Таблица косинусов синусов тангенсов котангенсов углов: Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов 30°,45°,60°,90°,180°,270°,360.

alexxlab / / Разное

Содержание

Тригонометрические свойства. Основные формулы тригонометрии

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса . В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов.

Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .

Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи .

Навигация по странице.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

Возьмем единичную окружность , отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A 1 (x, y) .

Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти , если точка А 1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .

Для синуса и косинуса это сделать просто.

По определению синус угла α — это ордината точки А 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

В свою очередь косинус угла α — это абсцисса точки A 1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.


Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A 1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A 1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A 1 положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.


Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А 1 на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A 1 .

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α — угол поворота в радианах, z – любое , абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.

Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Приведем примеры использования этого свойства. Например, , так как , а . Вот еще пример: или .

Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А 1 – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А 2 – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А 1 и А 2 либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox . То есть, если точка A 1 имеет координаты (x, y) , то точка А 2 будет иметь координаты (x, −y) . Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и .

Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил. — ISBN 5-09-013651-3.
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cos α) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (t g α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (c t g α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1 , 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 (x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 (x , y). cos α = х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 (x , y) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 (x , y) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0 , 1) и (0 , — 1). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1 , 0).

Положительному числу t

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t . Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A (1 , 0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 (x , y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 (x , y) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 (x , y) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

С центром в точке A .
α — угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) — это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) — это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x


Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус — нечетная. Функция косинус — четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое).

y = sin x y = cos x
Область определения и непрерывность — ∞ — ∞
Область значений -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 0y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные


;

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
{ -∞

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым.

Именно так и были введены понятия синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут применяться не только в прямоугольных треугольниках. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов.

Теорема косинусов довольно проста: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними».

Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему часто расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная — математический инструмент, показывающий, как быстро меняется функция относительно изменения ее аргумента. Производные используются , геометрии, и , ряде технических дисциплин.

При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса — синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно часто синусы и косинусы используются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними.

Удобство синусов и косинусов нашло свое отражение и в технике. Углы и стороны было просто оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая сложные фигуры и объекты на «простые» треугольники. Инженеры и , часто имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили немало времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов.

Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов разных углов. В советское время некоторые преподаватели заставляли своих подопечных страницы таблиц Брадиса наизусть.

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Угол х (в градусах)0°30°45°60°90°120°135°150°180°210°225°240°270°300°315°330°360°
Угол х (в радианах)0 π/6π/4π/3π/22 x π/33 x π/45 x π/6π7 x π/65 x π/44 x π/33 x π/25 x π/37 x π/411 x π/62 x π
cos x1 √3/2 (0,8660) √2/2 (0,7071) 1/2 (0,5) 0 -1/2 (-0,5) -√2/2 (-0,7071) -√3/2 (-0,8660) -1 -√3/2 (-0,8660) -√2/2 (-0,7071) -1/2 (-0,5) 0 1/2 (0,5) √2/2 (0,7071) √3/2 (0,8660) 1

Таблица тригонометрических функций.

Таблица тригонометрических функций — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу тригонометрических функций Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение тригонометрических функций от нужного Вам угла достаточно найти их в таблице.

Таблица тригонометрических функций углов от 0° до 90°

αsin αcos αtg αctg α
0°010∞
1°0.0174520.9998480.01745557.289962
2°0.0348990.999391 034921″>0.03492128.636253
3°0.0523360.998630.05240819.081137
4°0.0697560.9975640.06992714.300666
5°0.0871560.9961950.08748911.430052
6°0.1045280.9945220.1051049.514364
7°0.1218690.9925460.122785 144346″>8.144346
8°0.1391730.9902680.1405417.11537
9°0.1564340.9876880.1583846.313752
10°0.1736480.9848080.1763275.671282
11°0.1908090.9816270.194385.144554
12°0.2079120.9781480.2125574.70463
13° 224951″>0.2249510.974370.2308684.331476
14°0.2419220.9702960.2493284.010781
15°0.2588190.9659260.2679493.732051
16°0.2756370.9612620.2867453.487414
17°0.2923720.9563050.3057313.270853
18°0. 3090170.9510570.324923.077684
19°0.3255680.9455190.3443282.904211
20°0.342020.9396930.363972.747477
21°0.3583680.933580.3838642.605089
22°0.3746070.9271840.4040262.475087
23°0.390731 920505″>0.9205050.4244752.355852
24°0.4067370.9135450.4452292.246037
25°0.4226180.9063080.4663082.144507
26°0.4383710.8987940.4877332.050304
27°0.453990.8910070.5095251.962611
28°0.4694720. 8829480.5317091.880726
29°0.484810.874620.5543091.804048
30°0.50.8660250.577351.732051
31°0.5150380.8571670.6008611.664279
32°0.5299190.8480480.6248691.600335
33°0.5446390.838671 649408″>0.6494081.539865
34°0.5591930.8290380.6745091.482561
35°0.5735760.8191520.7002081.428148
36°0.5877850.8090170.7265431.376382
37°0.6018150.7986360.7535541.327045
38°0.6156610.7880110. 7812861.279942
39°0.629320.7771460.8097841.234897
40°0.6427880.7660440.83911.191754
41°0.6560590.754710.8692871.150368
42°0.6691310.7431450.9004041.110613
43°0.6819980.7313540.932515 072369″>1.072369
44°0.6946580.719340.9656891.03553
45°0.7071070.70710711
46°0.719340.6946581.035530.965689
47°0.7313540.6819981.0723690.932515
48°0.7431450.6691311.1106130.900404
49° 75471″>0.754710.6560591.1503680.869287
50°0.7660440.6427881.1917540.8391
51°0.7771460.629321.2348970.809784
52°0.7880110.6156611.2799420.781286
53°0.7986360.6018151.3270450.753554
54°0. 8090170.5877851.3763820.726543
55°0.8191520.5735761.4281480.700208
56°0.8290380.5591931.4825610.674509
57°0.8386710.5446391.5398650.649408
58°0.8480480.5299191.6003350.624869
59°0.857167 515038″>0.5150381.6642790.600861
60°0.8660250.51.7320510.57735
61°0.874620.484811.8040480.554309
62°0.8829480.4694721.8807260.531709
63°0.8910070.453991.9626110.509525
64°0.8987940.438371 050304″>2.0503040.487733
65°0.9063080.4226182.1445070.466308
66°0.9135450.4067372.2460370.445229
67°0.9205050.3907312.3558520.424475
68°0.9271840.3746072.4750870.404026
69°0.933580.3583682. 6050890.383864
70°0.9396930.342022.7474770.36397
71°0.9455190.3255682.9042110.344328
72°0.9510570.3090173.0776840.32492
73°0.9563050.2923723.2708530.305731
74°0.9612620.2756373.487414 286745″>0.286745
75°0.9659260.2588193.7320510.267949
76°0.9702960.2419224.0107810.249328
77°0.974370.2249514.3314760.230868
78°0.9781480.2079124.704630.212557
79°0.9816270.1908095.1445540. 19438
80°0.9848080.1736485.6712820.176327
81°0.9876880.1564346.3137520.158384
82°0.9902680.1391737.115370.140541
83°0.9925460.1218698.1443460.122785
84°0.9945220.1045289.5143640.105104
85° 996195″>0.9961950.08715611.4300520.087489
86°0.9975640.06975614.3006660.069927
87°0.998630.05233619.0811370.052408
88°0.9993910.03489928.6362530.034921
89°0.9998480.01745257.2899620.017455
90°10∞0

Таблица тригонометрических функций углов от 91° до 180°

αsin αcos αtg αctg α
91° 999848″>0.999848-0.017452-57.289962-0.017455
92°0.999391-0.034899-28.636253-0.034921
93°0.99863-0.052336-19.081137-0.052408
94°0.997564-0.069756-14.300666-0.069927
95°0.996195-0.087156-11.430052-0.087489
96° 994522″>0.994522-0.104528-9.514364-0.105104
97°0.992546-0.121869-8.144346-0.122785
98°0.990268-0.139173-7.11537-0.140541
99°0.987688-0.156434-6.313752-0.158384
100°0.984808-0.173648-5.671282-0.176327
101° 981627″>0.981627-0.190809-5.144554-0.19438
102°0.978148-0.207912-4.70463-0.212557
103°0.97437-0.224951-4.331476-0.230868
104°0.970296-0.241922-4.010781-0.249328
105°0.965926-0.258819-3.732051-0.267949
106° 961262″>0.961262-0.275637-3.487414-0.286745
107°0.956305-0.292372-3.270853-0.305731
108°0.951057-0.309017-3.077684-0.32492
109°0.945519-0.325568-2.904211-0.344328
110°0.939693-0.34202-2.747477-0.36397
111° 93358″>0.93358-0.358368-2.605089-0.383864
112°0.927184-0.374607-2.475087-0.404026
113°0.920505-0.390731-2.355852-0.424475
114°0.913545-0.406737-2.246037-0.445229
115°0.906308-0.422618-2.144507-0.466308
116° 898794″>0.898794-0.438371-2.050304-0.487733
117°0.891007-0.45399-1.962611-0.509525
118°0.882948-0.469472-1.880726-0.531709
119°0.87462-0.48481-1.804048-0.554309
120°0.866025-0.5-1.732051-0.57735
121° 857167″>0.857167-0.515038-1.664279-0.600861
122°0.848048-0.529919-1.600335-0.624869
123°0.838671-0.544639-1.539865-0.649408
124°0.829038-0.559193-1.482561-0.674509
125°0.819152-0.573576-1.428148-0.700208
126° 809017″>0.809017-0.587785-1.376382-0.726543
127°0.798636-0.601815-1.327045-0.753554
128°0.788011-0.615661-1.279942-0.781286
129°0.777146-0.62932-1.234897-0.809784
130°0.766044-0.642788-1.191754-0.8391
131° 75471″>0.75471-0.656059-1.150368-0.869287
132°0.743145-0.669131-1.110613-0.900404
133°0.731354-0.681998-1.072369-0.932515
134°0.71934-0.694658-1.03553-0.965689
135°0.707107-0.707107-1-1
136° 694658″>0.694658-0.71934-0.965689-1.03553
137°0.681998-0.731354-0.932515-1.072369
138°0.669131-0.743145-0.900404-1.110613
139°0.656059-0.75471-0.869287-1.150368
140°0.642788-0.766044-0.8391-1.191754
141° 62932″>0.62932-0.777146-0.809784-1.234897
142°0.615661-0.788011-0.781286-1.279942
143°0.601815-0.798636-0.753554-1.327045
144°0.587785-0.809017-0.726543-1.376382
145°0.573576-0.819152-0.700208-1.428148
146° 559193″>0.559193-0.829038-0.674509-1.482561
147°0.544639-0.838671-0.649408-1.539865
148°0.529919-0.848048-0.624869-1.600335
149°0.515038-0.857167-0.600861-1.664279
150°0.5-0.866025-0.57735-1.732051
151° 48481″>0.48481-0.87462-0.554309-1.804048
152°0.469472-0.882948-0.531709-1.880726
153°0.45399-0.891007-0.509525-1.962611
154°0.438371-0.898794-0.487733-2.050304
155°0.422618-0.906308-0.466308-2.144507
156° 406737″>0.406737-0.913545-0.445229-2.246037
157°0.390731-0.920505-0.424475-2.355852
158°0.374607-0.927184-0.404026-2.475087
159°0.358368-0.93358-0.383864-2.605089
160°0.34202-0.939693-0.36397-2.747477
161° 325568″>0.325568-0.945519-0.344328-2.904211
162°0.309017-0.951057-0.32492-3.077684
163°0.292372-0.956305-0.305731-3.270853
164°0.275637-0.961262-0.286745-3.487414
165°0.258819-0.965926-0.267949-3.732051
166° 241922″>0.241922-0.970296-0.249328-4.010781
167°0.224951-0.97437-0.230868-4.331476
168°0.207912-0.978148-0.212557-4.70463
169°0.190809-0.981627-0.19438-5.144554
170°0.173648-0.984808-0.176327-5.671282
171° 156434″>0.156434-0.987688-0.158384-6.313752
172°0.139173-0.990268-0.140541-7.11537
173°0.121869-0.992546-0.122785-8.144346
174°0.104528-0.994522-0.105104-9.514364
175°0.087156-0.996195-0.087489-11.430052
176° 069756″>0.069756-0.997564-0.069927-14.300666
177°0.052336-0.99863-0.052408-19.081137
178°0.034899-0.999391-0.034921-28.636253
179°0.017452-0.999848-0.017455-57.289962
180°0-10∞

Таблица тригонометрических функций углов от 181° до 270°

αsin αcos αtg αctg α
181° 017452″>-0.017452-0.9998480.01745557.289962
182°-0.034899-0.9993910.03492128.636253
183°-0.052336-0.998630.05240819.081137
184°-0.069756-0.9975640.06992714.300666
185°-0.087156-0.9961950.08748911.430052
186° 104528″>-0.104528-0.9945220.1051049.514364
187°-0.121869-0.9925460.1227858.144346
188°-0.139173-0.9902680.1405417.11537
189°-0.156434-0.9876880.1583846.313752
190°-0.173648-0.9848080.1763275.671282
191° 190809″>-0.190809-0.9816270.194385.144554
192°-0.207912-0.9781480.2125574.70463
193°-0.224951-0.974370.2308684.331476
194°-0.241922-0.9702960.2493284.010781
195°-0.258819-0.9659260.2679493.732051
196° 275637″>-0.275637-0.9612620.2867453.487414
197°-0.292372-0.9563050.3057313.270853
198°-0.309017-0.9510570.324923.077684
199°-0.325568-0.9455190.3443282.904211
200°-0.34202-0.9396930.363972.747477
201° 358368″>-0.358368-0.933580.3838642.605089
202°-0.374607-0.9271840.4040262.475087
203°-0.390731-0.9205050.4244752.355852
204°-0.406737-0.9135450.4452292.246037
205°-0.422618-0.9063080.4663082.144507
206° 438371″>-0.438371-0.8987940.4877332.050304
207°-0.45399-0.8910070.5095251.962611
208°-0.469472-0.8829480.5317091.880726
209°-0.48481-0.874620.5543091.804048
210°-0.5-0.8660250.577351.732051
211° 515038″>-0.515038-0.8571670.6008611.664279
212°-0.529919-0.8480480.6248691.600335
213°-0.544639-0.8386710.6494081.539865
214°-0.559193-0.8290380.6745091.482561
215°-0.573576-0.8191520.7002081.428148
216° 587785″>-0.587785-0.8090170.7265431.376382
217°-0.601815-0.7986360.7535541.327045
218°-0.615661-0.7880110.7812861.279942
219°-0.62932-0.7771460.8097841.234897
220°-0.642788-0.7660440.83911.191754
221° 656059″>-0.656059-0.754710.8692871.150368
222°-0.669131-0.7431450.9004041.110613
223°-0.681998-0.7313540.9325151.072369
224°-0.694658-0.719340.9656891.03553
225°-0.707107-0.70710711
226° 71934″>-0.71934-0.6946581.035530.965689
227°-0.731354-0.6819981.0723690.932515
228°-0.743145-0.6691311.1106130.900404
229°-0.75471-0.6560591.1503680.869287
230°-0.766044-0.6427881.1917540.8391
231° 777146″>-0.777146-0.629321.2348970.809784
232°-0.788011-0.6156611.2799420.781286
233°-0.798636-0.6018151.3270450.753554
234°-0.809017-0.5877851.3763820.726543
235°-0.819152-0.5735761.4281480.700208
236° 829038″>-0.829038-0.5591931.4825610.674509
237°-0.838671-0.5446391.5398650.649408
238°-0.848048-0.5299191.6003350.624869
239°-0.857167-0.5150381.6642790.600861
240°-0.866025-0.51.7320510.57735
241° 87462″>-0.87462-0.484811.8040480.554309
242°-0.882948-0.4694721.8807260.531709
243°-0.891007-0.453991.9626110.509525
244°-0.898794-0.4383712.0503040.487733
245°-0.906308-0.4226182.1445070.466308
246° 913545″>-0.913545-0.4067372.2460370.445229
247°-0.920505-0.3907312.3558520.424475
248°-0.927184-0.3746072.4750870.404026
249°-0.93358-0.3583682.6050890.383864
250°-0.939693-0.342022.7474770.36397
251° 945519″>-0.945519-0.3255682.9042110.344328
252°-0.951057-0.3090173.0776840.32492
253°-0.956305-0.2923723.2708530.305731
254°-0.961262-0.2756373.4874140.286745
255°-0.965926-0.2588193.7320510.267949
256° 970296″>-0.970296-0.2419224.0107810.249328
257°-0.97437-0.2249514.3314760.230868
258°-0.978148-0.2079124.704630.212557
259°-0.981627-0.1908095.1445540.19438
260°-0.984808-0.1736485.6712820.176327
261° 987688″>-0.987688-0.1564346.3137520.158384
262°-0.990268-0.1391737.115370.140541
263°-0.992546-0.1218698.1443460.122785
264°-0.994522-0.1045289.5143640.105104
265°-0.996195-0.08715611.4300520.087489
266° 997564″>-0.997564-0.06975614.3006660.069927
267°-0.99863-0.05233619.0811370.052408
268°-0.999391-0.03489928.6362530.034921
269°-0.999848-0.01745257.2899620.017455
270°-10∞0

