Тангенс котангенс синус косинус отношения: Синус, косинус, тангенс и котангенс

Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, формулы, примеры

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Что такое синус?

Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Что такое косинус?

Косинус угла (cosα) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Что такое тангенс?

Тангенс угла (tg α) — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Синус и косинус можно представить через экспоненту (экспоненциальная функция).

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Означения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять (находить) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Что и почему важно и принято помнить в ходе такого нахождения?

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тг и ктг — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором — теорему косинусов.

Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы. 

Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).

Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin или син) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=икс

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе.  tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котанг угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Простое правило: синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу 

t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.  

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

​​​​​​​

Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?

 

Откуда появилась тригонометрия?

        Знакомство наше начнём с глубокой древности. С древнего Египта, Вавилона и Китая. Не переживайте, все 20 веков тригонометрии мы с вами освоим всего за 20 минут. Можете засекать время.)

        Итак, откуда же и как появилась тригонометрия?

        Первоначально, на заре своего становления, тригонометрия не являлась самостоятельным разделом математики. Она, скорее, была частью астрономии. Дело всё в том, что древним астрономам, которые интересовались нашими главными небесными телами (Луной и Солнцем) и вовсю изучали их поведение, постоянно приходилось просчитывать и расстояния до них. С достаточной точностью для того далёкого времени, между прочим.) Скажем, чтобы предсказывать затмения. Или приливы/отливы. Просчитывать эти самые расстояния древним людям приходилось с помощью обыкновенного… треугольника.) Да-да! Просчитывать — значит, искать какие-то неизвестные элементы треугольника по известным другим. Это могут быть стороны (т.е. расстояния), а могут быть и какие-то углы. Всё зависело от того, какую именно задачу решали древние люди. И тот факт, что между сторонами и углами треугольника существует взаимосвязь, уже тогда у древних людей не вызывал сомнений.

        Чуть позже, по мере развития цивилизации, большинство учёных стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика, навигация в дальних морских походах, геодезия и картография… Слово «триангуляция» (разбиение местности на треугольники) вам знакомо? Нет? А тригонометрическая вышка или тригонометрический знак? Тоже нет? Что ж, если попутешествуете по нашей необъятной Родине, то на открытых местах (на вершинах холмов, в полях и т.п.) вы можете заметить небольшие пирамидки или башенки. Эти пирамидки — и есть тригонометрические знаки. Или геодезические пункты. Они служили верой и правдой геодезистам и картографам тех далёких времён для составления карт местности.) Этих знаков сохранилось по России очень много.) 

        Короче, в любых областях, где приходилось сталкиваться с обычным треугольником и вычислением его элементов (сторон и углов) через другие его элементы, людям неизбежно приходилось сталкиваться с тригонометрией.

        А дальше — теория колебаний, электричество, акустика, радиосвязь… И в основе всего этого богатства — тоже тригонометрия, да…)

        И не было бы у нас сегодня ни мобильников, ни телевизоров, ни микроволновок, ни спутниковых навигаторов, ни многих других современных атрибутов комфортной жизни, кажущихся нам обыденностью…

        Итак, в основе всей тригонометрии лежит обыкновенный треугольник! Да-да! Именно так.

        Почему именно треугольник и откуда собственно взялось это красивое слово «тригонометрия» — об этом далее.)

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс… Что за звери?

        Для начала нарисуем в тетрадке самый обычный прямоугольный треугольник. Стороны его обозначим как a, b и c, а один из острых углов обозначим буквой α. Это греческая буква «альфа», при написании очень похожая на «двойку без головы». Самая распространённая буква в тригонометрии для обозначения углов. Привыкаем.)

        Вот такая картинка у нас получится:

        

        На всякий случай, напомню, что стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b — катеты), а третья сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (c — гипотенуза).

        Казалось бы, треугольник и треугольник, эка невидаль! Что с ним делать-то? Спокойствие. Сейчас всё узнаете.)

        Сейчас, как и древние люди, мы будем наш треугольник измерять. Да-да! Кстати, страшное слово «тригонометрия» с древнегреческого языка на русский так и переводится — измерение треугольников. Намёк понятен?)

