Решить системы линейных уравнений методом крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений возможны три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система непротиворечивая и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместная)

Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, которая имеет только одно решение, называется определенным , а более одного неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть система

.

На основе теоремы Крамера

………….
,

где
—

системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой столбца коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:

Пример 2

.

Следовательно, система определена. Для ее решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Начало страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам поиска общих свойств каких-либо явлений или объектов. То есть вы изобрели какой-либо новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, необходимо решить систему линейных уравнений, где вместо каких-то коэффициентов при переменных стоит являются письма. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Нахождение определителей при неизвестных

В первой части мы рассмотрели некоторый теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы . Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, посеместровым сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как применить правило Крамера к более сложному случаю – системам из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще два определителя:
И

На практике указанные выше определители можно обозначать и латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения(пример окончания и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» выстрелом, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системного матричного метода.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Метод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, в то время как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце популярные решения СЛАУ . Кроме того, в ряде случаев целесообразно использовать специфические методы. Сессия подошла к концу, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня мы займемся решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений по методу Крамера — очень полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Линейная система алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, а А б — реальные коэффициенты. Простую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме или выразить одну переменную через другую. Но переменных (x) в СЛАУ может быть гораздо больше, чем две, и здесь не обойтись без простых школьных манипуляций. Что делать? Например, решить СЛАУ методом Крамера!

Пусть система будет n уравнений с n неизвестно.

Такую систему можно переписать в матричной форме

Здесь A — основная матрица системы, X А Б соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Раствор СЛАЭ по Крамеру

Если определитель основной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), то система может быть решена методом Крамера.

По методу Крамера решение находится по формулам:

Здесь дельта — определитель основной матрицы, а дельта х n-й — определитель, полученный из определителя основной матрицы заменой n-го столбца столбцом свободных членов.

В этом весь смысл метода Крамера. Подставляя найденные значения по приведенным выше формулам х в нужную систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы помочь вам быстро вникнуть в суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного потренировавшись, вы начнете щелкать SLOW, как орехи. Более того, теперь совершенно не нужно корпеть над тетрадью, решая громоздкие вычисления и записывая на стержне. СЛАУ методом Крамера легко решить онлайн, просто подставив коэффициенты в готовую форму. Вы можете попробовать онлайн-калькулятор решения метода Крамера, например, на этом сайте.

А если система оказалась упрямой и не сдается, вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, купить синопсис. Если в системе будет хотя бы 100 неизвестных, мы обязательно решим ее правильно и точно в срок!

В нашем калькуляторе вы найдете бесплатно решение системы линейных уравнений по методу Крамера онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами. Каждый определитель, используемый в расчетах, можно посмотреть отдельно, а также можно проверить точный вид системы уравнений, если вдруг определитель основной матрицы оказался нулевым.

Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн-калькулятором, вы можете прочитать в инструкции.

О методе

При решении системы линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие действия.

1. Запишем расширенную матрицу.
2. Находим определитель основной (квадратной) матрицы.
3. Чтобы найти i-й корень, подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-е место и находим его определитель. Далее находим отношение полученного определителя к основному, это и есть следующее решение. Мы выполняем эту операцию для каждой переменной.
4. Если главный определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное число решений. К сожалению, метод Крамера не дает более точного ответа на этот вопрос. Здесь вам помогут

Решить системы линейных алгебраических уравнений (Слау)

В первой части мы рассмотрели некоторый теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, посеместровым сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример изящного оформления и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видим, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» выстрелом, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системного матричного метода.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Метод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько число независимых переменных, т. е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратичными. Определитель, составленный из коэффициентов независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой Д. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный ( j -й) столбец заменить его столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

( j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Решите систему уравнений методом Крамера

.

Вычислим главный определитель системы:

Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1. 8):

Таким образом,

Действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить все ее элементы на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Эта операция вводится только для матриц одного порядка.

Для сложения двух матриц необходимо сложить соответствующие элементы другой матрицы с элементами одной матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Если количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения: m ´ n в матрицу AT размеры n ´ k получаем матрицу С размеры м ´ к . При этом элементы матрицы ИЗ вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найдите, если возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Работа BA не существует, так как количество столбцов матрицы B не соответствует количеству строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица А- 1 называется обратной квадратной матрицей А , если выполняется равенство:

где через I обозначена единичная матрица того же порядка, что и матрица НО :

.

Чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица находится по формуле:

, (1.13)

где А ij — алгебраические дополнения к элементам aij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующие столбцы).

Пример 1.9. Найдите обратную матрицу A- 1 к матрице

.

Находим обратную матрицу по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | А | = 1 х 3 х 8 + 2 х 5 х 3 + 2 х 4 х 3 — 3 х 3 х 3 — 1 х 5 х 4 — 2 х 2 х 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найти алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы мы разместили алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы в соответствующих столбцах.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на А- 1 , получаем решение системы:

, где

Таким образом, чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Раствор. Запишем систему в матричной форме: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то и главная матрица системы А имеет обратную матрицу А -одна. Чтобы найти обратную матрицу А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений с помощью обыкновенных жордановых исключений

Пусть задана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение задачи системы, т. е. такой набор переменных, который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесконечное число решений. Она также может вообще не иметь решений.

При решении подобных задач в известном школьном курсе используется метод исключения неизвестных, который также называют методом обычного жорданового исключения. Суть этого метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого была выражена переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в истинные тождества. Такие уравнения исключаются из системы, так как они справедливы при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например, ), то делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения несовместных уравнений не возникло, то одна из оставшихся в ней переменных находится из последнего уравнения. Если в последнем уравнении остается только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении останутся другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем делается так называемый «обратный ход». Найденная переменная подставляется в последнее запомненное уравнение и находится вторая переменная. Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее запоминаемое уравнение и находится третья переменная, и так до первого запоминаемого уравнения.

В результате получаем решение системы. Это решение будет единственным, если найденные переменные являются числами. Если первая найденная переменная, а затем и все остальные зависят от параметров, то система будет иметь бесконечное число решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от определенного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

Запомнив первое уравнение и подставив во второе и третье уравнения одинаковые члены, придем к системе: первое уравнение:

Вспомним второе уравнение и из первого найдем z :

Делая обратный ход, последовательно находим y и з . Для этого сначала подставляем в последнее запомненное уравнение , из которого находим y :

.

Затем подставляем и в первое запомненное уравнение откуда находим х :

Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе и третье уравнения:

.

Запомните первое уравнение

В этой системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получаем, что 14 = 17. Это равенство не выполняется при любых значениях переменных х , y и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т. е. не имеет решения.

Читателям предлагается самостоятельно проверить равенство нулю главного определителя исходной системы (1.17).

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) только одним свободным членом.

Задача 1.13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе и третье уравнения:

.

Вспомните первое уравнение, и мы представим аналогичные члены во втором и третьем уравнениях. Приходим к системе:

выразив y из первого уравнения и подставив его во второе уравнение , получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а, следовательно, его можно исключить из системы.

В последнем запомненном равенстве в качестве параметра будет рассматриваться переменная z . Мы верим. Затем

Подставляем х и z в первое запомненное равенство и находим х :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесконечное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19) при выборе произвольного значения параметра t :

(1.19)
Таким образом, решения системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений кажется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы за один шаг в общем виде и формализовать решение задачи в виде специальных таблиц Жордана.

Пусть задана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, aij — постоянные коэффициенты …, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i ( i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решения этой системы путем исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, именуемую в дальнейшем «один шаг обычных жордановых исключений». Из произвольного ( r -го) равенства выразим произвольную переменную ( x s ) и подставим во все остальные равенства. Конечно, это возможно только в том случае, если при ¹ 0. Коэффициент при называется разрешающим (иногда ведущим или основным) элементом.

Получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S Строка th запоминается и впоследствии исключается из системы. Оставшаяся система будет содержать одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет иметь вид:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

( 1.23)
Теперь вычислим новые коэффициенты b ij ( i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим переменную, выраженную в (1.22), x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов получаем:

(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений представлено в виде таблиц (матриц). Эти таблицы называются «таблицами Иордании».

Таким образом, задаче (1.20) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	х	…	х с	…	х
г 1 =	и 11	и 12		а 1 й		а 1 с		а 1 п
…………………………………………………………………. .
у я =	и 1	и 2		ай		а есть		а в
…………………………………………………………………..
г р =	1	2		рж		а рс		а р-н
………………………………………………………………….
д н =	1	а м 2		а мдж		мс		утра

Таблица Жордана 1.1 содержит левый головной столбец, в котором записаны правые части системы (1.20), и верхнюю головную строку, в которой записаны независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1. 20). Если умножить матрицу А на матрицу, состоящую из элементов верхней строки заголовка, то мы получим матрицу, состоящую из элементов левого заголовка строки. То есть, по сути, таблица Жордана представляет собой матричную форму записи системы линейных уравнений: . В этом случае системе (1.21) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	х	…	г р	…	х
г 1 =	б 11	б 12		б 1 к		б 1 с		б 1 п
…………………………………………………………………..
г я =	б и 1	б и 2		б идж		б это		б в
…………………………………………………………………. .
х с =	бр 1	бр 2		б рж		брс		б р-н
………………………………………………………………….
д н =	б м 1	б м 2		БМЖ		б мс		бмн

Разрешающий элемент a rs выделим жирным шрифтом. Напомним, что для реализации одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть ненулевым. Строка таблицы, содержащая разрешающий элемент, называется разрешающей строкой. Столбец, содержащий элемент включения, называется столбцом включения. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная ( x s ) из верхней строки заголовка таблицы перемещается в левый столбец заголовка и, наоборот, один из свободных членов системы ( г. р. ) перемещается из левого столбца заголовка таблицы в верхнюю строку заголовка.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от таблицы Жордана (1.1) к таблице (1.2), который следует из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца равны разделен на активирующий элемент:

4. Элементы, не входящие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последнюю формулу легко запомнить, если заметить, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i -ой и -й -й строк и -й -й и -й -й столбцов (разрешающая строка, разрешающий столбец и строка и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно пользоваться следующей схемой:

Выполняя первый шаг жордановых исключений, любой элемент таблицы 1. 3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Вы должны не только выбрать разрешающий элемент в последнем столбце, так как нужно найти независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 с переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (активирующий элемент выделен жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней строки заголовка заменяется константой 0 из левого столбца заголовка (третья строка). При этом переменная х 3 выражается через остальные переменные.

string x 3 (таблица 1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Таблица 1.4 также исключает третий столбец с нулем в верхней строке заголовка. Дело в том, что вне зависимости от коэффициентов этого столбца b i 3 все соответствующие ему члены каждого уравнения 0 b i 3 системы будут равны нулю. Следовательно, эти коэффициенты не могут быть рассчитаны. Исключив одну переменную х 3 и вспомнив одно из уравнений, мы придем к системе, соответствующей табл. 1.4 (с перечеркнутой линией х 3). Выбрав в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, перейти к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: х 1 = — 3 + 2 х 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим оставшиеся переменные:

Таким образом, система имеет бесконечное число решений. переменная x 5 , вы можете назначать произвольные значения. Эта переменная действует как параметр x 5 = t. Мы доказали совместимость системы и нашли общее решение:

x 1 = — 3 + 2 t

x 2 = — 1 — 3 t

x x 3 = — 9 0 2 (1.27)
х 4 = 4 + 5 t

х 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получаем исходную систему решений бесконечного числа значений. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

Методы Kramer и Gaussian одно из самых популярных решений SLAU . Более того, в ряде случаев целесообразно использовать специфические методы. Сессия подошла к концу, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня мы займемся решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений по методу Крамера — очень полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Линейные системы алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, а и б — реальные коэффициенты. Простую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме или выразить одну переменную через другую. Но переменных (x) в СЛАУ может быть гораздо больше, чем две, и здесь не обойтись без простых школьных манипуляций. Что делать? Например, решить СЛАУ методом Крамера!

Пусть система будет n уравнений с n неизвестно.

Такую систему можно переписать в матричной форме

Здесь A — основная матрица системы, X и В соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Раствор СЛАЭ по Крамеру

Если определитель основной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), то система может быть решена методом Крамера.

По методу Крамера решение находится по формулам:

Здесь дельта — определитель основной матрицы, а дельта х n-й — определитель, полученный из определителя основной матрицы заменой n-го столбца столбцом свободных членов.

В этом весь смысл метода Крамера. Подставляя найденные значения по приведенным выше формулам х в нужную систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы вам было легче уловить суть, вот пример. подробное решение СЛАУ по методу Крамера:

Даже если у вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного потренировавшись, вы начнете щелкать SLOW, как орехи. Более того, теперь совершенно не нужно корпеть над тетрадью, решая громоздкие вычисления и записывая на стержне. СЛАУ методом Крамера легко решить онлайн, просто подставив коэффициенты в готовую форму. опробовать решения онлайн-калькулятора по методу Крамера можно, например, на этом сайте.

А если система оказалась упрямой и не сдается, вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, к . Если в системе будет хотя бы 100 неизвестных, мы обязательно решим ее правильно и точно в срок!

Метод Крамера или так называемое правило Крамера — это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть основная матрица, образованная из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определитель должен не быть нулем.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, и она имеет уникальное решение. Решение такой системы вычисляется с помощью так называемых формул Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующим образом:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, прежде всего вычислим главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении методом Крамера оказался равным нулю, то система не имеет единственного решения или имеет бесконечное число решений. В этом случае для нахождения общего или какого-то базового ответа для системы рекомендуется использовать метод Гаусса.
2. Затем необходимо заменить последний столбец основной матрицы на столбец свободных членов и вычислить определитель $D_1$.
3. Повторите то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер самого правого столбца.
4. После того, как все определители $D_1$…$D_n$ найдены, можно вычислить неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Методика вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы размерностью более 2 на 2 можно использовать несколько методов:

• Правило треугольников, или правило Сарруса, напоминающее то же правило. Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединенных на рисунке красной чертой справа, они записываются со знаком плюс, а все числа, соединенные аналогичным образом на рисунке на слева со знаком минус. Оба правила подходят для матриц 3×3. В случае правила Сарруса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней снова переписываются ее первый и второй столбцы. Через матрицу проводят диагонали и эти дополнительные столбцы, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записывают со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей, записывают со знаком минус.

Рис. 1. Правило треугольников для вычисления определителя по методу Крамера

• При использовании метода, известного как метод Гаусса, этот метод также иногда называют редукцией определителя. При этом матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя умножать или делить строки или столбцы на числа, не вынося их в качестве множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитание и сложение строк и столбцов друг к другу, предварительно умножив вычитаемую строку на ненулевой коэффициент. Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы следует помнить о необходимости смены конечного знака матрицы.
• При решении СЛАУ Крамера с 4 неизвестными лучше всего использовать метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или определить определитель через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера к системе из 2 уравнений и двух искомых величин:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end(cases)$

Для удобства отобразим в развернутом виде:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Найти определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если основной определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо вычислить еще пару определителей из двух матриц с заменой столбцов основной матрицы строкой свободных членов:

$D_1 = \begin(массив)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(массив) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(массив )(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдем неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$ x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3-го порядка (3 x 3) и тремя желаемые.

