Элементы высшей математики
Элементы высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯ.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ§ 1. Ось § 2. Вектор § 3. Направленные углы § 4. Проекция вектора с оси на ось § 5. Векторные цепи § 6. Цепи углов § 7. Проекции вектора на две взаимно перпендикулярные оси § 8. Угол между двумя лекторами. Условия параллельности и перпендикулярности S 9. Упражнения и контрольные вопросы Глава 2. КООРДИНАТЫ § 1. Метод координат § 2. Основные задачи, решаемые методом координат § 3. Упражнения Глава 3. ФУНКЦИИ § 1. Переменные в постоянные § 2. Понятие о функциональной зависимости § 3. Классификация математических функций § 4. Обзор и графическое изображение простейших функции одного аргумента § 5. Обратные функции § 6. Понятие об уравнении линии § 7. Упражнения Глава 4. ПРЯМАЯ § 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку § 2. Общее уравнение прямой § 3. Частные случаи § 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом § 5. Построение прямой § 6. Определение угла между двумя прямыми § 7.  Условие совпадения прямых§ 8 Пересечение прямых § 9. Расстояние от точки до прямой § 10. Другой подход к выводу уравнения прямой § 11. Прямая, проходящая через две точки § 12. Уравнение прямой в отрезках на осях § 13. Задачи на прямую линию Глава 5. ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ § 1. Окружность § 2. Эллипс. Построение посредством нитн. Зависимость между полуосями и полуфокусным расстоянием § 3. Построение эллипса по точкам § 4. Уравнение эллипса § 5. Связь эллипса с окружностью § 6. Директрисы эллипса § 7. Гипербола. Построение посредством нити § 8. Построение гиперболы по точкам § 9. Уравнение гиперболы § 10. Асимптоты. Геометрическое значение b § 12. Парабола. Построение по точкам § 13. Уравнение параболы § 14. Преобразование координат § 15. Пример на упрощение уравнения кривой путем параллельного переноса осей § 16. Поворот осей § 17. Общий случай § 18.  Полярные координаты§ 19. Спираль Архимеда § 20. Логарифмическая спираль § 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых § 22. Выражение прямоугольных координат через полярные § 23. Уравнение лемнискаты § 24. Параметрическое задание линий § 25. Построение графика § 26. Циклоида § 27. Упражнения Глава 6. ВЕКТОРЫ, ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Оси, векторы, углы § 2. Проекции § 3. Проекции на три взаимно перпендикулярные оси. Длина вектора через проекции § 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы § 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла между двумя векторами. Скалярное произведение векторов § 6. Координаты § 7. Выражение проекций вектора через координаты конца и начала § 8. Выражение длины вектора через координаты концов. Расстояние между двумя точками § 9. Деление отрезка в данном отношении § 10. График уравнения с двумя переменными § 11.  Поверхность как след, образуемый перемещением некоторой деформируемой плоской кривой§ 12. Цилиндрические поверхности § 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности § 14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку § 15. Общее уравнение плоскости § 16. Частные случаи § 17. Выяснение расположения плоскости относительно осей § 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности. Условие перпендикулярности § 19. Условие совпадения плоскостей § 20. Расстояние от точке до плоскости § 22. Прямая, проходящая через данную точку § 23. Прямая, проходящая через две точки § 24. Переход от системы уравнений прямой в общем виде к системе в виде пропорций § 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности § 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности § 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид § 28. Другие простейшие поверхности § 29.  Кривая в пространстве как пересечение двух поверхностей§ 30. Параметрические уравнения § 31. Винтовая линия § 32. Параметрические уравнения в механике § 33. Переход от параметрического представления к общему и обратно § 34. Преобразование координат § 35. Упражнения ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Бесконечно малые § 2. Понятие предела переменной величины § 3. Понятие бесконечно большой § 4. Свойства бесконечно малых § 5. Основные свойства пределов § 6. Предел непрерывной функции § 7. Геометрическое истолкование непрерывности § 8. Свойство непрерывной функции § 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных § 10. Особые случаи разыскания предела § 11. Замечательный тригонометрический предел § 12. Признак существования предела § 13. Сходимость бесконечных рядов § 14. Простейшие признаки сходимости § 15. Основание натуральных логарифмов § 16. Порядок бесконечно малых § 17.  x.§ 9. Производные произведения и частного. Производные tg x и ctg x. § 10. Производные обратных тригонометрических функций § 11. Сводка основных формул § 12. Дифференциал § 13. Основные формулы для дифференциалов § 14. Высшие производные § 16. Дифференцирование неявных функций § 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом § 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной § 19. Упражнения Глава 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Непрерывность первой производной § 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум § 3. Приложение к построению графиков § 4. Наибольшее и наименьшее значения функции § 5. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения § 6. Направление выпуклости, точки перегиба § 7. Приложение к построению графиков § 8. Построение графиков разрывных функций § 9. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака первой производной § 10.  Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных§ 11. Асимптоты § 12. Дифференциал дуги § 13. Направляющие косинусы касательной § 14. Радиус кривизны, центр кривизны § 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы касательной для кривой в пространстве § 16. Упражнения Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Функции многих переменных. Область определения. Непрерывность § 2. Частные производные и полный дифференциал § 3. Частные производные и полный дифференциал сложной функции многих переменных § 4. Дифференцирование неявных функций § 5. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка § 6. Упражнения ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Глава 1. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ § 2. Общий наибольший делитель § 3. Общее наименьшее кратное § 4. Простые числа § 5. Единственность разложения на простые сомножители § 6. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида Вопросы к главе 1 Глава 2.  § 1. Функции [x] и {x} § 2. Мультипликативные функции § 3. Число делителей и сумма делителей § 4. Функция Мёбиуса § 5. Функция Эйлера Вопросы к главе II Глава 3. СРАВНЕНИЯ § 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств § 3. Дальнейшие свойства сравнений § 4. Полная система вычетов § 5. Приведенная система вычетов § 6. Теоремы Эйлера и Ферма Вопросы к главе 3 Глава 4. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 2. Сравнения первой степени § 3. Система сравнений первой степени § 4. Сравнения любой степени по простому модулю § 5. Сравнения любой степени по составному модулю Вопросы к главе 4 Глава 5. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ § 2. Символ Лежандра § 3. Символ Якоби § 4. Случай составного модуля Вопросы к главе 5 Глава 6. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ § 2. Первообразные корни по модулям § 3. Разыскание первообразных корней по модулям § 4. Индексы по модулям § 5.  a§ 7. Индексы по любому составному модулю Вопросы к главе 6 Глава 7. ХАРАКТЕРЫ § 2. Важнейшие свойства характеров Вопросы к главе 7 РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ Решения к главе 2 Решения к главе 3 Решения к главе 4 Решения к главе 5 Решения к главе 6 ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ |
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | ||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Производная Tan x и доказательство в простых шагах
Производные > Производная Tan x
Что такое производная Tan x?
Производная tan x is sec 2 x:
См.
также:
- Функция секущей.
- Общие производные правила.
Как найти производную от Tan x
Вы можете получить производную от Tan x, используя правило частных. Это из-за основного триггерного тождества, которое является частным синуса и функции косинуса:
Шаг 1: Назовите числитель (верхний член) частного g(x) и знаменатель (нижний член) h(x). Вы можете использовать любые имена, которые вам нравятся, так как это не будет иметь значения для алгебры. Однако обычно выбирают g(x) и h(x).
- г(х) = грех(х)
- ч(х) = cos(х)
Шаг 2: Подставьте g(x) и h(x) в формулу правила отношения .
Обратите внимание, что здесь я использовал d/dx для обозначения производной (обозначение Лейбница) вместо g(x)′ или h(x)′ (обозначение простых чисел (Лагранж), функция и числа). Вы можете использовать любое обозначение: они означают одно и то же.
Шаг 3: Дифференцируйте функции из шага 2. Необходимо дифференцировать две части:
- Производная первой части функции (sin(x)) равна cos(x)
- Производная от cos(x) равна -sin(x).
Подставляя эти производные в формулу из шага 3, мы получаем:
Что можно переписать как:
f′(x) = cos 2 (x) + sin 2 (x) / cos( х) 2 .
Шаг 4: Используйте алгебру / триггерные тождества для упрощения.
- В частности, начните с использования тождества cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1
- Это дает вам 1/cos 2 (x), что в тригонометрии эквивалентно sec 2 (x).
Доказательство производной Tan x
Есть несколько способов доказать производную tan x. Вы могли бы начать с определения производной и доказать правило, используя тригонометрические тождества.
Но на самом деле есть гораздо более простой способ, и в основном это шаги, которые вы предприняли выше, чтобы найти производную. как полагается только по тригонометрическим тождествам и немного алгебры, годится как доказательство. Кроме того, он вообще пропускает необходимость использования определения производной.
Шаги
Пример задачи : Докажите, что производная tan x равна sec 2 x.
Шаг 1: Запишите производную tan x как равную производной тригонометрического тождества sin x / cos x:
Шаг 2: Используйте правило частных , чтобы получить:
Шаг 3: Используйте алгебру для упрощения:
Шаг 4: Подставьте тригонометрическое тождество sin (x) + cos 2 (x) = 1:
7 Подставьте 9 Шаг 9: 550967 тригонометрическое тождество 1/cos 2 x = sec 2 x чтобы получить окончательный ответ:
d/dx tan x = sec 2 x
Вот и все!
Ссылки
Николаидес, А.