        Вот и измеряем. На рисунке специально клеточки нарисованы, как и в заданиях ЕГЭ или ОГЭ бывает. Чему равен катет a? Трём клеточкам (a = 3). А катет b? Не вопрос! Четырём клеточкам он равен (b = 4). А гипотенуза? Гипотенузу, конечно, по клеточкам не посчитаешь, но, воспользовавшись великой и могучей теоремой Пифагора, легко можно получить, что гипотенуза равна пяти (c = 5).

        Кстати сказать, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — весьма интересная фигура! Он известен ещё с античных времён и называется египетским треугольником. Ибо активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами. В том числе и при построении пирамид, между прочим.)

        А вообще, целые числа a, b, c, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, т. е. для которых выполняется теорема Пифагора

        a² + b² = c²,

        в математике так и называются — пифагоровыми тройками. Тройка (3; 4; 5) — самая известная. Ещё распространена тройка чисел (5; 12; 13). Или (8; 15; 17). Таких троек известно очень и очень много. Кому интересно, прогуляйтесь по ссылке и почитайте. Для самообразования.)

        А мы продолжим. Теперь сделаем следующее. Поделим длину катета a на длину катета b. Или, как принято говорить в математике, возьмём отношение a к b.

        Получим:

        a/b = 3/4

        Можно наоборот, поделить b на a. Получим 4/3. Или, скажем, поделить a на c. Получим 3/5. Иными словами, можно брать любые стороны прямоугольного треугольника, делить их длины друг на друга и получать какие-то числа. Безразмерные.

        И что из этого? Согласен, пока ничего особенного. Бессмысленное занятие, одним словом.)

        А теперь я поступлю следующим образом. Увеличу треугольник, продлив стороны b и c, но не как попало, а так, чтобы наш треугольник остался прямоугольным. Это важно. На картинке я для удобства увеличил все стороны треугольника в два раза.

        Вот так:

        

        Угол α, как видно, остался прежним. Старые стороны a, b и с превратились в новые стороны x, y, z. Их длины, естественно, изменились, увеличившись вдвое:

        x = 6

        y = 8

        z = 10

        А вот отношения новых длин сторон — не изменились!

        Смотрите сами.

        Было: a/b = 3/4.

        Стало: x/y = 6/8 = 3/4.

        И для других соответствующих сторон их отношения также не изменятся. Можно что угодно делать с треугольником — увеличивать, уменьшать, сохраняя при этом угол α, а отношения соответствующих сторон всё равно останутся прежними. Кому интересно, можете попробовать и проверить. Это полезно.)

        А вот это уже крайне важно! Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин этих самых сторон при одном и том же угле α. Этот факт настолько важен, что указанные отношения сторон даже заслужили свои специальные названия. Ну что, знакомимся? 🙂

        Синус угла α  — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

        sin α = a/c

 

        Косинус угла α  — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

        cos α = b/c

 

        Тангенс угла α  — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

        tg α  = a/b

 

        Котангенс угла α  — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

        ctg α  = b/a

 

        Вот такая вот весёлая семейка. Возможно, особо внимательные и любознательные ученики заметили, что я ничего не сказал здесь про отношения гипотенузы к катетам c/a и с/b. Они имеют какие-то свои специальные названия? Конечно! Секанс и косеканс.)

        sec α  = c/b

        cosec α  = c/a

        Но эти соотношения никакого практического смысла не имеют и в школе не рассматриваются. И мы тоже не будем.)

        Вся эта великолепная четвёрка (синус, косинус, тангенс и котангенс) называется тригонометрическими функциями.

        Зачем я всё это так занудно повторяю и некоторые слова выделяю жирным шрифтом? Да затем, что это надо запомнить! Причём запомнить железно. Улавливаете?

        Процесс запоминания можно существенно облегчить, если для начала запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется. Кроме того, ещё могут нахлынуть сомнения, какой из катетов, противолежащий или прилежащий, сидит соответственно у синуса/косинуса. Да и у тангенса/котангенса тоже. Здесь работает принцип под условным названием «дальше/ближе».

        Например: синус угла — это отношения дальнего от угла (т.е. противолежащего) катета к гипотенузе, а косинус — отношение ближнего (т.е. прилежащего) катета к гипотенузе.