Таблица тригонометрических функций углов от 271° до 360°

αsin αcos αtg αctg α
271° 999848″>-0.9998480.017452-57.289962-0.017455
272°-0.9993910.034899-28.636253-0.034921
273°-0.998630.052336-19.081137-0.052408
274°-0.9975640.069756-14.300666-0.069927
275°-0.9961950.087156-11.430052-0. 087489
276°-0.9945220.104528-9.514364-0.105104
277°-0.9925460.121869-8.144346-0.122785
278°-0.9902680.139173-7.11537-0.140541
279°-0.9876880.156434-6.313752-0.158384
280°-0.9848080.173648-5. 671282-0.176327
281°-0.9816270.190809-5.144554-0.19438
282°-0.9781480.207912-4.70463-0.212557
283°-0.974370.224951-4.331476-0.230868
284°-0.9702960.241922-4.010781-0.249328
285°-0.9659260. 258819-3.732051-0.267949
286°-0.9612620.275637-3.487414-0.286745
287°-0.9563050.292372-3.270853-0.305731
288°-0.9510570.309017-3.077684-0.32492
289°-0.9455190.325568-2.904211-0.344328
290°-0. 9396930.34202-2.747477-0.36397
291°-0.933580.358368-2.605089-0.383864
292°-0.9271840.374607-2.475087-0.404026
293°-0.9205050.390731-2.355852-0.424475
294°-0.9135450.406737-2.246037-0.445229
295° 906308″>-0.9063080.422618-2.144507-0.466308
296°-0.8987940.438371-2.050304-0.487733
297°-0.8910070.45399-1.962611-0.509525
298°-0.8829480.469472-1.880726-0.531709
299°-0.874620.48481-1.804048-0.554309
300° 866025″>-0.8660250.5-1.732051-0.57735
301°-0.8571670.515038-1.664279-0.600861
302°-0.8480480.529919-1.600335-0.624869
303°-0.8386710.544639-1.539865-0.649408
304°-0.8290380.559193-1.482561-0.674509
305° 819152″>-0.8191520.573576-1.428148-0.700208
306°-0.8090170.587785-1.376382-0.726543
307°-0.7986360.601815-1.327045-0.753554
308°-0.7880110.615661-1.279942-0.781286
309°-0.7771460.62932-1.234897-0.809784
310° 766044″>-0.7660440.642788-1.191754-0.8391
311°-0.754710.656059-1.150368-0.869287
312°-0.7431450.669131-1.110613-0.900404
313°-0.7313540.681998-1.072369-0.932515
314°-0.719340.694658-1.03553-0.965689
315° 707107″>-0.7071070.707107-1-1
316°-0.6946580.71934-0.965689-1.03553
317°-0.6819980.731354-0.932515-1.072369
318°-0.6691310.743145-0.900404-1.110613
319°-0.6560590.75471-0.869287-1.150368
320° 642788″>-0.6427880.766044-0.8391-1.191754
321°-0.629320.777146-0.809784-1.234897
322°-0.6156610.788011-0.781286-1.279942
323°-0.6018150.798636-0.753554-1.327045
324°-0.5877850.809017-0.726543-1.376382
325° 573576″>-0.5735760.819152-0.700208-1.428148
326°-0.5591930.829038-0.674509-1.482561
327°-0.5446390.838671-0.649408-1.539865
328°-0.5299190.848048-0.624869-1.600335
329°-0.5150380.857167-0.600861-1.664279
330° 5″>-0.50.866025-0.57735-1.732051
331°-0.484810.87462-0.554309-1.804048
332°-0.4694720.882948-0.531709-1.880726
333°-0.453990.891007-0.509525-1.962611
334°-0.4383710.898794-0.487733-2.050304
335° 422618″>-0.4226180.906308-0.466308-2.144507
336°-0.4067370.913545-0.445229-2.246037
337°-0.3907310.920505-0.424475-2.355852
338°-0.3746070.927184-0.404026-2.475087
339°-0.3583680.93358-0.383864-2.605089
340° 34202″>-0.342020.939693-0.36397-2.747477
341°-0.3255680.945519-0.344328-2.904211
342°-0.3090170.951057-0.32492-3.077684
343°-0.2923720.956305-0.305731-3.270853
344°-0.2756370.961262-0.286745-3.487414
345° 258819″>-0.2588190.965926-0.267949-3.732051
346°-0.2419220.970296-0.249328-4.010781
347°-0.2249510.97437-0.230868-4.331476
348°-0.2079120.978148-0.212557-4.70463
349°-0.1908090.981627-0.19438-5.144554
350° 173648″>-0.1736480.984808-0.176327-5.671282
351°-0.1564340.987688-0.158384-6.313752
352°-0.1391730.990268-0.140541-7.11537
353°-0.1218690.992546-0.122785-8.144346
354°-0.1045280.994522-0.105104-9.514364
355° 087156″>-0.0871560.996195-0.087489-11.430052
356°-0.0697560.997564-0.069927-14.300666
357°-0.0523360.99863-0.052408-19.081137
358°-0.0348990.999391-0.034921-28.636253
359°-0.0174520.999848-0.017455-57. 289962
360°010∞

Таблицы значений тригонометрических функций Таблицу синусов Таблица косинусов Таблица тангенсов Таблица котангенсов

Тригонометрические формулы

Все таблицы и формулы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Таблица Брадиса тангенсов и котангенсов
Здесь находится тригонометрическая таблица тангенсов и котангенсов из таблицы Брадиса. Для того, чтобы узнать величину тангенса необходимо выбирать значения которые находятся с левой стороны, а при необходимости определения величин котангенсов углов выбираем необходимые значения справа, в таком варианте величины минут для tg будут находиться вверху, а для ctg внизу. Все представленные здесь значения обладают точностью до четвертого знака после запятой. Промежуточные значения углов, которых нет в данной таблице находятся методом поправок.

Как пользоватся таблицей Брадиса ⇒

tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ctg1′2′3′
 090° 
0°0,000001700350052007000870105012201400157017589°369
1°0175019202090227024402620279029703140332034988°369
2°0349036703840402041904370454047204890507052487°369
3°0524054205590577059406120629064706640682069986°369
4°06990717073407520769078708050822084008570,087585°369
 
5°0,0875089209100928094509630981099810161033105184°369
6°1051106910861104112211391157117511921210122883°369
7°1228124612631281129913171334135213701388140582°369
8°1405142314411459147714951512153015481566158481°369
9°15841602162016381655167316911709172717450,176380°369
 
10°0,1763178117991817183518531871189019081926194479°369
11°1944196219801998201620352053207120892107212678°369
12°2126214421622180219922172235225422722290230977°369
13°2309232723452364238224012419243824562475249376°369
14°24932512253025492568258626052623264226610,267975°369
 
15°0,2679269827172736275427732792281128302849286774°369
16°2867288629052924294329622981300030193038305773°369
17°3057307630963115313431533172319132113230324972°3610
18°3249326932883307332733463365338534043424344371°3610
19°34433463348235023522354135613581360036200,364070°3710
 
20°0,3640365936793699371937393759377937993819383969°3710
21°3839385938793899391939393959397940004020404068°3710
22°4040406140814101412241424163418342044224424567°3710
23°4245426542864307432743484369439044114431445266°3710
24°44524473449445154536455745784599462146420,466365°4711
 
25°0,4663468447064727474847704791481348344856487764°4711
26°4877489949214942496449865008502950515073509563°4711
27°5095511751395161518452065228525052725295531762°4711
28°5317534053625384540754305452547554985520554361°4811
29°55435566558956125635565856815704572757500,577460°4812
 
30°0,5774579758205844586758905914593859615985600959°4812
31°6009603260566080610461286152617662006224624958°4812
32°6249627362976322634663716395642064456469649457°4812
33°6494651965446569659466196644666966946720674556°4813
34°67456771679668226847687368996924695069760,700255°4913
 
35°0,7002702870547080710771337159718672127239726554°4813
36°7265729273197346737374007427745474817508753653°5914°
37°7536756375907618764676737701772977577785781352°5914
38°7813784178697898792679547983801280408069809851°5914
39°80988127815681858214824382738302833283610,839150°51015
 
40°0,83918421845184818511854185718601863286620,869349°51015
41°8693872487548785881688478878891089418972900448°51016
42°9004903690679099913191639195922892609293932547°61116
43°93259358939194249457949095239556959096230,965746°61117
44°96579691972597599793982798619896993099651,000045°61117
 
45°1,0000003500700105014101760212024702830319035544°61218
46°0355039204280464050105380575061206490686072443°61218
47°0724076107990837087509130951099010281067110642°61319
48°1106114511841224126313031343138314231463150441°71320
49°15041544158516261667170817501792183318751,191840°71421
 
50°1,1918196020022045208821312174221822612305234939°71422
51°2349239324372482252725722617266227082753279938°81523
52°2799284628922938298530323079312731753222327037°81624
53°3270331933673416346535143564361336633713376436°81625
54°37643814386539163968401940714124417642291,428135°91726
 
55°1,4281433543884442449645504605465947154770482634°91827
56°4826488249384994505151085166522452825340539933°101929
57°5399545855175577563756975757581858805941600332°102030
58°6003606661286191625563196383644765126577664331°112132
59°66436709677568426909697770457113718272511,732130°112334
 
60°1,7321,7391,7461,7531,7601,7671,7751,7821,7891,7971,80429°124
61°1,8041,8111,8191,8271,8341,8421,8491,8571,8651,8731,88128°134
62°1,8811,8891,8971,9051,9131,9211,9291,9371,9461,9541,96327°134
63°1,9631,9711,9801,9881,9972,0062,0142,0232,0322,0412,0526°134
64°2,0502,0592,0692,0782,0872,0972,1062,1162,1252,1352,14525°235
 
65°2,1452,1542,1642,1742,1842,1942,2042,2152,2252,2362,24624°235
66°2,2462,2572,2672,2782,2892,32,3112,3222,3332,3442,35623°245
67°2,3562,3672,3792,3912,4022,4142,4262,4382,4502,4632,47522°246
68°2,4752,4882,52,5132,5262,5392,5522,5652,5782,5922,60521°246
69°2,6052,6192,6332,6462,662,6752,6892,7032,7182,7332,74720°257
 
70°2,7472,7622,7782,7932,8082,8242,8402,8562,8722,8882,90419°358
71°2,9042,9212,9372,9542,9712,9893,0063,0243,0423,063,07818°369
72°3,0783,0963,1153,1333,1523,1723,1913,2113,2303,2513,27117°3610
73°3,2713,2913,3123,3333,3543,376 3710
 3,3983,423,4423,4653,48716°4711
74°3,4873,5113,5343,5583,5823,606 4812
 3,6303,6553,6813,7063,73215°4813
75°3,7323,7583,7853,8123,8393,867 4913
 3,8953,9233,9523,9814,01114°51014
tg60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg1′2′3′

синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

Таблица Брадиса — это таблица, которая поможет вычислить значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов с точностью до одной минуты без калькулятора.

Как пользоваться таблицей Брадиса?

Таблицы Брадиса имеют одинаковую для всех функций структуру. Значения аргументов находятся в левом столбце и в верхней колонке. Соответствующее значение функции расположено в клетке, находящейся на пересечении столбца и колонки, которые задают значение аргумента.

Таблица БрадисаВозьмем для примера таблицу синусов. Допустим, следует определить, чему равно значение синуса для угла 10 градусов и 30 минут. Находим в левом столбце значение 10 градусов (11-я строка), а в верхней колонке – 30 минут (6-й столбец). На пересечении 11 строки и 6-го столбца, находим значение функции, 0.1822. Три последних столбца предназначены для уточнения значений минут. Дело в том, что в верхней колонке значения представлены только значения минут, кратные 6.

Если необходимо найти значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса угла, который отсутствует в таблице Брадиса, следует выбирать наиболее близкое к нему значение. И прибавить или вычесть поправку соответствующую разнице, которая может быть равна 1′, 2′, 3′. Например, для угла 10 градусов и 32 минуты к уже найденному значению 0.1822 следует прибавить поправку из второго столбика, 6. Итак, синус 10 градусов 32 минут будет равен 0.1822+0.0006=0.1828.

Рассмотрим ещё примеры:

sin(15°25′) = sin(15°24′)+поправка 1′ = 0.2656+0.0003 = 0.2659
sin(15°28′) = sin(15°30′)-поправка 2′ = 0.2672-0.0006 = 0.2666

При вычислении значений синуса поправка имеет положительный знак, для косинуса поправку необходимо брать с отрицательным знаком:

cos(15°25′) = sin(15°24′)+поправка 1′ = 0.9641-0.0001 = 0.9640
cos(15°28′) = sin(15°30′)-поправка 2′ = 0.9636+0.0002 = 0.9638

Поскольку синус и косинус, тангенс и котангенс для данного угла взаимосвязаны, по таблице синусов можно определять и значения косинусов, а по таблице тангенсов – значения котангенсов. Но аргумент для косинуса и для котангенса следует искать в правом столбце (четвертом справа) и в нижней строке.

Аргументы тригонометрических функций в таблицах Брадиса заданы в градусах. Для перевода градусов в радианы значение угла следует умножить на 180 и разделить на 3.1415926.

Как видим, таблицы В.М.Брадиса позволяют определять четыре значащих цифры любой функции. Поэтому они называются «четырехзначными». Такой точности расчетов заведомо хватает для 90% инженерных расчетов.

В настоящее время, когда калькуляторы есть и в часах, и в мобильных телефонах, расчеты функций по таблицам Брадиса можно считать «пережитком прошлого». Но, скажем честно, славного прошлого. Большое ведь видится на расстоянии. И ракеты тогда все-таки взлетали…

Таблицы имеют горизонтальную прокрутку. Для прокрутки на десктопной версии сайта: скролл внизу таблицы или стрелками на клавиатуре, на мобильной версии — свайп таблицы влево)

Таблица Брадиса для синуса и косинуса

sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′cos1′2′3′
0. 000090°
0°0.0000001700350052007000870105012201400157017589°369
1°0175019202090227024402620279029703140332034988°369
2°0349036603840401041904360454047104880506052387°369
3°0523054105580576059306100628064506630680069886°369
4°06980715073207500767078508020819083708540. 087285°369
5°0.0872088909060924094109580976099310111028104584°369
6°1045106310801097111511321149116711841201121983°369
7°1219123612531271128813051323134013571374139282°369
8°1392140914261444146114781495151315301547156481°369
9°15641582159916161633165016681685170217190. 173680°369
10°0.1736175417711788180518221840185718741891190879°369
11°1908192519421959197719942011202820452062207978°369
12°2079209621132130214721642181219822152233225077°369
13°2250226722842300231723342351236823852402241976°368
14°24192436245324702487250425212538255425710. 258875°368
15°0.2588260526222639265626722689270627232740275674°368
16°2756277327902807282328402857287428902907292473°368
17°2924294029572974299030073024304030573074309072°368
18°3090310731233140315631733190320632233239325671°368
19°32563272328933053322333833553371338734040. 342070°358
20°0.3420343734533469348635023518353535513567358469°358
21°3584360036163633364936653681369737143730374668°358
22°3746376237783795381138273843385938753891390767°358
23°3907392339393955397139874003401940354051406766°358
24°40674083409941154131414741634179419542100. 422665°358
25°0.4226424242584274428943054321433743524368438464°358
26°4384439944154431444644624478449345094524454063°358
27°4540455545714586460246174633464846644679469562°358
28°4695471047264741475647724787480248184833484861°358
29°48484863487948944909492449394955497049850. 500060°358
30°0.5000501550305045506050755090510551205135515059°358
31°5150516551805195521052255240525552705284529958°257
32°5299531453295344535853735388540254175432544657°257
33°5446546154765490550555195534554855635577559256°257
34°55925606562156355650566456785693570757210. 573655°257
35°0.57365750576457795793580758215835585058640.587854°257
36°5878589259065920593459485962597659906004601853°257
37°6018603260466060607460886101611561296143615752°257
38°6157617061846198621162256239625262666280629351°257
39°62936307632063346347636163746388640164140. 642850°247
40°0.6428644164556468648164946508652165346547656149°247
41°6561657465876600661366266639665266656678669148°247
42°6691670467176730674367566769678267946807682047°246
43°6820683368456858687168846896890969216934694746°246
44°69476959697269846997700970227034704670590. 707145°246
45°0.7071708370967108712071337145715771697181719344°246
46°7193720672187230724272547266727872907302731443°246
47°7314732573377349736173737385739674087420743142°246
48°7431744374557466747874907501751375247536754741°246
49°75477559757075817593760476157627763876490. 766040°246
50°0.7660767276837694770577167727773877497760777139°246
51°7771778277937804781578267837784878597869788038°245
52°7880789179027912792379347944795579657976798637°245
53°7986799780078018802880398049805980708080809036°235
54°80908100811181218131814181518161817181810. 819235°235
55°0.8192820282118221823182418251826182718281829034°235
56°8290830083108320832983398348835883688377838733°235
57°8387839684068415842584348443845384628471848032°235
58°8480849084998508851785268536854585548563857231°235
59°85728581859085998607861686258634864386520. 866030°134
60°0.8660866986788686869587048712872187298738874629°134
61°8746875587638771878087888796880588138821882928°134
62°8829883888468854886288708878888688948902891027°134
63°8910891889268934894289498957896589738980898826°134
64°89888996900390119018902690339041904890560. 906325°134
65°0.9063907090789085909291009107911491219128913524°124
66°9135914391509157916491719178918491919198920523°123
67°9205921292199225923292399245925292599256927222°123
68°9272927892859291929893049311931793239330933621°123
69°93369342934893549361936793739379938393910. 939720°123
70°93979403940994159421942694329438944494490.945519°123
71°9455946194669472947894839489949495009505951118°123
72°9511951695219527953295379542954895539558956317°123
73°9563956895739578958395889593959896039608961316°122
74°96139617962296279632963696419646965096550. 965915°122
75°9659966496689673967796819686969096949699970314°112
76°9703970797119715972097249728973297369740974413°112
77°9744974897519755975997639767977097749778978112°112
78°9781978597899792979697999803980698109813981611°112
79°98169820982398269829983398369839984298450. 984810°112
80°0.984898519854985798609863986698699871987498779°011
81°987798809882988598889890989398959898990099038°011
82°990399059907991099129914991799199921992399257°011
83°992599289930993299349936993899409942994399456°011
84°994599479949995199529954995699579959996099625°011
85°996299639965996699689969997199729973997499764°001
86°997699779978997999809981998299839984998599863°000
87°998699879988998999909990999199929993999399942°000
88°99949995999599969996999799979997999899980. 99981°000
89°999899999999999999991.00001.00001.00001.00001.00001.00000°000
90°1.0000
sin60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos1′2′3