Решите систему уравнений:

$\begin(cases) 3x_1 — 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 — x_2 — x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Вычисляем главный определитель матрицы по приведенному выше правилу под номером 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) — 4 \cdot 4 \ cdot 2 — 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 — 8 -12 -32 — 6 + 6 = — $64

А теперь еще три определителя:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 — 4 \cdot 4 \cdot 10 — 9 \cdot (-2) \cdot (-1 ) — (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = — 84 — 40 — 36 — 160 — 18 + 42 = — $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 — 4 \cdot 9\cdot 2 — 21 \cdot 3 \cdot (-1) — 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(массив)(|ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + ( -2) \cdot 9 \cdot 2 — 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 — 63 — 36 — 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдем искомые значения:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = — 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \ frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Рассмотрим систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители третьего порядка, решение такой системы можно записать в том же виде виде как для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

, если 0. Здесь

Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение . Нахождение определителя главной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислить еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам

(2. 5)

, где  – определитель основной матрицы ,  я – определитель матрицы , производный от основного, замена i -й столбец свободные элементы столбец .

Обратите внимание, что если =0, то правило Крамера неприменимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. определители n-го порядка

Дополнительный минор M ij Элемент a ij называется определителем, полученным из данного вычеркиванием i -я строка и j -я колонка. Алгебраическое сложение A ij элемент a ij называется минором этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , то есть A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определитель

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения, мы можем сформулировать теорему разложения определителя n -го столбца порядка.

Теорема 2.1. Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) и их алгебраических дополнений:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т. н. метод сокращения заказа . В результате разложения определителя n -го порядка в любой строке или столбце получим n определителей ( n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать строку или столбец, в которых больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают так:

т.е. алгебраические дополнения записываются явно в терминах миноров.

Примеры 2.4. Вычислите определители, сначала разложив их в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будут отмечены стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разложив определитель по любой строке или столбцу, получим n определителей ( n –1)-го порядка. Тогда каждый из этих определителей ( n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей ( n – 2-й заказ. Продолжая этот процесс, можно добраться до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка — сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка — 24 слагаемых. Количество членов будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, не под силу даже компьютеру. Однако определители можно вычислить и другим способом, используя свойства определителей.

Собственность 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк, и наоборот.

Собственность 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Последствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

Собственность 3 . Общий делитель всех элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя .

Например,

Последствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Собственность 4 . Определитель не изменится, если элементы одной строки (столбца) прибавить к элементам другой строки (столбца), умноженным на некоторое число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными | Колледж Алгебра |

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратная матрица , чтобы определить, есть ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Общее примечание. Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

, заданной

A=[abcd]A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right]A=[ac​bd​]

определяется как

Рисунок 1

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, в том числе

det(A)\mathrm{det}\left(A\right)det(A)

и заменив скобки в матрице прямыми,

∣A∣|A|∣A∣

.

Пример 1. Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель данной матрицы.

A=[52−63]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right]A=[5−6​23​]

Решение

det(A)=∣52−63∣=5(3)−(−6)(2)=27\begin{массив}{l}\mathrm{det}\left(A\right)=|\ begin{массив}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{массив}|\qquad \\ =5\left(3\right)-\left(-6\right)\left(2\right)\ qquad \\ =27\qquad \end{массив}det(A)=∣5−6​23​∣=5(3)−(−6)(2)=27​

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курба. алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1} \left(1\right)\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\left(2\right)\end{массив}a1​x+b1 ​y=c1​(1)a2​x+b2​y=c2​(2)​

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, мы хотим найти

xxx

. Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный

yyy

в уравнении (1), уравнение (1) умножить на коэффициент

yyy

в уравнении (2), и мы добавим два уравнения, переменная

yyy

будет исключена.

b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1Умножить R_1 на b_2−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2Умножить R_2 на −b_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2}{gin{\textmaunder}}{gin 2}a\text{\textunderscore}{1}x+b\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}y=b\text{\textunderscore}{2}c\text{ \textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }b\text{\textunderscore}{2} \\-b\text{\textunderscore}{1 }a\text{\textunderscore}{2}xb\text{\textunderscore}{1}b\text{\textunderscore}{2}y=-b\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-b\text{\textunderscore}{2} \\ \text{——— —————} \\ b\text{\textunderscore}{2}a\text{\textunderscore}{1}xb\text{\textunderscore}{1}a\text {\ textunderscore} {2} x = -b \ text {\ textunderscore} {2} c \ text {\ textunderscore} {1} -b \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2 }\end{matrix}b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2 ​Умножить R_1 на b_2Умножить R_2 на −b_2

Теперь найдите

xxx

.

b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2x(b2a1−b1a2)=b2c1−b1c2 x=b2c1−b1c2b2a1−b1a2=[c1b1c2b2][a1b1a2b2]\begin{array}{l}{b}_{2}{a} _{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2 }\qquad \\ x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}\right)={b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }x=\frac{{b}_{2}{c}_{1}-{ b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}}=\frac{\ слева[\begin{массив}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right] }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{array} \right]}\qquad \end{массив}b2​a1​x−b1​a2​x=b2​c1​-b1​c2​x(b2​a1​-b1​a2​)=b2​c1​− b1​c2​ x=b2​a1​−b1​a2​b2​c1​−b1​c2​=[a1​a2​​b1​b2​][c1​c2​​b1​b2​]

Точно так же, чтобы решить для

yyy

, мы исключим

xxx

.

a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1Умножить R_1 на a_2−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2Умножить R_2 на −a_1———————a_2b_1y−a_1b_2ytrix=a_2c_under1−a_1c_2\begin } а \ текст {\ textunderscore} {1} х + а \ текст {\ textunderscore} {2} б \ текст {\ textunderscore} {1} у = а \ текст {\ textunderscore} {2} с \ текст {\ textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }a\text{\textunderscore}{2} \\-a\text{\textunderscore}{1} a \ text {\ textunderscore} {2} x-a \ text {\ textunderscore} {1} b \ text {\ textunderscore} {2} y = -a \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-a\text{\textunderscore}{1} \\ \text{——— ————-} \\ a\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}ya\text{\textunderscore}{1}b\text{ \textunderscore}{2}y=a\text{\textunderscore}{2}c\text{\textunderscore}{1}-a\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore}{2}\ конец{матрица}a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c_2​Mu умножить R_1 на a_2умножить R_2 на −a_1

Решение для

YYY

дает

A2B1Y -A1B2Y = A2C1 -A1C2Y (A2B1 -A1B2) = A2C1 — A1C2 Y = A2C1 -A1C2A2B1 -A1B2 = A1C2-A2C1A1B2A2A2B1 -A1B2 = A1C2-A2C1A1B1B1B1A2A2B1 -A1B1. }{l}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1} -{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ y\left({a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{ 2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }y=\frac{{a }_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1 }{b}_{2}}=\frac{{a}_{1}{c}_{2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1 }{b}_{2}-{a}_{2}{b}_{1}}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{ 1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1 }\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}\qquad \end{массив}a2​b1​y-a1​b2​y=a2​c1​-a1 ​c2​y(a2​b1​−a1​b2​)=a2​c1​−a1​c2​ y=a2​b1​−a1​b2​a2​c1​−a1​c2​​=a1​b2 ​−a2​b1​a1​c2​−a2​c1​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣a1​a2​​c1​c2​​∣​​

Обратите внимание, что знаменатель для

xxx

и

yyy

является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения для

xxx

и

yyy

, но правило Крамера также вводит новое обозначение: детерминанты. Тогда мы можем выразить

xxx

и

yyy

как частное двух определителей.

Общее примечание. Правило Крамера для систем 2×2

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых количество уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{ 2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\end{массив}a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​

Решение с использованием правила Крамера задается как

x=DxD=∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0; y=DyD=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& { b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|},D\ne 0;\text{ }\text{ }y=\frac{{ D}_{y}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c }_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b} _{2}\end{массив}|},D\ne 0x=DDx​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣c1​c2​​b1​b2​​∣​,D= 0; y=DDy​​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣a1​a2​​c1​c2​​∣​,D=0

.