        Тангенс — отношение дальнего от угла катета к ближнему. А котангенс — наоборот.

        Подведём предварительный итог. Как вы видите, всё просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс — это просто какие-то числа. Безразмерные. Ни больше ни меньше. Для каждого конкретного угла — свои персональные.

        А теперь давайте поразмышляем вот над чем. Как вы думаете, почему мы всегда говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Вроде бы мы отношения сторон считаем. Угол-то тут при чём? Догадались? Если нет, то тогда смотрим на следующую картинку:

        

        Что здесь нового? Я изменил (увеличил) угол с α до β («бета»). При этом все отношения сторон стали другими!

        Скажем, было a/b = 3/4, а стало m/b = 5/4. И все остальные отношения сторон также поменялись. Какой вывод можно сделать? Да! При одном и том же угле α отношения длин сторон никак не зависят от их длин. Но при этом колоссально зависят от этого самого угла! И только от него. Именно поэтому тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к углу. И говорить, скажем, о тангенсе, без конкретного угла — бессмысленно. Угол — ключевая действующая фигура в тригонометрии.

        Отсюда можно сделать важный вывод: если нам известен некий угол, то мы автоматически знаем и все его тригонометрические функции. Это неразрывная связь, которую надо уяснить железно.

        Стало быть, если нам дан угол, то считается, что все его тригонометрические функции нам тоже известны. Полностью весь комплект, от синуса до котангенса. И наоборот, если нам дана какая-то из тригонометрических функций угла (скажем, косинус), то автоматически нам известен и сам угол.

        Запоминаем: если нам известен угол, то нам автоматически известны и ВСЕ его тригонометрические функции. И наоборот — известна какая-то из тригонометрических функций (хотя бы одна), то известен и сам угол.

        У каждого угла есть свои персональные синус и косинус. И почти у каждого — свои тангенс и котангенс.

        Слово «почти» для тангенса и котангенса стоит не случайно. Об этом узнаете дальше.)

        Сейчас, в век калькуляторов и компьютеров, найти тригонометрическую функцию какого-либо угла — не проблема. И наоборот, по функции найти угол. Нажал нужную кнопочку и — ответ готов.) А вот раньше, во времена отсутствия вычислительной техники, для тригонометрических функций углов существовали свои специальные таблицы. Таблицы Брадиса назывались. Они, конечно же, существуют и поныне, но, благодаря техническому прогрессу, давно отошли на задний план и пылятся на полках. Но знать об их существовании и уметь ими пользоваться — очень и очень полезно.

        Конечно же, запомнить все-все значения тригонометрических функций всех-всех углов нереально. И не нужно.) Но среди всего многообразия углов есть некоторые углы, про которые вы обязаны знать всё. Об этом в следующих уроках будет. Но общий принцип «знаю угол — знаю его тригонометрические функции» срабатывает всегда! Безотказно.)

        А зачем нам вообще нужны все эти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы — спросите вы? Вопрос резонный.

        Пожалуйста! Вот вам типичная задачка из ЕГЭ:

        

        Всё. Никаких данных, кроме тех, что на картинке, больше нет. Нужно найти длину катета AB.

        Что делать будем? Клеточки не спасают: треугольник как-то неправильно ориентирован. Специально, похоже. ) Известна длина гипотенузы (6 клеток). Зачем-то дан ещё и угол…

        Вот тут самое время вспомнить про тригонометрию. Раз нам дан угол, то вспоминаем заклинание: «знаю угол — знаю и его тригонометрические функции!» И какую же из функций в дело пускать? А что нам дано в задачке? Нам дана гипотенуза AB, дан угол А, а найти просят прилежащий к этому углу катет.

        Понятное дело, что надо косинус в дело пускать. Вот и действуем. Прямо по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе) пишем:

        cos A = AB/AC

        Гипотенуза AC равна 6 клеток, угол А у нас 60 градусов. Про этот угол известно, что его косинус равен 1/2. Это одно из тех значений, которое ученик знать обязан. Безо всяких таблиц и безо всяких калькуляторов!

        Подставляем наши данные и получаем:

        1/2 = АВ/6

        Простенькое линейное уравнение с величиной АВ в качестве неизвестного. Решаем и получаем:

        АВ = 3

        Что и является верным ответом.

