Тема размещение по алгебре: Размещения — урок. Алгебра, 11 класс.

Конспект урока алгебры в 9 классе «Размещение»

Размещение

Цели: ввести понятие размещения из п элементов по k, где k ≤ n; вывести формулу нахождения числа размещений с помощью комбинаторного правила умножения; формировать умение решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Составить всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:

а) ы, т, в (ты; вы); б) н, о, а (но, на, он, ан).

3. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти три места.

(Р₃ = 3! = 6: АБВ, АВБ; БАВ, БВА; ВАБ, ВБА. )

III. Проверка домашнего задания.

С обязательным вынесением на доску решения.

№ 750 (б).

Р е ш е н и е

(п + 1)! · п = п! (п + 1) · п п! (п + 1) в п раз.

IV. Объяснение нового материала.

1. Для актуализации знаний предложить для решения № 839 (а, б).

Р е ш е н и е

а) = n + 1;

б) .

2. З а д а ч а. Из четырех конфет – ириска (и), леденец (л), карамель (к), шоколадная (ш) – Марина решила последовательно съесть три. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

Это задача о выборе трех элементов из четырех с учетом порядка выбора.

Начинаем перечисление с анализа условия: первую конфету можно выбрать одним из четырех способов; для каждой первой конфеты вторую можно выбрать тремя способами из трех оставшихся; для каждой второй третью конфету можно выбрать двумя способами из двух оставшихся. Мы сразу видим количество вариантов – по правилу умножения их 4 · 3 · 2 = 24 – и алгоритм записи в таблицу (в первой строке комбинации, начинающиеся с «и», во второй – с «л» и т. д.).

илк	илш	икл	икш	ишл	ишк
лик	лиш	лки	лкш	лши	лшк
кил	киш	кли	клш	кши	кшл
шил	шик	шли	шлк	шки	шкл

Каждую такую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

3. Определение. Размещением из п элементов по k (k  n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

О б о з н а ч е н и е. (читается «А из п по k»).

Подчеркиваем, что в этом определении важен не только выбор, но и порядок элементов в выборе.

4. Формулу можно вывести по правилу умножения, причем, для частного случая, мы уже знаем алгоритм. Можно сильному классу попробовать вывести самостоятельно:

– формула вычисления числа размещений из п по k.

Очень важный момент при изучении этой формулы – рассмотреть случай, когда п = k. Тогда получается размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то есть представляют собой перестановки из п элементов.

Будем считать по определению 0! = 1, в этом случае

, то есть .

5. Рассмотрим примеры 1 и 2 со с. 181–182 учебника.

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 754.

Р е ш е н и е

Пронумеруем места в купе (с 1 по 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов. Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

= 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: 24 способа.

№ 756, № 757. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

При решении этих заданий следует уделять внимание обоснованию выбора формулы для подсчета числа размещений, не допуская формализма.

Ученики могут решить эти задания не только по формуле, но и применяя комбинаторное правило умножения. Следует поощрять и этот способ решения, так как он позволяет осознать структуру самой формулы и лучше ее запомнить.

№ 760.

Р е ш е н и е

а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:

.

б) Выбираем 4 места для фотографий из 6:

.

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

= Р₆ = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

О т в е т: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

№ 762.

Р е ш е н и е

а) Выбираем 4 цифры из 5 данных, порядок выбора имеет значение:

= 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль. Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем = 2 · 3 · 4 = 24 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.

Количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно: = 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

Значит, допустимых – = 120 – 24 = 96.

О т в е т: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется размещением из п элементов по k?

– Запишите формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.

– Чему равно 0!? 1!?

Домашнее задание: № 755, № 758, № 759, № 767.

Размещение | это… Что такое Размещение?

ТолкованиеПеревод

Размещение

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» (объектов) на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных же n элементов.

Пример 1: — это 4-х элементное размещение из 6-ти элементного множества .

Пример 2: некоторые размещения элементов множества по 2: … … …

В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы и являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов (то есть совпадают как сочетания).

Содержание 1 Количество размещений 2 Размещение с повторениями 2.1 Количество размещений с повторениями 3 См. также 4 Ссылки

Количество размещений

Количество размещений из n по k, обозначаемое , равно убывающему факториалу:

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту , в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук.

При k=n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:

[1]^[2][3]

Размещение с повторениями

Размещение с повторениями или выборка с возвращением^[4] — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз.

Количество размещений с повторениями

По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозначаемое , равно:^[5][1][4]

Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:

См. также

• Обобщённая схема размещения
• Сочетание
• Перестановка

Ссылки

1. ↑ ^{1 2} Виленкин Н.Я. Глава III. Комбинаторика кортежей и множеств. Размещения с повторениями // Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 80. — 208 с.
2. ↑ Теория конфигураций и теория перечислений
3. ↑ Глава 3. Элементы комбинаторики. // Лекции по теории вероятностей.
4. ↑ ^{1 2} Корн Г., Корн Т. Табл. 18.7-2(2.b), 18.7-3(2.b) // Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973. — С. 568. — 832 с.
5. ↑ Комбинаторный анализ // Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 2. — С. 974. — (Сов. энциклопедия).

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Синонимы:

андеррайтинг, базирование, букировка, вселение, дислокация, коллокация, локализация, помещение, поселение, разброска, разнесение, разнос, разноска, раскассирование, расквартирование, расположение, распределение, рассовывание, рассредоточение, расстановка, рассыпание, рассыпка, растасовка, спецразмещение, тримминг, штивка, экспозиция

• Альберт Великий
• Дордонь (река)

Полезное

Учебные материалы по вступительным экзаменам | Кафедра математики

Body

Поскольку учащимся разрешается сдавать вступительный тест по математике только один раз, им настоятельно рекомендуется подготовиться к этому тесту. Перед сдачей вступительного теста по математике учащиеся должны ознакомиться с темами, которые могут быть найдены в тесте, и с имеющимися учебными материалами.

[pdf]. Некоторые ссылки на этой странице ведут на файлы в формате .pdf. Если вам нужны эти файлы в более доступном формате, отправьте электронное письмо по адресу [email protected]. Файлы PDF требуют использования программного обеспечения Adobe Acrobat Reader для их открытия. Если у вас нет Reader, вы можете использовать следующую ссылку на Adobe, чтобы загрузить его бесплатно по адресу: Adobe Acrobat Reader.

Продвинутый уровень

Текст

Тест B по математике — это компьютеризированный тест, который длится 75 минут и состоит из 40 вопросов.

Темы теста:

Общие темы, которые можно найти в тесте B, следующие:

1. Арифметика чисел со знаком, дроби, смешанные числа, десятичные дроби, экспоненциальное представление
2. Числовая линия — рациональные и действительные числа
3. Свойства чисел — свойство распределения, простые множители, делимость, порядок действий, наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель
4. Показатели — целые и дробные показатели, законы показателей, упрощение выражений, содержащих показатели и радикалы
5. Прикладные задачи и формулы — текстовые задачи, проценты, отношения и пропорции, геометрические формулы, единицы измерения
6. Линейные уравнения — наклон, точки пересечения, форма наклон-пересечение, параллельные прямые, решение линейных уравнений
7. Решение линейных неравенств и неравенств с абсолютной величиной
8. Графики — упорядоченные пары, линейные уравнения и неравенства, параболы и другие уравнения
9. Теорема Пифагора, расстояние на плоскости, периметр, площадь и основные свойства геометрических фигур, включая треугольники, окружности и параллелограммы
10. Системы уравнений с двумя и тремя переменными и приложения
11. Многочлены — сложение, вычитание, умножение, деление
12. Факторинг — общий мономиальный множитель, квадратика, группировка
13. Решение квадратных уравнений, комплексные числа
14. Упрощение рациональных выражений, сложные дроби, решение дробных уравнений
15. Логарифмы и экспоненты
16. Тригонометрия прямоугольного треугольника

Учебные материалы:

Тест B по математике оценивает навыки учащихся по алгебре. Вступительный тест по математике может отобрать учащихся по предметам Math 1050 Precollege Mathematics I и Math 1075 Precollege Mathematics II.

Математический факультет составил пробный тест с решениями.

• Примеры вопросов теста B по математике [pdf]
• Math Placement B Test Sample Questions Answers [pdf]

На страницах курсов факультета математики представлены образцы программ и промежуточные и итоговые практические занятия.

• Математика 1050 Довузовская математика I
• Математика 1075 Довузовская математика II

В университетских библиотеках Университета штата Огайо имеется около 200 учебников по математике и статистике, доступных в электронном виде или для скачивания. Студенты могут искать эти книги на странице университетских библиотек Математика и статистика – Дополнительные книги и видео .

Text

Тест D по математике — это компьютеризированный тест, который длится 75 минут и состоит из 25 вопросов.

Темы теста:

Общие темы, которые можно найти в тесте D, следующие:

1. Основные понятия алгебры, включая все темы теста B, перечисленные выше
2. Уравнения и неравенства — линейные и квадратные уравнения, дробные уравнения, уравнения с радикалами, квадратичные по форме уравнения, неравенства и множества, уравнения и неравенства по модулю, квадратные неравенства, системы двух уравнений с двумя переменными
3. Функции — системы координат, отношения, взаимно-однозначные функции, область определения и область значений, графики функций (расширения, сокращения, переносы и отражения), определение симметрии и асимптот, составные и обратные функции
4. Квадратичные функции (свойства и графики), графики полиномиальных функций степени >2, рациональные функции (свойства и графики), конические сечения (стандартные формы и графики)
5. Экспоненциальные и логарифмические функции, свойства и графики, решение логарифмических и показательных уравнений
6. Тригонометрия прямоугольного треугольника, углы, оценка тригонометрических и обратных триггерных функций
7. Общая тригонометрия, тригонометрические функции и их свойства, оценка триггерных функций, опорные углы, графики тригонометрических и обратных триггерных функций, амплитуда, фазовый сдвиг
8. Аналитическая тригонометрия, тригонометрические тождества и уравнения, формулы сложения и формулы кратных углов, формулы суммы и произведения, закон синусов и косинусов, векторы
9. Комплексные числа, определение, сопряженные, обратные, комплексные корни уравнений, тригонометрическая форма комплексных чисел, степени и корни комплексных чисел, теорема Де Муавра

Учебные материалы:

Тест D по математике оценивает навыки предварительного исчисления учащихся. Вступительный тест по математике может исключить студентов из Math 1148 College Algebra, Math 1149 Trigonometry и Math 1150 Precalculus.

Математический факультет составил пробный тест с решениями.

• Тест D по математике Примеры вопросов [pdf]
• Образец ответов на вопросы теста D по математике [pdf]

На страницах курсов факультета математики представлены образцы программ и промежуточные и итоговые практические занятия.

• Математика 1148 Высшая алгебра
• Математика 1149 Тригонометрия
• Математика 1150 Предварительное исчисление

В университетских библиотеках Университета штата Огайо имеется около 200 учебников по математике и статистике, доступных в виде электронных книг или для скачивания. Студенты могут искать эти книги на странице университетских библиотек Математика и статистика – Дополнительные книги и видео .

Размещение по математике | Математика

Диагностика

Диагностика размещения

Диагностика размещения требуется  от всех (независимо от кредита AP по исчислению) для записи на курсы, перечисленные в таблице ниже, если вы еще не прошли обязательный курс в Стэнфорде.

Диагностика размещения порекомендует начальный курс математики, на который следует записаться, и эта рекомендация  является чисто рекомендательной . Рекомендуемое размещение само по себе не означает выполнение каких-либо требований в Стэнфорде (для специальностей или предварительных условий). Диагностика поможет определить области, которые вы, возможно, захотите проверить. Дополнительную информацию о курсах, рекомендованных в диагностике, см.  Вводные курсы по математике стр.

Precalculus Refresh in Canvas состоит из видеороликов и связанных с ними упражнений, которые доступны для использования в любое время. В нем рассматриваются основные навыки алгебры, построения графиков, функций и тригонометрии, которые необходимы для изучения и использования исчисления. Рекомендуется для всех, кому нужно освежить некоторые из этих навыков или у кого есть пробелы в знаниях. Лучше всего сделать это заблаговременно, чтобы вы проработали все соответствующие части до зачисления на курс математического анализа здесь.

Курс	Диагностика размещения	или предварительный курс
Математика 18	✓
Математика 19	✓
Математика 20	✓	или математика 19
Математика 21	✓	или математика 20
Математика 51	✓	или математика 21

Обратите внимание: 

Диагностика даст вам наиболее полезную обратную связь, если вы пройдете ее за квартал, предшествующий зачислению на первый курс математического факультета в Стэнфорде (если вы находитесь на уровне Math 51 или ниже). Завершение диагностики в период с 1 августа 2022 г. по 9 июля 2023 г. дает вам право записаться на курсы математики 18, 19, 20, 21 и 51 на 2022–23 учебный год в качестве вашего первого курса математического факультета здесь. Поэтому, если вы планируете не проходить здесь первый курс математического факультета на уровне Math 51 или ниже до 2023-24 учебного года или позже, вам нужно будет пересдать диагностику на этом этапе.

Обратите внимание, что после того, как вы закончили здесь первый курс математического факультета на уровне 51 или ниже, вам больше не нужно проходить диагностику для зачисления на другой курс математического факультета. Например, вы можете сдать математику 21 в этом году и отложить математику 51 до следующего года или позже, не пересдавая диагностику.

Также обратите внимание, что результат этой диагностики не влияет на зачет AP в Стэнфорде. Тем не менее, выбор зачисления на курс, за который вы получили кредит перехода или продвинутого уровня, регулируется политикой регистратора в отношении дублирования кредита.

Образец прохождения курса исчисления

В следующей таблице перечислены планы курсов в соответствии с рекомендованным для вас размещением. Если диагностика размещения рекомендует вам просмотреть определенные темы предварительного расчета, мы настоятельно рекомендуем вам сделать это до регистрации.

Рекомендуемое размещение	Осень	Зима	Пружина
Математика 19	Математика 19	Математика 20	Математика 21
Математика 20	Математика 20	Математика 21	Математика 51
Математика 21	Математика 21	Математика 51	Математика 52 или 53*
Математика 51	Математика 51	Математика 52 или 53*	Математика 52 или 53*

*Математика 52 и 53 не зависят друг от друга, но их следует сдавать после завершения Математики 51. академический год. Математика 19 предлагается только в осенне-зимнем квартале.

Часто задаваемые вопросы

Сколько времени займет диагностика размещения?

Запланируйте от 60 до 90 минут на выполнение диагностики. Ограничений по времени НЕТ, поэтому вы можете заниматься столько, сколько необходимо.

Мне нужно пройти диагностику за один присест или я могу уйти и вернуться позже?

Диагностика предназначена для однократного прохождения, и вы должны выполнить ее за один присест. Однако ограничения по времени нет. См. первую страницу диагностики и ознакомьтесь с разделом «Основная информация» для получения дополнительной информации. Кликните сюда.

Будет ли диагностика размещения отображаться в моей стенограмме?

Сколько времени потребуется, чтобы записаться на курс после завершения диагностики?

