Теория сложения вероятностей: Математическое Бюро. Страница 404

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры решения задач

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В — несовместные события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р_A(B),
где Р_A(B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение.
Испытание — Производится два выстрела по мишени.
Событие А — оба раза промахнулся.
Событие В — попал один раз.
Событие С — оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?

Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность  Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные. Решение. Пусть событие  — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта.
По условию задачи ; ;  События — независимы.
а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда

б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности  попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8;  p2=0,7;  p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям  (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А). Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1  p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Основные теоремы. Теорема сложения вероятностей, Теорема умножения вероятностей, Формула полной вероятности, Формула Байеса

 |  Основные теоремы  |   |   |   |   |   |   | 

 

 

2.       Основные теоремы

2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно

События А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно.

Суммой двух события А и В называется событие с, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.

Сумой нескольких событий называется событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

 

Теорема сложения вероятностей совместных событий

В случае четырех и более события данная формула еще больше усложняется

События А и В называются независимыми, если вероятность появления события А не зависит от появления события В и наоборот: вероятность события в не зависит от появления события А.

События А и  В называются зависимыми, если  вероятность события В зависит от того появилось ли событие А или наоборот.

Произведением двух события А и В называется событие С, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее вы том, что данные события появятся одновременно.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий

 

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Где — условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.

 

2.2. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть события   независимые, причем

 

Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :

 

 

2.3. Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь  при появлении одного из несовместных событий (гипотез)  , образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:

 

Данная формула называется формулой полной вероятности

2.4. Формула Байеса (Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно:  . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза, при условии того, что произошло событие А

 , где вероятность события А находится с помощью формулы полной вероятности

Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).

 

Теория вероятности — Кафедра биоинформатики

Мясникова Екатерина Марковна  проф., к.ф.-м.н. Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра прикладной математики

Описание курса

Цель изучения дисциплины — освоение основных понятий и методов теории вероятностей, развитие способностей к логическому мышлению, получение навыков построения вероятностных моделей и решения на их основе задач различного уровня сложности.

Изучение курса ставит перед собой следующие задачи:

• освоение основных понятий и методов теории вероятностей;

• изучение основных методов решения вероятностных задач;

• ознакомление с наиболее важными для приложений законами распределения вероятностей;

• приобретение фундаментальных знаний по теории вероятностей для обеспечения освоения дисциплин, базирующихся на понятиях и методах теории вероятностей.

Темы курса:

1. Классическая модель вероятностного пространства

Случайные события и соотношения между ними. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Простейшие комбинаторные теоремы. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема испытаний Бернулли. Биномиальный закон распределения вероятностей. Полиномиальная схема испытаний. Полиномиальный закон распределения вероятностей. Производящие функции распределений.

2. Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Аксиома непрерывности и ее эквивалентность аксиоме счетной аддитивности. Свойства вероятности. Борелевская сигма-алгебра множеств вещественной прямой. Функция распределения на прямой. Борелевская сигма-алгебра множеств и функция распределения в пространстве. Способы задания вероятностных мер на построенных измеримых пространствах. Типы вероятностных мер.

3. Случайные величины и случайные векторы

Случайная величина, ее распределение вероятностей и функция распределения. Типы случайных величин. Борелевские функции. Случайный вектор, его распределение вероятностей и функция распределения. Независимость случайных величин. Законы рас-пределения функций случайных величин. Композиция (свертка) распределений.

4. Числовые характеристики распределений случайных величин

Математическое ожидание, его свойства и теорема о его вычислении. Дисперсия и ее свойства. Неравенство Чебышева. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин. Моменты высших порядков. Неравенства Гельдера, Йенсена и Ляпунова. Ковариационная матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции. Условные распределения и условные математические ожидания.

5. Производящие и характеристические функции случайных величин и векторов

Производящие функции и факториальные моменты целочисленных неотрицательных случайных величин. Производящие функции случайных векторов. Характеристические функции случайных величин. Формула обращения. Теорема единственности. Теорема непрерывности. Семиинварианты случайных величин. Характеристические функции случайных векторов.

6. Предельные теоремы

Типы сходимости последовательности случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Хинчина. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема. Теорема Леви. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Ляпунова. Теорема Линдеберга. Следствия теоремы Линдеберга.

Рекомендуемая литература

1. А.А.Боровков. Теория вероятностей. М., Наука, 1986

2. А.Ширяев Вероятность, М., МЦНМО , 2007

3. Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. Москва Эдиториал. УРСС 2001.

Список публикаций:

1. V.Vitaly, M.Gursky, L.Panok, E.Myasnikova, A.Manu, G.Maria, Samsonova, J.Reinitz, and A.Samsonov (2011). Mechanisms of gap gene expression canalization in the Drosophila blastoderm. BMC Systems Biology, 5:118. doi:10.1186/1752-0509-5-118.
2. E.Myasnikova, S.Surkova, G.Stein, A.Pisarev, M.Samsonova. (2011) A regression system for estimation of errors introduced by confocal imaging into gene expression data in situ. BMC Bioinformatics 12: 320, doi:10.1186/1471-2105-12-320.
3. K.Kozlov, S.Surkova, E.Myasnikova, J.Reinitz, M.Samsonova . (2012) Modeling of Gap Gene Expression in Drosophila Kruppel Mutants. PLoS Comput Biol 8(8): e1002635. doi:10.1371/journal.pcbi.1002635

Теорема сложения вероятностей совместных событий

На прошлом уроке мы рассмотрели теорему сложения вероятностей только для несовместных событий. В случае, когда два события A и B – совместны, справедлива следующая теорема.

Теорема

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

   (1)

Доказательство

Событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

    (2)

Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: . Вновь применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем , откуда

.     (3)

Аналогично для события B: , откуда

     (4)

Теперь подставим (3) и (4) в формулу (2), отсюда получаем формулу сложения вероятностей совместных событий (1).

Как вы уже поняли формула, которую я дал вам на прошлом уроке это лишь частный случай формулы (1). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность суммы трех совместных событий

Аналогично выражению (1) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

   (5)

Кстати, справедливость формул (1) и (5) можно наглядно проиллюстрировать:

Также из выражения (1) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Выходит:

     (6)

ПРИМЕР 1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Обозначим события: — появление шестерки на первой кости, — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т.е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

а) Для вычислений воспользуемся формулой (1). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т.е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а для вычисления числа всех равновозможных комбинаций используем правило произведения (комбинаторика):

б) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

Ответ: вероятность появления хоть одной шестерки равна 11/36 или 0,3056 или 30,56%

На этом все! Всем Спасибо!

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Правила вероятности

Условная вероятность

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

• Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

  Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

• Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

  Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных. 

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал. 

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное). 

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения. 

