
\(\bullet\) \(F(x)\) – первообразная для \(f(x)\), если \(F'(x)=f(x)\).
\(\bullet\) Обозначение: \[\int f(x)\,dx=F(x)+c\] где \(c\in\mathbb{R}\) – некоторая константа.
\(\bullet\) Формула Ньютона-Лейбница: \[\int \limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\] \(\bullet\) Тогда \(F(b)-F(a)\) равно площади закрашенной фигуры \(ABCD\), называемой криволинейной трапецией:

 

Таблица производных. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

Если x — независимая переменная, то:
Производная степенной функции	Производная степенной функции
—
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
—
Производная логарифмической функции	Производная натурального логарифма
	Производная натурального логарифма функции
—
Производная синуса	Производная косинуса
Производная косеканса	Производная секанса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная тангенса	Производная котангенса
Производная арктангенса

Производные математических функций. Определение, таблица основных производных, правила их вычисления

С

правочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:

Правила вычисления производных

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
Комментарий репетитора по математике:

когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!

Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
Александр С.
Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

Виртуальный математический справочник.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки: Алгебра, Справочник репетитора, Ученикам

Таблица производных

---

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как «скорость изменения», то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку быструю, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x.Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени — это скорость. Потому что скорость — это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости — ничто иное как ускорение, так как ускорение — это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции.

Таблица производных

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Об авторе: Андрющенко Ольга Викторовна

« Предыдущая запись Следующая запись »

---

Таблица производных простых функций

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x^c )’= cx^c-1, при условии, что x^c и сx^c-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x² )’ = 2x
(x³)’  = 3x²
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x²  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x³ — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x² . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = — 1 / x²
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x^-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x^-1 )’ = -1x^-2 = — 1 / х²

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x^c )’ = — c / x^c+1
Пример:
( 1 / x² )’ = — 2 / x³

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)  
( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х^-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х^1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5
( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

Вывод производных основных элементарных функций

Производная логарифма

;     ;
;     .
См. Вывод производной логарифма тремя способами >>>

Производная степенной и показательной функций

;
;
См. Вывод производной степенной функции >>>

;
;
См. Вывод производной показательной функции и экспоненты тремя способами >>>

Производные тригонометрических функций

См. Вывод производных тригонометрических функций >>>

;
См. Вывод производной синуса >>>

;
См. Вывод производной косинуса >>>

;
См. Вывод производной тангенса >>>

;
См. Вывод производной котангенса >>>

Производные обратных тригонометрических функций

См. Вывод производных обратных тригонометрических функций >>>

;
;
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса двумя способами >>>

;
;
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса двумя способами >>>

Производные гиперболических функций

;
;
;
;

Производные обратных гиперболических функций

;
;
;
.

Обратный гиперболический косинус является многозначной функцией. Он имеет две ветви:
  – главное значение;
.
Иногда значения для двух ветвей пишут одной формулой:
.
Тогда его производная имеет вид:
.

Производные высших порядков

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Вывод производной степенной функции n-го порядка >>>

.
См. Производные высших порядков показательной функции >>>

Тригонометрические функции

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Производные косинуса высших порядков >>>

,
где .
См. Производные тангенса высших порядков >>>.

,
где .
См. Производные котангенса высших порядков >>>.

Обратные тригонометрические функции

Производные арксинуса и арккосинуса

,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса >>>.

Производные арктангенса и арккотангенса

;
.

Другой вид производных:
,
где .
,
где .

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса >>>.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 28-02-2017   Изменено: 26-07-2017

Производная

Производная

Определение производного инструмента

Дана производная функции f ( x ) в точке и обозначается

Некоторые базовые производные инструменты

В таблице ниже u , v и w являются функциями переменной х . a , b , c и n — константы (с некоторыми ограничениями всякий раз, когда они применяются).обозначить натуральный логарифмический функция и e естественная база для. Напомним, что .

Правило цепочки

Последняя формула

известна как формула цепного правила. Его можно переписать как

Другая аналогичная формула дается

Производная обратной функции

Обратной функцией y ( x ) является функция x ( y ), мы имеем

Производные тригонометрических функций и их обратные

Напомним определения тригонометрических функций

Производная экспоненциальной и логарифмической функций

Напомним определение функции логарифма с основанием a > 0 (с участием ):

Производная гиперболических функций и их обратных

Напомним определения тригонометрических функций

Производные высшего порядка

Пусть y = f ( x ).У нас есть:

В некоторых книгах также используются следующие обозначения для высших производных. используемый:

Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница

где находятся биномиальные коэффициенты. Например, у нас есть

[Дифференциальные уравнения] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем С.ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. Математика CyberBoard.

Авторское право 1999-2020 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователя онлайн за последний час ,

Исчисление — Производная функция — Math Open Reference

Это устройство не может отображать анимацию Java. Вышеупомянутое статическое изображение заменяет

1. Парабола

Апплет изначально показывает параболу слева и производную функция параболы справа. Внизу апплета находится ползунок, который управляет координатой x , которая отображается в поле ввода рядом с ползунком. На левом графике красная линия, представляет касательную линию в координате x .Переместите ползунок и обратите внимание, что касательные линии перемещаются так, что они всегда касаются парабола в координате x , заданной ползунком. На нижний левый угол графика функции — это поле, в котором значение функции f ( x ).

Теперь посмотрите на правый график, который показывает производную функцию f ‘ ( x ). Сначала посмотрите на красную касательную линию; что это склон? Его наклон должен быть производной по текущей координате x , так что это также должно быть значение производной функции для координаты x .Этот уклон показан в рамке внизу левый угол производного графика. Точка на графике производная функция также отмечена красным перекрестием.

