Таблица интегральной функции лапласа: Таблица значений функции Лапласа

Повторим эту процедуру для высших производных. Результаты перечислены в таблице \(\PageIndex{1}\). Процедура также работает для кусочно-гладких функций, то есть функций, кусочно-непрерывных с кусочно-непрерывной производной. Тот факт, что функция имеет экспоненциальный порядок, используется, чтобы показать, что указанные выше пределы существуют. Мы не будем сильно беспокоиться об этом факте.

Решение ОДУ с помощью преобразования Лапласа

Обратите внимание, что преобразование Лапласа превращает дифференцирование в умножение на \(s\). Посмотрим, как применить этот факт к дифференциальным уравнениям.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Возьмем уравнение

\[ x»(t) + x(t) = \cos (2t),~~~~~~~ x(0) =0, ~~~~~~~ х'(0)=1. 2X(s) — sx(0) — x'(0)\) и так далее. Решим уравнение для \(X(s)\). Затем, выполняя обратное преобразование, если возможно, находим \(x(t)\).

Следует отметить, что поскольку не каждая функция имеет преобразование Лапласа, не каждое уравнение можно решить таким образом. Также, если уравнение не является линейным постоянным коэффициентом ОДУ, то, применяя преобразование Лапласа, мы можем не получить алгебраическое уравнение.

Использование функции Хевисайда

Прежде чем мы перейдем к более общим уравнениям, чем те, которые мы могли решить раньше, мы хотим рассмотреть функцию Хевисайда. График см. на рисунке \(\PageIndex{1}\).

\[u(t)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & {\rm{if~}}t<0, \\ 1 & {\rm{if~}}t \geq 0 .\end{массив} \right. \nonumber \]

Эта функция полезна для объединения функций или отключения функций. Чаще всего он используется как \(u(t-a)\) для некоторой константы \(a\). Это просто сдвигает график вправо на \(a\). То есть это функция, которая равна 0, когда \(

\[f(t)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & {\rm{if~}}t< \pi , \\ \sin t & {\rm{if~}} т \geq \pi . \end{массив} \right. \nonumber \]

Используя функцию Хевисайда, \(f(t)\) можно записать как

\[ f(t) = u(t- \pi) \sin t \nonumber \]

Аналогично ступенчатая функция, равная \(1\) на интервале \([1,2)\) и равная нулю в остальных местах, может быть записана как

\[ u(t-1) — u(t-2). \nonumber \]

Функция Хевисайда полезна для определения функций, определенных кусочно. Если вы хотите определить \(f(t)\) таким образом, что \(f(t)=t\), когда \(t\) находится в \([0,1]\), \(f(t) = -t +2\), когда \(t\) находится в \([1,2)\) и \(f(t)=0\) в противном случае, вы можете использовать выражение 9{-as} \mathcal{L} \{ f(t) \}. \]

Пример \(\PageIndex{2}\)

Предположим, что вынуждающая функция не является периодической. Например, предположим, что у нас есть система масса-пружина

\[ x»(t) + x(t) = f(t), ~~~~~~ x(0) = 0,~~~~ ~~ x'(0) = 0, \nonumber \]

, где \(f(t)=1\), если \(1 \le t < 5\), и ноль в противном случае. Мы могли бы представить систему масса-пружина, в которой ракета запускается в течение 4 секунд, начиная с \(t=1\). Или, возможно, схема RLC, в которой напряжение повышается с постоянной скоростью в течение 4 секунд, начиная с \(t=1\), а затем снова удерживается на одном уровне, начиная с \(t=5\). 9{-5s}\mathcal{L}\{1-\cos t \} \}=(1-\cos(t-5))u(t-5). \nonumber \]

Следовательно, решение

\[ x(t) = \left( 1 — \cos (t-1) \right) u(t-1) — \left(1-\cos ( t-5) \right) u(t-5). \nonumber \]

График этого решения показан на рисунке \(\PageIndex{2}\).