Если мы вычисляем

xxx

, столбец

xxx

заменяется столбцом констант. Если мы вычисляем

гггг

, столбец

гггг

заменяется столбцом констант.

Пример 2. Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

, используя правило Крамера.

12x+3y=15 2x−3y=13\begin{массив}{c}12x+3y=15\\ \text{ }2x — 3y=13\end{массив}12x+3y=15 2x−3y=13​

Решение

Найдите

xxx

.

x=DxD=∣15313−3∣∣1232−3∣=−45−39−36−6=−84−42=2x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac {|\begin{массив}{rr}\qquad 15& \qquad 3\\ \qquad 13& \qquad -3\end{массив}|}{|\begin{массив}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{-45 — 39}{-36 — 6}=\frac{-84}{-42}=2x=DDx​=∣122​ 3−3​∣∣1513​3−3​∣​=−36−6−45−39​=−42−84​=2

Решите для

гггг

.

y=DyD=∣1215213∣∣1232−3∣=156−30−36−6=−12642=−3y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{|\begin {array}{rr}\qquad 12& \qquad 15\\ \qquad 2& \qquad 13\end{array}|}{|\begin{array}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{156 — 30}{-36 — 6}=-\frac{126}{42}=-3y=DDy​​=∣122​3−3​∣∣ 122​1513​∣​=−36−6156−30​=−42126​=−3

Решение:

(2,−3)\left(2,-3\right)(2,−3)

.

Попробуйте 1

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

 x+2y=−11−2x+y=−13\begin{array}{l}\text{ }x+2y=-11\qquad \\ -2x+y=-13\qquad \end{array } x+2y=−11−2x+y=−13​

Решение

Лицензии и атрибуты

Контент с лицензией CC, конкретное авторство

• Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. License : CC BY: Attribution

Решающие системы с правилом Крамера · Precalculus

Решающие системы с правилом Крамера · Предварительное исчисление

В этом разделе вы:

• Оцените  2 × 2  определителей.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
• Вычислить  3 × 3  определителей.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимая матрица и определитель. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Найти определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы a 2 × 2 

, учитывая

A=[abcd]

, определяется как

Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, в том числе  det(A) 

и заменив скобки в матрице прямыми,  \|A\|.

Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Нахождение определителя заданной матрицы.

A=[52−63]

det(A)=\|52−63\| =5(3)−(−6)(2)                =27

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18-го века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во Введении à l’Analyse des lignes Courbes algébriques. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1    (1)a2x+b2y=c2    (2)

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим найти x.

Если уравнение (2) умножить на коэффициент, обратный  y 

в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент  y 

в уравнении (2), и мы добавляем два уравнения, переменная  y 

будет устранен.

    b2a1x+b2b1y=b2c1Умножить R1 на b2−b1a2x−b1b2y=−b1c2Умножить R2 на −b1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_    b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2

Теперь найдите x.

   b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2   x(b2a1−b1a2)=b2c1−b1c2                                           x=b2c1−b1c2b2a1−b1a2=[c1b1c2b2][a21b1a2]

Аналогично, чтобы найти  y,

мы удалим x.

    a2a1x+a2b1y=a2c1Умножить R1 на a2−a1a2x−a1b2y=−a1c2Умножить R2 на −a1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_      a2b1y−a1b2y=a2c1−a1c2

Решение для  y 

дает

.

Обратите внимание, что знаменатель для обоих x 

и  y 

— определитель матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы, чтобы найти  x 

и у, 

, но правило Крамера также вводит новое обозначение:

.

• D:

  определитель матрицы коэффициентов

• Dx:

  определитель числителя в решении

  х

  х=DxD

• Dy:

  определитель числителя в решении

  у

  г=DyD

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Тогда мы можем выразить x 

и  y 

как частное двух определителей.

Правило Крамера для систем 2×2

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

Решение по правилу Крамера дается как

x=DxD=\|c1b1c2b2\|\|a1b1a2b2\|,  D≠0; y=DyD=\|a1c1a2c2\|\|a1b1a2b2\|,  D≠0.

Если мы находим x,

, столбец x

заменяется столбцом констант. Если мы находим для  y, 

, столбец y 

заменяется столбцом констант.

Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующее 2 × 2 

с использованием правила Крамера.

12x+3y=15 2x−3y=13

Решите для x.

x=DxD=\|15313−3\|\|1232−3\|=−45−39−36−6=−84−42=2

Решите для y.

y=DyD=\|1215213\|\|1232−3\|=156−30−36−6=−12642=−3

Решение  (2,−3).

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

   х+2у=-11-2х+у=-13

(3,-7)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычтите произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

А=[а1b1c1a2b2c2a3b3c3]

1. Дополнение A 

   с первыми двумя столбцами.

   det(A)=\|a1b1c1a2b2c2a3b3c3   \| a1a2a3    b1b2b3\|

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\|A\|=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1

Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по заданным данным

A=[0213−11401]

Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

\|A\|=\|0213−11401  \|03  4    2−10\| =0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3)(2) =0+8+0+4−0−6       =6

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det(A)=\|1−371111−23\|

−10

Можно ли использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

*Нет, этот метод работает только для матриц  2 × 2 

и  3 × 3 

. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерную программу.*

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить Правило Крамера решить систему из трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

х=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0

где

Если мы пишем определитель Dx,

заменяем  x 

Столбец

с постоянным столбцом. Если мы пишем определительDy,

заменяем  y 

Столбец

с постоянным столбцом. Если мы записываем определитель Dz,

заменяем  z 

Столбец

с постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решение системы 3 × 3 с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3 с помощью правила Крамера.

x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14

Используйте правило Крамера.

D=\|1  1−13−2   11  3−2\|,Dx=\|61−1−5−2   114  3−2\|,Dy=\|1 6−13−5  1114−2 \|,Dz=\|1 163−2−51  314\|

Тогда

x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2

Решение (1,3,−2).

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

x−3y+7z=13x+y+z=1   x−2y+3z=4   

(−2,35,125)

Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)

Начнем с нахождения определителей D,Dx и Dy.

D=\|3−26−4\|=3(−4)−6(−2)=0

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение (1) на −2.
2. Добавить результат в уравнение (2).

−6x+4y = −8 6x —4y = 0 \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ 0 = −8

Получаем уравнение 0=−8, 

, что неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. [ссылка].

Используйте правило Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\|1−2331−22−46   \| 1−2312−4\|

Тогда

1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2 )(1)−6(3)(−2)=0

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножить уравнение (1) на −2 

   и добавить результат к уравнению (3):

   −2x+4y−6x=02x−4y+6z=0                               0=0 9000

2. Получение ответа 0=0, 

   утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. [ссылка].

Понимание свойств определителей

Есть много свойств определителей . Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

Свойства определителей

1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца совпадают, определитель равен нулю.
4. Если матрица содержит строку нулей или столбец нулей, определитель равен нулю.
5. Определитель обратной матрицы A−1 

   является обратной величиной определителя матрицы

   . А.
6. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов, расположенных вниз по главной диагонали.

A=[1  230  210  0−1]

Дополните  A 

первыми двумя столбцами.

А=[12302100−1\| 100    220]

Тогда

det(A)=1(2)(−1)+2(1)(0)+3(0)(0)−0(2)(3)−0(1) (1)+1(0)(2)                =−2

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

A=[−154−3],  det(A)=(−1)(−3)−(4)(5)=3−20=−17B=[4−3−15],  det( Б)=(4)(5)−(−1)(−3)=20−3=17

Свойство 3 гласит, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

           A=[122222−122  \| 12−1 222]det(A)=1(2)(2)+2(2)(−1)+2(2)(2)+1(2)(2)−2(2)(1) −2(2)(2)               =4−4+8+4−4−8=0

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю. Таким образом,

A=[1200],   det(A)=1(0)−2(0)=0

Свойство 5 утверждает, что определитель обратной матрицы A−1 

является обратным определителю A . 