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

Теорема сложения вероятностей | matematicus.ru

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1
Для любых двух событий А и В, вероятность равна выражению:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А·В)

---

Теорема 2
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

 Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

---

Следствие 1
Если события А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу, то получаем

P(A₁+A₂+…+A_n) = P(A₁) + P(A₂) + …+ P(A_n)

Следствие 2
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна 1, т.е.

P(A₁) + P(A₂) + …+ P(A_n) = 1

Следствие 3
Сумма противоположных событий равна 1, т. е.

---

Пример 1
Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?
Решение
Здесь события
А — «вытащили из колоды  карту масти пики»;
В — «вытащили из колоды туз»;
А·В — «вытащили из колоды пиковый туз».
По теореме сложения вероятностей имеем:

Р(А+В)=Р(А) + Р(В)-Р(А·В)

Так как в колоде карт 4 туза и 9 карт, имеющие масть пики, то получаем вероятности

P(A) = 4/36
P(B) = 9/36

Так как пиковый туз единственный в колоде карт, то вероятность Р(А·В) для события А·В — «вытащили пиковый туз» равна 1/36

Р(А·В)=1/36

Искомая вероятность равна:

Р(А + В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В)=

=4/36+9/36+1/36=12/36=1/3

---

Пример 2
В ящике лежат 8 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 3 зеленых. Наугад берется один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной.
Решение 
А — «появление красного шара»

P(A) = 3/8

В — «появление зеленого шара»

P(B) = 3/8

А + В — «появление цветного шара»

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=

=3/8+3/8=6/8=3/4

---

Пример 3
Студент берет билет 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Какова вероятность того,
что он выберет билет с четным номером?
Решение
Номера чётных билетов: 2,4,6,8,10. Всего 5 билетов, следовательно, вероятность выбрать чётный билет равна:

1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=5/10=1/2

Сложение и умножение вероятностей 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 22.

Сложение и умножение вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть в ящике находится двадцать кубиков: десять белых, четыре красных и шесть синих. Из ящика наугад вынимают один кубик. Рассмотрим такие события: Событие А – кубик оказался красным, Событие В – кубик оказался синим.

События А и В не могут произойти одновременно. Говорят, что события А и В являются несовместными.

Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть наступление одного из них исключает наступление другого.

Пусть событие С означает, что извлечённый из ящика кубик оказался не белым (то есть красным или синим).

Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В. Найдем вероятности событий А, В и С. Для каждого извлечения кубика из ящика равновозможными являются двадцать исходов. Из них для события А благоприятными являются четыре исхода, для события В – шесть исходов, для события С – десять исходов. Отсюда, вероятность события А равна 420(четырем двадцатым), вероятность события В – 620 (шести двадцатым), вероятность события С – 1020 (десяти двадцатым).

Мы видим, что вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Итак, если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Вообще

Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей события А и В.

Пример первый. Есть десять экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число большее шести.

Событие А — простое число: 4 благоприятных исхода из 10 возможных

Это числа 2,3,5 и 7

Событие B — число больше 8: 2 благоприятных исхода из 10 возможных

Это 9 и 10

Вероятность события А равна 0,4, а вероятность события В равна 0,2

Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий A или В, которые являются несовместными. Значит, вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В, то есть

Р(С)= Р(А)+ Р(В)=0,4+0,2=0,6

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.

Разъясним смысл этого понятия на примере бросания игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало шесть очков, Б – что выпало менее шести очков. Всякое наступление события А означает, что наступление Б не наступит. А наступление события Б означает, что событие А не наступит. В таких случаях говорят, что события А и Б – противоположные события.

Найдем вероятности событий А и Б. Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов. Для события Б – пять исходов из шести. Значит, Вероятность события А равна 16 (одной шестой), а вероятность события Б равна 56(пяти шестым). Нетрудно заметить, что их сумма равна единице.

Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Приведем пример. Пусть в одной из двух коробок находится восемнадцать шаров, три из которых красные, а в другой двадцать четыре шара, четыре из которых красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Рассмотрим такие события: А – из первой коробки вынимают красный шар, Б- из второй коробки вынимают красный шар.

Для события А благоприятными являются три исхода из восемнадцати, для события Б благоприятными являются четыре исхода из двадцати четырех. Значит, вероятность события А равна трем восемнадцатым, вероятность события Б равна четырем двадцати четвертым.

Очевидно, что события А и Б являются независимыми. Рассмотрим событие, которое состоит в совместном появлении событий А и Б. Обозначим его буквой С.

Благоприятными для события С являются те исходы, при которых оба вытянутых шара окажутся красными. Каждому из трех возможных извлечений красного шара из первой коробки соответствует четыре возможности извлечения красного шара из второй коробки, то есть число благоприятных исходов для события С, равно произведению три и четыре. Следовательно, вероятность извлечения двух шаров будет равна

Итак,

Если событие C означает совместное наступление событий A и B, то вероятность события C равна произведению вероятностей событий А и B.

Правило сложения для определения вероятностей

Что такое правило сложения вероятностей?

Правило сложения для вероятностей описывает две формулы: одна для вероятности одного из двух взаимоисключающих событий, а другая — для вероятности двух не исключающих друг друга событий.

Первая формула — это просто сумма вероятностей двух событий. Вторая формула — это сумма вероятностей двух событий за вычетом вероятности того, что оба они произойдут.

Ключевые выводы

• Правило сложения для вероятностей состоит из двух правил или формул, одна из которых учитывает два взаимоисключающих события, а другая — два не исключающих друг друга события.
• Не исключающие друг друга означает, что между двумя рассматриваемыми событиями существует некоторое перекрытие, и формула компенсирует это путем вычитания вероятности перекрытия P (Y и Z) из суммы вероятностей Y и Z.
• Теоретически первая форма правила является частным случаем второй формы.

Формулы для правил сложения вероятностей —

Математически вероятность двух взаимоисключающих событий обозначается:

Взаимодействие с другими людьми п ( Y или Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) P (Y или Z) = P (Y) + P (Z)

Математически вероятность двух не исключающих друг друга событий обозначается следующим образом:

Взаимодействие с другими людьми п ( Y или Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) — п ( Y и Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) — P (Y \ text {и} Z) P (Y или Z) = P (Y) + P (Z) −P (Y и Z)

Что вам говорит правило сложения вероятностей?

Чтобы проиллюстрировать первое правило правила сложения вероятностей, рассмотрим кубик с шестью гранями и шансами на выпадение 3 или 6.Поскольку шансы выпадения 3 равны 1 из 6, а шансы выпадения 6 также 1 из 6, вероятность выпадения 3 или 6 составляет:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Чтобы проиллюстрировать второе правило, рассмотрим класс, в котором 9 мальчиков и 11 девочек. В конце семестра 5 девочек и 4 мальчика получают оценку B. Если студент выбран случайно, каковы шансы, что он будет девочкой или четвертым? Поскольку шансы выбрать девушку составляют 11 из 20, шансы выбрать ученицу B равны 9 из 20, а шансы выбрать девушку, которая является ученицей B, равны 5/20, шансы выбрать девушку или ученицу B являются:

11/20 + 9/20 — 5/20 = 15/20 = 3/4

На самом деле два правила упрощаются до одного правила, второго.Это потому, что в первом случае вероятность двух взаимоисключающих событий равна 0. В примере с кубиком невозможно бросить одновременно 3 и 6 при одном броске одного кубика. Таким образом, эти два события исключают друг друга.

Взаимная эксклюзивность

Взаимоисключающие — это статистический термин, описывающий два или более событий, которые не могут совпадать. Обычно он используется для описания ситуации, когда возникновение одного результата заменяет другой. В качестве основного примера рассмотрим бросание игральных костей.Вы не можете бросить одновременно пятерку и тройку на одном кубике. Кроме того, получение тройки при начальном броске не влияет на то, дает ли последующий бросок пятерку. Все броски кубика — независимые события.

Вероятностное правило сложения

Если А и B являются двумя событиями в вероятностном эксперименте, то вероятность того, что произойдет одно из событий, равна:

п ( А или B ) знак равно п ( А ) + п ( B ) — п ( А и B )

Это можно представить в виде Диаграмма Венна в виде:

п ( А ∪ B ) знак равно п ( А ) + п ( B ) — п ( А ∩ B )

Если А и B два взаимоисключающие события , п ( А ∩ B ) знак равно 0 .Тогда вероятность того, что произойдет одно из событий, равна: п ( А или B ) знак равно п ( А ) + п ( B )

Это может быть представлено на диаграмме Венна как:

п ( А ∪ B ) знак равно п ( А ) + п ( B )

Пример:

Если вы вытащите одну карту из обычной колоды карт, какова вероятность того, что это будет туз или пика?

Позволять Икс быть событием выбора туза и Y быть событием выбора лопаты.

п ( Икс ) знак равно 4 52

п ( Y ) знак равно 13 52

Эти два события не исключают друг друга, так как есть один благоприятный исход, при котором карта может быть как тузом, так и пикой.

п ( Икс и Y ) знак равно 1 52

п ( Икс или Y ) знак равно 4 52 + 13 52 — 1 52 знак равно 16 52 знак равно 4 13

правил сложения в вероятности и статистике

Правила сложения важны с точки зрения вероятности.Эти правила предоставляют нам способ вычислить вероятность события « A или B, » при условии, что мы знаем вероятность A и вероятность B . Иногда «или» заменяется на U, символ из теории множеств, обозначающий объединение двух множеств. Точное правило сложения зависит от того, являются ли событие A и событие B взаимоисключающими или нет.

Правило сложения для взаимоисключающих событий

Если события A, и B, являются взаимоисключающими, то вероятность A или B является суммой вероятности A и вероятности B .Запишем это компактно следующим образом:

P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B )

Обобщенное правило сложения для любых двух событий

Вышеупомянутая формула может быть обобщена для ситуаций, когда события не обязательно могут быть взаимоисключающими. Для любых двух событий A и B вероятность A или B является суммой вероятности A и вероятности B за вычетом общей вероятности A, и . B :

P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B ) — P ( A и B )

Иногда слово «и» заменяется на ∩, который является символом из теории множеств, обозначающим пересечение двух множеств.

Правило сложения для взаимоисключающих событий на самом деле является частным случаем обобщенного правила. Это связано с тем, что если A, и B являются взаимоисключающими, то вероятность как A, и B равна нулю.

Пример # 1

Мы увидим примеры того, как использовать эти правила сложения. Предположим, мы берем карту из хорошо перемешанной стандартной колоды карт. Мы хотим определить вероятность того, что вытянутая карта — это двойка или лицевая карта.Событие «нарисована лицевая карта» является взаимоисключающим с событием «выпала двойка», поэтому нам просто нужно сложить вероятности этих двух событий вместе.

Всего имеется 12 лицевых карт, поэтому вероятность вытягивания лицевой карты составляет 12/52. В колоде четыре двойки, поэтому вероятность вытащить двойку составляет 4/52. Это означает, что вероятность вытащить двойку или лицевую карту составляет 12/52 + 4/52 = 16/52.

Пример # 2

Теперь предположим, что мы берем карту из хорошо перемешанной стандартной колоды карт.Теперь мы хотим определить вероятность получения красной карты или туза. В этом случае два события не исключают друг друга. Червовый туз и бубновый туз являются элементами набора красных карт и набора тузов.

Мы рассматриваем три вероятности, а затем объединяем их, используя обобщенное правило сложения:

• Вероятность розыгрыша красной карточки 26/52
• Вероятность выпадения туза 4/52
• Вероятность получения красной карты и туза 2/52

Это означает, что вероятность вытягивания красной карты или туза составляет 26/52 + 4/52 — 2/52 = 28/52.

Что такое теоремы сложения и умножения о вероятности?

Что такое теоремы сложения и умножения о вероятности?

Теорема вероятности сложения и умножения

Сформулируйте и докажите вероятностную теорему сложения и умножения на примерах

Уравнение теоремы сложения и умножения

Замечания:

1. P (A + B) или P (A∪B) = Вероятность наступления событий A или B
   = Вероятность наступления событий A или B или обоих
   = Вероятность наступления хотя бы одного события A или B
2. P (AB) или P (A∩B) = Вероятность совершения событий A и B вместе.

(1) Когда события не являются взаимоисключающими:
Если A и B — два не исключающих друг друга события, то
P (A∪B) = P (A) + P (B) — P (A ∩B)
или P (A + B) = P (A) + P (B) — P (AB)
Для любых трех событий A, B, C
P (A∪B∪C) = P (A) + P (B) + P (C) — P (A∩B) — P (B∩C) — P (C∩A) + P (A∩B∩C)
или P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) — P (AB) — P (BC) — P (CA) + P (ABC)

.

(2) Когда события являются взаимоисключающими:
Если A и B являются взаимоисключающими событиями, то
n (A∩B) = 0 ⇒ P (A∩B) = 0
∴ P (A ∪B) = P (A) + P (B).
Для любых трех событий A, B, C, которые являются взаимоисключающими,
P (A∩B) = P (B∩C) = P (C∩A) = P (A∩B∩C) = 0
∴ P (A∪B∪C) = P (A) + P (B) + P (C).
Вероятность наступления любого из нескольких взаимоисключающих событий равна сумме их вероятностей, , т.е. , если A ₁ , A ₂ ……… A _n являются взаимоисключающими событиями, тогда
P (A ₁ + A ₂ +… + A _n ) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + …… + P (A _n )
i.е. P (Σ A _i ) = Σ P (A _i ).

(3) Когда события независимы:
Если A и B являются независимыми событиями, то P (A∩B) = P (A) .P (B)
∴ P (A∪B) = П (А) + П (В) — П (А). П (В)

(4) Некоторые другие теоремы

1. Пусть A и B — два события, связанные со случайным экспериментом, тогда
   
2. Обобщение теоремы сложения:
   Если A ₁ , A ₂ ……… A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, то
   
3. Неравенство Були: если A ₁ , A ₂ ……… A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, то
   
   Эти результаты могут быть легко получены с помощью принципа математической индукции.

Условная вероятность

Пусть A и B — два события, связанные со случайным экспериментом. Тогда вероятность появления A при условии, что B уже произошло и P (B) ≠ 0, называется условной вероятностью и обозначается P (A / B).
Таким образом, P (A / B) = вероятность появления A, учитывая, что B уже произошло.

Аналогично, P (B / A) = вероятность появления B, при условии, что A уже произошло.

Иногда P (A / B) также используется для обозначения вероятности появления A при возникновении B.Точно так же P (B / A) используется для обозначения вероятности появления B при возникновении A.

Теорема вероятности умножения

1. Если A, и B — два события, связанные со случайным экспериментом, то P (A∩B) = P (A) .P (B / A), если P ( A ) ≠ 0 или P (A∩B) = P (B) .P (A / B), если P (B) ≠ 0.
2. Расширение теоремы умножения:
   Если A ₁ , A ₂ ……… A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, то
   P (A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩… ∩A _n ) = P (A ₁ ) P (A ₂ / A ₁ ) P (A ₃ / A ₁ ∩A ₂ ) …… P (A _n / A ₁ ∩A ₂ ∩… ∩A _{n − 1} ),
   где P (A _i / A ₁ ∩A ₂ ∩… ∩A _{i − 1} ) представляет собой условную вероятность события, учитывая, что события A ₁ , A ₂ ……… A _{i — 1} уже произошли.
3. Теоремы умножения для независимых событий:
   Если A, и B являются независимыми событиями, связанными со случайным экспериментом, то P (A∩B) = P (A) .P (B) т.е. вероятность одновременного наступления двух независимых событий равно произведению их вероятностей. По теореме умножения P (A∩B) = P (A) .P (B / A). Поскольку A, и B, являются независимыми событиями, поэтому P (B / A) = P (B). Следовательно, P (A∩B) = P (A).П (В).
4. Расширение теоремы умножения для независимых событий:
   Если A ₁ , A ₂ ……… A _n — независимые события, связанные со случайным экспериментом, то
   P (A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩… ∩A _n ) = P (A ₁ ) P (A ₂ ) ..… P (A _n ).
   По теореме умножения имеем
   P (A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩… ∩A _n ) = P (A ₁ ) P (A ₂ / A ₁ ) P (A ₃ / A ₁ ∩A ₂ ) …… P (A _n / A ₁ ∩A ₂ ∩… ∩A _{n − 1} )
   Так как A ₁ , A ₂ ……… A _n-1 , A _n являются независимыми событиями, поэтому
   P (A ₂ / A ₁ ) = P (A ₂ ), P (A ₃ / A ₁ ∩A ₂ ) = P (A ₃ ), ……, P (A _n / A ₁ ∩A ₂ ∩… ∩A _{n −1} ) = P (A _n )
   Следовательно, P (A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩… ∩A _n ) = P (A ₁ ) P (A ₂ )..… P (A _n ).

Вероятность хотя бы одного из n независимых событий:
Если p ₁ , p ₂ ……… p _n быть вероятностями наступления n независимых событий A ₁ , A ₂ ……… A _n соответственно, затем

Полная вероятность и правило Бая

(1) Закон полной вероятности:
Пусть S будет пространством выборки и пусть E ₁ , E ₂ ……… E _n будет n взаимоисключающими и исчерпывающими событиями связанный со случайным экспериментом.Если A — любое событие, которое происходит с E ₁ или E ₂ или… или E _n , то
P (A) = P (E ₁ ) P (A / E ₁ ) + P (E ₂ ) P (A / E ₂ ) +… .. P (E _n ) P (A / E _n ).

(2) Правило Бая:
Пусть S будет пробным пространством, а E ₁ , E ₂ ……… E _n n взаимоисключающими событиями, так что

Мы можем думать о E _i как причины, которые приводят к исходу эксперимента.Вероятности P (E _i ), i = 1, 2,… .., n называются априорными вероятностями. Предположим, что эксперимент приводит к результату события A , где P (A)> 0. Нам нужно найти вероятность того, что наблюдаемое событие A было вызвано причиной E _i , то есть мы ищем условное вероятность P (E _i / A). Эти вероятности называются апостериорными вероятностями, которые, согласно правилу Байя, равны

.

4.3: Правила сложения и умножения вероятности

При вычислении вероятности необходимо учитывать два правила при определении, являются ли два события независимыми или зависимыми и являются ли они взаимоисключающими.

Правило умножения

Если A и B — два события, определенные в пространстве выборки, то:

\ [P (A \ text {AND} B) = P (B) P (A | B) \ label {eq1} \]

Это правило можно также записать как:

\ [P (A | B) = \ dfrac {P (A \ text {AND} B)} {P (B)} \ nonumber \]

(Вероятность \ (A \) при заданном \ (B \) равна вероятности \ (A \) и \ (B \), деленной на вероятность \ (B \).)

Если \ (A \) и \ (B \) независимы , то

\ [P (A | B) = P (A).\ nonumber \]

и уравнение \ ref {eq1} становится

.

\ [P (A \ text {AND} B) = P (A) P (B). \ nonumber \]

Правило сложения

Если A и B определены в пространстве выборки, то:

Если A и B являются взаимоисключающими , то

\ [P (A \ text {AND} B) = 0. \ nonumber \]

и уравнение \ ref {eq5} становится

.

\ [P (A \ text {OR} B) = P (A) + P (B). \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Клаус пытается выбрать, куда поехать в отпуск.Его два варианта: \ (\ text {A} = \ text {Новая Зеландия} \) и \ (\ text {B} = \ text {Alaska} \).

• Клаус может позволить себе только один отпуск. Вероятность того, что он выберет \ (\ text {A} \), равна \ (P (\ text {A}) = 0,6 \), а вероятность того, что он выберет \ (\ text {B} \), равна \ (P (\ текст {B}) = 0,35 \).
• \ (P (\ text {A AND B}) = 0 \), потому что Клаус может позволить себе только один отпуск
• Следовательно, вероятность того, что он выберет Новую Зеландию или Аляску, равна \ (P (\ text {A OR B}) = P (\ text {A}) + P (\ text {B}) = 0.6 + 0,35 = 0,95 \). Обратите внимание, что вероятность того, что он никуда не поедет в отпуск, должна составлять 0,05.

Карлос играет в американский футбол. Он забивает в 65% случаев, когда бьет. В следующей игре Карлос забьет два мяча подряд. \ (\ text {A} = \) событие, которое Карлос успешно с первой попытки. \ (P (\ text {A}) = 0,65 \). \ (\ text {B} = \) событие, которое Карлос успешен со второй попытки. \ (P (\ text {B}) = 0,65 \). Карлос любит стрелять сериями. Вероятность того, что он забьет второй гол ДАЕТ , что он забил первый гол, равна 0.90.

1. Какова вероятность, что он забьет оба гола?
2. Какова вероятность того, что Карлос забьет первый или второй гол?
3. Независимы ли \ (\ text {A} \) и \ (\ text {B} \)?
4. Являются ли \ (\ text {A} \) и \ (\ text {B} \) взаимоисключающими?

Решения

а. Проблема состоит в том, чтобы найти \ (P (\ text {A AND B}) = P (\ text {B AND A}) \). Поскольку \ (P (\ text {B | A}) = 0,90: P (\ text {B AND A}) = P (\ text {B | A}) P (\ text {A}) = (0.90) (0,65) = 0,585 \)

Карлос забивает первый и второй гол с вероятностью 0,585.

г. Проблема заключается в том, чтобы найти \ (P (\ text {A OR B}) \).

Карлос с вероятностью 0,715 забивает либо первый гол, либо второй гол.

г. Нет, это не так, потому что \ (P (\ text {B AND A}) = 0,585 \).

\ [P (\ text {B}) P (\ text {A}) = (0,65) (0,65) = 0,423 \]

\ [0,423 \ neq 0,585 = P (\ text {B AND A}) \]

Итак, \ (P (\ text {B AND A}) \) — это , а не , равное \ (P (\ text {B}) P (\ text {A}) \).

г. Нет, это не так, потому что \ (P (\ text {A and B}) = 0,585 \).

Чтобы быть взаимоисключающими, \ (P (\ text {A AND B}) \) должен быть равен нулю.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Хелен играет в баскетбол. При штрафных бросках она выполняет бросок в 75% случаев. Теперь Хелен должна выполнить два штрафных броска. \ (\ text {C} = \) событие, когда Хелен делает первый выстрел. \ (P (\ text {C}) = 0,75 \). \ (\ text {D} = \) событие, которое Хелен делает второй выстрел. \ (P (\ text {D}) = 0,75 \). Вероятность того, что Хелен выполнит второй штрафной бросок, с учетом того, что она выполнила первый, равна 0.85. Какова вероятность того, что Хелен выполнит оба штрафных броска?

Ответ

\ [P (\ text {D | C}) = 0,85 \]

\ [P (\ text {C AND D}) = P (\ text {D AND C}) \]

\ [P (\ text {D AND C}) = P (\ text {D | C}) P (\ text {C}) = (0,85) (0,75) = 0,6375 \]

Хелен выполняет первый и второй штрафные с вероятностью 0,6375.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Общественная команда по плаванию насчитывает 150 членов. Семьдесят пять участников — опытные пловцы. Сорок семь участников — пловцы среднего уровня. Остальные — начинающие пловцы. Сорок пловцов продвинутого уровня занимаются четыре раза в неделю. Тридцать пловцов среднего уровня занимаются четыре раза в неделю. Десять начинающих пловцов тренируются четыре раза в неделю. Предположим, случайным образом выбран один член команды по плаванию.

1. Какова вероятность того, что член — начинающий пловец?
2. Какова вероятность того, что участник тренируется четыре раза в неделю?
3. Какова вероятность того, что участник — опытный пловец и тренируется четыре раза в неделю?
4. Какова вероятность того, что участник является пловцом продвинутого уровня и пловцом среднего уровня? Являются ли пловец продвинутого уровня и пловец среднего уровня взаимоисключающими? Почему или почему нет?
5. Вы новичок в плавании и четыре раза в неделю тренируетесь в самостоятельных видах спорта? Почему или почему нет?

Ответ

1. \ (\ dfrac {28} {150} \)
2. \ (\ dfrac {80} {150} \)
3. \ (\ dfrac {40} {150} \)
4. \ (P (\ text {расширенный И промежуточный}) = 0 \), поэтому это взаимоисключающие события.Пловец не может одновременно быть пловцом высокого уровня и пловцом среднего уровня.
5. Нет, это не независимые события. \ [P (\ text {новичок И практикует четыре раза в неделю}) = 0,0667 \] \ [P (\ text {новичок}) P (\ text {практикует четыре раза в неделю}) = 0,0996 \] \ [0,0667 \ neq 0,0996 \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

В школе 200 старшеклассников, 140 из которых будут поступать в колледж в следующем году. Сорок пойдут прямо на работу. Остальные берут перерыв в год.Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих сразу на работу, занимаются спортом. Пятеро пожилых людей, взявших перерыв на год, занимаются спортом. Какова вероятность того, что пенсионер возьмет перерыв на год?

Ответ

\ [P = \ dfrac {200-140-40} {200} = \ dfrac {20} {200} = 0,1 \]

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Фелисити посещает Modesto JC в Модесто, Калифорния. Вероятность того, что Фелисити зачислится в класс математики, равна 0,2, а вероятность того, что она зачислится в класс речи, равна 0.65. Вероятность того, что она зачислится в математический класс, ПРИ ДАННОЙ, что она зачислена в речевой класс, равна 0,25.

Пусть: \ (\ text {M} = \) урок математики, \ (\ text {S} = \) урок речи, \ (\ text {M | S} = \) математика заданная речь

1. Какова вероятность того, что Фелисити будет изучать математику и речь?
   Найдите \ (P (\ text {M AND S}) = P (\ text {M | S}) P (\ text {S}) \).
2. Какова вероятность того, что Фелисити поступит на уроки математики или речи?
   Найдите \ (P (\ text {M OR S}) = P (\ text {M}) + P (\ text {S}) — P (\ text {M AND S}) \).
3. Независимы ли \ (\ text {M} \) и \ (\ text {S} \)? \ (P (\ text {M | S}) = P (\ text {M}) \)?
4. Являются ли \ (\ text {M} \) и \ (\ text {S} \) взаимоисключающими? \ (P (\ text {M AND S}) = 0 \)?

Ответ

а. 0.1625, г. 0,6875, г. Кивок. №

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Студент идет в библиотеку. Пусть события \ (\ text {B} = \) студент проверяет книгу, а \ (\ text {D} = \) студент проверяет DVD. Предположим, что \ (P (\ text {B}) = 0.40, P (\ text {D}) = 0,30 \) и \ (P (\ text {D | B}) = 0,5 \).

1. Найдите \ (P (\ text {B AND D}) \).
2. Найдите \ (P (\ text {B OR D}) \).

Ответ

1. \ (P (\ text {B AND D}) = P (\ text {D | B}) P (\ text {B}) = (0,5) (0,4) = 0,20 \).
2. \ (P (\ text {B OR D}) = P (\ text {B}) + P (\ text {D}) — P (\ text {B AND D}) = 0,40 + 0,30 — 0,20 = 0,50 \)

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Исследования показывают, что примерно каждая седьмая женщина (примерно 14.3%), дожившие до 90 лет, заболеют раком груди. Предположим, что у женщин, у которых развивается рак груди, тест дает отрицательный результат в 2% случаев. Также предположим, что в общей популяции женщин тест на рак груди дает отрицательный результат примерно в 85% случаев. Пусть \ (\ text {B} = \) женщина заболевает раком груди, а тест \ (\ text {N} = \) дает отрицательный результат. Предположим, одна женщина выбрана случайным образом.

1. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак груди? Какова вероятность того, что у женщины отрицательный результат теста?
2. Учитывая, что у женщины рак груди, какова вероятность того, что у нее будет отрицательный результат?
3. Какова вероятность того, что у женщины рак груди И результаты анализов отрицательны?
4. Какова вероятность того, что у женщины рак груди или результаты анализов отрицательны?
5. Есть ли у вас рак груди и отрицательные результаты тестирования?
6. Являются ли диагноз рака груди и отрицательный результат взаимоисключающими?

Ответы

1. \ (P (\ text {B}) = 0.143; P (\ text {N}) = 0,85 \)
2. \ (P (\ text {N | B}) = 0,02 \)
3. \ (P (\ text {B AND N}) = P (\ text {B}) P (\ text {N | B}) = (0,143) (0,02) = 0,0029 \)
4. \ (P (\ text {B OR N}) = P (\ text {B}) + P (\ text {N}) — P (\ text {B AND N}) = 0,143 + 0,85 — 0,0029 = 0,9901 \)
5. № \ (P (\ text {N}) = 0,85; P (\ text {N | B}) = 0,02 \). Итак, \ (P (\ text {N | B}) \) не равно \ (P (\ text {N}) \).
6. № \ (P (\ text {B AND N}) = 0,0029 \). Чтобы \ (\ text {B} \) и \ (\ text {N} \) были взаимоисключающими, \ (P (\ text {B AND N}) \) должен быть равен нулю

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

В школе 200 старшеклассников, 140 из которых будут поступать в колледж в следующем году.Сорок пойдут прямо на работу. Остальные берут перерыв в год. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих сразу на работу, занимаются спортом. Пятеро пожилых людей, взявших перерыв на год, занимаются спортом. Какова вероятность того, что выпускник пойдет в институт и займется спортом?

Ответ

Пусть \ (\ text {A} = \) студент — старшекурсник, идущий в колледж.

Пусть \ (\ text {B} = \) студент занимается спортом.

\ (P (\ text {B}) = \ dfrac {140} {200} \)

\ (P (\ text {B | A}) = \ dfrac {50} {140} \)

\ (P (\ text {A AND B}) = P (\ text {B | A}) P (\ text {A}) \)

\ (P (\ text {A AND B}) = (\ dfrac {140} {200} \)) (\ (\ dfrac {50} {140}) = \ dfrac {1} {4} \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

См. Информацию в примере \ (\ PageIndex {4} \).\ (\ text {P} = \) — положительный результат.

1. Учитывая, что у женщины развивается рак груди, какова вероятность того, что у нее будет положительный результат теста. Найдите \ (P (\ text {P | B}) = 1 — P (\ text {N | B}) \).
2. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак груди и положительный результат теста. Найдите \ (P (\ text {B AND P}) = P (\ text {P | B}) P (\ text {B}) \).
3. Какова вероятность того, что у женщины не разовьется рак груди. Найдите \ (P (\ text {B ′}) = 1 — P (\ text {B}) \).
4. Какова вероятность того, что у женщины положительный результат теста на рак груди.Найдите \ (P (\ text {P}) = 1 — P (\ text {N}) \).

Ответ

а. 0,98; б. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Студент идет в библиотеку. Пусть события \ (\ text {B} = \) студент проверяет книгу и \ (\ text {D} = \) студент проверяет DVD. Предположим, что \ (P (\ text {B}) = 0,40, P (\ text {D}) = 0,30 \) и \ (P (\ text {D | B}) = 0,5 \).

1. Найдите \ (P (\ text {B ′}) \).
2. Найдите \ (P (\ text {D AND B}) \).
3. Найдите \ (P (\ text {B | D}) \).
4. Найдите \ (P (\ text {D AND B ′}) \).
5. Найдите \ (P (\ text {D | B ′}) \).

Ответ

1. \ (P (\ text {B ′}) = 0.60 \)
2. \ (P (\ text {D AND B}) = P (\ text {D | B}) P (\ text {B}) = 0,20 \)
3. \ (P (\ text {B | D}) = \ dfrac {P (\ text {B AND D})} {P (\ text {D})} = \ dfrac {(0.20)} {(0.30) } = 0,66 \)
4. \ (P (\ text {D AND B ′}) = P (\ text {D}) — P (\ text {D AND B}) = 0,30 — 0,20 = 0,10 \)
5. \ (P (\ text {D | B ′}) = P (\ text {D AND B ′}) P (\ text {B ′}) = (P (\ text {D}) — P (\ text {D И B})) (0.60) = (0,10) (0,60) = 0,06 \)

Обзор формулы

Правило умножения: \ (P (\ text {A AND B}) = P (\ text {A | B}) P (\ text {B}) \)

Правило сложения: \ (P (\ text {A OR B}) = P (\ text {A}) + P (\ text {B}) — P (\ text {A AND B}) \)

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие десять упражнений. Сорок восемь процентов всех зарегистрированных избирателей Калифорнии предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, признанного виновным в убийстве первой степени.Среди зарегистрированных в Латинской Калифорнии избирателей 55% предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, признанного виновным в убийстве первой степени. 37,6% всех калифорнийцев — латиноамериканцы.

В этой задаче пусть:

• \ (\ text {C} = \) Калифорнийцы (зарегистрированные избиратели) предпочитают жизнь в тюрьме без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени.
• \ (\ text {L} = \) Латиноамериканцы из Калифорнии

Предположим, случайным образом выбран один калифорнийец.

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Найдите \ (P (\ text {C}) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Найдите \ (P (\ text {L}) \).

Ответ

0,376

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Найдите \ (P (\ text {C | L}) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Проще говоря, что такое \ (\ text {C | L} \)?

Ответ

\ (\ text {C | L} \) означает, что, учитывая, что выбранный человек является латиноамериканцем из Калифорнии, этот человек является зарегистрированным избирателем, который предпочитает жизнь в тюрьме без права досрочного освобождения лицу, признанному виновным в убийстве первой степени.

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Найдите \ (P (\ text {L AND C}) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

На словах, что такое \ (\ text {L AND C} \)?

Ответ

\ (\ text {L AND C} \) — это событие, когда выбранным лицом является зарегистрированный избиратель из Латинской Америки, Калифорния, который предпочитает жизнь без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени.

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Являются ли \ (\ text {L} \) и \ (\ text {C} \) независимыми событиями? Покажите, почему или почему нет.

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Найдите \ (P (\ text {L OR C}) \).

Ответ

0,6492

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

На словах, что такое \ (\ text {L OR C} \)?

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Являются ли события \ (\ text {L} \) и \ (\ text {C} \) взаимоисключающими? Покажите, почему или почему нет.

Ответ

Нет, потому что \ (P (\ text {L AND C}) \) не равно 0.

Дополнительное правило вероятности: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Взаимоисключающие события

Помните, бросание кубика было бы примером взаимоисключающего события.Кость не может приземлиться с двух сторон одновременно; поэтому вероятность того, что каждая сторона кубика исключает друг друга. Вы также можете слышать о взаимоисключающих событиях, называемых непересекающимися событиями. При работе с взаимоисключающими событиями по вероятности используйте следующую формулу:

Формула расчета вероятности взаимоисключающего события

Эта формула читается как:

Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B.

Чтобы определить вероятность взаимоисключающих событий, выполните следующие действия:

1. Найдите сумму возможных результатов
2. Найдите желаемый результат
3. Создайте соотношение для каждого события
4. Сложите доли или доли каждого события

Во-первых, всего шесть возможных исходов шестигранной кости. У вас есть шесть различных возможных результатов при броске кубика.

Во-вторых, найдите желаемый результат.Шайенну нужно выбросить 3 или 6. Следовательно, желаемым результатом будет 3 или 6. На шестигранном кубике один раз появляется цифра 3 и 6. Запомните эту информацию для следующего шага.

В-третьих, создайте коэффициент для каждого события. Первое событие, бросок 3, будет иметь коэффициент 1/6, потому что у кубика только одна сторона с тремя точками. Второе событие, выпадение 6, также будет иметь отношение 1/6, потому что у кубика только одна сторона с шестью точками.

В-четвертых, сложите отношения или доли каждого события.Этот шаг даст вам вероятность бросить кубик и получить 3 или 6.

1/6 + 1/6 = 2/6 или 1/3

Таким образом, Шайенн имеет шанс 1 из 3 бросая 3 или 6. Как только она выбрасывает 3 или 6, Шайенн может приземлиться на поле, которое позволяет ей выбрать карту. Ей нужно выбрать черную карту или семерку.

Неисключительные события

Помните, что выбор черной карты или семи карт из колоды обычных игральных карт является примером несовместимых событий.Если вы ищете вероятность того, что два события произойдут одновременно, это называется пересечением двух событий. Узнайте больше о пересечении в нашем уроке «Правило вероятности умножения». Это формула для не исключающих друг друга событий:

Формула для расчета вероятности не исключающих друг друга событий

Эта формула читается как:

Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B минус вероятность событий A и B.

Чтобы определить вероятность не исключающих друг друга событий, выполните следующие действия:

1. Найдите сумму возможных исходов
2. Найдите желаемый результат
3. Создайте соотношение для каждого события
4. Сложите доли или доли каждого события
5. Вычесть перекрытие двух событий

Во-первых, общее количество возможных исходов колоды обычных игральных карт равно 52, поскольку в обычной колоде 52 карты.

Во-вторых, найдите желаемый результат. Шайенну нужно выбрать черную карту или семерку. Следовательно, желаемым исходом будет черная или семерка. Есть две масти, которые являются черными картами: пики и трефы. Для каждой масти по 13 карт. Следовательно, желаемый результат возможных вариантов для черной карты равен 26. В обычной колоде игральных карт четыре семерки, по одной семерки для каждой масти. Следовательно, желаемые возможности исхода для семи карт равны 4.

В-третьих, создайте соотношение для каждого события.Первое событие, выбрав черную карту, будет иметь соотношение 26/52. Второе событие, выбрав семь карт, будет иметь соотношение 4/52. Я получил эти соотношения, используя желаемое число результатов в качестве числителя и общее количество возможных результатов в качестве знаменателя.

В-четвертых, сложите отношения или доли каждого события следующим образом:

26/52 + 4/52 = 30/52

Вы можете остановиться здесь и сказать, что есть 30 из 52 шансов выбрать черную карту или семерку.Но обратите внимание, что в этом утверждении есть слово «или». Это означает, что вы ищете не карту, которая является черной семеркой, а просто все карты, которые являются черными и семеркой. Следовательно, вам нужно вычесть перекрытие двух событий из вероятности. Вероятность выпадения черной семерки составляет 2/52, потому что в колоде всего две черные семерки. Возьмите это соотношение и вычтите из предыдущей вероятности следующим образом:

30/52 — 2/52 = 28/52

Теперь у нас есть правильная вероятность.Шайенн имеет 28 из 52 шансов выбрать либо черную карту, либо семерку. Я бы сказал, это неплохие шансы!

Практические задания

Пример 1:

Эбби принимает участие в своих первых соревнованиях по плаванию. В первом заезде участвуют семь девушек. Она должна занять первое или второе место, чтобы перейти на следующий уровень турнира. Предполагая, что ничьей нет, какова вероятность того, что Эбби получит первое или второе место?

У Эбби шанс 2 из 7 или примерно 29% выйти на следующий уровень турнира.

Это еще один пример взаимоисключающих событий. Эбби не может занять ни первое, ни второе место. Следовательно, нет совпадения событий. Поскольку это пример взаимоисключающих событий, мы можем использовать эту формулу из правила сложения вероятностей:

Эбби имеет 1/7 шанс занять первое место и 1/7 шанс занять второе место. Мы можем сложить эти две вероятности вместе, чтобы найти вероятность того, что Эбби получит первое или второе место следующим образом:

1/7 + 1/7 = 2/7

Пример 2:

Команда Эбби занимает первое место из другие команды по окончании соревнований по плаванию.После этого команда идет за пиццей и мороженым. В команде 20 человек; 8 человек заказывают пиццу, а 12 человек — мороженое. Из команды 5 человек заказали и пиццу, и мороженое. Какова вероятность того, что член команды закажет пиццу или мороженое, но не то и другое вместе?

Вероятность того, что член команды закажет пиццу или мороженое, но не то и другое, составляет 15 из 20 или 75%.

Это пример не исключающих друг друга мероприятий, поскольку некоторые члены команды смогли заказать и мороженое, и пиццу.Вероятность того, что член команды закажет пиццу, составляет 8/20, поскольку эта информация нам уже была предоставлена. Вероятность того, что член команды закажет мороженое, составляет 12/20. Сначала мы можем сложить эти две вероятности вместе:

8/20 + 12/20 = 20/20

Вы, вероятно, решили, что в этот момент что-то не так, поскольку в команде всего двадцать человек. Это потому, что в какой-то момент числа пересекаются. Помните, некоторые люди заказывали и пиццу, и мороженое.Мы знаем из проблемы, что 5 человек заказали и пиццу, и мороженое. Нам нужно вычесть вероятность 5/20 из нашей задачи следующим образом:

20/20 — 5/20 = 15/20

Помните, что в данном случае вероятность — это оценка или прогноз. Мы пытаемся предсказать, будет ли член команды на самом деле заказывать и то, и другое. Таким образом, мы можем только точно сказать, что заказали и то, и другое 5 человек. Мы можем сказать, что если товарищ по команде не закажет оба, то с вероятностью 75% он или она закажет то или другое.

Краткое содержание урока

Правило сложения вероятности — это правило для нахождения объединения двух событий: взаимоисключающих или не исключающих друг друга. Взаимоисключающие события — это события, которые не могут происходить одновременно. Не взаимоисключающие события — это события, которые могут происходить по отдельности или в одно и то же время.

Чтобы найти объединение двух взаимоисключающих событий, используйте следующую формулу:

Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B.

Чтобы найти объединение двух событий, которые не являются взаимоисключающими, используйте эту формулу:

Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B минус вероятность события A и B.

Помните, правило сложения вероятностей помогает вам найти вероятность события A или события B, а не обоих событий. Чтобы найти пересечение двух событий, ознакомьтесь с нашим уроком о правиле вероятности умножения.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

• Вспомнить правило сложения вероятности
• Сравните / сопоставьте взаимоисключающее событие с неисключающим событием и приведите пример
• Запомните формулы для расчета вероятности неисключающего или взаимоисключающего события
• Рассчитать вероятность взаимоисключающего или не исключающего друг друга события

Основная теория вероятностей: правила и формулы — видео и стенограмма урока

Визуализация вероятностей

Существует несколько способов визуализации вероятностей, но самый простой способ представить их — использовать метод дроби : превратить члены в дроби, разделив количество желаемых результатов на общее количество возможные исходы.Это всегда даст вам число от 0 до 1. Например, каковы шансы выпадения нечетного числа на 6-гранном кубике? Всего существует шесть чисел и три нечетных числа: 1, 3 и 5. Таким образом, вероятность выпадения нечетного числа равна 3/6 или 0,5. Вы можете использовать эту формулу при выполнении более сложных вычислений, как мы увидим позже в уроке.

В этой формуле:

• P (A) читается как «вероятность A », где A — это интересующее нас событие.
• P (A | B) читается как «вероятность A при наличии B ».
• P (не A) читается как «вероятность не A » или «вероятность того, что A не произойдет».

Правила вероятности

Есть три основных правила, связанных с базовой вероятностью: правило сложения, правило умножения и правило дополнения. Вы можете думать о правиле дополнения как о «правиле вычитания», если оно помогает вам его запомнить.

1.) Правило сложения : P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)

Если A и B являются взаимоисключающими событиями, , или те, которые не могут встречаться вместе, то третий член равен 0, и правило сводится к P (A или B) = P (A) + P (B) . Например, вы не можете подбросить монету, и она выпадет орлом и решкой за один бросок.

2.) Правило умножения : P (A и B) = P (A) * P (B | A) или P (B) * P (A | B)

Если A и B равны независимых событий , мы можем сократить формулу до P (A и B) = P (A) * P (B) .Термин «независимый» относится к любому событию, результат которого не зависит от результата другого события. Например, рассмотрим второй из двух подбрасываний монеты, для которого вероятность выпадения орла все еще составляет 0,50 (50%), независимо от того, что выпало при первом подбрасывании. Какова вероятность того, что во время двух подбрасываний монеты вы получите решку при первом подбрасывании и орел при втором подбрасывании?

Проведем расчеты: P = P (хвосты) * P (головы) = (0,5) * (0,5) = 0,25

3.) Правило дополнения : P (не A) = 1 — P (A)

Понимаете ли вы, почему правило дополнения также можно рассматривать как правило вычитания? Это правило основывается на взаимоисключающем характере P (A) и P (не A) . Эти два события никогда не могут произойти вместе, но одно из них должно произойти всегда. Следовательно, P (A) + P (не A) = 1. Например, если метеоролог говорит, что вероятность дождя завтра составляет 0,3, какова вероятность того, что дождя не будет?

Давайте посчитаем: P (без дождя) = 1 — P (дождь) = 1 — 0.3 = 0,7

Закон полной вероятности

Закон полной вероятности : P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | not B) * P (not B)

Например, какова вероятность того, что любимый цвет человека будет синим, если вы знаете следующее:

• У левшей синий цвет является любимым цветом в 30% случаев
• Правши любят синий в 40% случаев
• Левши составляют 10% населения

Завершим уравнение:

1.) P (синий) = P (левша) * P (как синий | левша) + P (не левша) * (P (как синий | не левша)

2.) P ( Синий) = (0,1) (0,3) + (0,9) (0,4)

3.) P (Синий) = 0,03 + 0,36 = 0,39

Следовательно, вероятность того, что любимым цветом человека будет синий, составляет 39%.

Теорема Байеса

Теорема Байеса — это метод работы с условными свойствами. В нем говорится, что:

P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / P (B)

Использование закона полной вероятности для разложения P (B) Байеса ‘, мы также можем написать:

P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / {P (A) * P (B | A) + P (not A) * P (B | not A)}

Вы можете использовать теорему Байеса для вычисления P (A | B) , если у вас ограниченная информация о других величинах.Например, предположим, что случайно выбранный гонщик на Тур де Франс дал положительный результат на препараты, повышающие производительность. Тест имеет точность 95%. Насколько велика вероятность того, что этот спортсмен причастен к незаконной деятельности, если 1% спортсменов обманывают таким образом?

Давайте составим наше уравнение и выполним вычисления:

1.) P (Cheat | Positive) = {P (Positive | Cheat) * P (Cheat)} / {P (Positive | Cheat) * P ( Чит) + P (Положительный | не Чит) * P (Не Чит)}

2.) P (Чит | Положительный) = (0.95) (0,01) / {(0,95) (. 01) + (. 05) (. 99)}

3.) P (Чит | Положительный) = .0095 / .0095 + .0495

4 .) P (Cheat | Positive) = 0,0095 / 0,059

5.) P (Cheat | Positive) = 0,1610

Затем мы следуем математическим правилам для преобразования десятичной дроби в дробь и завершаем операция:

100% — 16,1% = 83%

Несмотря на то, что тест достаточно точен, и этот гонщик дал положительный результат, наши результаты дают нам ответ, отличный от того, которого мы могли ожидать.После расчета вероятности появляется 83% вероятность, что этот гонщик не делает ничего противозаконного!

Краткое содержание урока

Вероятность относится к числу от 0 до 1 и включает взаимоисключающие или независимые события. Взаимоисключающие события не могут происходить одновременно, в то время как независимых событий не влияют на вероятность друг друга.

Есть три основных правила, связанных с вероятностью: правила сложения, умножения и дополнения.