Тема комплексные числа математика: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Содержание

Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе

Авторы: Жмурова Ирина Юньевна, Баринова Светлана Владимировна

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №5 (295) январь 2020 г.

Дата публикации: 03.02.2020 2020-02-03

Статья просмотрена: 2271 раз

Скачать электронную версию

Скачать Часть 5 (pdf)

Библиографическое описание:

Жмурова, И.

Ю. Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе / И. Ю. Жмурова, С. В. Баринова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 5 (295). — С. 312-314. — URL: https://moluch.ru/archive/295/67123/ (дата обращения: 04.11.2022).

В статье обсуждается необходимость и возможность изучения комплексных чисел в старшей школе, анализируются актуальные учебники математики, рассматриваются методические аспекты введения данного раздела в школьный курс математики.

Ключевые слова: комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень.

Комплексные числа — раздел, не всегда встречающийся в современных школьных учебниках алгебры и начал математического анализа [1]. Из книг, рассмотренных нами, эта тема рассматривается лишь в одном учебнике базового уровня, в остальных случаях — только в учебниках профильного уровня.

Естественно, возникает вопрос — должен ли учитель рассказать о существовании множества комплексных чисел, показать, как выполняются арифметические операции на этом множестве, как подойти к этой теме оптимально с точки зрения как времени, так и содержания.

Комплексные числа не входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике, поэтому чаще всего тему «Комплексные числа» или оставляют на самостоятельное изучение, или не рассматривают совсем. Если комплексные числа не изучаются, то у учеников может возникнуть проблема при решении квадратных уравнений — как корректно записать ответ в случае отрицательного дискриминанта? Учащиеся заучивают шаблонную фразу «нет действительных корней», не задумываясь, какое значение она имеет. Этого можно избежать, если в рамках темы «Квадратные уравнения» показать, что из отрицательного числа можно извлечь корень и получить мнимое число, изучение которого будет происходить в 11 классе. В таком случае будет понятно, что у каждого уравнения есть корни, но в число рассматриваемых они могут и не входить.

Изучение комплексных чисел и работа с ними способствует развитию у учащихся абстрактного мышления, позволяет полностью увидеть структуру всех изученных ранее числовых множеств и операций с ними. Множество комплексных чисел принципиально отличается от всех числовых систем, являющихся подсистемами действительных чисел: комплексные числа нельзя отобразить на одной координатной прямой с другими числами, их нельзя упорядочить. Кроме того, комплексные числа — это тот редкий раздел математики, который объединяет в себе алгебру, геометрию и тригонометрию; показывает возможность привлечения смежных областей науки для решения конкретной задачи, реализуя тем самым интеграционные связи математики — как ближние, так и дальние [2]. Сама идея того, что из отрицательного числа можно извлечь корень, побуждает обучающихся посмотреть на ранее известные вещи с другой точки зрения.

Нами был рассмотрен ряд учебников по алгебре и началам математического анализа для 11 класса, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации образовательных программ среднего общего образования на 2019–2020 учебный год [4]. Среди них учебники базового уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина), углубленного уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина; М.Я Пратусевич и др.) и базового и углубленного уровней (С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.; Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др.). Анализ перечисленных выше учебников показал, что авторы стремятся изложить определенные сведения о множестве комплексных чисел в средней школе: во всех учебниках приводится исторический материал, рассматриваются алгебраическая, геометрическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, формула корней кубического уравнения. В учебниках углубленного уровня приводится показательная форма записи комплексного числа, рассматриваются операции возведения в степень и извлечение корня из комплексного числа. Материал учебников поможет сформировать представление о комплексных числах даже при самостоятельном изучении.

Знакомство с темой можно начать с повторения сведений об известных числовых множествах и выяснения причин, по которым было необходимо их расширение. Так операция вычитания привела к появлению отрицательных чисел, операция деления — рациональных чисел, извлечение корня — иррациональных чисел. Все эти множества входят в множество комплексных чисел, в которых выполнима операция излечения корня из любого числа. При изучении формулы корней кубического уравнения уместно будет рассказать об истории ее появления, а также об отношении к «неправильным» числам во все времена, начиная с неприязни к отрицательным числам. Интерес у учащихся также может вызвать объяснение записи мнимых чисел.

