caxapa.ru :: таблица синусов особенность зависит от внешних данных? а что если формулу расчёта хрен напишешь в десяток строк?
caxapa.ru :: таблица синусов — частный пример таблиц, заливаемых во флеш. их особенность — достаточно простая вычисляемость. а что если таблица зависит от внешних данных? а что если формулу расчёта хрен напишешь в десяток строк?ВходНаше всё
Теги
codebook
PARTS
Поиск
Опросы
Закон
Воскресенье
29 января
О смысле всего сущего0xFF Средства и методы разработки Мобильная и беспроводная связь Блошиный рынокОбъявления
МикроконтроллерыARM, RISC-V AVRPICPLD, FPGA, DSP КибернетикаТехнологии Схемы, платы, компоненты
1245261 Топик полностью
Mahagam (01.10.2022 15:16, просмотров: 195) ответил VladislavS. на Глупость несусветная. Вот в примере с таблицей синусов, если вам нужно другое количество точек в таблице или другая точность/тип данных, какие будут ваши действия?
таблица синусов — частный пример таблиц, заливаемых во флеш. их особенность — достаточно простая вычисляемость. а что если таблица зависит от внешних данных? а что если формулу расчёта хрен напишешь в десяток строк?
у меня в плисину вливаются таблицы коррекции яркости светодиодов. но для их расчёта мной написана софтинка, где считательная часть в районе двух сотен строк, и подгрузкой внешних данных, которые я формирую математическими формулами и ещё сразу графики вижу.
ну упрощают плюсы флешевание таблицы синусов, ну честь им и хвала. а десятки других таблиц они сформировать во время компиляции не способны.
Ответить
- Чувствуете разницу между сложной вычислительной задачей по
подготовке данных и написанием внешней программы на каждый чих? — VladislavS.(01.10.2022 15:35)
- и часто вы чихаете? ну, в смысле — часто вы там таблицы через
constexpr заполняете? не надо частный и достаточно редкий случай
приводить аки невероятное превосходство «а вы так не умеете». — Mahagam(01.10.2022 16:08)
- Не «вы так не умеете», а «возможности языка не позволяют». Как
говорится, почувствуйте разницу. И да, формирование наборов
константных данных достаточно распространённая задача:
вышеупомянутая таблица синусов, таблицы перекодировки самые разные,
табличная конвертация цветовых пространств, масштабирование и
поворот шрифтов, USB дескриптопы и т.д. — VladislavS.(01.10.2022 21:59)
- пересчёт из одного цветового пространства в другое? это построение
двух матриц по замудрёным формулам, взятие обратной, и ещё
перемножение матрицы. это всё в constexpr всунется? а исходники
шрифтов как под constexpr запихать? оно внешние файлы может
пережевать? —
- пересчёт из одного цветового пространства в другое? это построение
двух матриц по замудрёным формулам, взятие обратной, и ещё
перемножение матрицы. это всё в constexpr всунется? а исходники
шрифтов как под constexpr запихать? оно внешние файлы может
пережевать? —
- Не «вы так не умеете», а «возможности языка не позволяют». Как
говорится, почувствуйте разницу. И да, формирование наборов
константных данных достаточно распространённая задача:
вышеупомянутая таблица синусов, таблицы перекодировки самые разные,
табличная конвертация цветовых пространств, масштабирование и
поворот шрифтов, USB дескриптопы и т.д. — VladislavS.(01.10.2022 21:59)
- Во-первых, чих далеко не каждый. Во-вторых, для ымбеддера безусловно полезно уметь встраивать в процесс сборки внешние скрипты, просто чтобы быть готовым ко всему. Так что этот аргумент скорее за скрипты. — SciFi(01.10.2022 15:37)
- и часто вы чихаете? ну, в смысле — часто вы там таблицы через
constexpr заполняете? не надо частный и достаточно редкий случай
приводить аки невероятное превосходство «а вы так не умеете». — Mahagam(01.10.2022 16:08)
- Чувствуете разницу между сложной вычислительной задачей по
подготовке данных и написанием внешней программы на каждый чих? — VladislavS.(01.10.2022 15:35)
Таблица Брадиса — ЛОГАРИФМЫ СИНУСОВ МАЛЫХ УГЛОВ И КОСИНУСОВ УГЛОВ БЛИЗКИХ К 90
Логарифмы синусов малых углов и косинусов углов близких к 90° (Таблица Брадиса 15)
Логарифмы синусов любого угла, содержащего целое число градусов и минут, берется из таблица брадиса 15, если угол заключается между 0° и 14°, и из таблицы брадиса 16, если он заключается между 14° и’90°. В готовом виде таблицы брадиса 16 даёт только логарифмы синусов углов через 0,1° = 6′, для других нужна интерполяция, вводящая поправку на разность между данным углом и ближайшим табличным. Эта поправка берётся из соответствующего столбца справа (курсив). Она прибавляется к ближайшему меньшему табличному логарифму, если данный угол превосходит ближайший меньший табличный на 1, 2, 3 минуты, и отнимается от ближайшего большего в остальных случаях.