Таблица Брадиса для тангенса и котангенса

tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ctg1′2′3′
090°
0°0,000001700350052007000870105012201400157017589°369
1°0175019202090227024402620279029703140332034988°369
2°0349036703840402041904370454047204890507052487°369
3°0524054205590577059406120629064706640682069986°369
4°06990717073407520769078708050822084008570,087585°369
5°0,0875089209100928094509630981099810161033105184°369
6°1051106910861104112211391157117511921210122883°369
7°1228124612631281129913171334135213701388140582°369
8°1405142314411459147714951512153015481566158481°369
9°15841602162016381655167316911709172717450,176380°369
10°0,1763178117991817183518531871189019081926194479°369
11°1944196219801998201620352053207120892107212678°369
12°2126214421622180219922172235225422722290230977°369
13°2309232723452364238224012419243824562475249376°369
14°24932512253025492568258626052623264226610,267975°369
15°0,2679269827172736275427732792281128302849286774°369
16°2867288629052924294329622981300030193038305773°369
17°3057307630963115313431533172319132113230324972°3610
18°3249326932883307332733463365338534043424344371°3610
19°34433463348235023522354135613581360036200,364070°3710
20°0,3640365936793699371937393759377937993819383969°3710
21°3839385938793899391939393959397940004020404068°3710
22°4040406140814101412241424163418342044224424567°3710
23°4245426542864307432743484369439044114431445266°3710
24°44524473449445154536455745784599462146420,466365°4711
25°0,4663468447064727474847704791481348344856487764°4711
26°4877489949214942496449865008502950515073509563°4711
27°5095511751395161518452065228525052725295531762°4711
28°5317534053625384540754305452547554985520554361°4811
29°55435566558956125635565856815704572757500,577460°4812
30°0,5774579758205844586758905914593859615985600959°4812
31°6009603260566080610461286152617662006224624958°4812
32°6249627362976322634663716395642064456469649457°4812
33°6494651965446569659466196644666966946720674556°4813
34°67456771679668226847687368996924695069760,700255°4913
35°0,7002702870547080710771337159718672127239726554°4813
36°7265729273197346737374007427745474817508753653°5914°
37°7536756375907618764676737701772977577785781352°5914
38°7813784178697898792679547983801280408069809851°5914
39°80988127815681858214824382738302833283610,839150°51015
40°0,83918421845184818511854185718601863286620,869349°51015
41°8693872487548785881688478878891089418972900448°51016
42°9004903690679099913191639195922892609293932547°61116
43°93259358939194249457949095239556959096230,965746°61117
44°96579691972597599793982798619896993099651,000045°61117
45°1,0000003500700105014101760212024702830319035544°61218
46°0355039204280464050105380575061206490686072443°61218
47°0724076107990837087509130951099010281067110642°61319
48°1106114511841224126313031343138314231463150441°71320
49°15041544158516261667170817501792183318751,191840°71421
50°1,1918196020022045208821312174221822612305234939°71422
51°2349239324372482252725722617266227082753279938°81523
52°2799284628922938298530323079312731753222327037°81624
53°3270331933673416346535143564361336633713376436°81625
54°37643814386539163968401940714124417642291,428135°91726
55°1,4281433543884442449645504605465947154770482634°91827
56°4826488249384994505151085166522452825340539933°101929
57°5399545855175577563756975757581858805941600332°102030
58°6003606661286191625563196383644765126577664331°112132
59°66436709677568426909697770457113718272511,732130°112334
60°1,7321,7391,7461,7531,7601,7671,7751,7821,7891,7971,80429°124
61°1,8041,8111,8191,8271,8341,8421,8491,8571,8651,8731,88128°134
62°1,8811,8891,8971,9051,9131,9211,9291,9371,9461,9541,96327°134
63°1,9631,9711,9801,9881,9972,0062,0142,0232,0322,0412,0526°134
64°2,0502,0592,0692,0782,0872,0972,1062,1162,1252,1352,14525°235
65°2,1452,1542,1642,1742,1842,1942,2042,2152,2252,2362,24624°235
66°2,2462,2572,2672,2782,2892,32,3112,3222,3332,3442,35623°245
67°2,3562,3672,3792,3912,4022,4142,4262,4382,4502,4632,47522°246
68°2,4752,4882,52,5132,5262,5392,5522,5652,5782,5922,60521°246
69°2,6052,6192,6332,6462,662,6752,6892,7032,7182,7332,74720°257
70°2,7472,7622,7782,7932,8082,8242,8402,8562,8722,8882,90419°358
71°2,9042,9212,9372,9542,9712,9893,0063,0243,0423,063,07818°369
72°3,0783,0963,1153,1333,1523,1723,1913,2113,2303,2513,27117°3610
73°3,2713,2913,3123,3333,3543,3763710
3,3983,423,4423,4653,48716°4711
74°3,4873,5113,5343,5583,5823,6064812
3,6303,6553,6813,7063,73215°4813
75°3,7323,7583,7853,8123,8393,8674913
3,8953,9233,9523,9814,01114°51014
tg60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg1′2′3′

Полезен ли материал?

Таблица значений син кос

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90 градусов:
, а котангенс нуля градусов не определен, и
, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30 , 60 и 90 градусов, а также 45 , 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:
,
и
.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов ( 0 , π/6 , π/4 , π/3 , π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120 , 135 , 150 , 180 , 210 , 225 , 240 , 270 , 300 , 315 , 330 и 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos , и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса разделены на таблицу синусов и косинусов, а также на таблицу тангенсов и котангенсов. Причем таблица тангенсов и котангенсов состоит из двух частей — тангенсы углов, близких к 90 градусов, и котангенсы малых углов вынесены в отдельную таблицу.

В таблицах Брадиса с точностью до четырех знаков после десятичной запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а также четыре цифры приближенных значений тангенсов и котангенсов острых углов, содержащих целое число градусов и целое число минут.

Сначала дадим таблицу Брадиса, имеющую название таблица Брадиса: синусы и косинусы.

Теперь приведем таблицу тангенсов углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.

Наконец, осталось заполнить таблицу Брадиса тангенсов углов, близких к 90 градусам, и котангенсов малых углов. Она содержит непосредственные приближенные значения тангенсов углов от 76 до 90 градусов и котангенсов углов от 0 до 14 градусов.

Как пользоваться таблицами синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса?

Осталось разобраться, как пользоваться таблицей синусов и косинусов, а также таблицами тангенсов и котангенсов Брадиса.

Значение синуса угла находится в таблице синусов на пересечении строки, содержащей в крайней левой ячейке нужное число градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке нужное число минут. Например, из таблицы синусов Брадиса можно определить, что синус 17 градусов 42 минут приближенно равен 0,3040 , вот иллюстрация тому, как это значение было найдено.

Несложно заметить, что в верхней строке минуты идут по порядку через шесть. А как определять значения, если количество минут имеет промежуточное значение, например 44 ? Для этого нужно внести соответствующую поправку, которую дают три крайних правых столбца таблицы. Например, синус 17 градусов 44 минут равен 0,3046 , так как синус 17 градусов 42 минут равен 0,3040 , и требуется еще поправка на 2 минуты в плюс, равна 0,0006 . Поправки содержатся в трех крайних правых столбцах таблицы синусов и косинусов Брадиса.

Если бы нам нужно было найти синус 17 градусов 47 минут, то от значения синуса 17 градусов 48 минут 0,3057 мы бы отняли поправку на 1 минуту, равную 0,0003 . В итоге мы получим искомое значение, равное 0,3054 .

Для нахождения значений косинусов используется та же таблица синусов и косинусов Брадиса. Однако следует ориентироваться на нижнюю строку при выборе соответствующего значения градуса и на четвертую справа строку при выборе нужного числа минут.

Например, косинус 20 градусов равен 0,9397 .

Другой пример: значение косинуса 20 градусов 2 минут равно 0,9397−0,0002=0,9395 , а значение косинуса 20 градусов 5 минут равно 0,9391+0,0001=0,9392 (обратите внимание: что нужно быть внимательным со знаками поправок, нужно помнить, что при возрастании острого угла его косинус убывает).

Таблица тангенсов и котангенсов Брадиса углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов используется абсолютно аналогично таблице синусов и косинусов.

К примеру, тангенс 75 градусов 44 минут равен 3,923+0,010=3,933 , а котангенс 32 градусов 50 минут равен 1,5517−0,0020=1,5497 . Вот тому графические иллюстрации.

Таблица тангенсов углов, близких к 90 градусов, и котангенсов малых углов содержит значения тангенсов и котангенсов, не нуждающиеся в поправках. Для примера найдем значение тангенса угла 78 градусов 37 минут, оно равно 4,967 .

А котангенс угла 2 градуса 13 минут равен 25,83 .

Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует использовать формулы приведения и перейти к вычислению значения тригонометрической функции, аргумент которой заключен между 0 и 90 градусами. А если угол выражен в радианах, то прежде чем использовать таблицы Брадиса для нахождения синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла, его нужно перевести в градусы (этому вопросу посвящен материал статьи перевод градусов в радианы и обратно).

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

tg до 90 0 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т. е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

что такое? Как найти синус, косинус и тангенс

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т. д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения


Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла



Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени


Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций


Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус


Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

    • Copyright by cleverstudents

    Все права защищены.
    Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

    Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

    tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

    tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

    Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

    При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

    Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

    tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

    Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

    Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

    Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

    Зависимость между тангенсом и котангенсом

    tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

    Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

    Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

    Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

    tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. {2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

    По условию \frac{\pi}{2}

    Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

    ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

    В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?

    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 (1 , 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 (x , y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x , y) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

    Для наглядности приведем иллюстрацию.

    Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.

    При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

    Косинус — это абсцисса точки A 1 (x , y) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

    Важно помнить!

    1. Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
    2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
    3. Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
    4. Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

    Свойство периодичности

    Свойство периодичности — одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

    Свойство периодичности

    При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

    Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Математически данное свойство записывается так:

    sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α

    Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.

    Приведем примеры.

    sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

    t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° · (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = t g (- 329 °)

    Вновь обратимся к единичной окружности.

    Точка A 1 (x , y) — результат поворота начальной точки A 0 (1 , 0) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 (x , — y) — результат поворота начальной точки на угол — α .

    Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x , y) , а вторая — (x , — y) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

    sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin — α = — y , cos — α = x , t g — α = — y x , c t g — α = x — y

    Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

    Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

    sin — α = — sin α cos — α = cos α t g — α = — t g α c t g — α = — c t g α

    Согласно этому свойству, справедливы равенства

    sin — 48 ° = — sin 48 ° , c t g π 9 = — c t g — π 9 , cos 18 ° = cos — 18 °

    Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

    \sin \alpha = \frac{a}{c}

    Косинус острого угла прямоугольного треугольника

    Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

    \cos \alpha = \frac{b}{c}

    Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

    tg \alpha = \frac{a}{b}

    Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

    ctg \alpha = \frac{b}{a}

    Синус произвольного угла

    Ордината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha .

    \sin \alpha=y

    Косинус произвольного угла

    Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha .

    \cos \alpha=x

    Тангенс произвольного угла

    Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha .

    tg \alpha = y_{A}

    tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

    Котангенс произвольного угла

    Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha .

    ctg \alpha =x_{A}

    ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

    Пример нахождения произвольного угла

    Если \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то

    \sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} .

    Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

    \sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;

    \cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ;

    tg ;

    ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 . {\circ}\left(2\pi\right)\sin\alpha0\frac12\frac{\sqrt 2}{2}\frac{\sqrt 3}{2}10−10\cos\alpha1\frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt 2}{2}\frac120−101tg \alpha0\frac{\sqrt 3}{3}1\sqrt3—0—0ctg \alpha—\sqrt31\frac{\sqrt 3}{3}0—0—

    5.3 Другие тригонометрические функции. Предварительное исчисление 2e

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Найдите точные значения тригонометрических функций секанса, косеканса, тангенса и котангенса числа π3, π3, π4, π4 и π6.π6.
    • Используйте опорные углы для вычисления тригонометрических функций секанса, косеканса, тангенса и котангенса.
    • Использовать свойства четных и нечетных тригонометрических функций.
    • Распознавать и использовать основные тождества.
    • Вычисление тригонометрических функций с помощью калькулятора.

    Пандус для инвалидных колясок, соответствующий стандартам Закона об американцах-инвалидах, должен образовывать с землей угол, касательная которого составляет 112112 или меньше, независимо от его длины. Тангенс представляет собой отношение, поэтому это означает, что на каждый 1 дюйм подъема рампа должна иметь 12 дюймов пробега. Тригонометрические функции позволяют нам задавать формы и пропорции объектов независимо от точных размеров. Мы уже определили функции синуса и косинуса угла. Хотя синус и косинус являются наиболее часто используемыми тригонометрическими функциями, есть еще четыре. Вместе они составляют набор из шести тригонометрических функций. В этом разделе мы исследуем остальные функции.

    Нахождение точных значений тригонометрических функций секанс, косеканс, тангенс и котангенс

    Чтобы определить оставшиеся функции, мы еще раз нарисуем единичный круг с точкой (x,y)(x,y), соответствующей углу t,t, как показано на рисунке 1. Как и в случае с синусом и косинусом, мы можем использовать координаты (x, y) (x, y), чтобы найти другие функции.

    Рисунок 1

    Первая функция, которую мы определим, это тангенс. Тангенс угла равен отношению y -значение x -значение соответствующей точки на единичной окружности. На рисунке 1 тангенс угла tt равен yx,x≠0.yx,x≠0. Поскольку значение y равно синусу t,t, а значение x равно косинусу t,t, тангенс угла tt также может быть определен как sintcost,cost≠0. sintcost,стоимость≠0. Функция тангенса обозначается аббревиатурой tan.tan. Остальные три функции могут быть выражены как обратные функции, которые мы уже определили.

    • Функция секанса является обратной функцией косинуса. На рисунке 1 секанс угла tt равен 1cost=1x,x≠0,1cost=1x,x≠0. Функция секущей обозначается как sec.sec.
    • Функция котангенса является обратной величиной функции тангенса. На рисунке 1 котангенс угла tt равен costint=xy,y≠0.costsint=xy,y≠0. Функция котангенса сокращенно обозначается как cot.cot.
    • Функция косеканса является обратной величиной функции синуса. На рисунке 1 косеканс угла tt равен 1sint=1y,y≠0,1sint=1y,y≠0. Функция косеканса обозначается аббревиатурой csc.csc.

    Функции тангенса, секанса, косеканса и котангенса

    Если tt — действительное число и (x,y)(x,y) — точка, в которой конечная сторона угла в tt радиан пересекает единичную окружность, то

    tant=yx,x≠0sect=1x, x≠0csct=1y,y≠0cott=xy,y≠0tant=yx,x≠0sect=1x,x≠0csct=1y,y≠0cott=xy,y≠0

    Пример 1

    Нахождение тригонометрических функций из точки на единичной окружности

    Точка (−32,12)(−32,12) находится на единичной окружности, как показано на рис. 2. Найти sint,cost,tant,sect,csct ,sint,cost,tant,sect,csct и cott.cott.

    Рисунок 2

    Решение

    Поскольку нам известны (x,y)(x,y) координаты точки на единичной окружности, обозначенной углом t,t, мы можем использовать эти координаты для нахождения шести функций:

    sint=y=12cost=x =-32tant=yx=12-32=12(-23)=-13=-33sect=1x=1-32=-23=-233csct=1y=112=2cott=xy=-3212=-32(21) =−3sint=y=12cost=x=−32tant=yx=12−32=12(−23)=−13=−33sect=1x=1−32=−23=−233csct=1y=112=2cott=xy =−3212=−32(21)=−3

    Попытайся #1

    Точка (22,−22)(22,−22) находится на единичной окружности, как показано на рис. 3. Найдите sint,cost,tant,sect,csct,sint,cost,tant,sect,csct и котт.котт.

    Рисунок 3

    Пример 2

    Нахождение тригонометрических функций угла

    Найти sint,cost,tant,sect,csct,sint,cost,tant,sect,csct и cottcott при t=π6.t=π6.

    Решение

    Ранее мы использовали свойства равносторонних треугольников, чтобы показать, что sinπ6=12sinπ6=12 и cosπ6=32.cosπ6=32. Мы можем использовать эти значения и определения тангенса, секанса, косеканса и котангенса как функции синуса и косинуса, чтобы найти остальные значения функции.

    tanπ6 = sinπ6cosπ6 = 1232 = 13 = 33tanπ6 = sinπ6cosπ6 = 1232 = 13 = 33

    secπ6 = 1cosπ6 = 132 = 23 = 233Seec 6 = 1cosπ6 = 132 = 23 = 233

    CSC 6 = 1SIINπ6 = 232 = 233

    . =112=2

    cotπ6=cosπ6sinπ6=3212=3cotπ6=cosπ6sinπ6=3212=3

    Попытайся #2

    Найдите sint,cost,tant,sect,csct,sint,cost,tant,sect,csct и cottcott при t=π3. t=π3.

    Поскольку мы знаем значения синуса и косинуса для обычных углов первого квадранта, мы можем также найти значения других функций для этих углов, установив xx равным косинусу, а yy равным синусу, а затем используя определения тангенса, секанс, косеканс и котангенс. Результаты представлены в таблице 1.

    Угол 00 π6, или 30°π6, или 30° π4, или 45°π4, или 45° π3, или 60°π3, или 60° π2, или 90°π2, или 90°
    Косинус 1 3232 2222 1212 0
    Синус 0 1212 2222 3232 1
    Тангенс 0 3333 1 33 Не определено
    Секущая 1 233233 22 2 Не определено
    Косеканс Не определено 2 22 233233 1
    Котангенс Не определено 33 1 3333 0

    Стол 1

    Использование опорных углов для вычисления тангенса, секанса, косеканса и котангенса

    Мы можем вычислять тригонометрические функции углов за пределами первого квадранта, используя эталонные углы, как мы уже сделали с функциями синуса и косинуса. Процедура та же: найдите опорный угол, образованный конечной стороной данного угла с горизонтальной осью. Значения тригонометрической функции для исходного угла будут такими же, как и для исходного угла, за исключением положительного или отрицательного знака, который определяется как x — и y -значения в исходном квадранте. На рис. 4 показано, какие функции в каком квадранте положительны.

    Чтобы помочь нам вспомнить, какие из шести тригонометрических функций положительны в каждом квадранте, мы можем использовать мнемоническую фразу «Умный класс триггеров». Каждое из четырех слов во фразе соответствует одному из четырех квадрантов, начиная с квадранта I и вращаясь против часовой стрелки. В квадранте I, то есть « А », а 11 из шести тригонометрических функций положительны. В квадранте II « S mart», только s ine и его обратная функция, косеканс, положительны. В квадранте III, « T rig», только t тангенс и его обратная функция, котангенс, положительны. Наконец, в квадранте IV « C девушка» только c озин и его обратная функция, секанс, положительны.

    Рисунок 4

    Как

    Учитывая угол не в первом квадранте, используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций.

    1. Измерьте угол, образованный конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
    2. Оцените функцию при эталонном угле.
    3. Обратите внимание на квадрант, в котором находится конечная сторона исходного угла. На основе квадранта определите, является ли выход положительным или отрицательным.

    Пример 3

    Использование опорных углов для нахождения тригонометрических функций

    Используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций от −5π6. −5π6.

    Решение

    Угол между конечной стороной этого угла и осью x равен π6, π6, так что это опорный угол. Поскольку −5π6−5π6 находится в третьем квадранте, где xx и yy отрицательны, косинус, синус, секанс и косеканс будут отрицательными, а тангенс и котангенс будут положительными.

    cos(-5π6)=-32,sin(-5π6)=-12,tan(-5π6)=33sec(-5π6)=-233,csc(-5π6)=-2,cot(-5π6)= 3cos(-5π6)=-32,sin(-5π6)=-12,tan(-5π6)=33sec(-5π6)=-233,csc(-5π6)=-2,cot(-5π6)=3

    Попытайся #3

    Используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций от −7π4.−7π4.

    Использование четных и нечетных тригонометрических функций

    Чтобы иметь возможность свободно использовать наши шесть тригонометрических функций как с положительными, так и с отрицательными входными значениями угла, мы должны изучить, как каждая функция обрабатывает отрицательные входные данные. Как оказалось, между функциями в этом отношении есть важное различие.

    Рассмотрим функцию f(x)=x2,f(x)=x2, показанную на рисунке 5. График функции симметричен относительно и -ось. На протяжении всей кривой любые две точки с противоположными значениями x имеют одинаковое значение функции. Это соответствует результату расчета: (4)2=(−4)2,(4)2=(−4)2,(−5)2=(5)2,(−5)2=(5)2 , и так далее. Таким образом, f(x)=x2f(x)=x2 — четная функция, такая, что два противоположных входа имеют одинаковый выход. Это означает, что f(−x)=f(x).f(−x)=f(x).

    Рисунок 5 Функция f(x)=x2f(x)=x2 является четной функцией.

    Теперь рассмотрим функцию f(x)=x3,f(x)=x3, показанную на рисунке 6. График несимметричен относительно и -ось. На всем протяжении графика любые две точки с противоположными значениями x также имеют противоположные значения y . Итак, f(x)=x3f(x)=x3 — нечетная функция, такая, что два противоположных входа имеют противоположные выходы. Это означает, что f(−x)=−f(x).f(−x)=−f(x).

    Рисунок 6 Функция f(x)=x3f(x)=x3 является нечетной функцией.

    Мы можем проверить, является ли тригонометрическая функция четной или нечетной, нарисовав единичный круг с положительным и отрицательным углами, как показано на рисунке 7. Синус положительного угла равен y.y. Синус отрицательного угла равен − и . Таким образом, функция синуса является нечетной функцией. Таким образом мы можем проверить каждую из шести тригонометрических функций. Результаты представлены в таблице 2.

    Рисунок 7

    sint=ysin(-t)=-ysint≠sin(-t)sint=ysin(-t)=-ysint≠sin(-t) стоимость=xcos(-t)=xcost=cos(-t)cost=xcos(-t)=xcost=cos(-t) tan(t)=yxtan(-t)=-yxtant≠tan(-t)tan(t)=yxtan(-t)=-yxtant≠tan(-t)
    сек=1xсек(-t)=1xсек=сек(-t)сек=1xсек(-t)=1xсек=сек(-t) csct=1ycsc(-t)=1-ycsct≠csc(-t)csct=1ycsc(-t)=1-ycsct≠csc(-t) cott=xycott(-t)=x-ycott≠cot(-t)cott=xycott(-t)=x-ycott≠cot(-t)

    Стол 2

    Четные и нечетные тригонометрические функции.

    Четная функция — это функция, в которой f(−x)=f(x).f(−x)=f(x).

    Нечетная функция — это функция, в которой f(−x)=−f(x).f(−x)=−f(x).

    Косинус и секанс четны:

    cos(-t)=costsec(-t)=sectcos(-t)=costsec(-t)=sect

    Синус, тангенс, косеканс и котангенс нечетны:

    sin(-t)=-sinttan(-t)=-tantcsc(-t)=-csctcot(-t)=-cottsin(-t)=- sinttan(-t)=-tantcsc(-t)=-csctcot(-t)=-cott

    Пример 4

    Использование четных и нечетных свойств тригонометрических функций

    Если секанс угла tt равен 2, чему равен секанс −t?−t?

    Решение

    Секанс — четная функция. Сеанс угла равен секансу противоположного ему угла. Итак, если секанс угла t равно 2, секанс −t−t также равен 2.

    Попытайся #4

    Если котангенс угла tt равен 3,3, чему равен котангенс угла −t?−t?

    Распознавание и использование фундаментальных идентичностей

    Мы исследовали ряд свойств тригонометрических функций. Теперь мы можем пойти дальше и вывести некоторые фундаментальные тождества. Идентичности — это утверждения, истинные для всех значений входных данных, для которых они определены. Обычно тождества можно вывести из уже известных нам определений и отношений. Например, тождество Пифагора, которое мы узнали ранее, было получено из теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.

    Фундаментальные тождества

    Мы можем вывести некоторые полезные тождества из шести тригонометрических функций. Остальные четыре тригонометрические функции можно связать обратно с функциями синуса и косинуса, используя следующие основные соотношения: =costsint

    Пример 5

    Использование тождеств для вычисления тригонометрических функций
    1. ⓐ Учитывая sin(45°)=22,cos(45°)=22,sin(45°)=22,cos(45°)=22, вычислить tan(45°).tan(45°).
    2. ⓑ Даны sin(5π6)=12,cos(5π6)=−32,оценитьsec(5π6).sin(5π6)=12,cos(5π6)=−32,оценитьsec(5π6).
    Решение

    Поскольку мы знаем значения синуса и косинуса для этих углов, мы можем использовать тождества для вычисления других функций.

    ⓐ
    tan(45°)=sin(45°)cos(45°)=2222=1tan(45°)=sin(45°)cos(45°)=2222=1

    ⓑ
    сек(5π6 )=1cos(5π6)=1−32=−23=−233сек(5π6)=1cos(5π6)=1−32=−23=−233

    Попытайся #5

    Вычислить csc(7π6).csc(7π6).

    Пример 6

    Использование тождеств для упрощения тригонометрических выражений

    Simplify secttant.secttant.

    Решение

    Мы можем упростить это, переписав обе функции в терминах синуса и косинуса.

    secttant = 1costsintcostto Разделим функции, мы умножаем на взаимную. = 1costcostsintDivide из косинусов. = 1SintSimplify и используем идентичность. = Csctsectant = 1costsintcostto делятся на функции, мы умножаем. и используйте идентификатор.=csct

    Показав, что secttantsecttant можно упростить до csct,csct, мы фактически установили новую идентичность.

    сектант=csctsecttant=csct

    Попытайся #6

    Упрощение (tant)(стоимость).(tant)(стоимость).

    Альтернативные формы пифагорейской идентичности

    Мы можем использовать эти фундаментальные тождества для получения альтернативных форм пифагорейского тождества, cos2t+sin2t=1.cos2t+sin2t=1. Одна форма получается делением обеих частей на cos2t:cos2t:

    cos2tcos2t+sin2tcos2t=1cos2t1+tan2t=sec2tcos2tcos2t+sin2tcos2t=1cos2t1+tan2t=sec2t

    Другая форма получается делением обеих частей на sin2t:sin2t:

    cos2tsin2t+sin2tsin2t=1sin2tcot2t+1=csc2tcos2tsin2t+sin2tsin2t=1sin2tcot2t+1=csc2t

    Альтернативные формы пифагорейской идентичности

    1+tan2t=sec2t1+tan2t=sec2t

    cot2t+1=csc2tcot2t+1=csc2t

    Пример 7

    Использование тождеств для связи тригонометрических функций

    Если cos(t)=1213cos(t)=1213 и tt находится в квадранте IV, как показано на рисунке 8, найдите значения остальных пяти тригонометрических функций.

    Рисунок 8

    Решение

    Мы можем найти синус, используя тождество Пифагора, cos2t+sin2t=1,cos2t+sin2t=1, и остальные функции, связав их с синусом и косинусом.

    (1213) 2+sin2t = 1 sin2t = 1– (1213) 2 sin2t = 1-144169 sin2t = 25169 sint = ± 25169 Sint = ± 25169sint = ± 513 (1213) 2+sin2t = 1 sin2t = 1– (1213) 2 sin2t = 1-144169 sin2t = 25169 sint = ± 25169 sint = ± 25169 sint = ± 513

    y -значения в квадранте, где находится угол. Поскольку угол находится в квадранте IV, где значения y отрицательные, его синус отрицательный, -513.-513.

    Остальные функции можно вычислить, используя тождества, связывающие их с синусом и косинусом.

    tant=sintcost=-5131213=-512sect=1cost=11213=1312csct=1sint=1-513=-135cott=1tant=1-512=-125tant=sintcost=-5131213=-512sect=1cost=11213=1312csct= 1sint=1−513=−135cott=1tant=1−512=−125

    Попытайся #7

    Если sec(t)=−178sec(t)=−178 и 0

    Как мы обсуждали в начале главы, функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени, называется периодической функцией. Тригонометрические функции являются периодическими. Для четырех тригонометрических функций, синуса, косинуса, косеканса и секанса, оборот одного круга или 2π, 2π, приведет к одинаковым результатам для этих функций. А для тангенса и котангенса только половина оборота даст одинаковые результаты.

    Другие функции также могут быть периодическими. Например, длина месяцев повторяется каждые четыре года. Если xx представляет продолжительность времени, измеряемую в годах, а f(x)f(x) представляет количество дней в феврале, то f(x+4)=f(x).f(x+4)=f( Икс). Этот шаблон повторяется снова и снова во времени. Другими словами, каждые четыре года в феврале гарантированно будет такое же количество дней, как и четыре года назад. Положительное число 4 является наименьшим положительным числом, удовлетворяющим этому условию, и называется периодом. А период — это кратчайший интервал, за который функция завершает один полный цикл — в этом примере период равен 4 и представляет собой время, которое требуется нам, чтобы убедиться, что в феврале одинаковое количество дней.

    Период функции

    Период PP повторяющейся функции ff — это число, представляющее интервал, такой что f(x+P)=f(x)f(x+P)=f(x) для любого значения x.x.

    Период функций косинуса, синуса, секанса и косеканса равен 2π,2π.

    Период функций тангенса и котангенса равен π.π.

    Пример 8

    Нахождение значений тригонометрических функций

    Нахождение значений шести тригонометрических функций угла tt на основе рисунка 9 .

    Рисунок 9

    Решение

    sint=y=-32cost=x=-12tant=sintcost=-32-12=3sect=1cost=1-12=-2csct=1sint=1-32=-233cott=1tant=13=33sint=y=-32cost =x=−12tant=sintcost=−32−12=3sect=1cost=1−12=−2csct=1sint=1−32=−233cott=1tant=13=33

    Попытайся #8

    Найдите значения шести тригонометрических функций угла tt на основе рисунка 10 .

    Рисунок 10

    Пример 9

    Нахождение значения тригонометрических функций

    Если sin(t)=-32sin(t)=-32 и cos(t)=12,cos(t)=12, найти sec(t),csc(t), tan(t), cot(t).sec(t),csc(t),tan(t), cot(t).

    Решение

    sect=1cost=112=2csct=1sint=1−32−233tant=sintcost=−3212=−3cott=1tant=1−3=−33sect=1cost=112=2csct=1sint=1−32−233tant=sintcost= −3212=−3cott=1tant=1−3=−33

    Попытайся #9

    Если sin(t)=22sin(t)=22 и cos(t)=22,cos(t)=22, найти sec(t),csc(t),tan(t) и cot(t).sec(t),csc(t),tan(t ) и кроватка(т).

    Вычисление тригонометрических функций с помощью калькулятора

    Мы научились вычислять шесть тригонометрических функций для обычных углов первого квадранта и использовать их в качестве справочных углов для углов в других квадрантах. Чтобы оценить тригонометрические функции других углов, мы используем научный или графический калькулятор или компьютерную программу. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, убедитесь, что выбран правильный режим, прежде чем выполнять вычисления.

    Вычисление функции тангенса с помощью научного калькулятора, в отличие от графического калькулятора или системы компьютерной алгебры, похоже на вычисление синуса или косинуса: введите значение и нажмите клавишу TAN. Для взаимных функций может не быть специальных клавиш с надписью CSC, SEC или COT. В этом случае функция должна оцениваться как обратная величина синуса, косинуса или тангенса.

    Если нам нужно работать с градусами, а наш калькулятор или программное обеспечение не имеет режима градусов, мы можем ввести градусы, умноженные на коэффициент преобразования π180π180, чтобы преобразовать градусы в радианы. Чтобы найти секанс 30°, 30°, мы могли бы нажать

    (для научного калькулятора): 130×π180COS(для научного калькулятора): 130×π180COS

    или

    (для графического калькулятора): 1cos(30π180)(для графического калькулятора): 1cos(30π180)

    Как

    Для измерения угла в радианах используйте научный калькулятор, чтобы найти косеканс.

    1. Если в калькуляторе есть режимы в градусах и в радианах, установите его в режим в радианах.
    2. Введите: 1 /1 /
    3. Введите значение угла в скобках.
    4. Нажмите клавишу SIN.
    5. Нажмите клавишу =.

    Как

    Для измерения угла в радианах используйте графическую утилиту/калькулятор, чтобы найти косеканс.

    1. Если графическая утилита имеет режим градусов и режим радиан, установите ее в режим радиан.
    2. Введите: 1 /1 /
    3. Нажмите клавишу SIN.
    4. Введите значение угла в скобках.
    5. Нажмите клавишу ВВОД.

    Пример 10

    Вычисление косеканса с помощью технологии

    Вычисление косеканса числа 5π7,5π7.

    Решение

    Для инженерного калькулятора введите следующую информацию:

    1 / ( 5 ×π / 7 ) SIN =1 / ( 5 ×π / 7 ) SIN =

    csc(5π7)≈1,279csc(5π7)≈1,279

    Попытайся #10

    Вычислите котангенс числа −π8. −π8.

    5.3 Секционные упражнения

    Устный

    1.

    Могут ли на интервале [0,2π),[0,2π) быть одинаковыми значения синуса и косинуса радианной меры? Если да, то где?

    2.

    Как бы вы оценили косинус ππ градусов? Объясните свои рассуждения.

    3.

    Для любого угла в квадранте II, если бы вы знали синус угла, как бы вы могли определить косинус угла?

    4.

    Описать секущую.

    5.

    Тангенс и котангенс имеют период π.π. Что это говорит нам о выводе этих функций?

    Алгебраический

    В следующих упражнениях найдите точное значение каждого выражения.

    6.

    tanπ6tanπ6

    7.

    секπ6секπ6

    8.

    cscπ6cscπ6

    9.

    детская кроватка π6 кроватка π6

    10.

    tanπ4tanπ4

    11.

    секπ4секπ4

    12.

    cscπ4cscπ4

    13.

    кроватка 4 кроватка 4

    14.

    tanπ3tanπ3

    15.

    секπ3секπ3

    16.

    cscπ3cscπ3

    17.

    кроватка 3 кроватка 3

    В следующих упражнениях используйте опорные углы для вычисления выражения.

    18.

    тан5π6tan5π6

    19.

