Тау примеры решения: Решения 🤴 и примеры задач по теории автоматического управления (ТАУ) по всем темам и готовыми ответами

Вам нужно написать сообщение в Telegram . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

Теперь напишите мне в Telegram или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.

В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности

Тау-коллокационный подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка

Journal of Applied Mathematics and Physics Vol. 04 No.02 (2016), ID статьи:63839,8 страниц
10.4236/jamp.2016.42045

Тау-коллокационный подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка

James E. Mamadu ¹ N. Njoseh ²

¹ Математический факультет Илоринского университета, Илорин, Нигерия

² Кафедра математики и компьютерных наук Государственного университета Дельта, Абрака, Нигерия

Авторские права © 2016 принадлежат авторам и Scientific Research Publishing Inc. ).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Поступила в редакцию 25 января 2016 г.; принято 23 февраля 2016 г.; опубликовано 26 февраля 2016 г.

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлен приближенный тау-коллокационный подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Мы используем метод в развитии численных методов приближенного решения линейных начальных задач (ЛНЗ) в обыкновенных дифференциальных уравнениях первого и второго порядка. Полученные числовые данные показывают, что метод адекватен и эффективен.

Ключевые слова:

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), Начальная задача (IVP), Канонический полином, Коллокация

1. Введение

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) является важным аспектом математики. Он полезен при моделировании широкого круга физических явлений — химических реакций, спутниковой орбиты, электрических сетей и т. д. Во многих случаях независимая переменная представляет время, так что дифференциальное уравнение описывает изменения во времени в моделируемой системе. Решение уравнения будет представлением состояния системы. Следовательно, проблема нахождения решения дифференциального уравнения играет значительную роль в научных исследованиях, в частности, при изучении физических явлений. Однако получить прямое решение дифференциальных уравнений для моделируемых систем, особенно сложных, встречающихся в реальных задачах, обычно невозможно. Поскольку большинство этих уравнений являются или могут быть аппроксимированы обыкновенными дифференциальными уравнениями, очень необходим быстрый, точный и эффективный решатель ОДУ. Метод Тау был введен в [1] для получения приближенного полиномиального решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальным коэффициентом.

Метод использует особые свойства многочленов Чебычева. Основная идея состоит в том, чтобы получить приближенное решение данной задачи путем решения приближенной задачи. Чтобы еще больше повысить желаемую простоту, Ланцош ввел систематическое использование канонических полиномов в методе Тау. Трудности, связанные с построением таких полиномов, ограничивали его применение ОДУ первого порядка с полиномиальным коэффициентом. Указанные трудности были разрешены [2], когда он предложил генерировать эти канонические многочлены рекурсивно. Прелесть результата Ортиса в том, что элементы канонических полиномов упорядочиваются с помощью простого рекурсивного отношения, которое является самозапускающимся и явным. Существует много литературы, посвященной методу аппроксимации тау/тау-коллокации (см. ([3]-[8])).

В данной работе мы применяем метод аппроксимации тау-коллокации для решения линейных начальных задач ОДУ первого и второго порядка в его дифференциальной и канонической формах. Мы проводим численное моделирование некоторых выбранных задач и сравниваем производительность/эффективность метода с приведенными аналитическими решениями.

2. Метод Тау

Lanczos [1] аппроксимировал решение дифференциала

(1)

где, — многочлены. обозначает производную r-го порядка по x и взятую просто как полином

(2)

и определяет коэффициент (2) такой, что удовлетворяет (1) возмущенным термином (ами), которые рассчитываются как часть процесса. То есть удовлетворяет

(3)

Тогда

(4)

где m — порядок дифференциального уравнения, s — число переопределений,

— параметры, подлежащие определению, и

(5)

— многочлен Чебычева со смещением r-й степени, действительный на интервале (при условии, что (1) определено на этом интервале).

Свободные параметры в уравнении (4) и коэффициент a _r , в (2) получаются приравниванием значений x в (3) вместе с (1) к нулю.

2.1. Описание дифференциальной формы

Рассматривая линейное дифференциальное уравнение m-го порядка ( [1] [2] )

(6)

с y(x) в качестве точного решения в

Мы ищем приближенное решение уравнения дифференциальное решение методом Тау с использованием полиномиальной функции n-й степени

(7)

удовлетворяющая возмущенной задаче

(8)

Приравняем соответствующий коэффициент при x в (8) и, используя начальные условия

Решим систему уравнений методом исключения Гаусса .

2.2. Подход коллокации к методу Тау

Метод Тау Ланцоша в [4] представляет собой процесс экономизации для функции, которая неявно определяется дифференциальным уравнением. Примем аппроксимацию разложения степенного ряда как

(9)

Рассмотрим аппроксимацию невязки как оператор порядка n.

Сопоставляем (12) где иметь

(13)

Параметр можно исключить, оставив неизвестный коэффициент с линейными уравнениями, которые можно решить методом исключения Гаусса.

3. Оценка погрешности

В этом разделе рассмотрим и получим оценку погрешности приближенного решения (1) и (9). Пусть – функция ошибок to, где – точное решение (1) и (9). Следовательно, удовлетворяет возмущенным задачам:

(14)

и

(15)

где однозначно определяется как в (4).

Чтобы получить член возмущения, мы подставляем вычисленное решение таким образом, что (9).

Таким образом, функция ошибок удовлетворяет задаче

(16)

и

(17)

, которая удовлетворяет заданным условиям.

4. Иллюстративные примеры

В этом разделе рассматриваются две задачи с начальными значениями, чтобы продемонстрировать эффективность метода.

Пример 1

Рассмотрим линейную начальную задачу в обыкновенном дифференциальном уравнении второго порядка

(18)

Решим [4] для использования; (i) метод Тау; и (ii) метод тау-коллокации.

Аналитическое решение составляет

по методу тау. Мы получаем линейный дифференциальный оператор как

(19)

Связанные канонические полиномы получены следующим образом:

(20)

Для у нас есть

и

Эти многочлены подставляются в уравнение (12), чтобы получить

(21)

с использованием уравнения (5),

(22)

С

Теперь

и

(23)

Использование исходных условий на равных (23. ) и, упрощая далее, получаем приближенное решение в виде

.

С учетом метода тау-коллокаций имеем:

Пусть

(24)

Подставляя в (13) имеем,

(25)

Теперь, сопоставив и используя начальные условия, мы получим приближенное решение в виде

Пример 2

Рассмотрим IVP первого порядка Для данного IVP мы можем вывести, что и

Дифференциальная формулировка выглядит следующим образом:

Пусть

(27)

Взяв

, где

(28)0006

отсюда

(29)

но

Используя (28) и (30) в (29) получаем,

(31)

Раскладывая и приравнивая коэффициенты при степенях x, получаем вместе с уравнениями, полученными с использованием начальных условий, записывается в виде

где

,

Используя уравнение (5), мы получаем следующие значения,

Используя эти значения в матрицу и решая методом исключения Гаусса, имеем

Приближенное решение:

Обсуждение результатов

Полученные выше результаты показывают, что метод тау-коллокаций подходит для решения линейных начальных задач обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго рода. Из представленных выше таблиц (табл. 1 и табл. 2) результатов видно, что приближенное решение, рассматриваемое в узлах сетки и, для примеров 1 и 2 сходится к аналитическому решению с максимальными абсолютными ошибками и соответственно. Мы получили удовлетворительные результаты из-за отличной скорости сходимости тау-коллока-9.0006

Таблица 1. Численные результаты для примера 1.

Таблица 2. Численные результаты для примера 2.

Метод аппроксимации, который очень близок к минимаксному полиному, который минимизирует максимальную ошибку аппроксимации. Таким образом, приближенное решение будет соответствовать аналитическому решению при увеличении n.

5. Выводы

В данной работе рассмотрен подход тау-коллокации к решению конкретных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Этот метод предлагает несколько преимуществ, среди которых:

1) Он использует преимущества особых свойств многочленов Чебычева, которые можно легко сгенерировать рекурсивно;

2) Элементы последовательностей канонических полиномов посредством простого рекурсивного отношения, которое является самозапускающимся и явным; и

3) Его можно легко запрограммировать для экспериментов.

Метод тау-коллокации может быть распространен на обыкновенные дифференциальные уравнения более высокого порядка и стохастические дифференциальные уравнения. Его также можно использовать для решения интегро-дифференциальных и стохастических интегро-дифференциальных уравнений.

Процитировать эту статью

James E.Mamadu, Ignatius N.Njoseh, (2016) Тау-коллокационный подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Журнал прикладной математики и физики , 04 , 383-390. doi: 10.4236/jamp.2016.42045

Ссылки

1. 1. Sam, C.N. (2004) Численное решение уравнений в частных производных методом тау-коллокаций. Магистерская диссертация Фила, Городской университет Гонконга.
   http://dspace.cityu.edu.hk/handle/2031/4614


2. 2. Khajah, H. (1999) Тау-метод аппроксимации обобщенного интеграла эллиптического типа Эпштейна-Хаббеля. Компьютеры и математика, 68, 1615-1621.
   http://dx.doi. org/10.1090/S0025-5718-99-01128-X


3. 3. Ортис, Э.Л. (1975) Шаг за шагом Тау-метод — Часть 1. Компьютеры и математика с приложениями, 1, 381-392.
   http://dx.doi.org/10.1016/0898-1221(75)
   -1


4. 4. Эль-Дау, М.К., Ортис, Э.Л. и Самара Х. (1993) Единый подход к тау-методу и методу расширения рядов Чебычева. Компьютеры и математика с приложениями, 25, 73-82.
   http://dx.doi.org/10.1016/0898-1221(93)

   -L



5. 5. Coleman, J.P. (1974) Lanczos Tau Method. Журнал прикладной математики IMA, 7, 85-97.


6. 6. Иса Б.М. и Аденийи, Р.Б. (2012) Обобщенная формулировка канонических полиномов для непереопределенных обыкновенных дифференциальных уравнений M-го порядка. Внутренний журнал инженерных исследований и технологий.
   www.ijert.org


7. 7. Ортис, Э.Л. (1969) Метод Тау. Журнал SIAM по численному анализу, 6, 480–49.2.
   http://dx.doi.org/10.1137/0706044


8. 8. Lanczos, C. (1956) Прикладной анализ. Прентис-Холл, Энгл-Вуд Клиффс, Нью-Джерси.

Конечно-разностные решения волнового уравнения x-tau

В общей неоднородной среде конечная разность является наиболее практичным методом решения волнового уравнения. Несмотря на огромные вычислительные затраты, конечно-разностные схемы обеспечивают комплексное решение волновое уравнение, которое включает точное представление амплитуды.

В этом примере мы используем уравнение акустических волн второго порядка для сред VTI в -области, определяемое выражением уравнение (27), поэтому необходимо решать одновременно

а также

На рис. 7 показана скоростная модель в глубину (вверху), и его эквивалентное отображение во времени (внизу). На рис. 8 показано волновое поле через 0,65 с, полученное в результате источник возгорания в момент времени 0 с, что соответствует к изотропной скоростной модели на рисунке 7. Волновое поле вычисляется с использованием конечно-разностной аппроксимации уравнения (26). Скоростная модель, приведенная в -область — модель входной скорости в конечно-разностной заявление. Эта же скоростная модель используется для сопоставления решения волнового поля с глубиной. Твердое тело кривые на рисунке 8 показывают решение обычного эйконального решателя Видейля (1990) реализованы в области глубины, и эти кривые красиво охватывают решение волнового поля. Поэтому вычисление волнового поля в -область и в обычной области глубины эквивалентны, независимо от боковой неоднородности. Однако реализация -domain становится не зависит от вертикальной P -скорости волны при .

волна
Рис. 8 Вверху: волновое поле в -области через 0,65 с, результирующее из источника в расстояние 2000 м и =0 для изотропной скоростной модели, показанной на рисунке 7. Внизу: то же решение волнового поля после картографирования обратно на глубину с использованием той же скоростной модели. Черная кривая является решением уравнения эйконала для скоростной модели на рисунке 7. реализован с использованием обычного эйконала в области глубины решатель.

No related posts.