        В этой задачке нам, конечно, пришлось вспомнить, чему равен косинус угла в 60 градусов. Для знающих учеников никаких проблем. А вот у новичков, ещё не знакомых с тригонометрическими функциями популярных углов, пока остаются вопросы… Откуда и почему именно 1/2? А не 1? Или, может быть, 2/3…

        Ответы на эти вопросы будут позже. В соответствующем уроке.)

 

        Ещё из той же оперы, ближе к нашей теме. Уже чисто на определение и понимание смысла тригонометрических функций. Никаких конкретных табличных значений знать не требуется.

        На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

        

        Внушает? Вспоминаем определение тангенса — отношение противолежащего катета к прилежащему. Но… где здесь катеты? Дан просто угол, а для тангенса нам позарез нужен прямоугольный треугольник. Где его взять?!

        Не беда! Раз надо, значит… сделаем!) Привяжем наш угол к некоторому прямоугольному треугольнику, про который мы точно знаем всё что нам нужно. А именно — катеты. Первое что напрашивается — опустить перпендикуляр из точки А на сторону ОВ.

        Вот так:

        

        Ну и как? Осеняет? Вот вам и прямоугольный треугольник и катеты! Противолежащий катет AH = 2, а прилежащий OH = 4.

        Прямо по определению тангенса записываем и считаем:

        

        И все дела.) Это правильный ответ.

 

        А теперь задачка для самостоятельного решения.

        На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите все тригонометрические функции этого угла.

        

        Что, круто, да? Да-да, надо найти полный набор функций — от синуса до котангенса включительно. Тренироваться так тренироваться.)

        Но где здесь прямоугольный треугольник? Нету его! Да и угол как-то совсем уж скверно расположен. Ни одну из сторон напрямую по клеточкам не посчитать, да…

        Что ж, подскажу немного, что именно надо дополнительно построить, чтобы не надорваться. Снова, как и в предыдущей задаче, опускаем перпендикуляр из точки А на сторону OB. Получим прямоугольный треугольник AHO.

        Смотрим картинку:

        

        А теперь внимание! Клеточки, конечно, дело хорошее, удобное и красивое. Но… Кто гарантировал, что основание перпендикуляра (точка Н) уляжется ровно на середину отрезка OB (т.е. строго в один из узлов сетки)? Интуиция? Интуиция в математике — штука опасная. Особенно при рисовании картинок, да…

        Поэтому, прежде чем что-то решать, что-то считать, делаем задание по элементарной геометрии. На доказательство. А именно — докажите, что отрезок AH, проведённый так, как показано на картинке, действительно будет перпендикулярен отрезку OB. Или, что то же самое, треугольник AHO — действительно прямоугольный. И да помогут вам вспомогательные синие пунктирные линии и теорема Пифагора (это подсказка)! Ну и клеточки спасут, само собой.:)

        Без доказательства этого важного факта и без прямоугольного треугольника говорить о каких-либо тригонометрических функциях бессмысленно. Пока что… Придёт время — и мы с вами научимся считать любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника. Вообще. Как? Совсем скоро узнаете. Всему своё время.)

        А пока — доказываем перпендикулярность отрезков, а затем считаем синус, косинус, тангенс и котангенс угла. После доказательства все необходимые данные для расчёта тригонометрических функций у вас уже будут. Обязательно.)

        Ответы (в беспорядке):

        

        А где какая функция — это уж вы сами как-нибудь.)

        Итак, вот мы с вами и освоили синус, косинус, тангенс и котангенс на самом примитивном уровне. С помощью обычного прямоугольного треугольника. Но это пока только первый шаг.

        Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой набор тригонометрических функций, они озадачились вполне логичным вопросом — а не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Чтобы, зная какую-то одну из функций, можно было бы отыскать и все остальные? Не вычисляя сам угол.

        Обо всём об этом — в следующем уроке.)