    сек7π6сек7π6

    20.

    csc11π6csc11π6

    21.

    кроватка13π6кроватка13π6

    22.

    tan7π4tan7π4

    23.

    сек3π4сек3π4

    24.

    csc5π4csc5π4

    25.

    кроватка11π4кроватка11π4

    26.

    tan8π3tan8π3

    27.

    сек4π3сек4π3

    28.

    csc2π3csc2π3

    29.

    кроватка5π3cot5π3

    30.

    загар225°загар225°

    31.

    сек300°сек300°

    32.

    csc150°csc150°

    33.

    раскладушка240°раскладушка240°

    34.

    tan330°tan330°

    35.

    сек120°сек120°

    36.

    csc210°csc210°

    37.

    кроватка315°кроватка315°

    38.

    Если sint=34,sint=34 и tt находится в квадранте II, найти costcost, sectsect, csctcsct, tanttant,cott.cott.

    39.

    Если cost=−13,cost=−13 и tt находится в квадранте III, найдите sint,sect,csct,tant,cott.sint,sect,csct,tant,cott.

    40.

    Если tant=125,tant=125 и 0≤t<π2,0≤t<π2, найти sint,cost,sect,csct,sint,cost,sect,csct и cott.cott.

    41.

    Если sint=32sint=32 и cost=12,cost=12, найти sect,csct,tant,sect,csct,tant и cott.cott.

    42.

    Если sin40°≈0,643sin40°≈0,643 а также cos40°≈0,766cos40°≈0,766 найти sec40°,csc40°,tan40°,sec40°,csc40°,tan40°, а также cotи40°.cotи40°.

    43.

    Если sint=22,sint=22, каково значение sin(−t)?sin(−t)?

    44.

    Если стоимость = 12, стоимость = 12, каково значение cos(−t)?cos(−t)?

    45.

    Если sect=3.1,sect=3.1, какова сек(-t)?сек(-t)?

    46.

    Если csct=0,34,csct=0,34, каково значение csc(−t)?csc(−t)?

    47.

    Если tant=-1,4, tant=-1,4, чему равен тангенс(-t)?тангенс(-t)?

    48.

    Если cott=9,23,cott=9,23, чему равно cot(-t)?cot(-t)?

    Графический

    В следующих упражнениях используйте угол в единичной окружности, чтобы найти значение каждой из шести тригонометрических функций.

    49.

    50.

    51.

    Технология

    Для оценки следующих упражнений используйте графический калькулятор.

    52.

    csc5π9csc5π9

    53.

    кроватка4π7cot4π7

    54.

    секπ10секπ10

    55.

    tan5π8tan5π8

    56.

    сек3π4сек3π4

    57.

    cscπ4cscπ4

    58.

    tan98°tan98°

    59.

    раскладушка33°раскладушка33°

    60.

    кроватка140°кроватка140°

    61.

    сек310°сек310°

    Расширения

    В следующих упражнениях используйте тождества для вычисления выражения.

    62.

    Если tan(t)≈2,7,tan(t)≈2,7 и sin(t)≈0,94,sin(t)≈0,94, найти cos(t).cos(t).

    63.

    Если tan(t)≈1,3,tan(t)≈1,3 и cos(t)≈0,61, cos(t)≈0,61, найти sin(t).sin(t).

    64.

    Если csc(t)≈3,2, csc(t)≈3,2 и cos(t)≈0,95, cos(t)≈0,95, найти tan(t).tan(t).

    65.

    Если cot(t)≈0,58,cot(t)≈0,58 и cos(t)≈0,5, cos(t)≈0,5, найти csc(t).csc(t).

    66.

    Определите, является ли функция f(x)=2sinxcosxf(x)=2sinxcosx четной, нечетной или ни той, ни другой.

    67.

    Определите, является ли функция f(x)=3sin2xcosx+secxf(x)=3sin2xcosx+secx четной, нечетной или ни той, ни другой.

    68.

    Определите, является ли функция f(x)=sinx-2cos2xf(x)=sinx-2cos2x четной, нечетной или ни той, ни другой.

    69.

    Определите, является ли функция f(x)=csc2x+secxf(x)=csc2x+secx четной, нечетной или ни одной из них.

    В следующих упражнениях используйте тождества для упрощения выражения.

    70.

    cscttantcscttant

    71.

    sectcsctsectcsct

    Реальные приложения

    72.

    Количество солнечного света в определенном городе можно смоделировать с помощью функции h=15cos(1600d),h=15cos(1600d), где hh представляет количество часов солнечного света, а dd — день в году. Используйте уравнение, чтобы найти, сколько часов солнечного света будет 11 февраля, 42 и день года. Укажите период функции.

    73.

    Количество солнечного света в определенном городе можно смоделировать функцией h=16cos(1500d),h=16cos(1500d), где hh представляет часы солнечного света, а dd это день года. Используйте уравнение, чтобы найти, сколько часов солнечного света будет 24 сентября, 267 -й -й день года. Укажите период функции.

    74.

    Уравнение P=20sin(2πt)+100P=20sin(2πt)+100 моделирует кровяное давление, P,P, где tt представляет время в секундах. а) Найдите артериальное давление через 15 секунд. б) Каковы максимальное и минимальное артериальное давление?

    75.

    Высота поршня, h,h, в дюймах, может быть смоделирована уравнением y=2cosx+6,y=2cosx+6, где xx представляет собой угол поворота коленчатого вала. Найдите высоту поршня, когда угол поворота коленчатого вала составляет 55°,55°.

    76.

    Высота поршня, h,h, в дюймах, может быть смоделирована уравнением y=2cosx+5,y=2cosx+5, где xx представляет собой угол поворота коленчатого вала. Найдите высоту поршня, когда угол поворота коленчатого вала составляет 55°,55°.

    Таблица Брадиса косинусов, закона синусов, тангенсов, котангенсов

    Таблица Брадиса — представляет собой таблицу, которая помогает вычислить значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов с точностью до одной минуты без калькулятора.

    Таблица, которая поможет с расчетами при решении задач в школе (математика, алгебра, геометрия и физика в старших классах) и вузах. На этой странице четырехзначные онлайн математические знаки для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Пользоваться таблицами просто.

    Как бы ни совершенствовалась вычислительная техника, определение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов с помощью таблицы Bradis всегда будет актуальным.
    Таблица Брадиса создана выдающимся учителем-математиком Владимиром Модестовичем Брадисом. Чтобы научиться пользоваться таблицами Bradis, представленными ниже, мы предлагаем вам сначала ознакомиться с инструкцией.

    Как пользоваться столом Брадис?

    Пример: Найти синус девяносто градусов. Все что относится к синусу вверху и слева к косинусам внизу и справа. Слева найдите угол 90 градусов. И смотрим результат: 1. Те ​​числа, что вверху и внизу таблицы (со штрихами: ‘) это минуты .

    В таблице Брадиса указаны значения углов, кратные 6 минутам. Если вы хотите найти значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса угла, которого нет в таблице Брадиса, вам следует выбрать наиболее близкое к нему значение. И добавить (вычесть) поправку к проекту, соответствующую разнице, которая может быть равна 1′, 2′, 3′.

    Пример:

    Таблица Брадиса для синуса и косинуса

    sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ потому что 1′ 2′ 3′
      0,0000 90°  
    0° 0,0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9
    1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
    2° 0349 0366 0384 0401 0419 Номер 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87° 3 6 9
    3° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86° 3 6 9
    4° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0,0872 85° 3 6 9
     
    5° 0,0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84° 3 6 9
    6° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83° 3 6 9
    7° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82° 3 6 9
    8° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81° 3 6 9
    9° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0,1736 80° 3 6 9
     
    10° 0,1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79° 3 6 9
    11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78° 3 6 9
    12° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77° 3 6 9
    13° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76° 3 6 8
    14° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0,2588 75° 3 6 8
     
    15° 0,2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74° 3 6 8
    16° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73° 3 6 8
    17° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72° 3 6 8
    18° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71° 3 6 8
    19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0,3420 70° 3 5 8
     
    20° 0,3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69° 3 5 8
    21° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68° 3 5 8
    22° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67° 3 5 8
    23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66° 3 5 8
    24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0,4226 65° 3 5 8
     
    25° 0,4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64° 3 5 8
    26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63° 3 5 8
    27° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62° 3 5 8
    28° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61° 3 5 8
    29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0,5000 60° 3 5 8
     
    30° 0,5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59° 3 5 8
    31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58° 2 5 7
    32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57° 2 5 7
    33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56° 2 5 7
    34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0,5736 55° 2 5 7
     
    35° 0,5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0,5878 54° 2 5 7
    36° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53° 2 5 7
    37° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52° 2 5 7
    38° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51° 2 5 7
    39° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0,6428 50° 2 4 7
     
    40° 0,6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49° 2 4 7
    41° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48° 2 4 7
    42° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47° 2 4 6
    43° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46° 2 4 6
    44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0,7071 45° 2 4 6
     
    45° 0,7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44° 2 4 6
    46° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43° 2 4 6
    47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42° 2 4 6
    48° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41° 2 4 6
    49° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0,7660 40° 2 4 6
     
    50° 0,7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39° 2 4 6
    51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38° 2 4 5
    52° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37° 2 4 5
    53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36° 2 3 5
    54° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0,8192 35° 2 3 5
     
    55° 0,8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34° 2 3 5
    56° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33° 2 3 5
    57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32° 2 3 5
    58° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31° 2 3 5
    59° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0,8660 30° 1 3 4
     
    60° 0,8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29° 1 3 4
    61° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28° 1 3 4
    62° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27° 1 3 4
    63° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26° 1 3 4
    64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0,9063 25° 1 3 4
     
    65° 0,9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24° 1 2 4
    66° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23° 1 2 3
    67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22° 1 2 3
    68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21° 1 2 3
    69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0,9397 20° 1 2 3
     
    70° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0,9455 19° 1 2 3
    71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3
    72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3
    73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 2
    74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0,9659 15° 1 2 2
     
    75° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14° 1 1 2
    76° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13° 1 1 2
    77° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12° 1 1 2
    78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11° 1 1 2
    79° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0,9848 10° 1 1 2
     
    80° 0,9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9° 0 1 1
    81° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8° 0 1 1
    82° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7° 0 1 1
    83° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6° 0 1 1
    84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5° 0 1 1
     
    85° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4° 0 0 1
    86° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3° 0 0 0
    87° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2° 0 0 0
    88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0,9998 1° 0 0 0
    89° 9998 9999 9999 9999 9999 1. 0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0° 0 0 0
    90° 1.0000  
    грех 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ потому что 1′ 2′ 3′

     

    Таблица Брадиса для тангенсов и котангенсов

    Тангенс угла x — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    Котангенс угла х — отношение прилежащего катета к противолежащему:

    Тангенс угла — отношение дальний угол к середине. Котангенс угла равен противному.

     

    тг 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ КТГ 1′ 2′ 3′
      0 90°  
    0° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9
    1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
    2° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87° 3 6 9
    3° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86° 3 6 9
    4° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85° 3 6 9
     
    5° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84° 3 6 9
    6° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83° 3 6 9
    7° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82° 3 6 9
    8° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81° 3 6 9
    9° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80° 3 6 9
     
    10° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79° 3 6 9
    11° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78° 3 6 9
    12° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77° 3 6 9
    13° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76° 3 6 9
    14° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75° 3 6 9
     
    15° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74° 3 6 9
    16° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73° 3 6 9
    17° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72° 3 6 10
    18° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71° 3 6 10
    19° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70° 3 7 10
     
    20° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69° 3 7 10
    21° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68° 3 7 10
    22° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67° 3 7 10
    23° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66° 3 7 10
    24° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65° 4 7 11
     
    25° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64° 4 7 11
    26° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63° 4 7 11
    27° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62° 4 7 11
    28° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61° 4 8 11
    29° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60° 4 8 12
     
    30° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59° 4 8 12
    31° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58° 4 8 12
    32° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57° 4 8 12
    33° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56° 4 8 13
    34° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55° 4 9 13
     
    35° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54° 4 8 13
    36° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53° 5 9 14°
    37° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52° 5 9 14
    38° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 Из 7983 8012 8040 8069 8098 51° 5 9 14
    39° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50° 5 10 15
     
    40° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49° 5 10 15
    41° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48° 5 10 16
    42° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47° 6 11 16
    43° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46° 6 11 17
    44° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 10000 45° 6 11 17
     
    45° 10000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44° 6 12 18
    46° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43° 6 12 18
    47° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42° 6 13 19
    48° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41° 7 13 20
    49° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40° 7 14 21
     
    50° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39° 7 14 22
    51° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38° 8 15 23
    52° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37° 8 16 24
    53° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36° 8 16 25
    54° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35° 9 17 26
     
    55° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34° 9 18 27
    56° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 Уже 5282 5340 5399 33° 10 19 29
    57° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32° 10 20 30
    58° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31° 11 21 32
    59° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30° 11 23 34
     
    60° 1 732 1 739 1 746 1 753 1 760 1 767 1 775 1 782 1 789 1 797 1 804 29° 1 2 4
    61° 1 804 1 811 1 819 1 827 1 834 1 842 1 849 1 857 1 865 1 873 1 881 28° 1 3 4
    62° 1 881 1 889 1 897 1 905 Б/у 1 913 1 921 1 929 1 937 1 946 1 954 1 963 27° 1 3 4
    63° 1 963 1 971 1 980 1 988 1 997 2 006 2 014 2 023 2 032 2 041 Из 2. 05 26° 1 3 4
    64° 2 050 2 059 2069 2 078 2 087 2 097 2 106 2 116 2 125 2 135 2 145 25° 2 3 5
     
    65° 2 145 2 154 2 164 2 174 2 184 2 194 2 204 2 215 2 225 2 236 2 246 24° 2 3 5
    66° 2 246 2 257 2 267 2 278 2 289 2,3 2 311 2 322 2 333 2 344 2 356 23° 2 4 5
    67° 2 356 2 367 2 379 2 391 2 402 2 414 2 426 2 438 2 450 2 463 2 475 22° 2 4 6
    68° 2 475 2 488 2,5 2 513 2 526 2 539 2 552 2 565 2 578 2,592 2 605 21° 2 4 6
    69° 2 605 2 619 2 633 2 646 Из 2,66 2 675 2 689 2 703 2 718 2 733 2 747 20° 2 5 7
     
    70° 2 747 2 762 2 778 2 793 2 808 2 824 2 840 2 856 2 872 2 888 2 904 19° 3 5 8
    71° 2 904 2 921 2 937 2 954 2 971 2 989 3 006 3 024 3 042 3,06 3 078 18° 3 6 9
    72° 3 078 3 096 3 115 3 133 3 152 3 172 3 191 3 211 3 230 3 251 3 271 17° 3 6 10
    73° 3 271 3 291 3 312 3 333 3 354 3 376 3 398 3. 42 3 442 3 465 3 487 16° 4 7 11
    74° 3 487 3 511 3 534 3 558 3 582 До 3.606 3 630 3 655 3 681 3 706 3 732 15° 4 8 13
    75° 3 732 3 758 3 785 3 812 3 839 3 867 3 895 3 923 3 952 3 981 4 011 14° 5 10 14
    тг 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ КТГ 1′ 2′ 3′

    Краткий курс Дейва по тригонометрии

    Краткий курс Дэйва по тригонометрии

    Содержание
    1. Кому следует пройти этот курс?
      • Тригонометрия для вас
      • Ваш фон
      • Как выучить тригонометрию
    2. Применение тригонометрии
      • Астрономия и география
      • Инженерия и физика
      • Математика и ее приложения
    3. Что такое тригонометрия?
      • Тригонометрия как вычислительная геометрия
      • Угловые измерения и таблицы
    4. Измерение угла
      • Понятие угла
      • Радианы и длина дуги
      • Упражнения, советы и ответы
      • О разрядах точности
    5. Аккорды
      • Что такое аккорд?
      • Тригонометрия началась с аккордов
    6. Синус
      • Связь между синусом и хордой
      • Слово «синус»
      • Синусы и прямоугольные треугольники
      • Стандартное обозначение прямоугольного треугольника
      • Упражнения, советы и ответы
    7. Косинусы
      • Определение косинуса
      • Прямоугольные треугольники и косинусы
      • Тождество Пифагора для синусов и косинусов
      • Синусы и косинусы для особых общих углов
      • Упражнения, советы и ответы
    8. Касательные и наклон
      • Определение касательной
      • Тангенс относительно синуса и косинуса
      • Касательные и прямоугольные треугольники
      • уклоны линий
      • Углы возвышения и депрессии
      • Опять общие углы
      • Упражнения, советы и ответы
    9. Тригонометрия прямоугольных треугольников
      • Решение прямоугольных треугольников
      • Обратные триггерные функции: арксинус, арккосинус и арктангенс
      • Остальные три тригонометрические функции: котангенс, секанс и косеканс
      • Упражнения, советы и ответы
      • Пифагоровы тройки
    10. Тригонометрические функции и их обратные
      • Произвольные углы и единичная окружность
      • Синусы и косинусы произвольных углов
      • Свойства синусов и косинусов, следующие из определения
      • Графики функций синуса и косинуса
      • Графики функций тангенса и котангенса
      • Графики функций секанса и косеканса
    11. Тригонометрия косоугольных треугольников
      • Решение косоугольных треугольников
      • Закон косинусов
      • Закон синусов
      • Упражнения, советы и ответы
    12. Резюме тригонометрических тождеств
      • Более важные личности
      • Менее важные личности
      • Действительно неясные личности

    Примечание. Если ваш браузер поддерживает Java, вы можете перетаскивать точки на диаграммах, и диаграмма настраивается сама собой. Свободные точки, окрашенные в красный цвет, можно свободно перетаскивать, и по мере их перемещения остальная часть диаграммы (кроме других свободных точек) подстроится соответствующим образом. Скользящие точки, окрашенные в оранжевый цвет, можно перетаскивать примерно как свободные точки, за исключением того, что их движение ограничено либо прямой линия или круг, в зависимости от точки. Если вы перетащите точку поворота, окрашенную в зеленый цвет, вся диаграмма будет переведена вместе с ней. Другие точки также можно перетаскивать, если отображается точка поворота, и диаграмма будет повернута и расширена вокруг точки поворота. Кроме того, если вы наберете r или клавишу пробела , пока курсор находится над диаграммой, тогда диаграмма будет сброшена к исходной конфигурации. Если вы наберете u или вернете , цифра будет поднята со страницы в отдельное окно. Ввод d или возврат , когда курсор находится над окном, вернет диаграмму на страницу. Обратите внимание, что вы можете изменить размер плавающего окна, чтобы сделать диаграмму больше.