Таким образом,

      A=[1234],det(A)=1(4)−3(2)=−2A−1=[−2132−12],det(A−1)=−2(− 12)−(32)(1)=−12

Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

A=[1234],det(A)=1(4)−2(3)=−2B=[2(1)2(2)34],det(B)=2(4)− 3(4)=−4

Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

2x+4y+4z=2(1)3x+7y+7z=−5(2)  x+2y+2z=4(3)

Используя Правило Крамера , мы имеем

D=\|244377122\|

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение (3) на –2 и добавьте результат к уравнению (1).

   −2x — 4y — 4x = −8 2x+4y+4z = 2 0 = −6

Получение утверждения, являющегося противоречием, означает, что система не имеет решения.

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.

• Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
• Решение системы из трех уравнений с использованием правила Крамера

Ключевые понятия

Раздел Упражнения

Устный

Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

Определитель — это сумма и произведение элементов матрицы, поэтому вы всегда можете оценить это произведение, даже если оно в конечном итоге равно 0.

Изучая правило Крамера, объясните, почему нет единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу a 2 × 2 

.

Объясните, что означает в терминах обратной матрицы наличие нулевого определителя.

Обратное не существует.

Определитель  2 × 2 

матрица A 

равна 3. Если вы поменяете строки и умножите первую строку на 6, а вторую строку на 2, объясните, как найти определитель, и дайте ответ.

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите определитель.

\|1234\|

−2

\|−123−4\|

\|2−5−16\|

7

\|−84−15\|

\|103−4\|

−4

\|10200−10\|

\|100.250.1\|

0

\|6−384\|

\|−2−33,14 000\|

−7 990,7

\|-1.10.67.2-0,5\|

\|−10001000−3\|

3

\|−14002300−3\|

\|101010100\|

−1

\|2−313−41−561\|

\|−214−42−82−8−3\|

224

\|6-12-4-3519-1\|

\|51−12313−6−3\|

15

\|1,12−1−4004,1−0,42,5\|

\|2−1. 63.11.13−8−9.302\|

−17,03

\|−12131415−16170018\|

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

2x−3y=−14x+5y=9

(1,1)

5x−4y=2−4x+7y=6

  6x−3y=2     −8x+9y=−1

(12,13) ​​

2х+6у=125х-2у=13

4x+3y=23    2x−y=−1

(2,5)

10x−6y=2    −5x+8y=−1

4x−3y=−32x+6y=−4

(−1,−13)

4x−5y=7−3x+9y=0

4x+10y=180    −3x−5y=−105

(15,12)

  8x−2y=−3−4x+6y=4    

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

    x+2y−4z=−1  7x+3y+5z=26  −2x−6y+7z=−6

(1,3,2)

−5x+2y−4z=−47    4x−3y−z=−94   3x−3y+2z=94    

    4x+5y−z=−7−2x−9y+2z=8              5y+7z=21 

(−1,0,3)

4x−3y+4z=105x−2z=−23x+2y−5z=−9

4x−2y+3z=6        −6x+y=−22x+7y+8z=24

(12,1,2)

5x+2y−z=1     −7x−8y+3z=1,56x−12y+z=7    

  13x−17y+16z=73    −11x+15y+17z=61     46x+10y−30z=−18

(2,1,4)

−4x−3y−8z=−7 2x−9y+5z=0,5 5x−6y−5z=−2

  4x−6y+8z=10  −2x+3y−4z=−5         x+y+z=1     

Бесконечные решения

4x−6y+8z=10     −2x+3y−4z=−5   12x+18y−24z=−30

Технология

В следующих упражнениях используйте функцию определителя в графической утилите.

\|108

10300243\|

24

\|10210--2-1011-2\|

\|1217401210050022,0000002\|

1

\|1000230045607890\|

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислить определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, то найти единственное решение.

Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

Да; 18, 38

Два числа в сумме дают 104. Если вы дважды сложите первое число и два раза второе число, ваша сумма составит 208

.

Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго числа. Третье число на 4 больше первого числа.

Да; 33, 36, 37

Три числа в сумме дают 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше первых двух вместе взятых.

Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

Вы инвестируете 10 000 долларов на два счета, на которые начисляются 8% и 5% годовых. В конце года на ваших объединенных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждый счет?

7000 долларов на первый счет, 3000 долларов на второй счет.

Вы инвестируете 80 000 долларов США в два счета, 22 000 долларов США в один счет и 58 000 долларов США в другой счет. В конце года, при условии простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Каковы процентные ставки для ваших счетов?

Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детские билеты стоят 5,95 долл. США, билеты для взрослых — 11,15 долл. США, а общая сумма выручки составила 12 756 долл. США, сколько было продано детских билетов и билетов для взрослых?

120 детей, 1080 взрослых

Концертный зал продает одиночные билеты по 40 долларов каждый и билеты для пар по 65 долларов. Если общий доход составил 18 090 долларов США и был продан 321 билет, то сколько было продано одиночных билетов и сколько билетов для пар?

Вы решили покрасить кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски. Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета вошло в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29,50 долларов США. Если каждый галлон желтого цвета стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

4 галлона желтого цвета, 6 галлона синего цвета

Вы продали два вида шарфов на фермерском рынке и хотели бы знать, какой из них более популярен. Всего было продано 56 шарфов, желтый шарф стоил 10 долларов, фиолетовый — 11 долларов. Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых шарфов и сколько фиолетовых шарфов было продано?

В вашем саду выращивают два вида помидоров, зеленый и красный. Красный весит 10 унций, а зеленый весит 4 унции. У вас есть 30 помидоров общим весом 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

13 зеленых помидоров, 17 красных помидоров

На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, продажи которой на 5% выше, чем у лука. Какую долю рынка занимает каждый овощ?

На том же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества продаваемых фруктов. Клубники продают вдвое больше, чем апельсинов, а киви продают на один процент больше, чем апельсинов. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

Клубника 18%, апельсины 9%, киви 10%

Три группы выступили на концертной площадке. Первая группа взимала 15 долларов за билет, вторая группа взимала 45 долларов за билет, а последняя группа взимала 22 доллара за билет. Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй группы, сколько билетов было продано на каждую группу?

Кинотеатр продал билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а на третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Общее количество проданных билетов составило 642, а общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

100 для фильма 1, 230 для фильма 2, 312 для фильма 3

В прошлом году мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет составляли 78% заключенных в тюрьме. В этом году те же возрастные группы составили 82,08% населения. 20–29возрастная группа увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет уменьшилась до  34 

их предыдущего населения. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет заключенных было на 2% больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процент заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

В женской тюрьме по дороге общее число заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составило 5525 человек. В этом году возрастная группа 20-29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30-39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40-49 летвозрастная группа удвоилась. Сейчас там 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

20–29: 2 100, 30–39: 2 600, 40–49: 825

Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает приготовить пищевую смесь из миндаля, сушеной клюквы и орехов кешью в шоколаде. Информация о пищевой ценности этих продуктов приведена в [ссылка].

	Жир (г)	Белок (г)	Углеводы (г)
Миндаль (10)	6	2	3
Клюква (10)	0,02	0	8
Кешью (10)	7	3,5	5,5

Для специальной смеси «с низким содержанием углеводов» имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов 425 г, общее количество жиров 570,2 г. Если орехов кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько штук каждого предмета будет в смеси?

Для смеси «походной» в смеси 1000 штук, содержащих 390,8 г жира, 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько орехов кешью, то сколько каждого элемента содержится в смеси?

300 миндаля, 400 клюквы, 300 кешью

Для смеси «Энергия-бустер» в смеси 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью в сумме равно количеству клюквы, сколько каждого элемента содержится в смеси?

Обзор упражнений

Системы линейных уравнений: две переменные

В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

3x−y=4x+4y=−3 

и (−1,1)

Нет

6x−2y=24−3x+3y=18 

и (9,15)

В следующих упражнениях используйте замену для решения системы уравнений.