Тригонометрические отношения – определение, формулы, примеры

Тригонометрические отношения – это отношения длин сторон треугольника. Эти соотношения в тригонометрии относятся к отношению сторон прямоугольного треугольника к соответствующему углу. Основными тригонометрическими отношениями являются sin, cos и tan, а именно соотношения синуса, косинуса и тангенса. Другие важные триггерные отношения, cosec, sec и cot, можно получить, используя sin, cos и tan соответственно.

Слово «Тригонометрия» произошло от слов «Тригонон», что означает «треугольник», и «Метрон», что означает «измерять».

Это раздел математики, изучающий отношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника. На самом деле тригонометрия — один из самых древних предметов, который изучают ученые всего мира. Давайте подробно разберемся с тригонометрическими отношениями в следующих разделах.

1.	Что такое тригонометрические отношения?
2.	Формулы тригонометрических отношений
3.	Таблица тригонометрических соотношений
4.	Тождества тригонометрических соотношений
5.	Часто задаваемые вопросы о тригонометрических соотношениях

Что такое тригонометрические отношения?

В тригонометрии существует шесть тригонометрических отношений, а именно: синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс и котангенс. Эти соотношения записываются как sin, cos, tan, sec, cosec(или csc) и cot.

Давайте посмотрим на прямоугольный треугольник, показанный ниже. Тригонометрические отношения можно использовать для определения отношений любых двух сторон из трех сторон прямоугольного треугольника с точки зрения соответствующих углов.

Значения этих тригонометрических соотношений можно рассчитать, используя меру острого угла θ в прямоугольном треугольнике, приведенную ниже. Это означает, что значение отношения любых двух сторон треугольника здесь зависит от угла C. Мы можем альтернативно найти значения этих тригонометрических отношений для угла A. Кроме того, только основание и перпендикуляр будут меняться местами для данного прямоугольного треугольника в тот случай.

Эти шесть тригонометрических соотношений можно определить следующим образом:

Синус: отношение синуса для любого заданного угла определяется как отношение перпендикуляра к гипотенузе. В данном треугольнике синус угла θ может быть задан как sin θ = AB/AC.

Косинус: Отношение косинуса для любого заданного угла определяется как отношение основания к гипотенузе. В данном треугольнике косинус угла θ может быть задан как cos θ = BC/AC.

Тангенс: Коэффициент тангенса для любого заданного угла определяется как отношение перпендикуляра к основанию. В данном треугольнике тангенс угла θ может быть задан как tan θ = AB/BC.

Косеканс: Коэффициент косеканса для любого заданного угла определяется как отношение гипотенузы к перпендикуляру. В данном треугольнике косеканс угла θ может быть задан как cosec θ = AC/AB.

Секанс: Отношение секущей для любого заданного угла определяется как отношение гипотенузы к основанию. В данном треугольнике секанс угла θ может быть задан как, sec θ = AC/BC.

Котангенс: Отношение котангенса для любого заданного угла определяется как отношение основания к перпендикуляру. В данном треугольнике котангенс угла θ может быть задан как ctg θ = BC/AB.

Давайте подробно разберем эти и другие формулы тригонометрических соотношений в следующем разделе.

Формулы тригонометрических отношений

Тригонометрические соотношения можно рассчитать, взяв отношение любых двух сторон прямоугольного треугольника. Мы можем вычислить третью сторону, используя теорему Пифагора, зная меру двух других сторон. Мы можем использовать сокращенную форму тригонометрических отношений, чтобы сравнить длину любых двух сторон с углом в основании. Угол θ является острым (θ < 90º) и обычно измеряется относительно положительной оси x против часовой стрелки. Основные формулы тригонометрических соотношений приведены ниже:

• sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза
• cos θ = основание/гипотенуза
• тангенс θ = Перпендикуляр/Основание
• с θ = гипотенуза/основание
• cosec θ = гипотенуза/перпендикуляр
• кроватка θ = основание/перпендикуляр

Теперь рассмотрим формулы обратных тригонометрических соотношений вышеупомянутых тригонометрических соотношений. Как мы наблюдаем, мы замечаем, что sin θ является обратной величиной cosec θ, cos θ является обратной величиной sec θ, tan θ является обратной величиной cot θ, и наоборот. Итак, новый набор формул для тригонометрических отношений:

• sin θ = 1/косек θ
• cos θ = 1/сек θ
• загар θ = 1/кот θ
• cosec θ = 1/sin θ
• с θ = 1/cos θ
• раскладушка θ = 1/загар θ

Таблица тригонометрических соотношений

В таблице тригонометрических соотношений мы используем значения тригонометрических соотношений для стандартных углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Легко предсказать значения таблицы и использовать таблицу в качестве справочной информации для расчета значений тригонометрических отношений для различных других углов, используя формулы тригонометрических отношений для существующих шаблонов в пределах тригонометрических отношений и даже между углами. Теперь суммируем значения тригонометрических соотношений для конкретных углов в таблице ниже:

Тождества тригонометрических соотношений

Существует множество тождеств тригонометрических соотношений, которые мы используем, чтобы сделать наши вычисления проще и проще. К ним относятся тождества дополнительных углов, дополнительных углов, тождества Пифагора и тождества суммы, разности, произведения.

Тригонометрические отношения дополнительных углов Тождества

Дополнительные углы представляют собой пару двух углов, сумма которых равна 90°. Дополнение угла θ равно (90° — θ). Тригонометрические отношения дополнительных углов:

• sin (90°- θ) = cos θ
• cos (90°- θ) = sin θ
• косек (90°-θ) = сек θ
• с (90°- θ) = cosec θ
• загар (90°- θ) = кроватка θ
• раскладушка (90°- θ) = загар θ

Тождества пифагорейских тригонометрических отношений

Тождества пифагорейских тригонометрических отношений в тригонометрии выводятся из теоремы Пифагора. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ниже, мы получаем:

Opposite ² + Adjacent ² = Hypotenuse ²

Dividing both sides by Hypotenuse ²

Opposite ² /Hypotenuse ² + Adjacent ² /Hypotenuse ² = Hypotenuse ² / Гипотенуза ²

• sin ² θ + cos ² θ = 1

Это одно из важных пифагорейских тождеств. Таким же образом мы можем вывести два других тождества пифагорейских тригонометрических соотношений:

• sin ² θ + cos ² θ = 1
• 1 + тангенс ² θ = сек ² θ
• 1 + детская кроватка ² θ = cosec ² θ

Тождества суммы, разности, произведения тригонометрических отношений

Тождества суммы, разности и произведения тригонометрических отношений включают формулы sin(A+B), sin(A-B), cos(A+B), cos(A-B), и т. д.

• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A — B) = sin A cos B — cos A sin B
• cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B
• cos (A — B) = cos A cos B + sin A sin B
• тангенс (А + В) = (тангенс А + тангенс В)/ (1 — тангенс А тангенс В)
• тангенс (A — B) = (тангенс A — тангенс B)/ (1 + тангенс A тангенс B)
• детская кроватка (A + B) = (детская кроватка A детская кроватка B — 1)/(детская кроватка B — детская кроватка A)
• детская кроватка (A — B) = (детская кроватка A детская кроватка B + 1)/(детская кроватка B — детская кроватка A)
• 2 sin A⋅cos B = sin(A + B) + sin(A — B)
• 2 cos A⋅cos B = cos(A + B) + cos(A — B)
• 2 sin A⋅sin B = cos(A — B) — cos(A + B)

Тригонометрические тождества половинных, двойных и тройных углов

Тождества тригонометрических соотношений двойного угла

Тригонометрические тождества двойного угла можно получить, используя формулы суммы и разности.

Например, из приведенной выше формулы sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Подставим сюда A = B = θ с обеих сторон, получим:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ
sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Таким же образом мы можем вывести другие тождества двойного угла.

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ
• cos 2θ = cos ² θ — sin ² θ
  cos 2θ = 2 cos ² θ — 1
  cos 2θ = 1 — 2 sin ² θ
  cos 2θ = (1 — тангенс ² θ)/(1 + тангенс ² θ)
• тангенс 2θ = (2 тангенс θ)/ (1 — тангенс ² θ)
• сек 2θ = сек ² θ/(2-сек ² θ)
• cosec 2θ = (sec θ. cosec θ)/2
• раскладушка 2θ = (раскладушка θ — загар θ)/2

Тождества тригонометрических отношений половины угла

Используя одну из приведенных выше формул двойного угла,
cos 2θ = 1 — 2 sin ² θ
2 sin ² θ = 1- cos 2θ
sin ² θ = (1 — cos 2θ)/(2)
sin θ = ±√[(1 — cos 2θ)/2]

Замена θ на θ/2 с обеих сторон,

sin (θ/2) = ±√[(1 — cos θ)/2]

Это формула полуугла синуса.

Таким же образом можно вывести и другие формулы половинного угла.

• sin (θ/2) =±√[(1 — cos θ)/2]
• cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]
• тангенс (θ/2) = ±√[(1 — cos θ)(1 + cosθ)]

Тождества тригонометрических соотношений тройного угла

• sin 3θ = 3sin θ — 4sin ³ θ
• cos 3θ = 4cos ³ θ — 3cos θ
• тангенс 3θ = (3тангенс θ — тангенс ³ θ)/(1 — 3тангенс ² θ)

Связанные темы:

• Тригонометрия
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрическая таблица
• Тригонометрические формулы

Важные замечания по тригонометрическим отношениям:

• Значения тригонометрических отношений не меняются при изменении длин сторон треугольника, если угол остается неизменным.
• Все тригонометрические функции имеют периодический характер.
• Тригонометрические отношения используются для нахождения недостающих сторон или углов в треугольнике.

 

Примеры тригонометрических соотношений

1. Пример 1: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке B гипотенуза AC = 10 единиц, основание BC = 8 единиц и перпендикуляр AB = 6 единиц, и если ∠ACB = θ, то найдите тригонометрические соотношения tan θ, sin θ и cos θ.

   Решение:

   Мы знаем,
   sin θ = перпендикуляр/гипотенуза

   cos θ = основание/гипотенуза

   tan θ = перпендикуляр/основание

   ⇒ sin θ = 6/10 = 3/5

   ⇒ cos θ = 8/10 = 4/5

   3

   3

   3 ⇒ тангенс θ = 6/8 = 3/4

   Ответ: sin θ, cos θ и тангенс θ для данного треугольника равны 3/5, 4/5 и 3/4 соответственно.

2. Пример 2: Здание находится на расстоянии 210 футов от точки А на земле. Найдите высоту здания, если tg θ = 4/3?

   Решение: Получившийся треугольник является прямоугольным. Теперь примените тригонометрическое соотношение tan⁡θ для расчета высоты здания.

   tan θ = Перпендикуляр/Основание

   4/3 = Высота/210 футов

   Высота = (4 × 210/3) = 280 футов

   Ответ: Высота здания 280 футов.

3. Пример 3: Прямоугольный треугольник в точке C, AB = 29 единиц и AC = 20 единиц. Можете ли вы проверить идентичность тригонометрических соотношений cos ² θ + sin ² θ = 1 при использовании этих значений?

   Решение: Мы найдем BC, используя теорему Pythagorean,

   BC = √ (AB ² — AC ² )

   = √ (29 ² — 20 ² 2) 402 =402 =402 =402 =402 =402 =402 =402 =402 =402 =402 = 9000 29000) 9000 2 9000) 9000 2 9000). 841 ² — 400 ² ). /29

   Теперь проверим личность.

   cos ² θ + sin ² θ = (21/29) ² + (20/29) ² = (400 + 441)/841 = 1

   8 :903 тождество тригонометрических соотношений проверяется.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронировать бесплатный пробный урок

Практические вопросы по тригонометрическим отношениям

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о тригонометрических соотношениях

Как найти тригонометрические соотношения?

Тригонометрические отношения можно рассчитать, используя заданный острый угол или определяя отношения сторон прямоугольного треугольника. Используемые формулы тригонометрических соотношений:

• sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза
• cos θ = основание/гипотенуза
• тангенс θ = Перпендикуляр/Основание
• с θ = гипотенуза/основание
• cosec θ = гипотенуза/перпендикуляр
• кроватка θ = основание/перпендикуляр

Что такое шесть тригонометрических соотношений?

Шесть основных тригонометрических соотношений: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Тригонометрические соотношения можно рассчитать по формулам, приведенным в статье.

Каковы применения тригонометрических соотношений?