    Здесь используются специальные символы. : Некоторые старые веб-браузеры не отображают математические символы. В следующей таблице показаны математические символы, используемые здесь. Если в первом столбце есть какие-либо записи, которые кажутся пустыми или отображаются в виде вопросительных знаков, тогда ваш веб-браузер не будет отображать эти символы, и вам нужно будет использовать другой веб-браузер, чтобы увидеть все символы.

    Символ Описание Пример
    минус x  –  y
    ± plus or minus sign x  ±  y
    ° degree sign 45°
    √ square root sign √2
    3 √ cube root sign 3 √5
    ≠ not equal to x  ≠  y
    ≤ less than or equal to x  ≤  y
    ≥ greater than or equal to x  ≥  y

    Начат в июле 1996 г. Авторские права © 1996, 1997.

    Дэвид Э. Джойс
    Кафедра математики и информатики
    Университет Кларка Вустер, Массачусетс, 01610

    Электронная почта: [email protected]

    Краткий триггерный курс Дэйва находится по адресу http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig.

    Тригонометрические функции

    Тригонометрические функции — это функции, связанные с углом. Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и их обратные косеканс, секанс и котангенс соответственно. Синус, косинус и тангенс являются наиболее широко используемыми тригонометрическими функциями. Их обратные числа, хотя и используются, менее распространены в современной математике. Тригонометрические функции также называют круговыми функциями.

    Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

    Определение прямоугольного треугольника

    Выход тригонометрической функции представляет собой отношение длин двух сторон прямоугольного треугольника. Рассмотрим угол θ как один из углов прямоугольного треугольника. Ниже приведены определения тригонометрических функций. Эти функции часто записываются в сокращенной форме.

    sine:
    cosine:
    tangent:
    cosecant:
    secant:
    cotangent:

    Термины, используемые для описания сторон прямоугольного треугольника, — это гипотенуза, прилежащая сторона и противоположная сторона, как показано на рисунке выше.

    • Смежный: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
    • Напротив: сторона, противоположная θ.
    • Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.

    Обычный метод запоминания вышеупомянутых взаимосвязей — использование мнемонического выражения «soh cah toa». Буквы s, c и t обозначают синус, косинус и тангенс, а o, a и h обозначают противоположное, смежное и гипотенузу.

    Косеканс, секанс и котангенс являются величинами, обратными синусу, косинусу и тангенсу соответственно. Таким образом, пока мы помним определения синуса, косинуса и тангенса, мы можем взять их обратные значения, чтобы определить определения косеканса, секанса и котангенса.

    Пример:

    Найдите значения шести тригонометрических величин по прямоугольному треугольнику ниже.

    Гипотенуза треугольника равна 10, а прилежащая сторона имеет длину 5. Используя теорему Пифагора, находим длину третьей, противоположной, стороны:

    5 2 + b 2 = 10 2

    25 + b 2 = 100

    b 2 = 75

    Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, подставим 60° к углу треугольника. их в тригонометрические функции, как определено выше:

    Определение единичной окружности

    Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.

    Имея точку (x, y) на единичной окружности, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Точка, в которой конечная сторона угла пересекает единичную окружность, имеет значение x, равное cos⁡(θ), и значение y, равное sin⁡(θ).

    Таким образом, на единичной окружности косинус и синус можно определить как:

    синуса, косинуса и тангенса соответственно и определяются как:

    Значения тригонометрических функций также могут быть представлены длинами отрезков прямых в координатной плоскости с единичным кругом, как показано на рис. диаграмма ниже.

    Значения тригонометрических функций для специальных углов

    Значения тригонометрических функций можно найти через значения координат пересечений на единичной окружности. Хотя мы можем найти значение любой тригонометрической функции для любого значения θ, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии и их стоит запомнить. Ниже приведен список значений функций синуса, косинуса и тангенса специальных углов в первом квадранте.

    Опорный угол

    Острые углы в первом квадранте можно использовать для определения значений тригонометрических функций углов в других квадрантах. Эти углы называются опорными углами, поскольку мы будем ссылаться на их значения для определения других значений. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунках ниже показан угол θ и его исходный угол θ’ в квадранте, отличном от первого квадранта.

    Квадрант II Квадрант III Квадрант IV
    θ’= 180° — θ θ’= θ — 180° θ’= 360° — θ

    Если один угол является опорным углом другого, то тригонометрические функции этих двух углов имеют одинаковые значения по модулю, и нам нужно только обратить внимание на их знаки исходя из квадранта, в котором лежит крайняя сторона угла , Например, 30° — это опорный угол 210° со значениями синусов sin(30°)= и sin(210°)=. Мы можем видеть, что значения синуса обоих имеют величину , хотя и имеют разные знаки.

    Ниже приведена таблица, показывающая знаки 6 тригонометрических функций в каждом квадранте.

      Sin Cos Tan Csc Sec Cot
    Quadrant I + + + + + +
    Квадрант II + — — + — —
    Quadrant III — — + — — +
    Quadrant IV — + — — + —

    Как только мы определили опорный угол, мы можем определить значение тригонометрических функций в любом из других квадрантов, применяя соответствующий знак к их значению для опорного угла.

    Пример:

    Используйте эталонные углы, чтобы найти значения cos(150°) и sin(315°).

    Поскольку 150° находится в квадранте II, исходный угол для 150° равен 180°-150°=30°, где cos(30°)=. Кроме того, поскольку 150 ° находится в квадранте II, косинус отрицателен, тогда cos (150 °) =.

    Поскольку 315° находится в квадранте IV, исходный угол для 315° равен 360°-315°=45°, где sin⁡(45)°=. Кроме того, поскольку 315 ° находится в квадранте IV, синус отрицательный, тогда sin (315 °) =.

    Тригонометрические функции являются периодическими функциями

    Периодическая функция – это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

    f(x+p) = f(x)

    для всех x в области f, p является наименьшим положительным число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

    Все 6 тригонометрических функций являются периодическими функциями. Независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в нашу начальную точку, что указывает на то, что тригонометрическая функция имеет то же значение под углом. Это означает, что тригонометрические функции повторяют свои значения.

    Функции синуса, косинуса, косеканса и секанса имеют период 2π. Функции тангенса и котангенса имеют период π.

    sin(θ+2π) = sin(θ)

    cos(θ+2π) = cos (θ)

    csc(θ+2π) = csc (θ)

    sec(θ+2π) = sec ( θ)

    tan(θ+π) = tan (θ)

    cot(θ+π) = cot (θ)

    Пример:

    Найдите cos() и tan⁡(), используя их периоды.

    Тригонометрические функции четные или нечетные

    Нечетная функция — это функция, в которой -f(x)=f(-x). Он имеет симметрию относительно начала координат. Четная функция — это функция, в которой f(x)=f(-x), что означает, что отображение графика по оси Y даст тот же график. Из 6 тригонометрических функций синус, тангенс, косеканс и котангенс являются нечетными функциями. Косинус и секанс — четные функции. Поэтому:

    Четные функции Нечетные функции
    cos⁡(-θ) = cos⁡(θ)
    сек⁡(-θ) = сек⁡(θ)    		 sin⁡(-θ) = -sin⁡(θ)
    tan⁡(-θ) = -tan(θ)
    csc⁡(-θ) = -csc⁡(θ)
    кроватка⁡(-θ) = -кроватка (θ)

    Обратные тригонометрические функции

    Обратные тригонометрические функции являются обратными функциями тригонометрических функций. В частности, это арксинус, арккосинус, арктангенс, арккосеканс, арксеканс и арктангенс. Входом обратных тригонометрических функций являются тригонометрические отношения угла, а выходом — угол:

    θ = arcsin(x), где –1≤x≤1

    θ = arccos(x), где –1≤x≤1

    θ = арктангенс (х)

    θ = arccsc⁡(x), где x≤-1 или 1≤x

    θ = угловая секунда⁡(x), где x≤-1 или 1≤x

    θ = арктангенс⁡(x)

    Обратные тригонометрические функции также записываются как sin -1 ⁡(x), cos -1 ⁡(x), tan -1 ⁡(x), csc -1 ⁡(x) ), сек -1 ⁡(x) и раскладушка -1 ⁡(x).

    Пример:

    Учитывая sin(30°) = 0,5, что такое arcsin(0,5)?

    arcsin(0.5) = 30°

    Примечание: это дает результат только в первом квадранте. Если рассматривать другие квадранты, arcsin(0.5) также равен 150°. Кроме того, поскольку арксинус является периодической функцией, для учета всех возможных значений арксинуса нам необходимо учитывать его периодичность. Таким образом, решение равно

    30°+n×360° или 150°+n×360°

    , где n — целое число. При использовании других обратных тригонометрических функций также необходимо учитывать их периодичность для определения всех решений.

    Графики тригонометрических функций

    На рисунке ниже показаны графики нескольких периодов шести тригонометрических функций. Обратитесь к страницам синуса, косинуса и тангенса для подробного объяснения того, как построить график тригонометрических функций, подвергшихся определенным преобразованиям (те же объяснения применимы к косекансу, секансу и котангенсу с небольшими отличиями).

    Функция котангенса

    Функция котангенса — это тригонометрическая функция, одна из трех обратных функций , которые мы рассматриваем на этих страницах, две другие — это функция косеканса и функция секанса . Обратная функция — это функция, которая является обратной (или мультипликативной обратной ) другой функции (см. ниже). Функция котангенса (обычно сокращенно cot ) является обратной функцией функции тангенса . Как и в случае с другими тригонометрическими функциями, используемыми в современном мире, функция котангенса, безусловно, была известна арабским ученым, а таблицы значений котангенса, как известно, существовали к десятому веку нашей эры. Чтобы точно понять, как связаны функция котангенса и функция тангенса, рассмотрим приведенную ниже диаграмму.


    Котангенс как отрезок единичной окружности


    Как и другие тригонометрические функции, котангенс может быть представлен в виде отрезка, связанного с единичной окружностью . На диаграмме показан котангенс угла поворота θ от сорока пяти градусов (измерено против часовой стрелки от положительной оси x ). Отрезок AF (показан красным) является котангенсом и лежит на прямой, касательной к окружности в точке 9. 0943 А . Отрезок PF является продолжением отрезка OP (и, кстати, также является секущей ). Помните, что точка P — это точка на окружности единичного круга, чьи координаты x и y представляют значения cos ( θ  ) и sin ( θ  ) соответственно (отрезки прямой, представляющие синус и косинус также показаны). Помните, что одно из определений функции тангенса — это частное функции синуса и косинуса . Щелкните здесь , чтобы увидеть интерактивную демонстрацию, в которой используется единичный круг, чтобы показать, как функции синуса, косинуса и котангенса соотносятся друг с другом (примечание: чтобы интерактивная страница работала, ваш браузер должен поддерживать Java).

    Помните, что функция тангенса может быть определена либо как частное противоположной и смежной, либо как частное функций синуса и косинуса. Если вы еще не вывели этот факт из диаграммы, вы увидите в интерактивной демонстрации, что значение sin ( θ  ) приближается к единице , а значение cos ( θ  ) приближается к нулю , значение cot ( θ  ) также стремится к нулю. Однако при приближении значения sin ( θ  ) к нулю и значения cos ( θ  ) к единице значение cot ( θ  ) стремится к бесконечности. Таким образом, значение кроватки ( θ  ), когда cos ( θ  ) равно единице, равно undefined . Как упоминалось, тангенс 9Функция 0028 представляет собой частное функций синуса и косинуса. Поскольку функция котангенса является обратной величиной функции тангенса, мы также можем выразить функцию котангенса через функции синуса и косинуса:

    220

    3 Очевидно, поскольку функция котангенса является обратной величиной функции тангенса , ее можно выразить через функцию тангенса следующим образом:

    COT ( θ ) = COS ( θ )
    SIN ( θ )
    детская кроватка ( θ  )   =    1
    желтовато-коричневый ( θ  )2 И, наконец, поскольку функции косинуса и синуса представлены координатами x и y соответственно точки P (то есть точки, в которой конечная сторона угла θ пересекает окружность единичной окружности), мы можем также сделать вывод, что:

    детская кроватка ( θ  )   =    x
    y

    Мы также можем определить функцию котангенса в терминах прямоугольного треугольника. Если вы прочитали страницы этого раздела, посвященные трем основным тригонометрическим функциям ( синус , косинус и тангенс ), вы уже знакомы с приведенной ниже диаграммой.


    В треугольнике ABC раскладушка ( θ  ) = б / а


    В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла θ является частным противоположных и смежных (то есть сторон, обозначенных a и b соответственно). Поскольку функция котангенса есть , обратная функции тангенса, то котангенс угла θ будет частным смежных и напротив . Это дает нам:

    cot ( θ  )   =    cos ( θ  )   =   adjacent   =   b
    sin ( θ  ) opposite а

    Для тех, кто интересуется такими вещами, мы использовали Microsoft Excel для создания собственной таблицы значений котангенса для углов в диапазоне от ноль градусов (0°) до триста шестьдесят градусов (360°) с шагом в одну десятую градуса. Чтобы увидеть таблицу, нажмите здесь .

    Если вы изучите таблицу, то увидите, что существует значительный диапазон углов, сосредоточенных вокруг девяносто градусов (90°) и двести семьдесят градусов (270°), для которых значение, возвращаемое функцией котангенса, довольно невелика и изменяется относительно медленно. Для углов близких к ноль градусов (0°), сто восемьдесят градусов (180°) или триста шестьдесят градусов (360°) однако значение, возвращаемое функцией секанса, быстро увеличивается. Этого следовало ожидать, так как значение тангенса ( θ  ) очень мало для этих углов, поэтому его обратное будет соответственно большим. На самом деле значение, возвращаемое функцией котангенса для угла в ноль градусов, сто восемьдесят градусов или триста шестьдесят градусов, считается равным 9.0943 undefined , так как уравнение кроватка ( θ  ) = 1 / тангенс ( θ  ) будет включать деление на ноль. На самом деле, это будет применяться к любому углу , для которого значение тангенса равно нулю. Ниже мы приводим график функции котангенса для углов в диапазоне от ноль до семьсот двадцать градусов (720°).


    График функции котангенса для углов в диапазоне от 0° до 720°


    Как и функция тангенса, значения функции котангенса будут варьироваться от нуля до бесконечности (или, точнее, от нуля до очень большого неопределенного значения). Поскольку функция котангенса является обратной функцией тангенса, значение котангенса будет неопределенным, если значение тангенса равно нулю, и нулем, если значение тангенса не определено. Как видно из таблицы значений котангенса и графика функции котангенса, значение котангенса отрицательно для всех углов, для которых синус и косинус имеют разный знак (т.е. в квадранте II и квадранте IV ), и положительный для всех углов, для которых синус и косинус имеют один и тот же знак (т. е. в квадранте I и квадранте III ).

    Если вы читали страницы о тангенсах, косекансах и секансах (или, возможно, даже если не читали), вы знаете, что вертикальные красные линии на графике — это асимптоты . Асимптота кривой представляет собой линию, которая по мере того, как расстояние между кривой и линией приближается к нулю, когда значение кривой приближается к бесконечности. В этом случае асимптотами можно считать «пробелы» в графике, где значение ctg ( θ  ) не определено. Обратите также внимание на то, что по мере того, как график пересекает асимптоту, значение cot ( θ  ) переходит от своего максимального положительного значения к максимальному отрицательному значению (или наоборот). Вы также можете увидеть, как различаются значения по обе стороны от асимптоты, изучив таблицу значений котангенса.

    График функции котангенса может включать несколько очень больших положительных и отрицательных пиков, так как значение тангенса ( θ  ) стремится к нулю. Как и функция тангенса, период функции котангенса равен сто восемьдесят градусов (180°), или π. Возможно, вы помните, что функция тангенса возвращает значение ноль при нуле градусов и достигает своего положительного пика по мере приближения к девяноста градусам . Затем он переходит к своему отрицательному пику, возвращаясь к нулю на сто восемьдесят градусов , прежде чем повторить цикл снова. Функция котангенса подобна зеркальному отображению функции тангенса, сдвинутой по фазе на девяносто градусов влево или вправо. Он падает со своего положительного пика по мере удаления от ноль градусов до нулевого значения девяносто градусов , а затем снова падает до своего отрицательного пика, приближаясь к ста восьмидесяти градусам . Затем он переходит к своему положительному пику и снова повторяет цикл.

    Как и в случае с другими тригонометрическими функциями, которые мы рассмотрели, нам не нужно использовать таблицы для нахождения котангенса угла (или угла, соответствующего заданному значению котангенса), так как любой современный научный калькулятор может сделать это за нас, даже хотя в большинстве калькуляторов нет специальной кнопки для функции котангенса. Нахождение котангенса угла с помощью встроенного калькулятора, представленного в Microsoft Windows по-прежнему относительно проста. Предположим, мы хотим найти котангенс угла на сорок восемь градусов (48°). Вы можете найти встроенный калькулятор Microsoft Windows, нажав кнопку «Пуск» в Windows 7 и выбрав «Все программы»> «Стандартные»> «Калькулятор» (в других версиях Windows может потребоваться другая последовательность нажатий клавиш). Научную версию калькулятора можно выбрать в приложении View 9.0028 меню. Чтобы найти котангенс сорока восьми градусов с помощью калькулятора Windows, введите следующие нажатия клавиш (если у вас нет калькулятора Windows, используйте любой доступный калькулятор, который может выполнять триггерные функции):


    Введите эти нажатия клавиш, чтобы найти котангенс угла 48°.


    Поскольку функция котангенса является обратной функцией тангенса, все, что мы здесь сделали, это использовали кнопку функции тангенса на калькуляторе, а затем применили встроенную кнопку функции обратной функции калькулятора (обычно помеченную 9). 0099 1/х ) к результату. Убедитесь, кстати, что у вас установлен режим калькулятора градусов (если только вы не планируете вводить значение угла в радианах или градусах). Если вы правильно ввели нажатия клавиш, вы должны увидеть следующий экран:


    Калькулятор отображает значение раскладушки (48°)


    Все идет нормально. Теперь давайте предположим, что вы хотите найти размер острого угла в прямоугольном треугольнике, сначала найдя частное смежного и противоположного (т.е. котангенс угла). Если у вас есть значения длин сторон треугольника, вы можете достаточно легко найти значение котангенса угла. Нахождение угла не так просто, как для трех основных тригонометрических функций, поскольку в большинстве калькуляторов нет специальной кнопки для функция арккотангенса (обратная функция котангенса). К счастью, есть относительно простой способ обойти это. Найдем значение угла θ для прямоугольного треугольника, показанного ниже.


    Мы хотим найти величину угла θ


    Для угла θ стороны b и a являются смежными и противоположными соответственно. На самом деле мы можем найти размер угла за одну операцию на калькуляторе Windows. Мы делаем это, используя скобки во введенной последовательности клавиш, чтобы заставить калькулятор сначала найти обратное значение частного соседнего и противоположного (т.е. котангенс угла). Затем мы применяем арктангенс функция к результату. Вот последовательность клавиш для использования:


    Введите эти нажатия клавиш, чтобы найти размер угла θ


    Возможно, вы уже поняли, что здесь мы находили тангенс угла, взяв , обратную котангенса . Затем мы просто применили к результату функцию арктангенс . Если вы правильно ввели нажатия клавиш, вы должны увидеть экран, подобный показанному ниже. Если вы читали страницы, посвященные другим тригонометрическим функциям, вы уже поняли, что все они очень тесно взаимосвязаны. Поэтому неудивительно, что графики каждой из трех основных тригонометрических функций так похожи на графики их соответствующих обратных функций. Тот факт, что тригонометрические функции настолько тесно взаимосвязаны, означает, что мы часто можем заменить выражение, включающее одну тригонометрическую функцию, эквивалентным выражением, включающим другую тригонометрическую функцию. Часто это может быть очень полезно.


    Калькулятор отображает значение угла θ


    Функция котангенса вместе с другими тригонометрическими функциями может быть представлена ​​в виде бесконечного ряда . Значение, возвращаемое тригонометрической функцией для заданного угла, не может быть вычислено с помощью простой алгебраической формулы. Для большинства углов точное значение можно получить только как сумму бесконечного числа слагаемых, чего, очевидно, достичь невозможно. Достаточно точное приближение значения находится с использованием суммы ограниченного числа членов из бесконечного ряда функции. Чем больше число включенных терминов, тем выше точность результата. Количество используемых терминов будет зависеть от требуемой точности и доступных вычислительных ресурсов. Часто упоминаемый бесконечный ряд для функции котангенса выглядит следующим образом:

    cot ( x )  =   1   —   1 x   —   1 x 3   —   2 x 5   — 1 x 7   —  · · · ·
    x 3 45 945 4725

    History of Trigonometry — Part 3

     

    Это третья из трех статей по истории тригонометрии.

     

    Часть 2 (разделы 5–7) можно найти здесь. Часть 1 (разделы 1-4) можно найти здесь.

    8. Арабы собирают знания из известного мира

    Арабская цивилизация традиционно отмечает свое начало с 622 года н.э., когда Мухаммед, которому угрожали убийством, бежал из Мекки в Медину, где Мухаммед и его последователи нашли безопасность и уважение. Спустя столетие арабы зарекомендовали себя как мощная объединенная сила на обширных территориях Ближнего Востока и Ближнего Востока.0943 Абу Джафар Аль-Мансур переехал из Дамаска, чтобы основать город Багдад в период с 762 по 766 год. Аль-Мансур послал своих эмиссаров для поиска и сбора знаний. В Китае они научились производить бумагу и, используя этот новый навык, начали программу перевода текстов по математике, астрономии, естественным наукам и философии на арабский язык. Эту работу продолжили его преемники, Халифы Мохаммад Аль-Махди и Харун Аль-Рашид . Стремление к знаниям стало прочной и важной частью арабской культуры.

     

    Аль-Мансур основал научную академию, которая стала называться «Дом Мудрости». Эта академия привлекала в Багдад ученых из разных стран и религий для совместной работы и установления традиций арабской науки, которые должны были продолжаться и в средние века. Некоторые из этих работ были позднее переведены средневековыми учеными на латынь и переданы в Европу. господство Багдада и влияние арабского мира продлится следующие 500 лет.

     

    Ученые Дома Мудрости представляли многие культуры и переводили работы египетских, вавилонских, греческих, индийских и китайских астрономов и математиков. Математический трактат Птолемея был одним из первых, переведенных с греческого на арабский г. Исхаком бен Хунайном г. (830-910). Он вызывал восхищение своим обширным содержанием и стал известен по-арабски Аль-Мегисте (Великая Книга). Название « Альмагест » сохранилось и по сей день, и оно признано как великим синтезом, так и кульминацией математической астрономии древнегреческого мира. Она была переведена на арабский язык не менее пяти раз и легла в основу математической астрономии. в исламском мире.

     

    9. Индия: синус, косинус и версинус

    Греческая астрономия стала известна в Индии в период 300-400 гг. н.э. Однако индийские астрономы уже давно использовали планетарные данные и методы расчета от вавилонян, и хотя это было намного позже того, как Птолемей написал Альмагест, индийские астрономы 4-го века не полностью переняли греческую планетарную теорию. Древние работы, такие как «Панча-сиддхантика » (теперь утеряны), которые были переданы через версию Врахамихиры [см. Часть 1, раздел 3] и 9 Арьябхаты.0943 г. Арьябхатия г. (499 г. н.э.) продемонстрировал, что у индийских ученых были свои собственные способы решения астрономических проблем и что они обладали большими навыками в [См. примечание 1 ниже]

     

    Даже в самых старых индийских текстах аккорд [чтобы напомнить себе об аккордах, см. раздел о Клавдии Птолемее в предыдущей статье] не используется, и вместо этого появляются некоторые очень ранние версии тригонометрических таблиц с помощью синусов. \circ45’$ дуги.

     

    На этой диаграмме $SB$ — это дуга угла $\theta$, а $AS$ — это джия . Таким образом, отношение между джия и нашим синусом таково:

    $$ джия (\тета)=R\sin\тета$$

    , где $R$ — радиус окружности.

     

    Во многих индийских синусоидальных таблицах используется $R = 3438$, что является результатом, если длина окружности равна 360 $ х 60 $ или 21 600 $ минут. [См. примечание 2 ниже]

     

    К V веку были определены и использованы еще две функции. Длина $EA$ называлась котиджйа (наш косинус), а АБ назывался уткрама-джйа (наш версинус). Иногда это называлось sama , что означает «стрела», или sagitta на латыни

     

    Функция версинуса для радиуса окружности $R$: $\mbox{vers }\theta = R — \cos\ theta $ [см. Примечание 3 ниже]

     

    В работе Арьябхаты он использует $R = 3438$ и взял это значение для расчета своей таблицы синусов. Это стало стандартом для более поздних работ. Сравнение с синусами Вархамихиры (в шестидесятеричных числах) и таблицей Гиппарха (в длинах хорд) предполагает возможную передачу по крайней мере некоторых греческих произведений индусам. Однако у нас нет возможности узнать это наверняка, и это вполне возможно, что индусы рассчитывали свои значения самостоятельно. 9\circ$.

    10. Тригонометрия в арабской цивилизации

    Введение и развитие тригонометрии в самостоятельную науку в арабской цивилизации заняло в общей сложности около 400 лет. В начале 770-х годов индийские астрономические работы достигли C aliph Al-Mansur в Багдаде и были переведены как Zij al-Sindhind , и это ввело индийские методы расчета в Ислам.

     

    Известный своей книгой по алгебре, Абу Джафар Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (см. «Развитие алгебры, часть 1») также написал книгу об индийских методах расчета ( al-hisab al-hindi ) и выпустил улучшенную версию Zij. аль-Синдхинд . Версия Аль-Хорезми Zij использовала синусы и версины и разработала процедуры для тангенсов и котангенсов для решения астрономических задач. Аль-Хорезми Zij копировался много раз, и его версии использовались в течение длительного времени.

     

    Многие работы на греческом, санскрите и сирийском языках были принесены учеными в Дом Мудрости Аль-Мансура и переведены. Среди них были работы Евклида, Архимеда Аполлония и, конечно же, Птолемея. Теперь у арабов было две конкурирующие версии астрономии, и вскоре победил Альмагест.

     

    Индийское использование синуса и связанных с ним функций было намного проще применять в расчетах, и шестидесятеричная система счисления от вавилонян продолжала использоваться, поэтому, за исключением этих двух изменений, ранние арабские версии Альмагеста остались верны к Птолемею. [См. примечание 5 ниже]

     

    Абу аль-Вафа аль-Бузджани (Абул Вафа 940-998) внес важный вклад как в геометрию, так и в арифметику и был первым, кто систематически изучал тригонометрические тождества. Изучение тождеств было важно, поскольку установление соотношений между суммами и разностями, а также дробями и кратными углами сделало астрономические вычисления более эффективными. можно было бы провести и составить более точные таблицы.

     

    Синус, версинус и косинус были разработаны в контексте астрономических задач, тогда как тангенс и котангенс были разработаны на основе изучения теней гномона. В своем Альмагесте Абул Вафа объединил их и впервые установил отношения между шестью фундаментальными тригонометрическими функциями. Он также использовал $R = 1$ для радиус основной окружности.

     

    Из этих соотношений Абул Вафа смог продемонстрировать ряд новых тождеств, используя эти новые функции: 92 \theta$$

     

    Абул Вафа также разработал методы расчета тригонометрических таблиц с помощью усовершенствованной техники разности для получения значений с точностью до $5$ шестидесятеричных ($8$ десятичных) разрядов.

     

    Греческие астрономы уже давно представили модель Вселенной со звездами внутри огромной сферы. Они также работали со сферическими треугольниками, но Абул Вафа был первым арабским астрономом, который разработал способы измерения расстояния между звездами, используя свою новую систему тригонометрических функций, включая версину.

     

    На диаграмме выше синий треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$ представляет расстояния между звездами внутри сферы. Вершина, где отмечены три угла $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, является положением наблюдателя. Синие кривые — это большие круги на сфере, и, измеряя углы, находя более точные значения их функций и принимая значение для $R$ радиус сферы, стало возможным найти расстояния по большому кругу между звездами.

    Гениальным применением теоремы Менелая [см. Историю тригонометрии, часть 2] с использованием особых случаев больших кругов с двумя прямыми углами Абул Вафа показал, как теорему можно применить к сферическим треугольникам. Это был значительный прогресс в сферической тригонометрии, позволивший рассчитать правильное направление для молитвы. (кибла) и должен был иметь важные применения в навигации и картографии.

    Лунный кратер Абул-Вафа назван в честь его работы в области астрономии.

     

    Абу ар-Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Бируни (973–1050) был выдающимся ученым, автором более 100 трактатов по астрономии, естественным наукам, математике, географии, истории, геодезии и философии. В настоящее время сохранилось всего около двадцати из этих работ, и только около дюжины из них были опубликованы.

    Трактат аль-Бируни, озаглавленный «Макалид ильм аль-хайа» («Ключи к науке астрономии»), насчитывал более тысячи страниц и содержал обширные разработки по тригонометрии. Среди многих теорем он произвел демонстрацию формулы тангенса, показанную ниже.

     

    Из диаграммы $O$ — центр полукруга, а $AED$ — прямоугольный треугольник с перпендикуляром из $E$ в $C$.

    Следовательно, треугольники $AEC$ и $EDC$ подобны.

    Угол $EOD$ в два раза больше угла $EAD$, а углы $EAC$ и $DEC$ равны.

    Если радиус окружности $R =1$, то $EC = \sin\theta$ и $OC = \cos\theta$

    $$\mbox{So }\tan\left(\frac{\ theta}{2}\right)=\frac{EC}{AC}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \mbox{ . . . а также . . . } \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{DC}{EC}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$

    Отсюда он вывел формулы половинного угла и кратного угла. [См. примечание 6 ниже]

     

    В то время как открывались многие новые аспекты тригонометрии, хорда, синус, версинус и косинус были разработаны при исследовании астрономических задач и воспринимались как свойства углов в центре небесного тела. сфера. Напротив, свойства тангенса и котангенса были получены из измерения теней гномона и проблем определения времени.

     

     

     

    В своей демаркации координат городов он использовал сферические треугольники для нахождения координат городов и других мест, чтобы установить местный меридиан ( кибла ) и таким образом найти правильное направление Мекки и в своем Исчерпывающем трактате о тенях он показал, как использовать gnomons [см. Краткую историю измерения времени] для определения времени суток.

     

    Абу Мухаммад Джабир ибн Афлах (Джабир ибн Афла ок. 1100–1160), вероятно, работал в Севилье в первой половине 12 века. Его работа считается важной в передаче знаний в Европу. Джабир ибн Афла считался ярым критиком астрономии Птолемея. Его трактат способствовал распространению тригонометрии в Европе в 13 веке, а его теоремы использовались астрономами, составившими влиятельную книгу Libro del Cuadrante Sennero (Книга синусоидального квадранта) под покровительством короля Кастилии Альфонсо X Мудрого (1221–1284).

     

    Результатом этого проекта стало создание гораздо более точных астрономических таблиц для расчета положения Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звезд, называемых Альфонсовыми таблицами, сделанными в Толедо где-то между 1252 и 1270 годами. были таблицами, которые Колумб использовал для плавания в Новый Свет, и они оставались самыми точными таблицами до 16 века.

    К концу 10 века тригонометрия заняла важное место в астрономических текстах с главами, посвященными синусам и хордам, теням (тангенсам и котангенсам) и формулам для сферических вычислений. Был также значительный интерес к разрешению плоских треугольников. Но совершенно новый вид работы на Насир ад-Дин ат-Туси (Ат-Туси 1201-1274) под названием «Кашф аль-кина ‘ан асрар шакл аль-катта » («Трактат о секретах фигуры сектора») был первым самостоятельным рассмотрением тригонометрии как полноценного предмета, помимо астрономии. Работа содержала систематическое обсуждение применения пропорциональных рассуждений к решению плоских и сферических треугольников, а также тщательное рассмотрение формулы решения треугольников и тригонометрические тождества. Аль-Туси первоначально писал на персидском языке, но позже написал арабскую версию. Единственная сохранившаяся персидская версия его работы находится в Бодлианской библиотеке в Оксфорде.

     

    Это была коллекция и значительное улучшение предыдущих знаний. Книги I, II и IV содержат части «Начал», «Альмагеста» и ряда других греческих источников. Книга III посвящена основам геометрии сферических треугольников и разрешению плоских треугольников с помощью теоремы синусов:

     

    $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\ frac{c}{\sin C}$$

    Книга V содержит основные главы по тригонометрии, посвященные прямоугольным треугольникам и шести фундаментальным соотношениям, эквивалентным тем, которые мы используем сегодня; синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Он привел много новых доказательств и показал, как их можно использовать для более легкого решения многих задач.

    Аль-Туси изобрел новую геометрическую технику, которая теперь называется «пара Аль-Туси», которая генерирует линейное движение из суммы двух круговых движений. Он использовал эту технику, чтобы заменить эквант, используемый Птолемеем, и это устройство позже использовалось Коперником в его гелиоцентрической модели Вселенной.
    11. Арабская наука и техника достигают Европы установлен в Индии и Китае. Благодаря этим контактам индийский буддизм распространился в Китай и прочно утвердился к III веку до н. астрономия. Однако мало, если таковые вообще были, технологические инновации перешли из Китая в Индию или Аравию.

     

    К 790 г. н.э. Арабская империя достигла своего наивысшего расширения в Европе, завоевав большую часть Пиренейского полуострова, область, которую арабы называли Аль-Андалус . [См. примечание 7 ниже]

     

     

    В то время в Иберии сосуществовали многие религии и расы, каждая из которых вносила свой вклад в культуру. Мусульманская религия в целом была очень терпимой по отношению к другим, и грамотность в исламской Иберии была более распространена, чем в любой другой стране Западной Европы. Говорят, что к 10 веку в Кордове были такие же хорошие библиотеки и учебные заведения, как и в Багдаде, а также в городах Кордова и Толедо стал центром процветающего переводческого бизнеса.

     

    Между 1095 и 1291 годами христиане Европы предприняли серию религиозно вдохновленных военных крестовых походов против Арабской империи. Основной причиной было восстановление христианского контроля над Святой Землей, но было и много других политических и экономических причин. [См. примечание 8 ниже]

     

    Во всей этой суматохе и конфликтах были периоды затишья и центры стабильности, где могли встречаться ученые всех культур и знания развивались, переводились и передавались в Западную Европу. Тремя основными путями, по которым греческая и арабская наука стала известна, были Константинополь (ныне Стамбул), Сицилия и Испания. Греческие тексты стали известны европейским монахам и ученые, которые путешествовали с армиями через Константинополь по пути на юг, в Святую Землю. Эти люди выучили греческий язык и смогли перевести классические произведения на латынь. Из Сицилии арабы торговали с Италией, и переводы происходили там, но, вероятно, основной путь, по которому арабская наука достигла Европы, пролегал из переводческих домов Толедо и Кордовы через Пиренеи. на юго-запад Франции.

     

    В двенадцатом и тринадцатом веках сотни произведений из арабских, греческих и еврейских источников были переведены на латынь, и новые знания постепенно распространились по всей христианской Европе.

     

    Геометрические знания в раннесредневековой Европе были очень практичным предметом. Он касался площадей, высот, объемов и расчетов с дробями для измерения полей и строительства больших усадеб, церквей, замков и соборов.

     

    Хью Сен-Викторский (1078-1141) в своей книге Practica Geometriae делит материал на Theorica (то, что знает и практикует учитель) и Practica (то, что делает строитель или каменщик). Теоретическая геометрия в евклидовом смысле была практически неизвестна до тех пор, пока на Западе не появились первые переводы Евклида.

     

    Астролябия обычно использовалась для измерения высоты с помощью «лекарства» (визирного инструмента, закрепленного в центре круга) и теневого квадрата, выгравированного в центре инструмента, а затем сравнивая подобные треугольники. Горизонтальное расстояние от центра астролябии до края квадрата было отмечено двенадцатью равными делениями.

    Эта система использовалась хорошо в 16 -м веке, как показано на иллюстрации ниже:

    Это из Томаса Дигджеса Пантометрия из 1571. То же самое все еще. используется, но квадрат в квадранте отмечен шестью делениями.

     

    Популярный текст двенадцатого века, Artis Cuiuslibet Consummatio , показывает постепенное внедрение более технических знаний, где измерение высоты (альтиметрия) было гораздо больше связано с астрономией, показывая, как строить гномоны и теневые квадраты. Постепенно переводы, сделанные на европейском континенте, пришли в Англию.

     

    Ричард Валлингфордский (1292-1336)

     

    Поступив в Оксфордский университет примерно в 1308 году, Ричард вступил в монашескую жизнь в церкви Святого Олбана в 1316 году. После рукоположения в священники аббат отправил его обратно в Оксфорд, где он учился девять лет. В 1327 году он стал аббатом Сент-Олбанса.

     

    Ат-Туси был одним из величайших ученых средневекового ислама и написал около 150 работ, начиная от астрономии, математики и естественных наук до философии и поэзии.  
    Ранняя работа Ричарда представляла собой серию инструкций (канонов) по использованию астрономических таблиц, составленных Джоном Модитом, астрономом из Мертон-колледжа. Позже он написал важную работу Quadripartitum об основах тригонометрии, необходимой для решения задач сферической астрономии. Первая часть этой работы представляет собой теорию тригонометрических тождеств. считается основой для вычисления синусов, косинусов, аккордов и стиховых синусов. Следующие две части Quadripartitum посвящены систематическому и строгому изложению теоремы Менелая. Работа заканчивается применением этих принципов к астрономии. Основными источниками работы, по-видимому, являются «Альмагест» Птолемея и работы Табита ибн Курры (826–829 гг.).01 г. н.э.).

     

    Quadripartitum был, вероятно, первым всеобъемлющим средневековым трактатом по тригонометрии, написанным в Европе, по крайней мере, за пределами Испании и ислама. Когда Ричард был аббатом Сент-Олбанса, он пересмотрел работу, приняв во внимание Флореса года Джабира ибн Афла года.

     

    В период с 1326 по 1327 год Ричард также разработал вычислительное устройство, названное экваториальным , сложной зубчатой ​​астролябией с четырьмя гранями. Он описал, как это можно использовать для расчета лунной, солнечной и планетарной долготы и, таким образом, предсказания затмений в его Трактат Альбионис . Возможно, это привело к его замыслу астрономические часы, описанные в его Tractatus Horologii Asronomici (Трактат об астрономических часах) 1327 года, которые были самым сложным часовым механизмом, известным в то время. Механизм состоял из вращающейся звездной карты, которая моделировала лунное затмение и планеты с помощью зубчатой ​​передачи, представленной как геоцентрическая модель. Он появился в переходный период в часовом дизайне, незадолго до появления спуска. Это делает их одними из первых настоящих часов и, конечно же, одной из первых автономных моделей небес. К сожалению, он был разрушен во время реформации Генриха VIII при роспуске монастыря Сент-Олбанс в 1539 году..

     

    Георг фон Пейербах (1423-1461)

    Работа Пейербаха помогла проложить путь коперниканской концепции миросистемы; он создал новую теорию планет, сделал более точные расчеты затмений и движений планет и ввел использование синуса в свою тригонометрию.

     

    Его ранняя работа, Tabulae Eclipsium, распространенная в рукописи, не публиковалась до 1514 года, содержала таблицы его расчетов затмений, основанные на таблицах Альфонса. Он вычислил синусы для каждой угловой минуты для радиуса 600 000 единиц и ввел в свои таблицы индийско-арабские цифры. [См. примечание 9.ниже]

     

    Theoricae Novae Planetarum Пейербаха (Новые теории планет) была составлена ​​около 1454 г. и опубликована в 1473 г. типографией Региомонтана в Нюрнберге. В то время как книга была связана с попыткой технического решения теорий Евдокса и Птолемея, Пейербах утверждал, что движение планет определяется Солнцем, и это рассматривается как шаг к теории Коперника. Эту книгу читали Коперник, Галилей и Кеплер, и она стала стандартным астрономическим текстом вплоть до семнадцатого века.

     

     

    В 1460 году он начал работу над новым переводом Альмагеста Птолемея, но до своей смерти в 1461 году он закончил только шесть из запланированных тринадцати книг.

     

    Региомонтан стал учеником Пейербаха в Венском университете в 1450 году. Позже он вместе с Пейербахом взялся исправить ошибки, найденные в Альфонсовых таблицах. У него был печатный станок, где он производил таблицы синусов и тангенсов, а также продолжил нововведение Пуэрбаха в использовании индийско-арабских цифр.
    Как и обещал, он закончил «Воспроизведение Альмагеста» Пейербаха, которое он завершил в 1462 году и которое было напечатано в Венеции. «Эптом» был не просто переводом, в нем были добавлены новые наблюдения, пересмотрены расчеты и сделаны критические комментарии к работе Птолемея.

    Понимая, что существует необходимость в систематическом изложении тригонометрии, Региомонтан начал свою основную работу, De Triangulis Omnimodis (О треугольниках всех видов) 1464. В своем предисловии к «Чтецу» он говорит:

    «Ибо никто не может обойти науку о треугольниках и достичь удовлетворительного знания о звездах . … Вы, кто желает изучать великие и чудесные вещи, кто интересуется движением звезд, должны прочитать эти теоремы о треугольниках. Знание этих идей откроет дверь ко всей астрономии и к некоторым геометрическим проблемам. преобразованы в треугольники, оставшиеся вопросы астрономии требуют этих книг». [См. примечание 10 ниже]

    Первая книга дает основные определения количества, отношения, равенства, окружности, дуги, хорды и функции синуса. Далее идет список аксиом, которые он примет, а затем $33$ теорем для прямоугольных, равнобедренных и разносторонних треугольников. Дана формула площади треугольника, а затем правило синусов с примерами его применения. Книги с III по V охватывают важнейшую теорию сферических тригонометрия. Вся книга организована в стиле Евклида с утверждениями и теоремами, изложенными в логической иерархии. Эта работа, опубликованная в 1533 году, имела для Коперника большую ценность.

    Региомонтан также построил первую астрономическую обсерваторию в Германии в Нюрнберге с мастерской, где он изготавливал астрономические инструменты. Он также провел наблюдения за кометой в 1472 году, которые были достаточно точными, чтобы позволить идентифицировать ее как комету Галлея, которая снова появилась 210 лет спустя.

    Региомонтан умер во время вспышки чумы в Риме в 1476 году.

    12. Заключительная глава: Тригонометрия меняет мировую систему

    Николай Коперник (1473 — 1543)

    Коперник написал краткий план предложенной им системы под названием Commentariolus , который он разослал друзьям где-то между 1510 и 1514 годами. К этому времени он использовал наблюдения за планетой Меркурий и таблицы Альфонсов, чтобы убедить себя, что он может объяснить движение Земли как одной из планет. В рукописи произведения Коперника есть выжил, и считается, что к 1530-м годам большая часть его работы была завершена, но он отложил публикацию книги.

    Его ученик Ретикус прочитал рукопись, сделал краткое изложение теории Коперника и опубликовал его как Narratio Prima (Первое сообщение) в 1540 году. Поскольку казалось, что Narratio был хорошо принят коллегами , Коперника уговорили опубликовать больше своих основных работ, и в 1542 г. сферическая тригонометрия как De Lateribus et angulis traingulorum (О сторонах и углах треугольников). По убеждению Ретикуса и других, он в конце концов согласился опубликовать всю работу, De Revolutionibus Orbium Coelestium (Обороты небесных сфер) и посвятил его Папе Павлу III. Оно появилось незадолго до Смерть Коперника в 1543 году. [См. Примечание 11 ниже]

    Георг Иоахим фон Лаухен по прозвищу Ретикус (1514-1574)

    Ретикус способствовал публикации работы Коперника и ясно понимал основные принципы новой планетарной теории.

    В 1551 году с помощью шести помощников Ретикус пересчитал и составил Opus Palatinum de Triangulis (Канон науки о треугольниках), который стал первой публикацией таблиц всех шести тригонометрических функций. Это должно было стать введением в его величайшую работу «Наука треугольников».

    Когда он умер, его работа еще не была закончена, но, как и у Коперника, у Ретикуса появился ученик, Валентин Отон, который руководил вычислением (вручную) около ста тысяч отношений по меньшей мере до десяти знаков после запятой, заполняющих около 1500 страниц. Окончательно это было завершено в 1596 году. Эти таблицы были достаточно точными, чтобы их можно было использовать в качестве основы для астрономических расчетов вплоть до начала 20-го века. век.

     
    Варфоломей Питискус (1561 — 1613)
    Термин тригонометрия принадлежит Питискусу и впервые появился в его книге Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus , опубликованной в 1595 году. радиусы частей 100000 (Канон треугольников, или таблицы синусов, тангенсов и секущих с радиусом 100 000 частей.) В книге показано, как строить синусы и другие таблицы, и представлен ряд теорем плоской и сферической тригонометрии с их доказательствами. [См. примечание 11 ниже] 9\circ$. Питиску было поручено исправить эти ошибки, и он получил рукописную копию работы Ретикуса. Многие результаты были пересчитаны, и новые страницы были напечатаны с учетом исправления. В конце концов Питискус опубликовал новую работу в 1613 году, включающую работу Ретикуса с таблицей синусов, рассчитанных до пятнадцати знаков после запятой, под названием Thesaurus Mathematicus .

    К началу семнадцатого века наука тригонометрия превратилась в сложную технику, используемую для расчета все более и более точных таблиц для использования в астрономии и навигации, и сыграла важную роль в коренном изменении представлений человека о своем мире.

     

    Размышления

    См. примечания к этой статье, чтобы прочитать некоторые мысли о ценности преподавания истории математики.

     

    Ссылки

    Авени, А, (1997) Лестница к звездам . Нью-Йорк и Чичестер Вили

    Наблюдение за небом в трех древних культурах: мегалитическая астрономия, майя и инки. Первая глава (почти треть книги) дает восхитительное и простое объяснение того, как много мы можем обнаружить невооруженным глазом.

    С четкими диаграммами и пояснениями это дает захватывающее представление о менее известных аспектах этих древних культур.

     

    Ван Браммелен, Г. (2009) Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Принстон, издательство Принстонского университета.

     

    Это первая крупная история раннего развития тригонометрии на английском языке. Обширное исследование Глена ван Браммлена показывает, как самые ранние действия в Египте и Вавилоне привели к математическим работам индусов и греков, которые арабы в течение примерно 400 лет развивали в сложную науку, отдельную от астрономии, прежде чем она была передана Западной Европе. астрономы и математики.

     

    Эванс, Дж. (1998) История и практика древней астрономии . Оксфорд.О.У.П.

     

    Начиная примерно с 700 г. до н.э. в этой книге подробно исследуется как практическая, так и теоретическая астрономия, разработанная египтянами, вавилонянами и греками, вплоть до 16 века с окончательным разрешением планетарной системы Коперником и Кеплером.

     

    Хьюз, Б. (1967) Региомонтан на треугольниках . Лондон, Университет Висконсина Press

     

    Это перевод с введением и примечаниями работы, завершенной в 1464 г., но опубликованной посмертно в 1533 г. De triangulis omnimodis (О треугольниках всех видов) Йохана Мюллера, известного как Региомонтан. В этом первом издании репродукции оригинальных латинских страниц стоят рядом с английскими переводами. Книга была написана главным образом как вклад в науку астрономию, но теперь мы признаем Региомонтана как первого европейского ученого, который относился к тригонометрии как к теоретической науке, излагая ряд логических положений и доказательств в стиле Евклида.

     

    Маор Э. (1998) Тригонометрические наслаждения . Принстон, издательство Принстонского университета.

     

    Эли Маор представляет подборку основных элементов тригонометрии и отчет о ее жизненно важном вкладе в астрономию, науку и общественное развитие. Интересные математические эпизоды для учащихся всех уровней, с примечаниями и ссылками для дальнейшего изучения.

     

    Рашед Р. (1996) (ред.) Энциклопедия истории арабской науки . Том 2.

    Этот том включает нумерацию и арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию. Лондон. Рутледж.

     

    Виктор С.К. (1979) Практическая геометрия в Средневековье : Artis Cuiuslibet Consummatio и Practike de Geometrie .

    Это перевод и критическое издание этих двух основных средневековых произведений. Филадельфия. Американское философское общество

     

    Бендер, Д. (1998) «Предложение по бою часов Уоллингфорд». Антикварное часовое искусство 24, 2 1998a (134-140).

    «Предложение по механизму затмения для Уоллингфордских часов.» Antiquarian Horology 24, 3 1998b (217-224)

    Увлекательное описание «детективных поисков» одного человека, направленных на то, чтобы понять описание Ричардом Валлингфордом работы его удивительного устройства.

     

    Веб-ссылки

     

    Веб-сайт Mactutor с биографиями математиков и специальным разделом по тригонометрии http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/

     

    Объект мусульманского наследия очень интересен. Это ценный источник информации о «1000 лет утерянной истории с 600 по 1600 год». Вы можете найти большое количество биографий мусульманских ученых прошлого, хронологию событий и многое другое. http://www.muslimheritage.com

    Часы Уоллингфорда http://www.wallingfordclock.talktalk.net Вот общее описание и объяснение различных механизмов реконструкции часов. Некоторые разделы этого сайта могут не работать.

     

    Существует множество специализированных веб-сайтов, на которых можно получить информацию. Если вы «загуглите» свой запрос и воспользуетесь опцией Википедии, вы обычно можете получить достаточно надежные результаты и идеи для дополнительных поисков, если вам нужно искать дальше.

     

    Примечания

    1. См. часть 1, раздел 3, посвященный Сульбасутрам.

    2. См. примечание 4 в части 1.

    Использование заглавной буквы S в слове Sine показывает, что радиус используемого круга не равен единице и не равен $\sin\theta$ в нашей системе, а может быть произвольной длины R. Это означает, что Sin $\theta$ равно R sin$\theta$ . В индийских текстах разные астрономы принимали разные значения R, и в большинстве случаев значение приходилось выводить из контекста. 9\circ$). Положительный логарифм был необходим, когда расчеты должны были выполняться с использованием таблиц. Наиболее важное использование было в навигации для расчета расстояния между двумя точками на сфере. Перпендикулярное расстояние от середина хорды кривой до сих пор используется как мера «отклонения от прямолинейности», например, инженерами-железнодорожниками. Он также используется в оптике для измерения кривизны линз и зеркал, где версину иногда называют сагиттой от латинского слова «стрела». 92 + с$. Регулируя значения $a$ и $c$, можно получить кривую «наилучшего соответствия» внутри синусоиды. Вы можете получить удивительно хорошую подгонку для $0 < x < \pi$.

    5. Индуистское слово jiya для обозначения синуса было принято арабами, которые называли синус jiba . В конце концов jiba стало jaib , и это слово на самом деле означало «складка». Когда европейцы переводили арабские произведения на латынь, они переводили jaib в слово 9.2}\mbox{ и т.д.}$$

     

    7. Максимальная площадь, занятая арабами, составляла большую часть Испании и Португалии, за исключением королевства Астурия на севере и части Франции, называемой теперь Лангедоком. .

     

    8. Святая земля со столицей в Иерусалиме примерно состояла из того, что сейчас называется Израилем и Палестиной. Было много других причин для крестовых походов; потеря власти и территории старых христианских империй, растущая проблема работорговли, которой управляли арабы, и, принимая участие в этих кампаниях, некоторые христианские королевства думали, что они могут получить политическое преимущество над своими соперники.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта