Тангенс двойного угла через синус: Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

Калькулятор тождеств двойного угла

Знание того, как вычислять тождества двойного угла, поможет вам решить множество проблем после первого знакомства с тригонометрией. От средней школы до университета и даже после этого этот удобный инструмент окажет вам необходимую помощь, обновляя или вычисляя эти важные математические формулы.
С помощью этого инструмента вы узнаете следующее:

  • Что такое тождества двойного угла триггера ;
  • Как рассчитать тождества двойного угла в тригонометрии;

и многое другое, в качестве примеров и сопутствующих инструментов!

Что такое тригонометрические тождества двойного угла?

Двойные угловые тождества являются классом тригонометрических тождеств (т. функция для удвоенного значения угла к алгебраической комбинации других тригонометрических функций, примененных к значению угла .

Тождества с двойным углом позволяют вычислять значения таких функций, как sin⁡(2α)\sin(2\alpha)sin(2α), cos⁡(4β)\cos(4\beta)cos(4β) и скоро. Этот класс тождеств является частным случаем составных угловых тождеств , которые позволяют вычислять тригонометрические функции сумм углов .

Как вычислить тождества двойного угла?

В этом разделе мы научимся вычислять тождества двойного угла для трех фундаментальных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса). Давайте посмотрим их один за другим!

Вычислите тождество двойного угла для синуса

Тождество двойного угла для синуса — первое, с чем мы встретимся в нашем путешествии. В математических терминах мы можем использовать следующую формулу:

sin⁡(2α)=2sin⁡(α)cos⁡(α)\scriptsize \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\ альфа) sin(2α)=2sin(α)cos(α) 92-1 \end{split}(sin(α)+cos(α))22sin(α)cos(α)2sin(α)cos(α)​=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos( α)=(sin(α)+cos(α))2−sin2(α)−cos2(α)=(sin(α)+cos(α))2−1​

  • Если мы также используем определение тангенса как отношения между синусом и косинусом, мы можем найти третий способ выразить sin⁡(2α)\sin(2\alpha)sin(2α):

2sin⁡(α)cos⁡(α)=2(tan⁡(α)cos⁡(α))cos⁡(α)=2tan⁡(α)cos⁡2(α)=2tan⁡(α)1cos ⁡2(α)=2tan⁡(α)cos⁡2(α)+sin⁡2(α)cos⁡2(α)=2tan⁡(α)1+tan⁡2(α)\scriptsize\quad\begin {расколоть} 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)&=2\left(\tan(\alpha)\cos(\alpha)\right)\cos(\alpha)\\ &=2\тангенс(\альфа)\cos^2(\альфа)\\[1em] &=\frac{2\tan(\alpha)}{\frac{1}{\cos^2(\alpha)}}\\[1em] &=\frac{2\tan(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}\\[1em ] &=\frac{2\tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}\\[1em] \end{split}2sin(α)cos(α)​=2(tan(α)cos(α))cos(α)=2tan(α)cos2(α)=cos2(α)1​2tan(α) ​=cos2(α)cos2(α)+sin2(α)​2tan(α)​=1+tan2(α)2tan(α)​​ 92(\alpha)}tan(2α)=1−tan2(α)2tan(α)​

Если наш калькулятор тождеств двойного угла триггера был полезен, мы предлагаем вам посетить другие наши инструменты, связанные с темой:

  • калькулятор формулы двойного угла;
  • Тета-калькулятор sin 2;
  • Калькулятор двойного угла; и
  • Тета-калькулятор cos 2.

Часто задаваемые вопросы

Как найти тождество двойного угла для синуса?

Чтобы найти тождество триггера двойного угла для синуса, выполните следующие простые шаги:

  1. Начните с формулы составного угла для синуса: sin(α + ß) = sin(α)cos(ß) + sin(ß)cos(α) .
  2. Замените угол ß на α ,
  3. Результатом является следующая формула: sin(α + α) = sin(2α) = sin(α)cos(α) + sin(α)cos(α) = 2sin(α)cos(α) .

Какие тождества двойного угла в тригонометрии?

Тригонометрические тождества двойного угла представляют собой набор тригонометрических тождеств, позволяющих вычислять значения тригонометрических функций углов в виде , когда известно значение sin(α) , cos(α) или tan(α) . Вот тождества для трех фундаментальных тригонометрических функций:

  • sin(2α) = 2sin(α)cos(α) ;
  • cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) ; и
  • тангенс(2α) = 2тангенс(α)/(1 - тангенс²(α)) .

Как найти косинус 120 градусов?