Например, lg sin 20°38′ = 1,5470, так как 5463 + 7=5470, a lg sin 20°41′ =1,5481, так как 5484 — 3=5481.Так же данная таблица брадиса служит для разыскания логарифмов косинусов, причём надо пользоваться нумерацией градусов справа, минут — снизу, и не забывать, что при возрастании острого угла его косинус убывает. Подыскание косинусов можно устранить, заменяя их синусами дополнительных углов.
ЛОГАРИФМЫ СИНУСОВ УГЛОВ | ||||||||||||
А | 0′ | 1′ | 2′ | 3′ | 4′ | 5′ | 6′ | 7′ | 8′ | 9′ | 10′ | |
0°00′ | 4,4637 | 7648 | 9408 | 0658 | 1627 | 2419 | 3088 | 3668 | 4180 | 3,4637 | 50′ | |
10′ | 3,4637 | 5051 | 5429 | 5777 | 6099 | 6398 | 6678 | 6942 | 7190 | 7245 | 7648 | 40′ |
20′ | 7648 | 7859 | 8061 | 8255 | 8439 | 8617 | 8787 | 8951 | 9109 | 9261 | 9408 | 30′ |
30′ | 9408 | 9551 | 9689 | 9822 | 9952 | 0078 | 0200 | 0319 | 0435 | 0548 | 2,0658 | 20′ |
40′ | 2,0658 | 0765 | 0870 | 0972 | 1072 | 1169 | 1265 | 1450 | 1539 | 1627 | 10′ | |
50′ | 1627 | 1713 | 1797 | 1880 | 1961 | 2041 | 2119 | 2196 | 2271 | 2346 | 2419 | 89°00′ |
1°00′ | 2,2419 | 2490 | 2561 | 2630 | 2699 | 2766 | 2832 | 2898 | 2962 | 3025 | 3088 | 50′ |
10′ | 3088 | 3150 | 3210 | 3270 | 3329 | 3388 | 3445 | 3502 | 3558 | 3613 | 3668 | 40′ |
20′ | 3668 | 3722 | 3775 | 3828 | 3880 | 3931 | 3982 | 4032 | 4082 | 4131 | 4179 | 30′ |
30′ | 4179 | 4227 | 4275 | 4322 | 4368 | 4414 | 4459 | 4504 | 4549 | 4593 | 4637 | 20′ |
40′ | 4637 | 4680 | 4723 | 4765 | 4807 | 4848 | 4890 | 4930 | 4971 | 5011 | 5050 | 10′ |
50′ | 5050 | 5090 | 5129 | 5167 | 5206 | 5243 | 5281 | 5318 | 5355 | 5392 | 2,5428 | 88°00′ |
2°00′ | 2,5428 | 5464 | 5500 | 5535 | 5571 | 5605 | 5640 | 5674 | 5708 | 5742 | 5776 | 50′ |
10′ | 5776 | 5809 | 5842 | 5875 | 5907 | 5939 | 5972 | 6003 | 6035 | 6066 | 6097 | 40′ |
20′ | 6097 | 6128 | 6159 | 6189 | 6220 | 6250 | 6279 | 6309 | 6339 | 6368 | 6397 | 30′ |
30′ | 6397 | 6426 | 6454 | 6483 | 6511 | 6539 | 6567 | 6595 | 6622 | 6650 | 6677 | 20′ |
40′ | 6677 | 6704 | 6731 | 6758 | 6784 | 6810 | 6837 | 6863 | 6889 | 6914 | 6940 | 10′ |
50′ | 6940 | 6965 | 6991 | 7016 | 7041 | 7066 | 7090 | 7115 | 7140 | 7164 | 2,7188 | |
3°00′ | 2,7188 | 7212 | 7236 | 7260 | 7283 | 7307 | 7330 | 7354 | 7377 | 7400 | 7423 | 50′ |
10′ | 7423 | 7445 | 7468 | 7491 | 7513 | 7535 | 7557 | 7580 | 7602 | 7623 | 7645 | 40′ |
20′ | 7645 | 7667 | 7688 | 7710 | 7731 | 7752 | 7773 | 7794 | 7815 | 7836 | 7857 | 30′ |
30′ | 7857 | 7877 | 7898 | 7918 | 7939 | 7959 | 7979 | 7999 | 8019 | 8039 | 8059 | 20′ |
40′ | 8059 | 8078 | 8098 | 8117 | 8137 | 8156 | 8175 | 8194 | 8213 | 8232 | 8251 | 10′ |
50′ | 8251 | 8270 | 8289 | 8307 | 8326 | 8345 | 8363 | 8381 | 8400 | 8418 | 2,8436 | 86°00′ |
4°00′ | 2,8436 | 8454 | 8472 | 8490 | 8508 | 8525 | 8543 | 8560 | 8578 | 8595 | 8613 | 50′ |
10′ | 8613 | 8630 | 8647 | 8665 | 8682 | 8699 | 8716 | 8733 | 8749 | 8766 | 8783 | 40′ |
20′ | 8783 | 8799 | 8816 | 8833 | 8849 | 8865 | 8882 | 8898 | 8914 | 8930 | 8946 | 30′ |
30′ | 8946 | 8962 | 8978 | 8994 | 9010 | 9026 | 9042 | 9057 | 9073 | 9089 | 9104 | 20′ |
40′ | 9104 | 9119 | 9135 | 9150 | 9166 | 9181 | 9196 | 9211 | 9226 | 9241 | 9256 | 10′ |
50′ | 9256 | 9271 | 9286 | 9301 | 9315 | 9330 | 9345 | 9359 | 9374 | 9388 | 2,9403 | 85°00′ |
5°00′ | 2,9403 | 9417 | 9432 | 9446 | 9460 | 9475 | 9489 | 9503 | 9517 | 9531 | 9545 | 50′ |
10′ | 9545 | 9559 | 9573 | 9587 | 9601 | 9614 | 9628 | 9642 | 9655 | 9669 | 9682 | 40′ |
20′ | 9682 | 9696 | 9709 | 9723 | 9736 | 9750 | 9763 | 9776 | 9789 | 9803 | 9816 | 30′ |
30′ | 9816 | 9829 | 9842 | 9855 | 9868 | 9881 | 9894 | 9907 | 9919 | 9932 | 2,9945 | 20′ |
40′ | 9945 | 9958 | 9970 | 9983 | 9996 | 0008 | 0021 | 0033 | 0046 | 0058 | 1,0070 | 10′ |
50′ | 1,0070 | 0083 | 0095 | 0107 | 0120 | 0132 | 0144 | 0156 | 0168 | 0180 | 0192 | 84°00′ |
6°00′ | 1,0192 | 0204 | 0216 | 0228 | 0240 | 0252 | 0264 | 0276 | 0287 | 0299 | 0311 | 50′ |
10′ | 0311 | 0323 | 0334 | 0346 | 0357 | 0369 | 0380 | 0392 | 0403 | 0415 | 0426 | 40′ |
20′ | 0426 | 0438 | 0449 | 0460 | 0472 | 0483 | 0494 | 0505 | 0516 | 0527 | 0539 | 30′ |
30′ | 0539 | 0550 | 0561 | 0572 | 0583 | 0594 | 0605 | 0616 | 0626 | 0637 | 0648 | 20′ |
40′ | 0648 | 0659 | 0670 | 0680 | 0691 | 0702 | 0712 | 0723 | 0734 | 0744 | 0755 | 10′ |
50′ | 0755 | 0765 | 0776 | 0786 | 0797 | 0807 | 0818 | 0828 | 0838 | 0849 | 1,0859 | 83°00′ |
10′ | 9′ | 8′ | 7′ | 6′ | 5′ | 4′ | 3′ | 2′ | 1′ | 0′ | A | |
ЛОГАРИФМЫ КОСИНУСОВ УГЛОВ |
ЛОГАРИФМЫ СИНУСОВ УГЛОВ |
||||||||||||
А | 0′ | 1′ | 2′ | 3′ | 4′ | 5′ | 6′ | 7′ | 8′ | 9′ | 10′ | |
7°00′ | 1,0859 | 0869 | 0879 | 0890 | 0900 | 0910 | 0920 | 0930 | 0940 | 0951 | 1,0961 | 50′ |
10′ | 0961 | 0971 | 0981 | 0991 | 1001 | 1011 | 1020 | 1030 | 1040 | 1050 | 1060 | 40′ |
20′ | 1060 | 1070 | 1080 | 1089 | 1099 | 1109 | 1118 | 1128 | 1138 | 1147 | 1157 | 30′ |
30′ | 1157 | 1167 | 1176 | 1186 | 1195 | 1205 | 1214 | 1224 | 1233 | 1242 | 1252 | 20′ |
40′ | 1252 | 1261 | 1271 | 1280 | 1289 | 1299 | 1308 | 1317 | 1326 | 1336 | 1345 | 10′ |
50′ | 1345 | 1354 | 1363 | 1372 | 1381 | 1390 | 1399 | 1409 | 1418 | 1427 | 1,1436 | 82°00′ |
8°00′ | 1,1436 | 1445 | 1453 | 1462 | 1471 | 1480 | 1489 | 1498 | 1507 | 1516 | 1525 | 50′ |
10′ | 1525 | 1533 | 1542 | 1551 | 1560 | 1568 | 1577 | 1586 | 1594 | 1603 | 1612 | 40′ |
20′ | 1612 | 1620 | 1629 | 1637 | 1646 | 1655 | 1663 | 1672 | 1680 | 1689 | 1697 | 30′ |
30′ | 1697 | 1705 | 1714 | 1722 | 1731 | 1739 | 1747 | 1756 | 1764 | 1772 | 1781 | 20′ |
40′ | 1781 | 1789 | 1797 | 1806 | 1814 | 1822 | 1830 | 1838 | 1847 | 1855 | 1863 | 10′ |
50′ | 1863 | 1871 | 1879 | 1887 | 1895 | 1903 | 1911 | 1919 | 1927 | 1935 | 1,1943 | 81°00′ |
9°00′ | 1,1943 | 1951 | 1959 | 1967 | 1975 | 1983 | 1991 | 1999 | 2007 | 2015 | 2022 | 50′ |
10′ | 2022 | 2030 | 2038 | 2046 | 2054 | 2061 | 2069 | 2077 | 2085 | 2092 | 2100 | 40′ |
20′ | 2100 | 2108 | 2115 | 2123 | 2131 | 2138 | 2146 | 2153 | 2161 | 2169 | 2176 | 30′ |
30′ | 2176 | 2184 | 2191 | 2199 | 2206 | 2214 | 2221 | 2229 | 2236 | 2243 | 2251 | 20′ |
40′ | 2251 | 2258 | 2266 | 2273 | 2280 | 2288 | 2295 | 2303 | 2310 | 2317 | 2324 | 10′ |
50′ | 2324 | 2332 | 2339 | 2346 | 2353 | 2361 | 2368 | 2375 | 2382 | 2390 | 1,2397 | 80°00′ |
10°00′ | 1,2397 | 2404 | 2411 | 2418 | 2425 | 2432 | 2439 | 2447 | 2454 | 2461 | 2468 | 50′ |
10′ | 2468 | 2475 | 2482 | 2489 | 2496 | 2503 | 2510 | 2517 | 2524 | 2531 | 2538 | 40′ |
20′ | 2538 | 2545 | 2551 | 2558 | 2565 | 2572 | 2579 | 2586 | 2593 | 2600 | 2606 | 30′ |
30′ | 2606 | 2613 | 2620 | 2627 | 2634 | 2640 | 2647 | 2654 | 2661 | 2667 | 2674 | 20′ |
40′ | 2674 | 2681 | 2687 | 2694 | 2701 | 2707 | 2714 | 2721 | 2727 | 2734 | 2740 | 10′ |
50′ | 2740 | 2747 | 2754 | 2760 | 2767 | 2773 | 2780 | 2786 | 2793 | 2799 | 1,2806 | 79°00′ |
11°00′ | 1,2806 | 2812 | 2819 | 2825 | 2832 | 2838 | 2845 | 2851 | 2858 | 2864 | 2870 | 50′ |
10′ | 2870 | 2877 | 2883 | 2890 | 2896 | 2902 | 2909 | 2915 | 2921 | 2928 | 2934 | 40′ |
20′ | 2934 | 2940 | 2947 | 2953 | 2959 | 2965 | 2972 | 2978 | 2984 | 2990 | 2997 | 30′ |
30′ | 2997 | 3003 | 3009 | 3015 | 3021 | 3027 | 3034 | 3040 | 3046 | 3052 | 3058 | 20′ |
40′ | 3058 | 3064 | 3070 | 3077 | 3083 | 3089 | 3095 | 3101 | 3107 | 3113 | 3119 | 10′ |
50′ | 3119 | 3125 | 3131 | 3137 | 3143 | 3149 | 3155 | 3161 | 3167 | 3173 | 1,3179 | 78°00′ |
12°00′ | 1,3179 | 3185 | 3191 | 3197 | 3202 | 3208 | 3214 | 3220 | 3226 | 3232 | 3238 | 50′ |
10′ | 3238 | 3244 | 3250 | 3255 | 3261 | 3267 | 3273 | 3279 | 3284 | ,3290 | 3296 | 40′ |
20′ | 3296 | 3302 | 3308 | 3313 | 3319 | 3325 | 3331 | 3336 | 3342 | 3348 | 3353 | 30′ |
30′ | 3353 | 3359 | 3365 | 3370 | 3376 | 3382 | 3387 | 3393 | 3399 | 3404 | 3410 | 20′ |
40′ | 3410 | 3416 | 3421 | 3427 | 3432 | 3438 | 3444 | 3449 | 3455 | 3460 | 3466 | 10′ |
50′ | 3466 | 3471 | 3477 | 3482 | 3488 | 3493 | 3499 | 3504 | 3510 | 3515 | 1,3521 | 77°00′ |
13°00′ | 1,3521 | 3526 | 3532 | 3537 | 3543 | 3548 | 3554 | 3559 | 3564 | 3570 | 3575 | 50′ |
10′ | 3575 | 3581 | 3586 | 3591 | 3597 | 3602 | 3608 | 3613 | 3618 | 3624 | 3629 | 40′ |
20′ | 3629 | 3634 | 3640 | 3645 | 3650 | 3655 | 3661 | 3666 | 3671 | 3677 | 3682 | 30′ |
30′ | 3682 | 3687 | 3692 | 3698 | 3703 | 3708 | 3713 | 3719 | 3724 | 3729 | 3734 | 20′ |
40′ | 3734 | 3739 | 3745 | 3750 | 3755 | 3760 | 3765 | 3770 | 3775 | 3781 | 3786 | 10′ |
50′ | 3786 | 3791 | 3796 | 3801 | 3806 | 3811 | 3816 | 3822 | 3827 | 3832 | 1,3837 | 76°00′ |
10′ | 9′ | 8′ | 7′ | 6′ | 5′ | 4′ | 3′ | 2′ | 1′ | 0′ | А | |
ЛОГАРИФМЫ КОСИНУСОВ УГЛОВ |
_______________
Источник информации: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.
ТАБЛИЦЫ СИНУСОВ — SELTER, S.A. — Каталоги в формате PDF | Техническая документация
Добавить в избранное
{{requestButtons}}
Выдержки из каталога
Таблица синусов позволяет шлифовать детали с некоторым наклоном. Угол наклона регулируется от 0° до 45° с помощью мерных блоков. Колебание стола можно заблокировать, чтобы избежать движений во время его использования. Магнитный зажим встроен в два различных шага полюсов: Nor-Pol и Fi-Pol. Зажимы для крепления стола поставляются отдельно и должны быть заказаны отдельно. Столы с одной продольной осью вращения. ДВОЙНАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ Столы с одной продольной и одной поперечной осью вращения. ДВОЙНАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ * ВАЛ НЕ ВЫДАЕТСЯ ИЗ ПАТРОНА, И МОЖЕТ БЫТЬ УДАЛЕН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ШЕСТИГРАННОГО КЛЮЧА
ТАБЛИЦЫ СИНУС С МАГНИТНЫМ ПАТРОНЫМ УСТРОЙСТВОМ С МАКСИМАЛЬНЫМ РАССТОЯНИЕМ ПОЛЮСОВ Этот стол очень низкий (77 мм) и имеет встроенный магнитный зажим с очень малым расстоянием между полюсами. Подходит для шлифовки деталей с некоторым наклоном. Угол наклона регулируется от 0° до 45° с помощью мерных блоков. Колебание стола можно заблокировать, чтобы избежать движений во время его использования. Зажимы для крепления стола поставляются отдельно и должны быть заказаны отдельно. ОДНА ОСЬ ВРАЩЕНИЯ Столы с одной продольной осью вращения. ДВОЙНАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ Столы с одной продольной и одной…
Все каталоги и технические брошюры SELTER
ПАТРОНЫ НА ПОСТОЯННЫХ МАГНИТАХ
4 страницы
КРУГЛЫЕ МАГНИТНЫЕ ПАТРОНЫ
1 страниц
ЗАЖИМЫ
2 страницы
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАТРОНЫ
2 страницы
ЭЛЕКТРОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАТРОНОВ
2 страницы
ПАТРОНЫ НА ПОСТОЯННЫХ МАГНИТАХ QUADRI-POL
3 страницы
ЭЛЕКТРОПАТОЧНЫЕ ПАТРОНЫ НА ПОСТОЯННЫХ МАГНИТАХ LINI-POL
1 Страницы
ЭЛЕКТРОПАТОЧНЫЕ ПАТРОНЫ НА ПОСТОЯННЫХ МАГНИТАХ RADI-POL
1 стр.
ЭЛЕКТРОМАГНИТЫ
1 страниц
РАЗМАГНИЧИВАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
2 страницы
МАГНИТНЫЕ ПОПЛАВКИ
1 Страницы
МАГНИТНЫЕ ПОДСТАВКИ
2 Страницы
МАГНИТНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
1 стр.
МАГНИТНЫЕ ПЛАСТИНЫ
1 Страницы
Подъемные магниты серии EMX
4 страницы
Синусоидальные столы с магнитным держателем
2 страницы
Постоянные прямоугольные магнитные держатели
4 страницы
Сравнить
Удалить все
Сравнить до 10 продуктов
Индийские таблицы синусов — Dharmapedia Wiki
Индийские таблицы синусов были построены и усовершенствованы несколькими древнеиндийскими математиками, включая авторов Сурья Сиддханты и Арьябхаты. Самая ранняя таблица синусов находится в Сурья-сиддханте, а другой текст — это астрономический трактат Арьябхания, составленный в пятом веке индийским математиком и астрономом Арьябхатой (476–550 гг. Н. Э.) Для вычисления полухорд определенного набора дуг. круга. Таблица, найденная в Сурья Сиддханте, представляет собой таблицу (в современных терминах) значений R.sinθ, где R — стандартный индийский радиус 3438 минут. Таблица Арьябхаты также не является набором значений тригонометрической функции синуса в обычном смысле; это таблица первых разностей значений тригонометрических синусов, выраженных в угловых минутах, и из-за этого таблица также упоминается как Таблица синусов-разностей Арьябхаты . [1] [2]
Некоторые считают, что таблица Арьябхаты была первой таблицей синусов, построенной в истории математики. [3] Таблица Арьябхаты осталась стандартной таблицей синусов древней Индии. Постоянно предпринимались попытки повысить точность этой таблицы. Эти усилия завершились в конечном итоге открытием степенных рядов функций синуса и косинуса Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 — ок. 1425), основателем керальской школы астрономии и математики, и составлением таблицы синусов. Мадхавой со значениями с точностью до семи или восьми знаков после запятой.
Содержание
- 1 Древнеиндийские понятия Джья (аккорд) и Чаап или Дхану (дуга)
- 1.1 Определение
- 1.2 Терминология
- 1.3 От джья до синуса
- 2 Индийские таблицы синусов
- 2.1 Таблица синусов Сурья Сиддханты
- 2.2 Таблица синусов Арьябхаты
- 2.3 Сравнение различных таблиц синусов
- 3 См. также
- 4 Каталожные номера
Древнеиндийские понятия Джья (аккорд) и Чаап или Дхану (дуга)[править]
Jyā , koti-jyā и utkrama-jyā — это три тригонометрические функции, введенные индийскими математиками и астрономами. Самый ранний известный индийский трактат, содержащий упоминания об этих функциях, — это Сурья Сиддханта. [4] Это функции дуг окружностей, а не функции углов. Джья и котийя тесно связаны с современными тригонометрическими функциями синуса и косинуса. Фактически, происхождение современных терминов «синус» и «косинус» восходит к санскритским словам jyā и kotijyā. [4]
Определение[править]
Пусть «дуга AB» обозначает дугу, двумя концами которой являются A и B окружности с центром O. Если перпендикуляр BM опустить из B в OA, то:
- jyā дуги AB = BM
- коти-джйа дуги АВ = ОМ
- utkrama-jyā дуги AB = MA
Если радиус окружности равен R , а длина дуги AB равна с , угол, образуемый дугой AB в точке O, измеренный в радианах, равен θ = с / Р . Три индийские функции связаны с современными тригонометрическими функциями следующим образом:
- jyā ( дуга AB ) = R sin ( s / R )
- koti-jyā ( дуга AB ) = R cos ( s / R )
- utkrama-jyā ( дуга AB ) = R ( 1 — cos ( s / R )) = R версия ( s / R )
Терминология Прямая линия, соединяющая два конца дуги окружности, подобна тетиве лука, и эта линия является хордой окружности.
Этот аккорд называется jyā , что на санскрите означает «тетива». Слово джива также используется как синоним джйа в геометрической литературе. [5] В какой-то момент индийские астрономы и математики поняли, что вычисления были бы более удобными, если бы вместо полных хорд использовались половины хорд и ассоциировались полухорды с половинами дуг. [4] [6] Полуаккорды назывались ardha-jyā s или jyā-ardha s. Эти термины были снова сокращены до джйа за счет исключения определителя ардха , что означало «половина».Санскритское слово koṭi имеет значение «острие, острие», а именно «изогнутый конец лука». В тригонометрии оно стало обозначать «дополнение дуги до 90°». Таким образом коти-джья — это « джья дополнительной дуги». В индийских трактатах, особенно в комментариях, koti-jyā часто обозначается аббревиатурой kojyā . Термин koṭi также обозначает «сторону прямоугольного треугольника». Таким образом, коти-джйа является основанием/линии прямоугольного треугольника с jyā — перпендикуляр/подъем. [4]
Уткрама означает «перевернутый», таким образом, уткрама-джйа означает «перевернутый аккорд». Табличные значения уткрама-джья получены из табличных значений джйа вычитанием элементов из радиуса в обратном порядке. На самом деле это стрела между луком и тетивой, поэтому ее также называют бана , ишу или шара , что означает «стрела». [4]
Дуга окружности, образующая в центре угол 90°, называется вритта-пада (квадрат окружности). Каждый знак зодиака определяет дугу в 30°, а три последовательных знака зодиака определяют 90 145 вритта-пад 90 146 . джйа вритта-пады — это радиус круга. Индийские астрономы ввели термин три-джья для обозначения радиуса основания круга, а термин три-джья указывает на «девятку».0145 jyā из трех знаков». Радиус также называется vyāsārdha , viṣkambhārdha , vistarārdha и т. д., все означает «полудиаметр». [4]
jyā и koti-jyā соответственно обозначаются как «Rsin» и «Rcos» и рассматриваются как отдельные слова. (первые буквы — заглавные, в отличие от первых букв — строчных в обычных функциях синуса и косинуса).0147 [6]
От jyā к sine или, точнее, к его синониму
джива . Этот термин был принят в средневековой исламской математике и транслитерировался на арабском языке как джиба (جيب). Поскольку арабский язык пишется без кратких гласных, а в качестве заимствования долгая гласная здесь обозначена как yāʾ , это было истолковано как омографическое 9.0145 jayb , что означает «лоно». Латинский переводчик текста XII века использовал латинский эквивалент слова «грудь», sinus . [9] Когда jyā стало sinus , по аналогии kojyā стало co-sinus .Индийские таблицы синусов[править]
Таблица синусов Сурья Сиддханта[править]
Сурья Сиддханта предоставляет методы для расчета значения синуса в главе 2. В нем используется стандартный индийский круг радиусом 3438 единиц. Он делит квадрант на 24 равных сегмента, каждый из которых имеет угол 3,75 ° и длину 225 минут. Стих 15-16 переводится как
Восьмая часть числа минут, содержащегося в знаке зодиака (Раши) (т.е. 1800), составляет первый синус (Джья). Разделите первый синус сам на себя, вычтите частное из этого синуса и прибавьте остаток к этому синусу: сумма будет вторым синусом. Таким образом последовательно делим синусы на первый синус, вычитаем частное из делителя и прибавляем остаток к последнему найденному синусу, и сумма будет следующим синусом. Таким образом, вы получаете двадцать четыре синуса (в квадранте круга, радиус которого составляет 3438 единиц) [10]
Стих 17-22 переводится как
The Twenty four sines are 225, 449, 671, 890, 1105, 1315, 1520, 1719, 1910, 2093, 2267, 2431, 2585, 2728, 2859, 2978, 3084, 3177, 3256, 3321, 3372 , 3409, 3431, 3438.
Из числа 3438 отдельно вычесть синусы в обратном порядке, остаток — перевернутые синусы. [11]
Стих 23-27 переводится как
Развернутые синусы в квадранте равны 7, 29, 66, 117, 182, 261, 354, 460, 579, 710, 853, 1007, 1171, 1345, 1528, 1719, 1918, 2123, 2333, 2548, 2767, 2989, 3213, 3146. 902.
Таблица синусов Арьябхаты
मखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व | घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कला-अर्ध-ज्यास् ||
Второй раздел Арьябхатийи под названием Ганитападд a содержит строфу, указывающую метод вычисления таблицы синусов. Есть несколько неясностей в правильном толковании смысла этого стиха. Например, ниже приводится перевод стиха, данного Кацем, в котором слова в квадратных скобках являются вставками переводчика, а не переводом текстов в стихе. [13]
- «Когда разбиваемая вторая полу[хорда] меньше первой полухорды, которая [приблизительно равна] [соответствующей] дуге, на определенную величину, оставшаяся [синус- разности] меньше [предыдущих] каждая на то количество, которое делится на первую полухорду».
Это может относиться к тому факту, что вторая производная функции синуса равна отрицательной функции синуса. Арьябхата выбрал число 3438 в качестве значения радиуса окружности основания для вычисления своей таблицы синусов. Обоснованием выбора этого параметра является идея измерения длины окружности в угловых единицах. В астрономических вычислениях расстояния измеряются в градусах, минутах, секундах и т. д. В этой мере длина окружности равна 360° = (60 × 360) минут = 21600 минут. Радиус круга, длина окружности которого равна 21600 минут, равен 21600/2π минут. Вычислив это, используя значение π = 3,1416, известное Арьябхате, можно получить радиус круга примерно равным 3438 минутам. Таблица синусов Арьябхаты основана на этом значении радиуса основной окружности.
Значения, закодированные в санскритском стихе Арьябхаты, можно расшифровать с помощью числовой схемы, описанной в Арьябхатийе, а расшифрованные числа перечислены в таблице ниже. В таблице меры угла, относящиеся к таблице синусов Арьябхаты, перечислены во втором столбце. Третий столбец содержит список чисел, содержащихся в приведенном выше стихе на санскрите, написанном шрифтом деванагари. Для удобства пользователей, не умеющих читать деванагари, эти слова-цифры воспроизведены в четвертом столбце в ISO 159.19 транслитерация. В следующем столбце эти числа записаны индийско-арабскими цифрами. Числа Арьябхаты — это первые различия значений синусов. Соответствующее значение синуса (точнее, jya ) можно получить, суммируя разности до этой разности. Таким образом, значение джйа , соответствующее 18° 45′, представляет собой сумму 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Для оценки точности вычислений Арьябхаты современные значения джйа с приведены в последнем столбце таблицы.