10x+5y=−5   3x−2y=−12

(−2,3)

47x+15y=437056x−13y=−23

5x+6y=144x+8y=8

(4,−1)

В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

3x+2y=-72x+4y=6

3x+4y=29x+12y=3

Решений не существует.

8х+4у=26х-5у=0,7

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Завод имеет себестоимость C(x)=150x+15 000 

и функцию дохода R(x)=200x.

Какова точка безубыточности?

(300,60,000)

Исполнитель взимает плату C(x)=50x+10 000, 

, где x 

— общее количество посетителей шоу. Заведение берет 75 долларов за билет. После того, как много людей купят билеты, место станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

(400,30,000)

Системы линейных уравнений: три переменные

Для следующих упражнений решите систему из трех уравнений, используя замену или сложение.

     0,5x−0,5y=10 −0,2y+0,2x=4      0,1x+0,1z=2

(10,−10,10)

5x+3y−z=5   3x−2y+4z=134x+3y+5z=22

x+y+z=12x+2y+2z=13x+3y=2

Решений не существует.

    2x−3y+z=−1         x+y+z=−4   4x+2y−3z=33

  3x+2y−z=−10    x−y+2z=7−x+3y+z=−2

(-1,-2,3)

3x+4z=-11x-2y=5       4y-z=-10

2x−3y+z=02x+4y−3z=06x−2y−z=0

(x,8×5,14×5)

6x−4y−2z=23x+2y−5z=46y−7z=5

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Три нечетных числа в сумме дают 61. Меньшее число на одну треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

11, 17, 33

Билеты на спектакль в местном театре распроданы. Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 долларов. Билеты стоили 15 долларов для студентов, 12 долларов для детей и 18 долларов для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем билетов для детей, сколько билетов каждого типа было продано?

Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные

Для следующих упражнений решите систему нелинейных уравнений.

y=x2−7y=5x−13

(2,−3),(3,2)

у=х2-4у=5х+10

x2+y2=16                y=x−8

Нет решения

x2+y2=25                y=x2+5

x2+y2=4y−x2=3

Нет решения

Для следующих упражнений постройте график неравенства.

у>x2−1

14×2+y2<4


Для следующих упражнений постройте график системы неравенств.

x2+y2+2x<3                             y>−x2−3

x2-2x+y2-4x <4 y <−x+4

! [] (../ resources/cnx_precalc_figure_09_08_204.jpg)

x2+y2<1             y2

Частичные дроби

Для следующих упражнений разложите на частичные дроби.

−2x+6×2+3x+2

2x+2, −4x+1

10x+24×2+4x+1

7х+20х2+10х+25

7х+5,-15(х+5)2

х-18х2-12х+36

−x2+36x+70×3−125

3x−5,−4x+1×2+5x+25

−5×2+6x−2×3+27

x3-4×2+3x+11(x2-2)2

x-4(x2-2),5x+3(x2-2)2

4×4−2×3+22×2−6x+48x(x2+4)2

Матрицы и операции с матрицами

В следующих упражнениях выполните запрошенные операции над заданными матрицами.

A=[4−213],B=[67−311−24],C=[6711−2140],D=[1−49105−7285],E=[7−1432−13019]

−4A

[−168−4−12]

10D−6E

B+C

не определено; размеры не соответствуют

ВА

не определено; внутренние размеры не соответствуют

СВ

[11328104481−418498−42]

ЭД

[−127−74176−21140287738]

CE

не определено; внутренние размеры не соответствуют

Решающие системы с исключением Гаусса

Для следующих упражнений напишите систему линейных уравнений из расширенной матрицы. Укажите, будет ли единственное решение.

[10−3012000  \| 7−50]

x−3z=7y+2z=−5 

с бесконечными решениями

[10501−2000  \| −943]

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу из системы линейных уравнений.

−2x+2y+z=72x−8y+5z=019x−10y+22z=3

[−2212−8519−1022  \| 703]

     4x+2y−3z=14−12x+3y+z=100     9х-6у+2г=31

x+3z=12 −x+4y=0    y+2z=−7

[103−140012  \| 120−7]

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений методом исключения Гаусса.

3x−4y=−7−6x+8y=14 ​​

3x−4y=1−6x+8y=6

Решений не существует.

−1,1x−2,3y=6,2−5,2x−4,1y=4,3

2x+3y+2z=1     −4x−6y−4z=−210x+15y+10z=0     

Решений не существует.

−x+2y−4z=8    3y+8z=−4−7x+y+2z=1    

Решающие системы с инверсиями

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

[−0,21.41,2−0,4]

18[2761]

[12−12−1434]

[129−6−132−4−32]

Обратное не существует.

[213123321]

Для следующих упражнений найдите решения, вычислив обратную матрицу.

    0,3x−0,1y=−10−0,1x+0,3y=14

(−20,40)

        0,4x−0,2y=−0,6−0,1x+0,05y=0,3

4x+3y-3z=-4,35x-4y-z=-6,1x+z=-0,7

(−1,0,2,0,3)

−2x−3y+2z=3−x+2y+4z=−5−2y+5z=−3

Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

Учеников попросили принести в класс свои любимые фрукты. 90% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были вдвое менее популярны, чем бананы, а яблоки были на 5% популярнее бананов, каков процент каждого фрукта в отдельности?

17% апельсины, 34% бананы, 39% яблок

Женское общество устроило распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавало пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 2 доллара, а печенье с шоколадной крошкой — в 1 доллар. Они собрали 250 долларов и продали 175 предметов. Сколько пирожных и сколько печенья было продано?

Решающие системы с правилом Крамера

Для следующих упражнений найдите определитель.

\|100000\|

0

\|0,2−0,60,7−1,1\|

\|−14302300−3\|

6

\|200020002\|

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения линейных систем уравнений.

4x−2y=23    −5x−10y=−35

(6,12)

0,2x−0,1y=0−0,3x+0,3y=2,5

-0,5x+0,1y=0,3   -0,25x+0,05y=0,15

( x , 5 x + 3)

х+6у+3г=42х+у+2г=33х-2у+г=0

4x−3y+5z=−527x−9y−3z=32    x−5y−5z=52    

(0,0,−12)

310x−15y−310z=−150110x−110y−12z=−

x−12y−35z=−15

Практический тест

Является ли следующая упорядоченная пара решением системы уравнений?

−5x−y=12 x+4y=9

с (−3,3)

Да

Для следующих упражнений решите системы линейных и нелинейных уравнений с помощью замены или исключения. Укажите, если решения не существует.

12x−13y=432x−y=0

−12x−4y=42x+16y=2

Решений не существует.

5x−y=1    −10x+2y=−2

4x−6y−2z=110   x−7y+5z=−143x+6y−9z=65

120(10,5,4)

х+г=20х+у+г=20х+2у+г=10

5x−4y−3z=02x+y+2z=0x−6y−7z=0

(x,16×5−13×5)

у=х2+2х-3у=х-1

y2+x2=25y2−2×2=1

(−22,−17),(−22,17),(22,−17),(22,17)

Для следующих упражнений постройте график следующих неравенств.

y

x2+y2>4y


Для следующих упражнений запишите разложение на неполные дроби.

−8x−30×2+10x+25

13x+2(3x+1)2

53x+1−2x+3(3x+1)2

х4-х3+2х-1х(х2+1)2

Для следующих упражнений выполните заданные матричные операции.

5[49−23]+12[−6124−8]

[1751−811]

[14−7−2
−4]   [3−413510]

[12131415]−1

[12−20−1530]

дед\|004004,000\|

дет\|12−120−120120120\|

−18

Если det(A)=−6, 

, какой будет определитель, если поменять местами строки 1 и 3, умножить вторую строку на 12 и взять обратное?

Перепишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

14x−2y+13z=140−2x+3y−6z=−1x−5y+12z=11

[14−213−23−61−512  \| 140−111]

Перепишите расширенную матрицу в виде системы линейных уравнений.

[103−249−612\|12−58]

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения систем уравнений.

x−6y=42x−12y=0

Решений не существует.

2x+y+z=−3x−2y+3z=6    x−y−z=6    

В следующих упражнениях используйте обратную матрицу для решения системы уравнений.

4x−5y=−50−x+2y=80    

(100,90)

1100x−3100y+120z=−4

x−7100y−1100z=13    9100x−9100y−9100z=99    

В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения систем уравнений.

200x−300y=2400x+715y=4

(1100,0)

0,1x+0,1y−0,1z=−1,20,1x−0,2y+0,4z=−1,20,5x−0,3y+0,8z=−5,9

Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений.

Завод по производству сотовых телефонов имеет следующие функции затрат и доходов: C(x)=x2+75x+2,688 

и R(x)=x2+160x.

Какой ассортимент сотовых телефонов они должны производить каждый день, чтобы была прибыль? Округлите до ближайшего числа, приносящего прибыль.

32 и более сотовых телефона в день

Небольшая ярмарка стоит 1,50 доллара для студентов, 1 доллар для детей и 2 доллара для взрослых. За один день пришло в три раза больше детей, чем взрослых. Всего было продано 800 билетов на общую сумму 1050 долларов. Сколько билетов каждого типа было продано?

Глоссарий

Правило Крамера

метод решения систем уравнений, имеющих такое же количество уравнений, что и переменных, с использованием определителей

определитель

число, рассчитанное с использованием элементов квадратной матрицы, определяющее такую ​​информацию, как наличие решения системы уравнений

---

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Вы также можете бесплатно скачать на http://cnx. org/contents/[email protected]

Атрибуция:

• По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].
• Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, Precalculus. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].
• Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx.org/contents/[email protected].»
• Если вы распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».

Решение уравнений Крамера. Правило Крамера

В первой части мы рассмотрели теоретический материал, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? «Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, почленным сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения довольно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример изящного оформления и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видим, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» выстрелом, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системы матричным методом.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

Для того, чтобы освоить этот параграф, необходимо уметь открыть классификаторы «два на два» и «три на три». Если определители плохие, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? «Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, почленным сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители можно обозначать и латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения довольно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике; Я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения (пример изящного оформления и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видим, « Случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «гуляет» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» выстрелом, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системы матричным методом.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

В ходе решения лучше описать подсчёт несовершеннолетних подробно, хотя при определённом опыте их можно приспособить к счёту с ошибками устно.

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, число которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1 Решить систему линейных уравнений:

Согласно Теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2), решение Крамера 9 онлайн калькулятор

5 9 .

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как следует из теорем Крамера , при решении системы линейных уравнений возможны три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система непротиворечивая и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесконечное число решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместная)

Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, которая имеет только одно решение, называется определенным , а более одного неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть система

.

На основе теоремы Крамера

………….
,

где
—

системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой столбца коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:

Пример 2

.

Следовательно, система определена. Для ее решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Начало страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам нахождения общих свойств каких-либо явлений и объектов. То есть вы изобрели какой-то новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, вам нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных стоят буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Нахождение определителей неизвестных

Решить системы линейных алгебраических уравнений (Слау)

2. Решение систем уравнений матричным методом (с использованием обратной матрицы).
3. Метод Гаусса для решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ ).

Формулы на примере системы двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить систему методом Крамера

Относительно переменных X и на .
Решение:
Найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решите систему уравнений:

относительно переменных X и на .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Проделаем аналогичное действие, заменив второй столбец в первом определителе :

Применим Формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Комментарий: Этот метод можно использовать для решения систем больших размерностей.

Комментарий: Если оказывается, что , и на ноль делить нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система либо имеет бесконечно много решений, либо вообще не имеет решений.

Пример 2 (бесконечное число решений):

Решите систему уравнений:

относительно переменных X и на .
Решение:
Найти определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первым из уравнений системы является равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Так что осталось только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными.
Получили, что решением системы является любая пара значений переменных, связанных равенством.
Общее решение записывается так:
Частные решения можно определить, выбрав произвольное значение y и вычислив x из этого уравнения связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (нет решений, система несовместима):

Решите систему уравнений:

Решение:
Найдите определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы:

Формулами Крамера пользоваться нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы представляет собой равенство, которое не выполняется ни при каких значениях переменных (разумеется, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то вся система не имеет решений.
Ответ: решений нет

В первой части мы рассмотрели некоторые теоретические материалы, метод подстановки и метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал много важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, посеместровым сложением!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как применить правило Крамера к более сложному случаю – системам из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней нужно вычислить еще два определителя:
и

На практике указанные выше определители можно также обозначать латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, в правой части стоят десятичные дроби через запятую. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в обыкновенных неправильных дробях. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения(пример окончания и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» выстрелом, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и составить его на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системного матричного метода.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

При количестве уравнений равном количеству неизвестных с главным определителем матрицы, не равным нулю, коэффициенты системы (решение таких уравнений есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Если определитель матрицы квадратной системы отличен от нуля, то система совместна и имеет одно решение и его можно найти по Формулы Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в которой вместо i -й столбец является столбцом правых частей.

Когда определитель системы равен нулю, то система может стать состоятельной или несовместной.

Этот метод обычно используется для небольших систем с объемными расчетами и если необходимо определить 1 из неизвестных. Сложность метода в том, что необходимо вычислить множество определителей.

Описание метода Крамера.

Имеется система уравнений:

Систему из 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который обсуждался выше для системы из 2-х уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных:

Это будет классификатор системы . Когда D≠0 , значит, система непротиворечива. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Данная система:

Решим методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Поскольку ∆≠0, значит, по теореме Крамера система совместна и имеет одно решение. Вычислим дополнительные определители. Определитель Δ 1 получается из определителя Δ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же образом получим определитель Δ 2 из определителя матрицы системы, заменив второй столбец столбцом свободных коэффициентов: самые популярные решения СЛАУ . Более того, в ряде случаев целесообразно использовать специфические методы. Сессия подошла к концу, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня мы займемся решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений по методу Крамера — очень полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений представляет собой систему уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, а и б — реальные коэффициенты. Простую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме или выразить одну переменную через другую. Но переменных (x) в СЛАУ может быть гораздо больше, чем две, и здесь не обойтись без простых школьных манипуляций. Что делать? Например, решить СЛАУ методом Крамера!

Пусть система будет n уравнений с n неизвестно.

Такая система может быть переписана в виде матрицы

Здесь A — основная матрица системы, X и В соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Раствор СЛАЭ по Крамеру

Если определитель основной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), то система может быть решена методом Крамера.

По методу Крамера решение находится по формулам:

Здесь дельта — определитель основной матрицы, а дельта х n-й — определитель, полученный из определителя основной матрицы заменой n-го столбца на столбец свободных членов.

В этом весь смысл метода Крамера. Подставляя найденные значения по приведенным выше формулам х в нужную систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы вам было легче уловить суть, вот пример. подробное решение СЛАУ по методу Крамера:

Даже если у вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного потренировавшись, вы начнете щелкать SLOW, как орехи. Более того, теперь совершенно не нужно корпеть над тетрадью, решая громоздкие вычисления и записывая на стержне. СЛАУ методом Крамера легко решить онлайн, просто подставив коэффициенты в готовую форму. опробовать решения онлайн-калькулятора по методу Крамера можно, например, на этом сайте.

А если система оказалась упрямой и не сдается, вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, к . Если в системе будет хотя бы 100 неизвестных, мы обязательно решим ее правильно и точно в срок!

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько независимых переменных, т. е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратичными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой Д. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный ( j -й) столбец заменить его столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

( j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Решите систему уравнений методом Крамера

.

Вычислим главный определитель системы:

Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1. 8):

Таким образом, матрица по числу. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить все ее элементы на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Добавление матрицы.

