Теорема фалеса задачи 8 класс: Задачи на теорему Фалеса — задачи с решениями

Содержание

формула и примеры решения задач

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р

Содержание:

Формулировка теоремы Фалеса
Примеры решения задач
Историческая справка

Формулировка теоремы Фалеса

Теорема

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема

Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):

$$\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}}=\frac{A_{2} A_{3}}{B_{2} B_{3}}=\frac{A_{1} A_{3}}{B_{1} B_{3}}$$

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Теорема

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).

Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть $AB$ — заданный отрезок (рис. 3), который необходимо разделить на четыре равные части.

Через точку $A$ проведем произвольную полупрямую $a$ и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка $AC, CD, DE, EK$ .

Соединим точки $B$ и $K$ отрезком и проведем через оставшиеся точки $C$, $D$ и $E$ прямые, параллельные прямой $BK$ так, чтобы они пересекли отрезок $AB$ .

Согласно теореме Фалеса отрезок $AB$ разделится на четыре равные части.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$. Отрезок $CK$ пересекает медиану $AM$ треугольника в точке $P$, причем $AK = AP$. Найти отношение $BK : PM$ .

Решение. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CK$, которая пересечет $AB$ в точке $D$ (рис. 4).

По теореме Фалеса $BD = KD$ .

По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что

$$P M=K D=\frac{B K}{2} \Rightarrow B K: P M=2: 1$$

Ответ. $B K: P M=2: 1$

Историческая справка

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?

Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!

КАК ВЫБРАТЬ репетитора

Выбрать репетитора самостоятельно

ИЛИ

Позвонить и Вам поможет специалист

8 (800) 333 58 91

* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК

ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41

Выбранные репетиторы

Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.

Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.

Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных

Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки

Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ

от
800 до 5000 ₽

за 60 мин.

и зависит

ОТ ОПЫТА и
квалификации
репетитора

ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)

ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)

Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом

Почему я выбираю DisTTutor

БЫСТРЫЙ ПОДБОР
РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД

ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА

ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ

НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.

ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА

ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО

376702 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор

И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах

Чулпан Равилевна Насырова

Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!

Алина Крякина

Надежда Васильевна Токарева

Мы занимались с Надеждой Васильевной по математике 5 класса. Занятия проходили в удобное для обоих сторон время. Если необходимо было дополнительно позаниматься во внеурочное время, Надежда Васильевна всегда шла навстречу. Ей можно было позванить, чтобы просто задать вопрос по непонятной задачке из домашнего задания. Моя дочь существенно подняла свой уровень знаний по математике и начала демонстрировать хорошие оценки. Мы очень благодарны Надежде Васильевне за помощь в этом учебном году, надеемся на продолжение отношений осенью.

Эльмира Есеноманова

Ольга Александровна Мухаметзянова

Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.

Оксана Александровна

Наталья Борисовна Карасева

Мы восторге от репетитора. Наталья Борисовна грамотный педагог, она любит свою профессию, любит учеников. Занятия с сыном (2 класс), он находится на домашнем обучении, проходят по скайпу в комфортной обстановке. Репетитор умеет заинтересовать ребенка и выстраивает занятие с учетом его способностей, доступно объясняя предметы русский язык и математику. По результатам занятий можно сразу заметить повышение уровня успеваемости ученика. Наталья Борисовна хороший педагог, умеет быстро найти общий язык с ребенком, внимательная, легко передающая знания ученику. С большим удовольствием будем продолжать наши занятия, т.к. мы всем довольны.

Елена Васильевна

Клиентам

Репетиторы по математике
Репетиторы по русскому языку
Репетиторы по химии
Репетиторы по биологии
Репетиторы английского языка
Репетиторы немецкого языка

Репетиторам

Регистрация
Публичная оферта
Библиотека
Бан-лист репетиторов

Партнеры

ChemSchool
PREPY.
RU
Class

Математическая задача: OK круг — вопрос № 726, геометрия, теорема Фалеса

Прямоугольный треугольник имеет длину гипотенузы 33 и один катет длиной 17. Вычислите радиус (радиус окружности) описанной окружности.

Правильный ответ:

r = 16,5

Пошаговое объяснение:

c=33 r=c/2=33/2=16,5

Попробуйте рассчитать с помощью нашего калькулятора треугольников.

Нашли ошибку или неточность? Смело звоните по номеру

пишите нам

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

См. также наш калькулятор прямоугольного треугольника.
См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.

Чтобы решить эту математическую задачу, вам необходимо знать следующие знания:

геометрия
Теорема Фалеса
планиметрика2
прямоугольная 032
треугольник

проблема со словом:

Практика для 12-летних
Практика для 13-летних
Практика для 14-летних

Рекомендуем посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: video1

Треугольник
Вычислите площадь треугольника ABC, если b = c = 17 см, R = 19 см (R — радиус описанной окружности).
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике со стороной 6 см описана окружность радиусом 5 см. Чему равна высота гипотенузы этого треугольника?
Катет и вписанный круг
Дан прямоугольный треугольник с одним катетом длиной 14 см и радиусом вписанного круга 5 см. Вычислите площадь этого прямоугольного треугольника.
Равнобедренный IV
В равнобедренном треугольнике ABC равен |AC| = |БК| = 13 и |АВ| = 10. Вычислите радиус вписанной (r) и описанной (R) окружностей.
Катеты
Один из катетов прямоугольного треугольника имеет длину 12 см. На каком расстоянии от центра гипотенузы находится другой катет?
Описанная окружность
Радиус окружности, описанной в прямоугольном треугольнике с катетом длиной 6 см, равен 5 см. Вычислите длину окружности этого треугольника.
Расчет 18413
Какова длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см? Проведите расчеты и процедуры.
Треугольник
Вычислите стороны треугольника, если его площадь S = 630, а второй катет короче на 17.
Косинус
Вычислите косинус наименьшего внутреннего угла в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 8 и гипотенузой 8,544.
Шестиугольник 5
Расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника составляет 61 см. Вычислите длину радиуса окружности, описанной в этом шестиугольнике.
RT — гипотенуза и высота
Прямоугольный треугольник BTG имеет гипотенузу g=117 м, а высота до g равна 54 м. Какой длины отрезки гипотенузы?
Треугольная призма
Основание перпендикулярной треугольной призмы представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетом 2 см. Высота призмы равна 7/9 периметра основания. Вычислите площадь поверхности призмы.
6-угольник
Периметр правильного шестиугольника равен 113. Вычислите его описанный радиус (радиус описанной окружности).
Треугольник EQL
Вычислите радиус внутри и описанной окружности равностороннего треугольника со стороной a=77 см.
Нога и высота
Решите прямоугольный треугольник с высотой v = 9,6 м и более коротким катетом b = 17,3 м.
Прямоугольный треугольник
Определите площадь прямоугольного треугольника, длины сторон которого образуют последовательные члены арифметической прогрессии, а радиус окружности, описываемой треугольником, равен 5 см.

Основная теорема о пропорциональности или теорема Фалеса

Основная теорема о пропорциональности или теорема Фалеса

Утверждение: Если провести прямую, параллельную одной стороне треугольника, пересекающую две другие стороны, то она делит две стороны в том же отношении.
Дано: Треугольник ABC, в котором DE || BC и пересекает AB в D и AC в E.

Обратное из основной теоремы пропорциональности быть параллельным третьей стороне.
Дано: A DABC и линия l, пересекающая AB в D и AC в E,

Основная теорема пропорциональности Примеры задач с решениями
Пример 1: ∆ABC такое, что DE || ДО Н. Э.
Найдите значение x, если
(i) AD = 4 см, DB = (x – 4) см, AE = 8 см и EC = (3x – 19) см
(ii) AD = (7x – 4) см, AE = (5x – 2) см,
DB = (3x + 4) см и EC = 3x см.
Решение:
Пример 2: Пусть X — любая точка на стороне BC треугольника ABC. Если XM, XN проведены параллельно BA и CA, встречающимся с CA, BA в M, N соответственно; MN соответствует BC, произведенному в T, докажите, что TX ² = TB × TC.
Решение: В ΔTXM имеем
Пример 3: На рис., EF || АБ || ОКРУГ КОЛУМБИЯ. Докажите, что $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$.
Решение: Имеем EF || АБ || DC

Пример 4: На рисунке ∠A = ∠B и DE || ДО Н.Э. Докажите, что AD = BE
Решение:

Пример 5: На рис., DE || ДО Н.Э. Если AD = 4x – 3, DB = 3x – 1, AE = 8x – 7 и EC = 5x – 3, найдите значение x.
Решение:
Пример 6: Докажите, что отрезок, соединяющий середины смежных сторон четырехугольника, образует параллелограмм.
Решение:
Дано: Четырехугольник ABCD, в котором P, Q, R, S являются серединами AB, BC, CD и DA соответственно.
Чтобы доказать: PQRS является параллелограммом.
Пример 7: На рис. DE || до н.э. и CD || ЭФ. Докажите, что AD ² = AB × AF.
Решение:
Пример 8: Пр.8 На данном рисунке PA, QB и RC перпендикулярны AC так, что PA = x,
RC = y, QB = z, AB = a и BC = б. Докажите, что $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$.
Решение:

Пример 9: На рис., LM || АБ. Если AL = x – 3, AC = 2x, BM = x – 2 и BC = 2x + 3, найдите значение x.
Решение:
Пример 10: При заданном ∆ABC, DE || до н. э. и $\frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}$. Если AC = 14 см, найти AE.
Решение:
Пример 11: На рисунке DE || ДО Н.Э. Найдите АЕ.
Решение:
Пример 12: На рисунке ABC — треугольник, в котором AB = AC. Точки D и E — это точки на сторонах AB и AC соответственно, такие, что AD = AE. Докажите, что точки B, C, E и D концикличны.
Решение: Чтобы доказать, что точки B, C, E и D концикличны, достаточно показать, что

Пример 13: На рис., $\frac{AD}{DB }=\frac{1}{3}\text{ и }\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$. Используя обратную теорему о пропорциональности, докажите, что DE || ДО Н.Э.
Решение:
Пример 14: Используя основную теорему о пропорциональности, докажите, что прямые, проведенные через точки трисекции одной стороны треугольника, параллельны другой стороне, делят на три части третью сторону.
Решение:
Пример 15: На приведенном рисунке $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ и ∠ADE = ∠ACB. Докажите, что треугольник ∆ABC равнобедренный.
Решение:
Пример 16: На рис., если DE || AQ и DF || АР. Докажите, что EF || QR.
Решение:

Пример 17: Два треугольника ABC и DBC лежат по одну сторону от основания BC. Из точки P на BC, PQ || АБ и ПР || БД нарисованы. Они встречаются с AC в Q и DC в R соответственно. Докажите, что QR || ОБЪЯВЛЕНИЕ.
Решение: Дано: Два треугольника ABC и DBC лежат по одну сторону от основания BC. Точки P, Q и R — это точки на BC, AC и CD соответственно такие, что PR || БД и ПК || АБ.

Пример 18: ABCD — трапеция с AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ. E и F — точки на непараллельных сторонах AD и BC соответственно такие, что EF || АБ. Покажите, что $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$
Решение: Дано: Ловушка ABCD, в которой AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.
E и F — точки на AD и BC соответственно такие, что EF || АБ.
Пример 19: На рис. A, B и C — точки на OP, OQ и OR соответственно такие, что AB || PQ и переменный ток || пиар. Покажите, что до н.э. || QR.
Решение:

Пример 20: Любая точка X внутри ∆DEF соединена со своими вершинами. Из точки P в DX проводится PQ параллельно DE и XE в точке Q, а QR параллельно EF и XF в R. Докажите, что PR || ДФ.
Решение: A ΔDEF и точка X внутри него. Точка X соединена с вершинами D, E и F. P — любая точка на DX. ПК || DE и QR || ЭФ.

Таким образом, на ΔXFD точки R и P делят стороны XF и XD в одинаковом отношении. Следовательно, по обращению к основной теореме пропорциональности имеем PR || DF
Пример 21: Докажите, что любая прямая, параллельная параллельным сторонам трапеции, пропорционально делит непараллельные стороны.
Решение: Дано: Трапеция ABCD, в которой DC || AB и EF — это прямые, параллельные DC и AB.

Пример 22: Докажите, что прямая, проведенная из середины одной стороны треугольника, параллельная другой стороне, делит третью сторону пополам.
Решение: Дано: A DABC, в котором D — середина стороны AB, а линия DE проведена параллельно BC и пересекает AC в E.
Доказать: E — середина переменного тока, т. е.
AE = EC.

Следовательно, E делит AC пополам.
Пример 23: Докажите, что прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.
Решение: Дано: A ΔABC, в котором D и E являются серединами сторон AB и AC соответственно.

Таким образом, прямая DE делит стороны AB и AC треугольника ΔABC в одинаковом отношении.
No related posts.