Сравнение различных таблиц синусов Таблица синуса Арьябхаты вычисляет те же значения синуса, что и в
Сурья Сиддханте . Очевидно, что некоторые индийские математики усовершенствовали таблицы синусов. Арьябхата вычисляет значения синуса, которые такие же, как в Сурья Сиддханта , но Мадхава не округлял значения джйи и давал их дальше в минутах, секундах и третях. Значения Мадхавы Джья, преобразованные в современные значения синуса, обеспечивают поразительную точность до 6 знаков после запятой по сравнению с современными значениями синуса.Сл. Нет | Угол (в градусах, угловых минут) | Значение Арьябхаты Джьи (R.sine) | Сурья Сиддханта значение Джья (R.sine) | Сурья Сиддханта стихами синусов | Современное значение из Jyā R.sine | значений синуса Мадхавы | Производные значения синуса Мадхавы | Современные значения синуса |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 03° 45′ | 225′ | 225′ | 7′ | 224.8560 | 0,06540314 | 0,06540313 | |
2 | 07° 30′ | 449′ | 449′ | 29′ | 448. 7490 | 0,13052623 | 0,13052619 | |
3 | 11° 15′ | 671′ | 671′ | 66′ | 670.7205 | 0,19509032 | 0,19509032 | |
4 | 15° 00′ | 890′ | 890′ | 117′ | 889.8199 | 0,25881900 | 0,25881905 | |
5 | 18° 45′ | 1105′ | 1105′ | 182′ | 1105.1089 | 0,32143947 | 0,32143947 | |
6 | 22° 30′ | 1315′ | 1315′ | 261′ | 1315. 6656 | 0,38268340 | 0,38268343 | |
7 | 26° 15′ | 1520′ | 1520′ | 354′ | 1520.5885 | 0,44228865 | 0,44228869 | |
8 | 30° 00′ | 1719′ | 1719′ | 460′ | 1719.0000 | 0,49999998 | 0,50000000 | |
9 | 33° 45′ | 1910′ | 1910′ | 579′ | 1910.0505 | 0,55557022 | 0,55557023 | |
10 | 37° 30′ | 2093′ | 2093′ | 710′ | 2092. 9218 | 0,60876139 | 0,60876143 | |
11 | 41° 15′ | 2267′ | 2267′ | 853′ | 2266.8309 | 0,65934580 | 0,65934582 | |
12 | 45° 00′ | 2431′ | 2431′ | 1007′ | 2431.0331 | 0,70710681 | 0,70710678 | |
13 | 48° 45′ | 2585′ | 2585′ | 1171′ | 2584.8253 | 0,75183985 | 0,75183981 | |
14 | 52° 30′ | 2728′ | 2728′ | 1345′ | 2727. 5488 | 0,79335331 | 0,79335334 | |
15 | 56° 15′ | 2859′ | 2859′ | 1528′ | 2858.5925 | 0,83146960 | 0,83146961 | |
16 | 60° 00′ | 2978′ | 2978′ | 1719′ | 2977.3953 | 0,86602543 | 0,86602540 | |
17 | 63° 45′ | 3084′ | 3084′ | 1918′ | 3083.4485 | 0,89687275 | 0,89687274 | |
18 | 67° 30′ | 3177′ | 3177′ | 2123′ | 3176. 2978 | 0,92387954 | 0,92387953 | |
19 | 71° 15′ | 3256′ | 3256′ | 2333′ | 3255.5458 | 0,94693016 | 0,94693013 | |
20 | 75° 00′ | 3321′ | 3321′ | 2548′ | 3320.8530 | 0,96592581 | 0,96592583 | |
21 | 78° 45′ | 3372′ | 3372′ | 2767′ | 3371.9398 | 0,98078527 | 0,98078528 | |
22 | 82° 30′ | 3409′ | 3409′ | 2989′ | 3408. 5874 | 0,99144487 | 0,99144486 | |
23 | 86° 15′ | 3431′ | 3431′ | 3213′ | 3430.6390 | 0,99785895 | 0,99785892 | |
24 | 90° 00′ | 3438′ | 3438′ | 3438′ | 3438.0000 | 0,99999997 | 1.00000000 |
См. также[править]
- Таблица синусов Мадхавы
- Формула приближения синуса Бхаскара I
Ссылки[править]
- ↑ Такао Хаяши, Т. (ноябрь 1997 г.). «Правило Арьябхаты и таблица разностей синусов». История математики . 24 (4): 396–406. doi:10.1006/hmat.1997.2160 [архив] .
- ↑ Б.Л. ван дер Варден, Б.Л. (март 1988 г.). «Реконструкция греческой таблицы аккордов». Архив истории точных наук . 38 (1): 23–38. doi:10.1007/BF00329978 [архив] .
- ↑ Дж. Дж. О’Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» [архив] . Проверено 4 марта 2010 г.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 Б.Б. Сингх (1983). «Индуистская тригонометрия» [архив] (PDF) . Индийский журнал истории науки . 18 (1): 39–108. Проверено 1 марта 2010 г.
css»> - ↑ По мнению лексикографов, это синоним, также означающий «тетива», но только его геометрический смысл засвидетельствован в литературе. Монье-Уильямс, Санскритский словарь (1899 г.): « jīvá с.ш. (в геом. = jyā ) хорда дуги, синус дуги Suryasiddhanta 2,57″; jīvá как родовое прилагательное имеет значение «живой, живой» (родственно английскому quick )
- ↑ 6,0 6,1 Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. стр. 95–97. ISBN 978-0-691-12973-0 .
- ↑ «Как триггерные функции получили свои названия» [архив] . Спросите доктора Математики . Университет Дрекселя. Проверено 2 марта 2010 г.
- ↑ Дж. Дж. О’Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» [архив] . Проверено 2 марта 2010 г.
- ↑ Различные источники приписывают первое использование sinus :
- Платон Тибуртинус 1116 перевод Астрономии Аль-Баттани
- Жерар Кремонский ок. 1150 перевод Алгебра аль-Хорезми
- Перевод таблиц аль-Хорезми Робертом Честерским 1145 г.
См. Maor (1998), глава 3, для более ранней этимологии, посвященной Джерарду.
См. Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон. п. 210 (боковая панель). ISBN 978-0321387004 .