Существуют различные применения тригонометрических соотношений, например:

• Синус и косинус используются для представления звуковых волн.
• Некоторые тригонометрические соотношения используются в области архитектуры, строительства зданий и т. д.
• Они используются при создании карт.

Что такое тригонометрические отношения конкретных углов?

Тригонометрические соотношения можно определять для разных углов. Но для удобства вычислений мы запоминаем тригонометрические отношения некоторых конкретных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Обратитесь к таблице тригонометрических отношений для значений отношений для этих углов.

Что такое тригонометрические отношения дополнительных углов?

Дополнительные углы — это два угла, сумма которых равна 90°. Формулы для тригонометрических отношений дополнительных углов:

• sin (90°- θ) = cos θ
• cos (90°- θ) = sin θ
• косек (90°-θ) = сек θ
• с (90°- θ) = cosec θ
• загар (90°- θ) = кроватка θ
• раскладушка (90°- θ) = тангенс θ

Какая связь между тригонометрическими отношениями Sin, Cos и Tan?

Мы знаем, что sin может быть задан как перпендикуляр/гипотенуза, cos как основание/гипотенуза, а tan как перпендикуляр/основание. Таким образом, соотношение между тригонометрическими отношениями sin, cos и tan можно представить как tan θ = sin θ/cos θ.

2. Синус, косинус, тангенс и обратные отношения

М. Борна

соседняя гипотенузапротивоположная θОткрыть изображение на новой странице

Треугольник со смежными сторонами, гипотенузой и противоположными сторонами относительно θ.

Для угла θ в прямоугольном треугольнике, как показано, мы назовем стороны как:

• гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу)
• смежный (сторона «рядом с» θ )
• напротив (сторона, наиболее удаленная от угла θ )

Мы определяем три тригонометрических отношения sine θ , cosine θ , and tangent θ as follows (we normally write these in the shortened forms sin θ , cos θ , and tan θ ):

`sin theta=текст(противоположный)/текст(гипотенуза)` `cos \ theta=текст(смежный)/текст(гипотенуза)` `tan theta=текст(противоположный)/текст(смежный)`

Чтобы запомнить это, многие люди используют SOH CAH TOA, то есть:

S в θ = O pposite/ H ypotenuse,

C os θ = A djacent/ H ypotenuse и

T и θ = O pposite/ A djacent

Обратные тригонометрические соотношения

Часто полезно использовать обратные соотношения, в зависимости от задачи. (Проще говоря, обратную дробь можно найти, перевернув дробь вверх ногами.)

`»косеканс»\ θ` является обратной величиной `»синуса»\ θ`,

`»секанс»\ θ` является обратной величиной `»косинуса»\ θ`, а

`»котангенс»\ θ` является обратной величиной `»тангенса»\ θ`

Обычно мы записываем их в краткой форме как `csc\ θ`, `sec\ θ` и `cot\ θ` . (В некоторых учебниках « csc » записывается как « cosec «. Это одно и то же.)

`csc \ theta =текст(гипотенуза)/текст(противоположный)` `sec\ theta=текст(гипотенуза)/текст(смежный)` `cot \ theta=текст(смежный)/текст(противоположный)`

Важное примечание: Существует большая разница между csc θ и sin ^-1 θ .

• Первый является обратным: `csc\ theta=1/(sin\ theta)`.
• Второй включает в себя нахождение угла , синус которого равен θ .

Итак, на вашем калькуляторе не используйте кнопку sin ^-1 , чтобы найти csc θ .

Мы встретимся с идеей греха ^-1 θ в следующем разделе «Значения тригонометрических функций».

θrxy(x, y)(0, 0)

x- ось

у- ось

Угол в стандартном положении .

Для угла в стандартном положении мы определяем тригонометрические соотношения как x , y и r :

`sin theta =y/r` `cos theta =x/r` `tan theta =y/x`

Обратите внимание, что мы все еще определяем

.

грех θ как `»opp»/»hyp»`;

cos θ как `»adj»/»hyp»` и

tan θ as `»opp»/»adj»,

, но мы используем конкретные значения x -, y — и r , определяемые точкой ( x , y ), через которую проходит крайняя сторона. Конечно, мы можем выбрать любую точку на этой линии, чтобы определить наши отношения.