Щелкните поле «x =» и замените его содержимое на 0. Теперь перетащите ползунок вправо. Обратите внимание на то, что наклон красной касательной возрастает, функция производной также увеличивается. Перетащите ползунок на слева за 0. Обратите внимание, что по мере того, как наклон красной касательной становится больше отрицательная, так же как и производная функция.Производная функция сообщает скорость изменения

f для любого заданного x , что составляет эквивалентно сообщению наклона графика f для любого дано х .

Когда производная положительна, функция возрастает. Когда производная отрицательна, функция убывает. Следовательно, производная говорит вам кое-что об исходной функции. Что происходит, когда производная равна 0? Где это происходит в этом примере? Почему производная 0 в этой точке?

Также обратите внимание, что производная функция выглядит как прямая линия.Делать вы думаете, что так будет всегда, или это из-за каких-то особых свойство парабол?

2. Синусоидальная функция

В раскрывающемся меню выберите второй пример, показывающий синус функция. Как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, понаблюдайте за наклоном красной касательной и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной к значению производной функции. Это производная 0 в любых точках? Что характеризует эти точки?

3.Показательная функция

Выберите третий пример, показывающий экспоненциальную функцию. Что значит как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, посмотрите наклон красную касательную и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной линии к значению производной функции. Обратите внимание, что для экспоненциальная функция, ее производная функция никогда не бывает отрицательной (т. е. правый график никогда не опускается ниже оси x ). Зачем? Что это о графике экспоненциальной функции, что означает, что производная никогда не отрицательный?

4.Гипербола

Выберите четвертый пример, показывающий гиперболу. Что это производная функция похожа? Перетащите ползунок, посмотрите наклон красная касательная линия, и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной к значению производной функции. Обратите внимание, что для этой гиперболы его производная функция никогда не бывает положительной (т. е. правый график никогда не поднимается выше оси

x ). Зачем? Что это за график гиперболы, который означает, что производная никогда не бывает положительной?

Что происходит при x = 0 для гиперболы? Почему производная не определено? Каков наклон касательной (есть ли касательная линия)?

Исследуйте

Вы также можете ввести собственное определение функции в поле «f (x) =», чтобы посмотреть, как выглядят производные от других функций.

Другие темы дифференциации

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

Формула производных финансовых инструментов (основные производные финансовые инструменты и правило цепочки)

• • Классы
    • Класс 1-3
    • Класс 4-5
    • Класс 6-10
    • Класс 11-12
  • КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
    • BNAT 000 NC
      • 000 NC Книги
        • Книги NCERT для класса 5
        • Книги NCERT для класса 6
        • Книги NCERT для класса 7
        • Книги NCERT для класса 8
        • Книги NCERT для класса 9
        • Книги NCERT для класса 10
        • Книги NCERT для класса 11
        • Книги NCERT для класса 12
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • 9000 9000
        • NCERT Exemplar Class
          • Решения RS Aggarwal, класс 12
          • Решения RS Aggarwal, класс 11
          • Решения RS Aggarwal, класс 10
          90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • RD Sharma Class 6 Решения
          • Решения RD Sharma
          Решения RD Sharma класса 8
          • Решения RD Sharma класса 9
          • Решения RD Sharma класса 10
          • Решения RD Sharma класса 11
          • Решения RD Sharma класса 12
        • PHYSICS
          • Механика
          • Оптика
          • Термодинамика Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • MATHS
          • Теорема Пифагора
          0004
          • 000300030004
          • Простые числа
          • Взаимосвязи и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Деление фракций
        • 000
        • 000
        • 000
        • 000
        • 000
        • 000 Microology
        • 000
        • 000 Microology
        • 000 BIOG3000
          FORMULAS
          • Математические формулы
          • Алгебраические формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
          • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
            • Математические калькуляторы
            • 0003000 PBS4000
            • 000300030002 Примеры калькуляторов химии
            Класс 6
            • Образцы бумаги CBSE для класса 7
            • Образцы бумаги CBSE для класса 8
            • Образцы бумаги CBSE для класса 9
            • Образцы бумаги CBSE для класса 10
            • Образцы бумаги CBSE для класса 11
            • Образцы бумаги CBSE чел. для класса 12
          • CBSE — вопросник за предыдущий год
            • CBSE — вопросник за предыдущий год, класс 10
            • CBSE — за предыдущий год — вопросник, класс 12
          • HC Verma Solutions
            • HC Verma Solutions Class 11 Physics
            • Решения HC Verma, класс 12, физика
          • Решения Лахмира Сингха
            • Решения Лакмира Сингха, класс 9
            • Решения Лакмира Сингха, класс 10
            • Решения Лакмира Сингха, класс 8
          • Заметки CBSE
          • , класс
            CBSE Notes
            Примечания CBSE класса 7
            • Примечания CBSE класса 8
            • Примечания CBSE класса 9
            • Примечания CBSE класса 10
            • Примечания CBSE класса 11
            • Примечания CBSE класса 12
            • Примечания к редакции CBSE
              • Примечания к редакции
              • CBSE
              • Примечания к редакции класса 10 CBSE
            9000 4
      .Производная функция схемы

      — Stack overflow на русском

      Переполнение стека
      1. Около
      2. Товары
      3. Для команд
      1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
      2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
      3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
      4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
      5. реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
      6. О компании
      ,

      No related posts.