Чтобы найти косинус 120 градусов, вы можете использовать тождество двойного угла тригонометрии для косинуса . Используйте следующую формулу:
cos(2α) = cos²(α) - 1
Если вы знаете косинус для этого:
cos(2α) = 1 + sin²(α)
Если вы знаете синус.
Выбрав 2α = 120° и зная, что sin(60) = sqrt(3)/2 , напишите:
cos(120°) = 1 - sin²(60°) = 1 - 3/4 = 2/4 = 1/2

Немного тригонометрии

Вы уже это знаете, верно? Вы видели триггерные функции определяется как степенной ряд, и вы знаете «стандартные» определения cos как смежные по гипотенузе и так далее. Но знаете ли вы, что совместно с значит в косинусе? А ты знаешь что

arc означает в арксинусе? И знаете ли вы, что делать, если вам неожиданно понадобилась триггерная идентификация, пока вы на пляже, далеко из вашего справочника CRC, и вы не можете его вспомнить?

Основные определения
Возьмем быстро взгляните на единичный круг и посмотрите, какие основные функции триггера являются. Конечно, это всего лишь длины, когда радиус круг один; в этом случае не о чем беспокоиться.

На схеме отмечены два угла:

и . является дополнительным углом co к , и синус, косинус и тангенс являются дополнительными функциями co for :

   sine () = синус дополнения из = косинус ()
   тангенс () = котангенс ()
   секанс () = косеканс ()

А как насчет обратных функций? Длина дуги

угол равно тета. Итак, дуга длина связана с длиной линия синусоиды, например, совпадает с углом, связанным с это. Следовательно,

   длина дуги связана со значением синуса x = дуга синуса = дуга синус ( x ) = = синус -1 ( x )

поэтому все обратные триггерные функции называются «дугой…», в отличие от любая другая обратная функция во Вселенной.

Формулы двойного угла, суммы углов и половинного угла

Вы их выучили. Я их тоже выучил. Если ты похож на меня ты не можешь их запомнить. Но вам не нужно к, потому что они все просто композиции вращений , а ты может получить все, что вам нужно, из матрицы вращения с очень небольшим усилие. Итак, все, что вам действительно нужно запомнить, это форма круговое вращение.

Поворот плоскости X-Y на θ задается матрицей:

Если мы повернем на θ, а затем на φ, общее вращение будет на θ+φ, и это задается матрицей

Но это также просто состав матрицы вращения для θ с матрица вращения для φ:

Таким образом, чтобы найти любой из элементов в комбинированной матрице вращения, мы просто необходимо выполнить умножение матриц. Мы можем прочитать напрямую:

Это был одношаговый вывод .

Формулы двойного угла являются их частными случаями, поэтому мы можем также сразу видно, что

Если вам нужны формулы половинного угла, вы можете просто заменить φ/2 на θ в формулах двойного угла. Формула половинного угла cos немедленно:

Формула синуса требует некоторой алгебры, но легко получается из cos формула:

Опять же, я не к тому, что вы хотите пройти через это упражнение всякий раз, когда вам сделать любую алгебру. Скорее, я хочу сказать, что если вы застряли на идентичность, не сдавайтесь — зачастую их не так уж сложно понять от царапать. На самом деле, запоминать происхождение нужно меньше, чем есть к запоминанию готовых формул.

Другие тригонометрические тождества

Помимо формул суммы углов, существует множество тригонометрических тождеств. конечно, и их почти все трудно запомнить, если вы их не используете каждый день. Очевидно, если вы находитесь рядом с справочник или компьютер, если он вам нужен, вы просто посмотрите его вверх. Но если вы застряли, вы обычно можете вытащить простые изображения с помощью теоремы Пифагора и ряда других очень легко вывести из основных. На самом деле я, в по крайней мере, гораздо легче вспомнить общий подход к выводам, чем я нахожу, состоит в том, чтобы вспомнить точные формулы. Вот два примера, один тривиальный, один немного более сложный.

Предположим, у вас есть синус, и вам нужен тангенс. Просто нарисуй картинку, обозначьте стороны так, чтобы одна из них имела известную вам длину (в данном случае синус), и вы можете прочитать другие функции напрямую:

Но это довольно тривиально, и вы можете сделать это в уме. Вот посложнее.

Предположим, вам нужна производная арктангенса, и вы просто не можете вспомнить, что это такое. Что делать?

Ну, вы наверняка помните производные синуса и косинуса, даже если вы других не могу вспомнить. Итак, перепишите задачу в следующих терминах:

, а теперь просто протолкните через него оператор «d» и используйте цепное правило и частное правило для его решения:

После того, как буквы «d» пройдены полностью, вам просто нужно получить правый внизу. Умножить на и готово:

 

О, но здесь у нас есть cos() в результате, и все, что мы знаем, это то, что

x = tan().

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *