Теория функции комплексного переменного: Курс по теории функций комплексного переменного

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана

Перейти к списку | Аннотация | Содержание

Аннотация

Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач. Приведены примеры и задачи из физики, механики и разных отраслей техники.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Учебник может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Содержание

Предисловие
Основные обозначения
1.	Комплексная плоскость
	1.1.	Алгебраическая форма записи комплексного числа
	1.2.	Тригонометрическая форма записи комплексного числа
	1.3.	Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана
	1.4.	Геометрия на комплексной плоскости
	1.5.	Задание множества точек на комплексной плоскости
	Вопросы и задачи
2.	Последовательности и ряды комплексных чисел
	2.1.	Последовательности комплексных чисел
	2.2.	Комплексные числовые ряды
	2.3.	Степенные ряды
	2.4.	Круг сходимости
	2.5.	Двусторонний степенной ряд
	Вопросы и задачи
3.	Функции комплексного переменного
	3. 1.	Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного
	3.2.	Предел и непрерывность функций комплексного переменного
	3.3.	Элементарные функции комплексного переменного
	3.4.	Многозначная функция Arg z
	3.5.	Логарифмическая функция
	3.6.	Обратные тригонометрические функции
	Вопросы и задачи
4.	Дифференцирование функций комплексного переменного
	4.1.	Производная функции комплексного переменного
	4.2.	Необходимые условия дифференцируемости
	4.3.	Достаточные условия дифференцируемости
	4.4.	Условия Коши — Римана в полярных координатах
	4.5.	Правила дифференцирования функций комплексного переменного
	4.6.	Аналитические функции
	4. 7.	Геометрический смысл аргумента и модуля производной
	4.8.	Теорема о единственности аналитической функции
	4.9.	Восстановление аналитической функции
	по ее действительной или мнимой части
	4.10.	Понятие об аналитическом продолжении
	Вопросы и задачи
5.	Интегрирование функций комплексного переменного
	5. 1.	Понятие и вычисление интеграла от функции комплексного переменного
	5.2.	Интегральные теоремы Коши
	5.3.	Независимость интеграла от пути интегрирования
	5.4.	Формула Ньютона — Лейбница
	5.5.	Интегральная формула Коши
	5.6.	Высшие производные аналитической функции
	5.7.	Достаточные условия аналитичности функции
	Д. 5.1.	Комплексный потенциал плоского векторного поля
	Вопросы и задачи
6.	Функциональные ряды на комплексной плоскости
	6.1.	Равномерная сходимость функциональных рядов
	6.2.	Свойства равномерно сходящихся рядов
	6.3.	Ряд Тейлора
	6.4.	Разложение функций в ряд Тейлора
	6. 5.	Ряд Лорана
	6.6.	Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням
	6.7.	Связь ряда Лорана с рядом Фурье
	Вопросы и задачи
7.	Нули и особые точки аналитической функции
	7.1.	Нули аналитической функции
	7.2.	Изолированные особые точки
	7. 3.	Бесконечно удаленная точка как особая
	7.4.	Классификация аналитических функций по их особым точкам
	Д.7.1.	Физическое толкование полюсов аналитической функции
	Вопросы и задачи
8.	Вычеты в изолированных особых точках
	8.1.	Вычет в конечной точке
	8.2.	Вычисление вычета в полюсе
	8. 3.	Вычет в бесконечно удаленной точке
	8.4.	Применение вычетов для вычисления интегралов
	8.5.	Логарифмический вычет
	Д.8.1.	Вычисление интегралов от действительных функций
	Вопросы и задачи
9.	Геометрические принципы теории функций комплексного переменного
	9.1.	Взаимно однозначные отображения
	9. 2.	Свойства конформных отображений
	9.3.	Теорема Римана
	9.4.	Принцип соответствия границ
	9.5.	Принцип максимума модуля функции
	9.6.	Принцип симметрии
	Вопросы и задачи
10. Конформные отображения
	10.1.	Линейное отображение
	10. 2.	Дробно-линейное отображение
	10.3.	Целая степенная функция
	10.4.	Показательная функция
	10.5.	Функция Жуковского
	10.6.	Тригонометрические и гиперболические функции
	10.7.	Однозначные ветви многозначных обратных функций
	Д.10.1.	Отображение полуплоскости на внутренность прямоугольника
	Д. 10.2.	Интеграл Кристоффеля — Шварца
	Вопросы и задачи
11. Прикладные задачи
	11.1.	Предварительные замечания
	11.2.	Непосредственное использование известного комплексного потенциала
	11.3.	Обтекание цилиндрического тела
	11.4.	Течение жидкости в каналах
	11.5.	Задачи различного физического содержания
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

 

Высшая математика Т3

Высшая математика Т3

Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник). Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — 512 с. Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов — «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» (том 1) и «Дифференциальное и интегральное исчисление» (том 2) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Книга содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 1.2. Общие понятия 1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения 1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка 1.2.3. Задача Коши 1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка 1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка 1.2.6. Поле направлений 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка 1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы 1.3.2. Уравнения с разделенными переменными 1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными 1.3.4. Однородные уравнения 1.3.5. Линейное уравнение 1.3.6. Уравнение Бернулли 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 1.5. Метрическое пространство 1.5.1. Понятие метрического пространства 1.5.2. Полное метрическое пространство 1.5.3. Принцип сжатых отображений 1.5.4. Приближенное значение корня функции 1. 5.5. Метод Ньютона 1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 1.9. Особые решения 1.10. Огибающая семейства кривых 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 1.15. Линейные уравнения высшего порядка 1.15.1. Понятие линейного уравнения высшего порядка 1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения 1.15.3. Определитель Вронского 1.15.4. Структура общего решения 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 1.16.1. Методы решения 1.16.2. Уравнение Эйлера 1.17. Метод вариации постоянных 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения 1.18.1. Методы нахождения частных решений 1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 1.25. Элементы теории устойчивости 1.26. Классификация точек покоя Глава 2. Кратные интегралы 2.1. Введение 2.2. Сведения из теории меры Жордана 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным 2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции 2.6. Замена переменных. Простейший случай 2.7. Замена переменных. Общий случай 2.8. Полярная система координат в плоскости 2.9. Полярная система координат в пространстве 2.10. Цилиндрические координаты 2.11. Площадь поверхности 2.12. Координаты центра масс 2.13. Несобственные интегралы 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра Глава 3. Векторный анализ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая 3.2. Криволинейный интеграл первого рода 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой 3.3.1. Поле вектора 3.3.2. Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой 3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода 3.4. Поле потенциала 3.4.1. Понятие потенциала и его свойства 3.4.2. Доказательство свойств потенциала 3.4.3. Ротор вектора 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах 3.6. Ориентация плоской области 3.7. Формула Грина 3.8. Интеграл по поверхности первого рода 3.9. Ориентация поверхности 3. 10. Система координат и ориентация поверхности 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского 3.14. Соленоидальное поле 3.15. Формула Стокса Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 4.1. Тригонометрические ряды 4.2. Сходимость тригонометрических рядов 4.3. Ряд Фурье 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье 4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 4.6. Коэффициенты Фурье 4.7. Оценка коэффициентов Фурье 4.8. Пространство функций со скалярным произведением 4.9. Ортогональная система функций 4.10. Полнота тригонометрических функций 4.11. Комплексная форма ряда Фурье 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье 4.14. Примеры 4.15. Приближение интеграла Фурье 4.16. Сумма Фейера 4.17. Полнота систем функций в С и L2’ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье Глава 5. Уравнения математической физики 5.1. Температура тела 5.2. Задача Дирихле 5.3. Задача Дирихле для круга 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня 5.7. Малые колебания струны 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 5.9. Колебание круглой мембраны 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля 5.11. Интеграл энергии (Дирихле) 5.12. Применение преобразований Фурье Глава 6. Теория функций комплексного переменного 6.1. Понятие функции комплексного переменного 6.2. Производная функция комплексного переменного 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана) 6.4. Гармонические функции 6.5. Обратная функция 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 6.7. Формула Коши 6.8. Интеграл типа Коши 6.9. Степенной ряд 6.10. Ряд Лорана 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты 6.12. Классификация особых точек на бесконечности 6. 13. Теорема о вычетах 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция Глава 7. Операционное исчисление 7.1. Изображение Лапласа 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений 7.3. Приложения операционного исчисления 7.3.1. Операторное уравнение 7.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений 7.3.3. Вычисление интегралов Глава 8. Обобщенные функции 8.1. Понятие обобщенной функции 8.2. Операции над обобщенными функциями 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций

{п} $, $n > 1$ (функции нескольких комплексных переменных). В узком смысле слова теория функций комплексного переменного — это теория аналитических функций (см. Аналитическая функция) одного или нескольких комплексных переменных.

Как самостоятельная дисциплина теория функций комплексного переменного оформилась примерно в середине 19 в. как теория аналитических функций. Основополагающими здесь были работы А. Л. Коши, К. Вейерштрасса и Б. Римана, которые подошли к развитию теории с разных (разных) точек зрения. 9{п} $, $n > 1$) присоединение $ z _ {0} $ и $z_{1}$.

При аналитическом продолжении могут встречаться особые точки (ср. Особая точка), до которых невозможно провести аналитическое продолжение ни по какому пути. Эти особые точки определяют общее поведение аналитической функции в том смысле, что если два пути $ L _ {1} $ и $ L _ {2} $ соединение одних и тех же неподвижных точек $ z _ {0} $ и $ z _ {1} $ не гомотопны, т. е. если невозможно деформировать $ L _ {2} $ непрерывно в $ L _ {1} $ не проходя при этом через какую-либо особую точку, то значения функции $ f ( z _ {1} ) $ получается аналитическим продолжением вдоль $ L _ {1} $ и $ L _ {2} $ может оказаться разным. Следовательно, полная аналитическая функция $w = f(z)$ полученный аналитическим продолжением исходного элемента (1) по всем возможным путям, может оказаться многозначным в своей естественной области определения в $\mathbf C$ (или в $\mathbf C^{n}$, $n > 1$). {n} $, $n > 1$.

При построении теории аналитических функций Коши исходил из понятия моногенности. Он назвал функцию $w = f(z)$, $ z \in D \subset \mathbf C $, моногенен, если он имеет монодромную (т. е. однозначную и непрерывную, кроме полюсов) производную всюду в $D$. Несколько расширив это понятие, можно использовать моногенную функцию $w = f(z)$ на подмножестве $E\subsetD$ обычно подразумевают (однозначную) функцию, для которой существует во всех точках $ z _ {0} \in E $ производная по $E$, 9{ \ простое число } ( z _ {0} ) = \ \lim\limits _ {\ begin {массив} {c} z \стрелка вправо z _ {0} , \\ г \в Е \конец{массив} } \ \frac{f ( z ) — f ( z _ {0} ) }{z — z _ {0} } . $$

Моногенность по Коши — это то же самое, что и аналитичность, когда $E = D$. Коши разработал теорию интегрирования аналитических функций, доказал важную теорему об остатках (см. Вычет аналитической функции), интегральную теорему Коши и ввел понятие интеграла Коши:

$$ \тег{3} ж ( z ) = \ { \frac{1}{2 \pi } } \int\limits _ \Гамма \ frac {f ( \ zeta ) d \ zeta {\ zeta — z } , $$

, выражающее значение аналитической функции $ f ( z) $ через его значения на любом замкнутом контуре $\Gamma$ окружающие $z$ и не содержащие особых точек $ f ( z) $ внутри или на $\Gamma$. Как простейшее интегральное представление аналитических функций понятие интеграла Коши можно сохранить и для функций многих переменных.

Если ввести комплексные переменные $ z = x + iy $, $ \overline{z} = x — iy $, можно описать любую функцию двух переменных $ x $ и $у$, $w = f (x, y) = u (x, y) + iv (x, y) $, как функция $z$ и $ \overline{z} $. Уравнения Коши-Римана, выделяющие среди таких функций аналитические, требуют, чтобы функции $ w = u (x, y) + iv (x, y) $ быть дифференцируемой по обеим переменным $(x,y)$, при этом везде в $D$ уравнение

$$ \тег{4} \ гидроразрыва {\ парциальное ш } {\ парциальное \ overline {z}} = 0 $$

, или, полностью, $ u _ {x} = v _ {y} $, $ u _ {y} = — v _ {x} $.

Условия (4) означают, что действительная и мнимая части $ u ( x, y) $ и $v(x,y)$ аналитической функции должны быть сопряженными гармоническими функциями. В случае аналитических функций нескольких комплексных переменных условия (4) должны выполняться по всем переменным $ \overline{z} _ \nu $, $\nu = 1\точки n $.

Для Римана наиболее важным было то обстоятельство, что аналитическая функция $w = f(z)$, выделенное условиями (4), при определенных условиях приводит к конформному отображению $ D $ на некоторую другую область в плоскости комплексной переменной $w$. Связь между аналитическими функциями и конформными отображениями открывает путь к решению ряда задач математической физики.

Дальнейшее развитие теории функций комплексного переменного было и есть прежде всего углубление и расширение теории аналитических функций (см., например, Краевые задачи теории аналитических функций; Граничные свойства аналитических функций. ; Свойства единственности аналитических функций; Интегральное представление аналитической функции; Мероморфная функция; Многолистная функция; Унивалентная функция; Целая функция). Важное значение имеют вопросы, связанные с аналитическими функциями, аппроксимации и интерполяции функций. В них оказывается, что в теории аналитических функций многих переменных специфика и сложность задач таковы, что они дают решение лишь при привлечении самых современных методов алгебры, топологии и анализа.

Граничные свойства голоморфных функций, в частности интеграла типа Коши (см. Интеграл Коши), получаемого из (3) при значениях $ f ( \zeta ) $ на контуре $\Gamma$ даны совершенно произвольно, имеют большое теоретическое и практическое значение, как и многомерные аналоги этого и других интегральных представлений.

Обобщенные аналитические функции (ср. Обобщенные аналитические функции), важные для приложений, в простейшем виде получаются как решения уравнения, обобщающего (4):

$$ \ гидроразрыв {\ парциальное ш } {\ парциальное \ overline {z}} + A ( z) w + B ( z) \overline{w} = F ( z). $$

Их основные свойства (в случае одной переменной) достаточно подробно исследованы.

Изучение квазиконформных отображений (см. Квазиконформное отображение) имеет большое значение как для самой теории аналитических функций (в частности, для теории римановых поверхностей), так и для ее приложений.

Разработана также теория абстрактных аналитических функций (ср. Абстрактная аналитическая функция) со значениями в различных векторных пространствах.

Литература

9. 0060 9 0054 Р.К. Ганнинг, Х. Росси, «Аналитические функции нескольких комплексных переменных», Prentice-Hall (1965)

[1]	И.И. [И.И. Privalov] Priwalow, «Einführung in die Funktionentheorie», 1–3 , Teubner (1958–1959) (перевод с русского)
[2]	А.И. Маркушевич, «Теория функций комплексного переменного», 1–2 , Челси (1977) (Перевод с русского)
[3]	Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. то есть» , Дойч. Verlag Wissenschaft. (1967) (перевод с русского)
[4]	В.С. Владимиров, «Методы теории функций многих комплексных переменных», М.И.Т. (1966) (Перевод с русского)
[5]	Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 6]	В. Векуа, «Обобщенные аналитические функции», Пергамон, 1962,
[7]	А. Гурвиц, Р. Курант, «Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen», Springer (1964)
[8]
[9]	Л. Хермандер, «Введение в комплексный анализ в нескольких переменных», Северная Голландия (1973) )

Комментарии

Ссылки

9 0054 Дж. Б. Конвей, «Функции комплексной переменной», Springer (1973) 9005 4 [а8]

[a1]	Л.В. Альфорс, «Комплексный анализ», McGraw-Hill (1979), стр. 24–26
[a2]	К. Каратеодори, «Теория функций комплексной переменной», 1–2 , Челси, перепечатка (1964) (Перевод с немецкого)
[a3]	Дж. Б. Гарнетт, «Ограниченные аналитические функции», пер. Press (1981), стр. 40
[a4]	В. Рудин, «Реальный и комплексный анализ», McGraw-Hill (1987) стр. 24
[а5]	Сакс С., Зигмунд А., «Аналитические функции», PWN (1965) (Перевод с польского)
[а6]
[a7]	Э. Хилл, «Аналитическая теория функций», 1–2 , Челси, переиздание (1974)
С. Г. Кранц, «Теория функций многих комплексных переменных», Вили (1982)
[а9]	Р.М. Рэндж, «Голоморфные функции и интегральное представление в нескольких комплексных переменных», Springer (1986), стр. Глава. 6
[a10]	Р. П. Боас, «Приглашение к комплексному анализу», Random House (1987)
[a11]	Р. Б. Беркелл, «Введение классическому комплексному анализу» , 1 , акад. Press (1979)
[a12]	П. Хенрици, «Прикладной и вычислительный комплексный анализ», 1–3 , Wiley (1974–1986)
[a13]	М. Хайнс, «Теория комплексных функций», акад. Press (1968)
[a14]	Р. Нарасимхан, «Комплексный анализ с одной переменной», Birkhäuser (1985)

Как цитировать эту запись: 9 0217
Функции комплексного переменного, теория из. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Functions_of_a_complex_variable,_theory_of&oldid=52037

Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи Э.Д. Соломенцев (создатель), которая появилась в Математической энциклопедии — ISBN 1402006098. См. исходную статью

Комплексная переменная | математика | Британика

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• В этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Британника объясняет
  В этих видеороликах Британника объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и многое другое.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.

  No related posts.