Важно показать различные формы записи комплексного числа и переходы от одних форм к другим; в каких случаях используется та или иная форма записи комплексного числа. Так, например, в учебнике С. М. Никольского приведена показательная форма комплексного числа и подчеркиваются ее преимущества: короткая запись числа и удобство при умножении, делении или возведении в степень. Также говорится о применении такого типа записи в физике. Г.К. и О. В. Муравины в учебниках и для базового, и для профильного уровней ограничиваются лишь тождеством Эйлера, а М. Я. Пратусевич и Ю. М. Колягин приводят только алгебраическую и тригонометрическую формы записи.

При изучении операций сложения, умножения и сопряжения комплексных чисел можно предложить учащимся самим вывести формулы, основываясь на алгоритме приведения подобных слагаемых и сложения и умножения многочленов. Совместный вывод теоретического материала может облегчить восприятие темы.

Анализируя методические рекомендации к учебникам, можно сделать следующий вывод: все рассмотренные авторы сделали тему «Комплексные числа» последней темой курса алгебры и начал анализа 11 класса. В частности, Г. К. Муравин и О. В. Муравина отмечают: «рассмотрение материала главы во многих классах можно проводить на ознакомительном уровне, что высвободит запланированное на изучение комплексных чисел время для повторения востребованного на экзамене материала» [4]. В рассматриваемых нами методических рекомендациях авторы выделяют от 10 до 19 часов на изучение комплексных чисел при углубленном изучении математики и 6 часов при изучении математики на базовом уровне.

Такой размах обусловлен различным объемом материала и количеством часов в неделю для конкретного учебника.

Комплексные числа являются самостоятельной темой, объединяющей в себе ранее изученные разделы. Поэтому можно осуществить изучение этой темы в рамках курса внеурочной деятельности даже в 10 классе, при условии пропедевтики в основной школе, оставив уроки в 11 классе для повторения.

Если учитель ставит перед собой цель ознакомить учащихся с комплексными числами, можно рассматривать эту тему в несколько этапов: в 8 классе при изучении темы «Квадратные уравнения» объяснить, что такое комплексное число, показать алгебраическую форму комплексных чисел их сумму и разность, умножение и деление на действительное число; в 9 классе после изучения темы «Степенная функция» показать умножение и деление комплексных чисел, модуль комплексного числа; в 10 классе после изучения темы «Тригонометрия» познакомить учащихся с тригонометрической формой записи комплексного числа, извлечением корня и возведением в степень комплексного числа; в 11 классе вспомнить ранее изученное о комплексных числах и рассмотреть показательную форму записи комплексного числа.

Таким образом действия с комплексными числами будут изучаться непосредственно после связанной с этим темы.

Изучение комплексных чисел в школе в первую очередь способствует развитию абстрактного мышления: раздвигаются привычные рамки, выполняются операции, ранее считавшиеся невыполнимыми. Содержательно-методическая линия числа приобретает законченный характер. Кроме того, при изучении комплексных чисел необходимо знакомиться и с историей развития числа и теми проблемами, которые привели к появлению комплексных чисел. Тем самым расширяется исторический кругозор и повышается культурный уровень обучающихся, что имеет огромное значение для общего развития старшеклассника. Все это актуализирует изучение комплексных чисел в урочной или внеурочной деятельности по математике в средней школе.

Литература:

Алгебра и начала математического анализа. Сборник рабочих программ. 10–11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. — 2-е изд. -–М.: Просвещение, 2018. — 143 с.
Жмурова И. Ю., Полякова Т. С., Лялина Е. В. 2Иинтеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66–72.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс, Углубленный уровень: методическое пособие к учебнику. — М.: Дрофа, 2015. — 272 с.

Приказ Минпросвещения России «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования, сформированный приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 28 декабря 2018 г. N 345″ от 22.11.2019 № 623 // Российская газета. 25.11.2019 г. № 8023.

Основные термины (генерируются автоматически): число, комплексное число, базовый уровень, профильный уровень, углубленный уровень, учебник, абстрактное мышление, внеурочная деятельность, кубическое уравнение, математический анализ.

Ключевые слова

комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень

Конспект урока по математике «Комплексные числа и действия над ними»

Министерство образования Республики Мордовия

ГБОУ РМ СПО (ССУЗ) «Краснослободский промышленный техникум»

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УПР Спиркина Т.В.______

«____»____________ «___»__________2009

Методическая разработка

по математике

«Комплексные числа и действия над ними»

Согласовано

Методист

_________Ж.А.Юрченкова

«_____»_______ 20_____ г.

Рассмотрено на заседании

методической комиссии

общеобразовательных дисциплин

Председатель м/к__________В.А.Новиков

Разработала: преподаватель Кудашкина И.П.

2013 г.

Содержание

Аннотация…………………………………………………………………………4

Введение ……………………………………………………………………………5

Основная часть ……………………………………………………………………6

Заключение ………………………………………………………………………14

Список литературы и другие источники ……………………………………..15

Приложение А……………………………………………………………………16

Аннотация

«Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”

Ф. Клейн.

В настоящее время трудно указать область физики, механики, технических дисциплин, где не применялись бы комплексные, числа.

Комплексные числа [3, 205], следует отметить, имеют большое познавательное и практическое значение. Их изучение в курсе математики стало весьма актуальным.

Тема «Комплексные числа» — одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов, ее содержание углубляется в общетехнических и специальных предметах, таких, как «Электротехника».

После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны:

Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа.

Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

Введение

Комплексные числа, как, впрочем, и отрицательные, возникли из внутренней потребности самой математики, конкретнее – из практики и теории решения алгебраических уравнений. С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до 16 века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание. И только в начале 19 века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

Долгое время данная тема не изучалась на уроках математики. Ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Тема урока: Комплексные числа и действия над ними

Мы… никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

Платон

Цели урока:

Образовательные:

Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по теме «Комплексные числа»

Развивающие:

Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
Развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи, классифицировать.

Воспитывающие:

Воспитывать культуру записей в тетради.
Сформировать навыки самостоятельной деятельности;

Форма урока: урок-практикум.

Тип урока: Урок применения знаний, умений и навыков

Формы организации труда: индивидуальная, коллективная

Методы: словесные, практические, проблемно-поисковые

Учебная цель: Овладение навыками выполнения действий над комплексными числами

Оборудование урока: компьютер, мультимедийная установка, презентация «История комплексных чисел», тест «Комплексные числа»

Структура урока.

Организационный момент.
Этап «Вызов»
Этап «Осмысление»
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Рапорт дежурного. Сообщение темы и целей урока.

II. Этап «Вызов»

Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.

2.1 Кроссворд

Давайте, посредством кроссворда вспомним известные нам множества чисел.

Одно из арифметических действий над числами.
Числа, представленные в виде дроби , где m-целое число, а n-натуральное число
Числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица
Множество этих чисел состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль).
Числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»…).

2.3. Формульный тест

№1. Комплексными числами называются числа вида x+yi,где i- мнимая единица , а x и y —

целые числа
натуральные числа
действительные числа
рациональные числа

№2. Модуль комплексного числа z=x+yi равен

№3. Какое число является комплексно-сопряженным числу z=x+yi

z=-x+yi
z=x-yi
z=-x-yi
z=x+yi

№4. Сумма двух комплексных чисел z₁=a+bi и z₂=c+di равна

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) — (b + d)i
(a + bi ) + (c + di ) = (a — c) + (b — d)i
(a + bi ) + (c + di ) = (a + d) + (b + c)i

№5. Произведение двух комплексных чисел z₁=a+bi и z₂=c+di равно

(a + bi ) * (c + di ) = (ac – bd) — (bc + ad)i
(a + bi ) * (c + di ) = (ac – bd) + (bc + ad)i
(a + bi ) * (c + di ) = (ac + bd) + (bc + ad)i
(a + bi ) * (c + di ) = (ac + bd) — (bc + ad)i

№6. Тригонометрическая форма комплексного числа z=a+bi имеет вид

№7. Разность двух комплексных чисел z₁=a+bi и z₂=c+di равна

(a + bi ) — (c + di ) = (a + c) — (b + d)i
(a + bi ) — (c + di ) = (a — c) + (b — d)i
(a + bi ) — (c + di ) = (a — c) + (b + d)i
(a + bi ) — (c + di ) = (a — d) + (b — c)i

№8. Действительная и мнимая части числа z=3-2i равны

Re z= 3 Im z= -2
Re z= 3 Im z= 2
Re z= 2 Im z= -3
Re z= -2 Im z= 3

III. Этап осмысления «Творческая лаборатория»

Многие учёные на протяжении веков внесли свой вклад в изучение комплексных чисел. Осуществит экскурс в историю комплексных чисел, помогут задания.

Задание 1. «Магическая таблица» С помощью таблицы узнайте имя итальянского алгебраиста, предложившего в 1545 ввод числа новой природы. ( Джироламо Кардано) Для этого необходимо прочесть буквы, образованные пересечением номера столбца и номера строки.

0 1+3i 2+2i 3+i 2+0i 2+i 1 3+3i 3i

3 2+3i 2i 3+2i 1+i i 1+2i

На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

Задание 2. «Морской бой». Узнайте имя ученого, предложившего символ для обозначения мнимой единицы (Эйлер).

Для этого нужно прочесть числа на координатной плоскости.

y= Im z

x=Re z

(3;-3) (-2;-3) (-2;3) (1;1) (-3;1)

Задание 3. Произведите арифметические действия над комплексными числами и узнайте, имя французского математика, который в конце 18 века смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины (Лагранж)

1) (3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) + (5 + 3i).
3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).
5) (3 – 2i) + (5 + i).
6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i)
7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i).

Л=10-2i ж=4i а=8-i г=5+i р=11-2i н=1+4i а=11+5i Задание 4. Произведите арифметические действия над комплексными числами [3, 206-207] и узнайте, имя ученого, предложившего изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. (Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс)

1. ___ (2 + 3i)(5 – 7i).=
2. ___(6 + 4i)(5 + 2i)=
3. ___(3 – 2i)(7 – i).=
4. ___ (– 2 + 3i)(3 + 5i)=
5. ___(1 –i)(1 + i)=
6.___ (3 + 2i)(1 + i)=
7. ___(6 + 4i)3i=

Самостоятельная работа .

Записать в тригонометрической форме комплексное число.

работа по вариантам:

(2 ученика у доски для проверки решения)

Записать полученный результат в показательной форме

IV.Домашнее задание: Подготовить сообщения о истории комплексных чисел

V. Подведение итогов урока.

Заключение

Тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Приступая к работе над методической разработкой по теме» Комплексные числа», ставила следующие цели повышение математической культуры учащихся; углубление представлений о понятии числа; дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки. Цели урока достигнуты.

Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

Список использованной литературы

1.Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., Просвещение, 2007.

2.Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.Просвещение, 2009.

3.Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М.Просвещение , 2010.

4.Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.

5.Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе»

Приложение А

Презентация «История комплексных чисел», 24 слайда

Приложение В

Электронный тест «Комплексные числа»

¹в

²р

³к

⁴ц

⁵н

Действительная часть числа

Мнимая часть числа

Математический обзор мнимых и комплексных чисел

Математический обзор мнимых и комплексных чисел https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 Дебора Дебора https://secure. gravatar.com/avatar/63fb4ad5c163b8f83de2f54371b9e040?s=96&d=mm&r=g 3 февраля 2014 г. 2 декабря 2014 г.

Обзор:

В то время как положительные числа имеют как положительные, так и отрицательные квадратные корни, отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел. Набор мнимых чисел можно использовать в уравнениях с квадратными корнями из отрицательных чисел. Комплексные числа имеют действительные и мнимые компоненты и могут использоваться в операциях, подобных действительным числам.

Что такое мнимые числа?

Мнимое число i равно квадратному корню из -1. Другими словами, я ² равно -1. Квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом и не является переменной. Например, квадратный корень из -25 записывается как 5i, потому что 5i, умноженное на 5i, равно 25, умноженному на -1 или -25. Квадратный корень из -3 можно записать как i√3, потому что i√3 умножить на i√3 равно -1 умножить на 3 или -3. Когда извлекается квадратный корень из отрицательных чисел, мнимое число i должно использоваться как множитель.

Что такое комплексные числа?

Комплексные числа принимают форму a +bi, где a и b — действительные числа. Если a равно 0, то остается только часть числа bi, форма мнимого числа, где i равно квадратному корню из -1. Если b равно 0, то от числа осталась только часть a, которая является действительным числом. Каждое действительное число также является комплексным числом.

Как складывают и вычитают комплексные числа?

Комплексные числа можно складывать и вычитать так же, как и другие выражения. Например, 6+2i можно добавить к 3+3i, добавив 6+3 как 9 и 2i+3i или 5i. Таким образом, 6 + 2i + 3 + 3i равно 9 + 5i. Точно так же 4 + 5i – 2 + 3i можно оценить как 4-2 и 5i-3i или 2 + 2i. Аддитивное обратное 2 + 3i равно -2 -3i.

Как умножаются комплексные числа?

Комплексные числа умножаются аналогично умножению двух многочленов. Например, (3 + 2i)(2 +4i) умножаются как 3(2 +4i) + 2i(2 + 4i) с использованием распределительного свойства, так что 6 + 12i +4i +8i ² . Это можно упростить до 6 + 16i -8, потому что 8i ² равно 8, умноженному на -1, потому что i ² равно -1 или -2 + 16i.

Заинтересованы в услугах репетитора по алгебре? Узнайте больше о том, как мы помогаем тысячам студентов каждый учебный год.

SchoolTutoring Academy — это ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для учащихся K-12 и колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся в Дункане, Британская Колумбия, Канада, посетите Репетиторство в Дункане, Британская Колумбия, Канада 9.0007

Комплексные числа и алгебра — Меловая пыль

Конфиденциальность и файлы cookie: этот сайт использует файлы cookie. Продолжая использовать этот веб-сайт, вы соглашаетесь на их использование.
Чтобы узнать больше, в том числе о том, как управлять файлами cookie, см. здесь: Политика в отношении файлов cookie

Мнимые и комплексные числа. Возможно, они неправильно названы, и Гаусс даже призывал переименовывать «мнимые» числа в боковые числа. Однако большинство молодых математиков не заботятся о своих именах, а вместо этого могут задавать такие вопросы, как: 9Два члена были известны как вдавленные кубики, и это значительно облегчало решение кубических уравнений.

Никколо Фонтана Тарталья, ученик-самоучка, победивший Антонио Фиоре. Public Domain

Теперь мы перенесемся в 16 век. Итальянский профессор Сципионе дель Ферро из Болонского университета нашел формулу для решения вдавленных кубиков с положительным $p$ и отрицательным $q$. На смертном одре в 1526 году он доверил свое доказательство и формулу своему ученику Антонио Фиоре. Фиоре был в университете Болоньи, где регулярно проводились математические соревнования. Теперь у Фиоре была формула, которую искали математики, и с доказательством в руках бросил вызов самоучке Никколо Тарталья. Совершив удивительный подвиг, Тарталья смог вывести формулу для куба до соревнования и выиграл у Фиоре. Формула (без доказательства) снова была передана от Тартальи Джероламо Кардано. Кардано просто работал в обратном направлении и реконструировал доказательство.

«Алгебра», центральная фигура в понимании мнимых чисел. Public Domain

Одна из проблем заключалась в том, что часть формулы могла привести к извлечению корня из отрицательного числа, и Кардано был первым, кто действительно рассмотрел такую возможность. Однако он никогда не включал это ни в одно из своих произведений. С другой стороны, Рафаэль Бомбелли в своей работе «Алгебра» прямо отметил это. Потребовалось время, чтобы комплексные числа были приняты, но в конце концов их полезность перевесила трудности, с которыми некоторые математики столкнулись при их понимании. 92=-1 \, \, \, \поэтому \, \, \, \text{«Решений нет»}$$

Хотя это не имеет смысла. Основная теорема алгебры утверждает, что корней должно быть 2, но этот ответ предполагает, что их нет. Чтобы исправить ошибку, фразу «Нет решений» следует читать «Нет реальных решений». Извлечение квадратного корня дает результат $x=\pm \sqrt{-1}$. Это дает ровно два корня для функции. $\sqrt{-1}$ был особенным и получил свой собственный символ, $\mathrm{i}$, и стал воображаемой единицей. 9k (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\\
&=(\cos k\theta+\mathrm{i}\sin k\theta)(\cos\theta+\mathrm{i}\sin \theta)\\
&=\cos k\theta\cos\theta+\mathrm{i}\cos k\theta\sin\theta-\sin k\theta\sin\theta+\mathrm{i}\sin k\ тета \ соз \ тета \\
& = \ соз к \ тета \ соз \ тета- \ грех к \ тета \ грех \ тета + \ mathrm {я} (\ грех к \ тета \ соз \ тета + \ соз к \ тета \ sin\theta)\\
&=\cos (k\theta+\theta)+\mathrm{i}\sin(k\theta+\theta)\\
&=\cos((k+1)\theta)+ \mathrm{i}\sin((k+1)\theta)
\end{align*} 9{\ mathrm {i} (A + B)} = \ cos (A + B) + \ mathrm {i} \ sin (A + B) $ $

, но также:

$ $ (\ cos A + \ mathrm {i}\sin A)(\cos B+\mathrm{i}\sin B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B+\mathrm{i}(\cos A\sin B+\sin A\ cos B). $$

Приравнивание действительной и мнимой частей дает:

$$\cos A\cos B-\sin A\sin B= \cos(A+B)$$
$$\cos A\sin B+\sin A\cos B= \sin(A+B)$$

Таким же образом мы могли бы заменить $\theta$ на $A-B$, чтобы получить выражения для $\cos(A-B)$ и для $\sin (А-Б)$. Кроме того, все остальные тригонометрические тождества, используемые в математике уровня A, могут быть получены именно из этих тождеств.

Многие учащиеся могут быть осведомлены о геометрическом доказательстве этих тождеств и все еще могут пытаться запомнить эти иногда сбивающие с толку тождества. Тем не менее, я надеюсь, что, увидев это, вы сможете глубже понять свое обучение, по-настоящему наслаждаясь скрытой красотой математики, а не зазубривая математику. Возможно, элегантность использования формулы Эйлера заключается в том, что она подчеркивает кое-что весьма интересное: между алгеброй и геометрией существует четкая связь, а именно комплексные числа. Кроме того, это свидетельствует о том, что математика представляет собой набор единых и собранных идей.

Почему они важны?

Открытие комплексных чисел имело чрезвычайно важное значение в алгебре. Чтобы в полной мере оценить это, мы должны рассмотреть нашу систему счисления, чему многие студенты никогда не учат в явном виде. Первоначально люди использовали натуральные числа $\{1,2,3…\}$ для подсчета встречающихся в природе объектов, например, 20 коров или 3 яблока. Затем были открыты целые числа для понимания таких понятий, как долг. Целые числа расширили систему чисел, а натуральные числа были подмножеством целых чисел, как показано на изображении ниже. Следующим расширением системы счисления стало открытие рациональных чисел, которые определяются как отношение двух целых чисел. Система счисления была еще раз расширена за счет введения действительных чисел, набора, который содержал рациональные и иррациональные числа. Математики думали, что система счисления завершена, и что алгебра теперь понятна. Однако открытие комплексных чисел выявило неполноту системы счисления. Фактически комплексные числа были окончательным расширением системы счисления и представляют собой то, что известно как алгебраическое замыкание системы счисления.

Тема комплексные числа математика: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе

Ключевые слова

Похожие статьи

Программа

Методический

Курс

Программа элективного курса «Параметр — это здорово!»

Развитие логического

Изложение теории делимости в УМК «Математика 5–6» авторского…

Формирование

Технология преподавания курса «

Обобщение системы работы при подготовке учащихся к ЕГЭ по…

Типология текстовых задач в Едином государственном экзамене…