Передаточные функции

Преобразование Лапласа приводит к следующей полезной концепции для изучения стационарного поведения линейной системы. Предположим, у нас есть уравнение вида

\[ Lx = f(t), \nonnumber \]

где \(L\) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Тогда \(f(t)\) обычно считается входом системы, а \(x(t)\) — выходом системы. Например, для системы масса-пружина входом является функция силы, а выходом — поведение массы. Нам хотелось бы иметь удобный способ изучения поведения системы при различных входных данных.

Предположим, что все начальные условия равны нулю, и преобразуя уравнение по Лапласу, мы получаем уравнение

\[ A(s)X(s) = F(s). \nonumber \]

Находя отношение \(\frac{X(s)}{F(s)}\), мы получаем так называемую передаточную функцию \(H(s)=\frac{1} {В качестве)}\).

\[ H(s) = \dfrac{X(s)}{F(s)} \nonumber \]

Другими словами, \(X(s) = H(s)F(s)\) . Получаем алгебраическую зависимость выхода системы от входа. Теперь мы можем легко изучить стационарное поведение системы при различных входных данных, просто умножив на передаточную функцию. 9{-т}т. \номер\]

Эта страница под названием 6.2: Преобразования производных и ОДУ распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Йиржи Леблом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts. ; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Йиржи Лебль

   Лицензия

   СС BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу Содержание

   нет

2. Теги

   1. источник@https://www. jirka.org/diffyqs

Оператор преобразования Лапласа

Частный вид интегрального преобразования известен как преобразование Лапласа , обозначаемое L . Определение этого оператора

Результат, называемый преобразованием Лапласа из f — будет функцией p , так что в общем

Пример 1 : Найдите преобразование Лапласа функции f ( x ) = x .

По определению,

Интегрирование по частям дает

Следовательно, функция F ( p ) = 1/ p ² является преобразованием Лапласа функции f ( х ) = х . [Техническое примечание: сходимость несобственного интеграла здесь зависит от положительности p , поскольку только тогда ( x/p ) e ^{− px} и e ^{−4 px приближаются к конечный предел (а именно 0) как x → ∞. Следовательно, преобразование Лапласа f ( x ) = x определено только для p > 0.]}

В общем случае можно показать, что для любого неотрицательного целого числа н ,

Подобно операторам D и I — впрочем, как и всем операторам — оператор преобразования Лапласа L воздействует на функцию, производя другую функцию. Кроме того, с

и

оператор преобразования Лапласа L также является линейным.

[Техническое примечание: точно так же, как не все функции имеют производные или интегралы, не все функции имеют преобразования Лапласа. Для функции f для преобразования Лапласа достаточно, чтобы f ( x ) было непрерывным (или хотя бы кусочно-непрерывным) для x ≥ 0 и имело экспоненциального порядка (что означает, что для некоторых констант c и λ неравенство выполняется для всех x ). Любая ограниченная функция (то есть любая функция f , которая всегда удовлетворяет условию | f ( x )| ≤ M для некоторого M ≥ 0) автоматически имеет экспоненциальный порядок (просто возьмите c = M и λ = 0 в определяющем неравенстве). Следовательно, sin kx и cos kx имеют преобразование Лапласа, поскольку они являются непрерывными и ограниченными функциями. Кроме того, любая функция вида e ^kx , как и любой многочлен, непрерывна и, хотя и неограничена, имеет экспоненциальный порядок и, следовательно, имеет преобразование Лапласа. Короче говоря, большинство функций, с которыми вы, вероятно, столкнетесь на практике, будут иметь преобразования Лапласа.]

Пример 2 : Найдите преобразование Лапласа функции

Отзыв с образованием первого утверждения следующего примера 1 о том, что преобразование Лапласа F ( x ) = x ^N IS F ( P ) = N N ( P ) = n N ( P ). n + 1 . Следовательно, поскольку оператор преобразования Лапласа L линейный,

Пример 3 : Определить преобразование Лапласа f ( x ) = e ^kx .