Эта операция вводится только для матриц одного порядка.

Для сложения двух матриц необходимо сложить соответствующие элементы другой матрицы с элементами одной матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения: m ´ n в матрицу AT размеры n ´ k получаем матрицу С размерами м ´ k . В этом случае элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1. 8. Найдите, если возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Работа BA не существует, так как количество столбцов матрицы B не соответствует количеству строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица А- 1 называется обратной квадратной матрицей А , если выполняется равенство:

где через I обозначена единичная матрица того же порядка, что и матрица НО :

.

Чтобы возвести матрицу в квадрат, она имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Обратная матрица находится по формуле:

, (1.13)

где А ij — алгебраические дополнения к элементам aij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующие столбцы).

Пример 1.9. Найдите обратную матрицу A- 1 к матрице

.

Находим обратную матрицу по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

.

Найдем det A = | А | = 1 х 3 х 8 + 2 х 5 х 3 + 2 х 4 х 3 — 3 х 3 х 3 — 1 х 5 х 4 — 2 х 2 х 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найти алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы мы разместили алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы в соответствующих столбцах.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на А- 1 , получаем решение системы:

, где

Таким образом, чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричной форме: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то и главная матрица системы А имеет обратную матрицу А -одна. Чтобы найти обратную матрицу А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находится по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений с помощью обыкновенных жордановых исключений

Пусть задана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т. е. такой набор переменных, который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она также может вообще не иметь решений.

При решении подобных задач в известном школьном курсе используется метод исключения неизвестных, который также называют методом обычного жорданового исключения. Суть этого метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого была выражена переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в истинные тождества. Такие уравнения исключаются из системы, так как они справедливы при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например, ), то делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения несовместных уравнений не возникло, то одна из оставшихся в ней переменных находится из последнего уравнения. Если в последнем уравнении остается только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении останутся другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем так называемый обратный ход». Найденная переменная подставляется в последнее запоминаемое уравнение и находится вторая переменная. Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее запоминаемое уравнение и находится третья переменная, и так далее, вверх к первому запомненному уравнению.

В результате получаем решение системы. Это решение будет уникальным, если найденные переменные являются числами. Если первая найденная переменная, а затем и все остальные зависят от параметров, то система будет иметь бесконечное число решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от определенного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

x

Запомнив первое уравнение и подставив во второе и третье уравнения аналогичные члены, придем к системе: первое уравнение:

Вспомним второе уравнение и из первого найдем z :

Делая обратный ход, последовательно находим y и z . Для этого сначала подставляем в последнее запомненное уравнение , из которого находим y :

.

Затем подставляем и в первое запомненное уравнение откуда находим х :

Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе и третье уравнения:

.

Запомните первое уравнение

В этой системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получаем, что 14 = 17. Это равенство не выполняется при любых значениях переменных х , y и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т. е. не имеет решения.

Читателям предлагается самостоятельно проверить равенство нулю главного определителя исходной системы (1.17).

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) только одним свободным членом.

Задача 1.13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе и третье уравнения:

.

Вспомните первое уравнение, и мы представим аналогичные члены во втором и третьем уравнениях. Приходим к системе:

выразив y из первого уравнения и подставив его во второе уравнение , получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а, следовательно, его можно исключить из системы.

В последнем запомненном равенстве в качестве параметра будет рассматриваться переменная z . Мы верим. Затем

Подставляем х и z в первое запомненное равенство и находим х :

.

Таким образом, система (1.18) имеет бесконечное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19) при выборе произвольного значения параметра t :

(1.19)
Таким образом, решения системы системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений кажется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы за один шаг в общем виде и формализовать решение задачи в виде специальных таблиц Жордана.

Пусть задана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, aij — постоянные коэффициенты …, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i ( i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решения этой системы путем исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, именуемую в дальнейшем «один шаг обычных жордановых исключений». Из произвольного ( r -го) равенства выразим произвольную переменную ( x s ) и подставим во все остальные равенства. Конечно, это возможно только в том случае, если при ¹ 0. Коэффициент при называется разрешающим (иногда ведущим или основным) элементом.

Получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S Строка th запоминается и впоследствии исключается из системы. Оставшаяся система будет содержать одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с р -е уравнение, которое после выражения переменной х s через остальные переменные будет иметь вид:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Теперь вычислим новые коэффициенты b ij ( i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим переменную, выраженную в (1.22), x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов получаем:

(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений представлено в виде таблиц (матриц). Эти таблицы называются «таблицами Иордании».

Таким образом, задаче (1.20) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	х	…	х с	…	х
г 1 =	и 11	и 12		а 1 й		а 1 с		а 1 п
…………………………………………………………………. .
у я =	и 1	и 2		ай		а есть		а в
…………………………………………………………………..
г р =	1	2		рж		а рс		а р-н
………………………………………………………………….
д н =	1	а м 2		а мдж		мс		утра

Таблица Жордана 1.1 содержит левый головной столбец, в котором записаны правые части системы (1.20), и верхнюю головную строку, в которой записаны независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1. 20). Если умножить матрицу А на матрицу, состоящую из элементов верхней строки заголовка, то мы получим матрицу, состоящую из элементов левого заголовка строки. То есть, по сути, таблица Жордана представляет собой матричную форму записи системы линейных уравнений: . В этом случае системе (1.21) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	х	…	г р	…	х
г 1 =	б 11	б 12		б 1 к		б 1 с		б 1 п
…………………………………………………………………..
г я =	б и 1	б и 2		б идж		б это		б в
…………………………………………………………………. .
х с =	бр 1	бр 2		б рж		брс		б р-н
………………………………………………………………….
д н =	б м 1	б м 2		БМЖ		б мс		бмн

Разрешающий элемент a rs выделим жирным шрифтом. Напомним, что для реализации одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть ненулевым. Строка таблицы, содержащая разрешающий элемент, называется разрешающей строкой. Столбец, содержащий элемент включения, называется столбцом включения. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная ( x s ) из верхней строки заголовка таблицы перемещается в левый столбец заголовка и, наоборот, один из свободных членов системы ( г. р. ) перемещается из левого столбца заголовка таблицы в верхнюю строку заголовка.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от таблицы Жордана (1.1) к таблице (1.2), который следует из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца равны разделен на активирующий элемент:

4. Элементы, не входящие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последнюю формулу легко запомнить, если заметить, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i -ой и -й -й строк и -й -й и -й -й столбцов (разрешающая строка, разрешающий столбец и строка и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно пользоваться следующей схемой:

-21 -26 -13 -37

Выполняя первый шаг жордановых исключений, любой элемент таблицы 1. 3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Вы должны не только выбрать разрешающий элемент в последнем столбце, так как нужно найти независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 с переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (активирующий элемент выделен жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней строки заголовка заменяется константой 0 из левого столбца заголовка (третья строка). При этом переменная х 3 выражается через остальные переменные.

string x 3 (таблица 1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Таблица 1.4 также исключает третий столбец с нулем в верхней строке заголовка. Дело в том, что вне зависимости от коэффициентов этого столбца b i 3 все соответствующие ему члены каждого уравнения 0 b i 3 системы будут равны нулю. Следовательно, эти коэффициенты не могут быть рассчитаны. Исключив одну переменную х 3 и вспомнив одно из уравнений, мы придем к системе, соответствующей табл. 1.4 (с перечеркнутой линией х 3). Выбрав в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, перейти к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: х 1 = — 3 + 2 х 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим оставшиеся переменные:

Таким образом, система имеет бесконечное число решений. переменная x 5 , вы можете назначать произвольные значения. Эта переменная действует как параметр x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2 t

x 2 = — 1 — 3 t

x x 3 = — 9 0 2 (1.27)
х 4 = 4 + 5 t

х 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получаем исходную систему решений бесконечного числа значений.

No related posts.