Калькулятор тождеств двойного угла
Знание того, как вычислять тождества двойного угла, поможет вам решить множество проблем после первого знакомства с тригонометрией. От средней школы до университета и даже после этого этот удобный инструмент окажет вам необходимую помощь, обновляя или вычисляя эти важные математические формулы.
С помощью этого инструмента вы узнаете следующее:
- Что такое тождества двойного угла триггера ;
- Как рассчитать тождества двойного угла в тригонометрии;
и многое другое, в качестве примеров и сопутствующих инструментов!
Что такое тригонометрические тождества двойного угла?
Двойные угловые тождества являются классом тригонометрических тождеств (т. функция для удвоенного значения угла к алгебраической комбинации других тригонометрических функций, примененных к значению угла .
Тождества с двойным углом позволяют вычислять значения таких функций, как sin(2α)\sin(2\alpha)sin(2α), cos(4β)\cos(4\beta)cos(4β) и скоро.
Этот класс тождеств является частным случаем составных угловых тождеств , которые позволяют вычислять тригонометрические функции сумм углов .
Как вычислить тождества двойного угла?
В этом разделе мы научимся вычислять тождества двойного угла для трех фундаментальных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса). Давайте посмотрим их один за другим!
Вычислите тождество двойного угла для синуса
Тождество двойного угла для синуса — первое, с чем мы встретимся в нашем путешествии. В математических терминах мы можем использовать следующую формулу:
sin(2α)=2sin(α)cos(α)\scriptsize \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\ альфа) sin(2α)=2sin(α)cos(α) 92-1 \end{split}(sin(α)+cos(α))22sin(α)cos(α)2sin(α)cos(α)=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos( α)=(sin(α)+cos(α))2−sin2(α)−cos2(α)=(sin(α)+cos(α))2−1
- Если мы также используем определение тангенса как отношения между синусом и косинусом, мы можем найти третий способ выразить sin(2α)\sin(2\alpha)sin(2α):
2sin(α)cos(α)=2(tan(α)cos(α))cos(α)=2tan(α)cos2(α)=2tan(α)1cos 2(α)=2tan(α)cos2(α)+sin2(α)cos2(α)=2tan(α)1+tan2(α)\scriptsize\quad\begin {расколоть} 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)&=2\left(\tan(\alpha)\cos(\alpha)\right)\cos(\alpha)\\ &=2\тангенс(\альфа)\cos^2(\альфа)\\[1em] &=\frac{2\tan(\alpha)}{\frac{1}{\cos^2(\alpha)}}\\[1em] &=\frac{2\tan(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}\\[1em ] &=\frac{2\tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}\\[1em] \end{split}2sin(α)cos(α)=2(tan(α)cos(α))cos(α)=2tan(α)cos2(α)=cos2(α)12tan(α) =cos2(α)cos2(α)+sin2(α)2tan(α)=1+tan2(α)2tan(α) 92(\alpha)}tan(2α)=1−tan2(α)2tan(α)
Если наш калькулятор тождеств двойного угла триггера был полезен, мы предлагаем вам посетить другие наши инструменты, связанные с темой:
- калькулятор формулы двойного угла;
- Тета-калькулятор sin 2;
- Калькулятор двойного угла; и
- Тета-калькулятор cos 2.
Часто задаваемые вопросы
Как найти тождество двойного угла для синуса?
Чтобы найти тождество триггера двойного угла для синуса, выполните следующие простые шаги:
- Начните с формулы составного угла для синуса:
sin(α + ß) = sin(α)cos(ß) + sin(ß)cos(α). - Замените угол
ßнаα, - Результатом является следующая формула:
sin(α + α) = sin(2α) = sin(α)cos(α) + sin(α)cos(α) = 2sin(α)cos(α).
Какие тождества двойного угла в тригонометрии?
Тригонометрические тождества двойного угла представляют собой набор тригонометрических тождеств, позволяющих вычислять значения тригонометрических функций углов в виде 2α , когда известно значение sin(α) , cos(α) или tan(α) . Вот тождества для трех фундаментальных тригонометрических функций:
-
sin(2α) = 2sin(α)cos(α); -
cos(2α) = cos²(α) - sin²(α); и -
тангенс(2α) = 2тангенс(α)/(1 - тангенс²(α)).
Как найти косинус 120 градусов?
Чтобы найти косинус 120 градусов, вы можете использовать тождество двойного угла тригонометрии для косинуса . Используйте следующую формулу:
cos(2α) = cos²(α) - 1
Если вы знаете косинус для этого:
cos(2α) = 1 + sin²(α)
Если вы знаете синус.
Выбрав 2α = 120° и зная, что sin(60) = sqrt(3)/2 , напишите:
cos(120°) = 1 - sin²(60°) = 1 - 3/4 = 2/4 = 1/2
Немного тригонометрии
Вы уже это знаете, верно? Вы видели
триггерные функции
определяется как степенной ряд, и вы знаете «стандартные» определения cos
как смежные по гипотенузе и так далее. Но знаете ли вы, что совместно с значит в косинусе? А ты знаешь
что arc означает в арксинусе? И знаете ли вы, что делать, если
вам неожиданно понадобилась триггерная идентификация, пока вы на пляже, далеко
из вашего справочника CRC, и вы не можете его вспомнить?
Возьмем быстро взгляните на единичный круг и посмотрите, какие основные функции триггера являются.
Конечно, это всего лишь длины, когда радиус
круг один; в этом случае не о чем беспокоиться. На схеме отмечены два угла:
и . является дополнительным углом co к , и синус, косинус и тангенс являются дополнительными функциями co for :
sine () = синус дополнения
из
= косинус ()
тангенс () = котангенс
()
секанс () = косеканс ()
А как насчет обратных функций? Длина дуги
длина дуги связана со значением синуса x = дуга синуса = дуга синус ( x ) = = синус -1 ( x )
поэтому все обратные триггерные функции называются «дугой…», в отличие от любая другая обратная функция во Вселенной.
Формулы двойного угла, суммы углов и половинного угла Вы их выучили.
Я их тоже выучил. Если ты похож на меня
ты не можешь их запомнить. Но вам не нужно
к, потому что они все просто композиции вращений , а ты
может получить все, что вам нужно, из матрицы вращения с очень небольшим
усилие. Итак, все, что вам действительно нужно запомнить, это форма
круговое вращение.
Поворот плоскости X-Y на θ задается матрицей:
Если мы повернем на θ, а затем на φ, общее вращение будет на θ+φ, и это задается матрицей
Но это также просто состав матрицы вращения для θ с матрица вращения для φ:
Таким образом, чтобы найти любой из элементов в комбинированной матрице вращения, мы просто необходимо выполнить умножение матриц. Мы можем прочитать напрямую:
Это был одношаговый вывод .
Формулы двойного угла являются их частными случаями, поэтому мы можем также сразу видно, что
Если вам нужны формулы половинного угла, вы можете просто заменить φ/2 на θ
в формулах двойного угла.
Формула половинного угла cos
немедленно:
Формула синуса требует некоторой алгебры, но легко получается из cos формула:
Опять же, я не к тому, что вы хотите пройти через это упражнение всякий раз, когда вам сделать любую алгебру. Скорее, я хочу сказать, что если вы застряли на идентичность, не сдавайтесь — зачастую их не так уж сложно понять от царапать. На самом деле, запоминать происхождение нужно меньше, чем есть к запоминанию готовых формул.
Помимо формул суммы углов, существует множество тригонометрических тождеств.
конечно, и их почти все трудно запомнить, если вы их не используете
каждый день. Очевидно, если вы находитесь рядом с
справочник или компьютер, если он вам нужен, вы просто посмотрите его
вверх. Но если вы застряли, вы обычно можете вытащить простые
изображения с помощью теоремы Пифагора и ряда других
очень легко вывести из основных. На самом деле я, в
по крайней мере, гораздо легче вспомнить
общий подход к выводам, чем я нахожу, состоит в том, чтобы вспомнить
точные формулы.
Вот два примера, один тривиальный, один немного
более
сложный.
Предположим, у вас есть синус, и вам нужен тангенс. Просто нарисуй картинку, обозначьте стороны так, чтобы одна из них имела известную вам длину (в данном случае синус), и вы можете прочитать другие функции напрямую:
Но это довольно тривиально, и вы можете сделать это в уме. Вот посложнее.
Предположим, вам нужна производная арктангенса, и вы просто не можете вспомнить, что это такое. Что делать?
Ну, вы наверняка помните производные синуса и косинуса, даже если вы других не могу вспомнить. Итак, перепишите задачу в следующих терминах:
, а теперь просто протолкните через него оператор «d» и используйте цепное правило и частное правило для его решения:
После того, как буквы «d» пройдены полностью, вам просто нужно получить правый внизу. Умножить на и готово:
О, но здесь у нас есть cos() в результате,
и все, что мы знаем, это то, что 