Применить определение и выполнить интеграцию: 

Чтобы этот несобственный интеграл сходился, коэффициент ( p – k ) в экспоненте должен быть положительным (вспомним техническое примечание к Примеру 1). Таким образом, для р > k , вычисление дает

Пример 4 : Найдите преобразование Лапласа f ( x ) = sin kx .

По определению,

Этот интеграл вычисляется путем двойного интегрирования по частям следующим образом:

значит

Следовательно,

для p > 0. Аналогичным вычислением можно показать, что

Пример 5 : Определение преобразования Лапласа функции

изображен на рис. 1:

Рисунок 1

Это пример ступенчатой ​​функции . Он не непрерывен, но кусочно непрерывен, а так как он ограничен, то, конечно, имеет экспоненциальный порядок. Следовательно, оно имеет преобразование Лапласа.

В таблице 1 собраны преобразования Лапласа нескольких наиболее часто встречающихся функций, а также некоторые важные свойства оператора преобразования Лапласа л .

Пример 6 : Используйте Таблицу 1 , чтобы найти преобразование Лапласа f ( x ) = sin ² x .

Вызов тригонометрического тождества

линейность L подразумевает

Пример 7 : Используйте таблицу 1, чтобы найти преобразование Лапласа для g ( x ) x ³ e ^5x .

Наличие множителя e ^5x предполагает использование формулы сдвига с k = ₅ . С

Переключающая формула говорит, что преобразование Лапласа F ( x ) E ^5x = x ³ E ^{5x E 5 5 E 5 5 E 5 5 . 5). Другими словами, преобразование Лапласа x 3 e 5x равно преобразованию Лапласа x 3 с аргументом p , сдвинутым на p 0 – 1:0}

Пример 8 : Используйте таблицу 1, чтобы найти преобразование Лапласа f ( x ) = e ^−2x sin x – 3,

Во-первых, поскольку L [sin x ] = 1/( p ² + 1), формула сдвига (с к = -2) говорит

Теперь, поскольку L [3] = 3 · L [1] = 3/ p , линейность подразумевает

Пример 9 : Используйте Таблицу 1 , чтобы найти непрерывную функцию , преобразование Лапласа которой равно F ( p ) = 12 / p ⁵ .

В этом примере представлена ​​идея оператора обратного преобразования Лапласа, , L ⁻¹ . Оператор L ⁻¹ «отменит» действие L . Символически,

Если вы думаете об операторе L как о замене f ( x ) на F ( p ), то оператор L ^{−1 просто меняет P обратно в f ( x ). Как и L , обратный оператор L −1 является линейным.}

Более формально результат применения L ⁻¹ функция F ( p ) предназначена для восстановления непрерывной функции f ( x ), преобразование Лапласа которой является заданным F ( p ). [Эта ситуация должна напомнить вам об операторах D и I (которые, по сути, являются обратными друг другу). Каждый отменит действие другого в том смысле, что если, скажем, I изменит f ( x ) на F ( x ), то D изменит F ( x ) обратно на f ( x ). Другими словами, D = I ⁻¹ , поэтому, если вы примените I , а затем D , вы вернетесь к тому, с чего начали.]

Используя Таблицу 1 (читая ее слева направо),

Пример 10 : Найдите непрерывную функцию, преобразование Лапласа которой равно F ( p ) = 1/( стр ² – 1).

Разложением на неполные дроби,

Следовательно, по линейности L ⁻¹ ,

Пример 11 : Определить

Во-первых, обратите внимание, что p было сдвинуто на p + 2 = p – (-2). Следовательно, с

формула сдвига (с k = −2) подразумевает

Пример 12 : Оценить

Хотя p ² – 6 p + 25 нельзя разложить на множители целых чисел, его можно выразить в виде суммы двух квадратов:

Следовательно,