В течение 7 дней после завершения диагностики вы получите электронное письмо с указанием вашего права на регистрацию. После получения электронного письма вы можете сразу же зарегистрироваться в Axess. *Примечание: если вы являетесь новым студентом, несмотря на то, что ваши предварительные условия теперь выполнены, вы по-прежнему будете иметь зачисление до тех пор, пока вы не пройдете ориентацию для новых студентов.

Какие темы рассматриваются в диагностике размещения?

См. первую страницу диагностики и ознакомьтесь с разделом «Основная информация». Кликните сюда.

Нужно ли мне учиться для диагностики размещения?

Диагностика призвана дать точное представление о том, какой курс математики (с 19 по 51) будет наиболее подходящей отправной точкой, исходя из ваших знаний на момент его изучения.

Должен ли я сдавать математику 18 до или вместе с математикой 19?

Если ваш балл по разделу «Предварительный исчисление» в Диагностике размещения ниже 20, мы настоятельно рекомендуем вам пройти курс «Математика 18» (предлагается только в осенней четверти), чтобы укрепить свои математические навыки, прежде чем приступать к курсам по математическому анализу в Стэнфорде. Можно сдавать математику 18 одновременно с математикой 19 в осеннем квартале.

К кому мне обратиться, если у меня возникнут дополнительные вопросы?

См. первую страницу диагностики и ознакомьтесь с разделом «Основная информация». Кликните сюда.

Должен ли я записаться на курс, который мне рекомендует пройти диагностика размещения?

Нет, цель диагностики — предложить подходящий первый курс математики на основе ваших знаний, продемонстрированных в диагностике, но это чисто рекомендательный характер.

У меня есть кредит AP, нужно ли мне проходить диагностику размещения?

Да, даже если у вас есть кредит AP, вам все равно необходимо пройти диагностику перед тем, как зарегистрироваться на курс Math 51. Обратите внимание, если у вас есть кредит AP и вы решите пройти курс математического анализа, ваши единицы могут быть повторены.

Если я хочу сразу перейти на уровень 52 или выше, нужно ли мне проходить диагностику размещения?

Нет, вы можете записаться непосредственно на любой курс с номером выше 51. Если вы решите изменить зачисление с более высокого курса на курс «Математика 51» до истечения срока окончательного списка исследований, вам нужно будет пройти диагностику, чтобы завершить зачисление.

В чем разница между сериями Math 50 и CME 100?

Серия Math 50 ориентирована на практическое применение представленных в ней концепций; он не требует каких-либо теоретических доказательств, сосредоточившись на передаче понимания принципов, относящихся ко всем концепциям, где они могут использоваться. Серия CME 100 больше ориентирована на инженерные приложения с использованием программирования. Две последовательности курса преподают материал в очень разном порядке; например, большая часть содержания линейной алгебры Math 51 не охватывается CME 100. Лучшая подготовка к сдаче Math 104 (прикладная линейная алгебра), Math 52 или Math 53 — сдать Math 51.

Как решить, какую последовательность курсов выбрать (серия Math 50 или серия CME 100)?

Лучше всего обдумать свою будущую курсовую работу и планы концентрации. И CS 229, и CS 230 специально рекомендуют математику 51 (или курсы, основанные на математике 51) для их математической подготовки; Math 51 — единственный курс в Стэнфорде, учебная программа которого охватывает почти весь материал по линейной алгебре и «матричному исчислению», используемый в CS 229 и CS 230. Серия Math 50 предлагает базовые знания по многомерному исчислению и линейной алгебре, актуальные для учащихся всех количественные специальности, как в Школе гуманитарных и естественных наук, так и в Школе инженерии. Специальности «Химия», «Наука о данных», «Физика» и «Символические системы» принимают только серию «Математика 50» для выполнения своих математических требований, а специальность «Инженерная физика» настоятельно рекомендует серию «Математика 50» для студентов, которые, вероятно, выберут любой из вариантов курса «Физика». глубина. Серия Math 50 также настоятельно рекомендуется, если в будущем вам может понадобиться пройти более сложные курсы на факультетах математики или статистики.