Что такое квадрат? | plus.maths.org
Что такое квадрат? Это фигура, имеющая четыре прямые стороны одинаковой длины и четыре угла по 90 градусов.
Честный квадрат: у него четыре прямые стороны одинаковой длины и четыре угла по 90 градусов
Кажется, что 90 градусов и четыре прямые стороны идут вместе. Невозможно нарисовать треугольник со всеми углами 90 градусов. Точно так же невозможно нарисовать пятиугольник, шестиугольник или фигуру с более прямыми сторонами, у которой есть все 9углы 0 градусов.
Или это?
Двухмерная плоская поверхность, на которой мы обычно делаем геометрию в школе, известна как Евклидова плоскость . Верно, что на этой плоскости любая замкнутая прямолинейная фигура, все стороны которой имеют одинаковую длину и все внутренние углы которой прямые, должна иметь четыре стороны — она должна быть квадратом. Однако существуют разные типы поверхностей, которые можно описать с помощью понятия кривизны . Что произойдет, если изменить кривизну плоскости? Изменится ли число сторон фигуры?
Насколько соблазнительны пышные формы?
Вы можете измерить, насколько изогнута поверхность в заданной точке, используя понятие гауссовой кривизны (названного в честь математика Карла Фридриха Гаусса).
Подробности объясняются в этой статье, но для нашей цели мы различаем три типа поверхностей: те, которые имеют нулевую гауссову кривизну в каждой точке, те, которые имеют положительную гауссову кривизну в каждой точке, и те, которые имеют отрицательную гауссову кривизну в каждой точке.
Евклидова плоскость имеет нулевую постоянную кривизну в каждой точке, как и следовало ожидать: плоскость не кривая, поэтому она должна иметь нулевую кривизну. Сфера имеет положительную гауссову кривизну в каждой точке. Интуитивно это потому, что он «изгибается наружу» во всех направлениях. Если бы вы сели в любой заданной точке на сфере, вы бы увидели, что сфера изгибается вниз от вашего дна во всех направлениях.
Сфера имеет положительную кривизну в каждой точке. Если бы вы сели в точку, например, красную на рисунке, и посмотрели вниз, вы бы увидели, что сфера изгибается вниз во всех направлениях. Технически две черные линии на рисунке обозначают главных кривизн сферы в точке, которые в данном случае обе положительны.
Гауссова кривизна есть произведение главных кривизн, которое в данном случае также положительно. См. эту статью, чтобы узнать больше.
Что-то совсем другое произошло бы, если бы вы сели на форму седла, как если бы вы были на лошади. Если бы вы посмотрели вниз на свои ноги, вы бы увидели, как поверхность изгибается вниз от ягодиц. Но если бы вы посмотрели вниз прямо перед собой или прямо позади себя, вы бы увидели, как поверхность изгибается вверх к вашей голове. Это «противоположное искривление» интуитивно характеризует отрицательную кривизну.
Седло имеет отрицательную кривизну. Если бы вы сели в красной точке и посмотрели вниз на свои ноги, вы бы увидели, что поверхность изгибается вниз. Если бы вы посмотрели вниз прямо перед собой или позади себя, вы бы увидели, что поверхность изгибается вверх. Технически две черные линии на рисунке обозначают число 9.0011 главные кривизны седла в точке. В этом случае одна главная кривизна положительна, а другая отрицательна.
Гауссова кривизна — это произведение главных кривизн, которое в данном случае отрицательно. См. эту статью, чтобы узнать больше.
В общем случае кривизна Гаусса может принимать разные значения в разных точках поверхности. Действительно, это относится к седлу выше. Что делает сферу особенной, так это то, что значение гауссовой кривизны одинаково во всех точках: она имеет постоянная положительная кривизна . Другим примером поверхности с постоянной гауссовой кривизной является псевдосфера , показанная ниже. В этом случае кривизна отрицательна.
Кусок псевдосферы, имеющий постоянную отрицательную кривизну. Фактическая псевдосфера бесконечно продолжается в обоих вертикальных направлениях. Техническое примечание: Псевдосфера является частичной моделью гиперболической геометрии .
Фигуры на сфере
Итак, сколько сторон может иметь фигуры с прямыми сторонами и 9Углы между сторонами равны 0 градусов на этих поверхностях?
Давайте начнем со сферы и представим, что у нее есть экватор и северный полюс, как у Земли.
Начните с точки на экваторе и следуйте по линии долготы до северного полюса (такая линия всегда образует угол 90 градусов с экватором). Теперь найдите другую линию долготы, которая образует угол 90 градусов с той, по которой вы только что прошли, и идите по этой новой линии долготы, пока снова не достигнете экватора. Теперь идите по экватору, пока не достигнете исходной точки.
Сферический треугольник с углами 90 градусов и сторонами одинаковой длины.
Все линии, по которым вы прошли, образуют части больших кругов на сфере, то есть кругов, имеющих такой же диаметр, как и сама сфера. Каждая линия соответствует четверти большого круга, поэтому все они имеют одинаковую длину. Большие круги на сфере — это аналоги прямых линий на плоскости. Это потому, что как кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости проходит по прямой линии, так и кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере проходит по большому кругу. (На техническом языке линия кратчайшего расстояния на поверхности называется геодезическая )
Здесь мы создали прямолинейную фигуру, все стороны которой имеют одинаковую длину и сходятся под углом 90 градусов — и у нее три стороны, а не четыре!
Это также показывает, что углы треугольника, нарисованного на фигуре с положительной кривизной, в сумме составляют более 180 градусов (что имеет место на плоскости).
На сфере мы можем даже нарисовать двустороннюю фигуру, стороны которой имеют одинаковую длину и пересекаются в 9углы 0 градусов. Одна сторона состоит из половины большого круга, а другая из половины большого круга, расположенного под прямым углом к исходному. Такая форма называется digon .
Каждый из четырех клиньев, вырезанных из сферы двумя перпендикулярными большими окружностями, является двуугольником.
Фигуры на псевдосфере
Итак, мы только что увидели, что на сфере (которая имеет положительную кривизну) можно нарисовать фигуру с углами 90 градусов и всеми сторонами одинаковой длины, которая имеет менее четырех сторон. И получается, что на псевдосфере (имеющей отрицательную кривизну) можно нарисовать такую фигуру с более чем четырьмя сторонами. Ниже приведен пример с пятью сторонами.
Эта пятигранная фигура, нарисованная на псевдосфере, имеет прямые стороны одинаковой длины и углы 90 градусов.
(Мы показываем здесь только верхнюю часть псевдосферы, так как этого достаточно для иллюстрации.) Изображение взято из 5-стороннего квадрата видео Numberphile , на котором основана эта статья.
Углы здесь кажутся меньше 90 градусов, но это иллюзия, вызванная отрицательной кривизной. Аналогичным образом положительная кривизна сферы сделала 90 углов в треугольнике, который мы видели выше, выглядят больше, чем 90 градусов.
Хотя стороны пятиугольника кажутся нам изогнутыми, они прямые в том смысле, что являются отрезками геодезических: линиями кратчайшего расстояния на псевдосфере. И как оказалось, все они одинаковой длины.
Итак, если вы думали, что углы в 90 градусов и прямые стороны одинаковой длины определяют квадрат, то подумайте еще раз. Все зависит от кривизны!
Можно ли нарисовать такие фигуры с шестью, семью, восемью или даже большим количеством сторон? Мы оставляем это на ваше усмотрение.
Об этой статье
Ханна Даркен.
Эта статья основана на видео Numberphile , 5-стороннем квадрате, который вы можете увидеть ниже.
Ханна Даркен — 19-летняя студентка из Ливерпуля. Ханна написала эту статью, когда училась на A-Levels в математической школе Ливерпульского университета (ULMaS). В настоящее время она учится на первом курсе по математике в Ланкастерском университете.
Определите свою модель квадратной подставки | Квадратный центр поддержки
Что в этой статье?
Square Stand поставляется в трех моделях: классическая Square Stand (1-го поколения), Square Stand (2-го поколения) и новейшая Square Stand Mount. Наиболее заметным отличием Square Stands является их цвет и встроенные устройства чтения карт. Второе поколение Square Stand и Square Stand Mount имеет черную отделку и встроенный считыватель бесконтактных карт и чип-карт, а первое поколение полностью белое и имеет встроенный считыватель магнитных полос.
Квадратная подставка (1-го поколения)
Крепление на квадратную подставку (слева), на квадратную подставку 2-го поколения (справа)
Найдите серийный номерЧтобы определить точную модель квадратной подставки, вам потребуется найти серийный номер квадратной подставки. Есть два способа найти это:
Прикрепив iPad к Square Stand, откройте приложение Square, нажмите ≡ Еще > Настройки > Оборудование > Квадратная подставка > Получить помощь > Сведения об устройстве . Здесь вы можете просмотреть серийный номер и другую информацию о вашем устройстве.
Вы также можете найти серийный номер, напечатанный на вашем устройстве. Для более новых версий Square Stand его можно найти под iPad, поэтому вам нужно будет отключить iPad для просмотра. Для более старых версий Square Stand серийный номер можно найти на нижней стороне гнезда iPad.
Все квадратные подставки указывают номер модели с 5-й по 8-ю цифру серийного номера, например XXXX MMMM XXXXXXXX.
Как только вы найдете серийный номер, обратитесь к последовательности MMMM в серийном номере.
| Квадратная подставка Модель | Серийный номер | Последовательность ММММ* | Цвет | Оборудование |
|---|---|---|---|---|
| Второе поколение | 16-значный серийный номер | S176, S155 или S195 | Черно-белый | Бесконтактный и чиповый считыватель встроенный |
| Первое поколение | 16-значный или 14-значный серийный номер | S142, S015, S020, S021, S067, S025, S068, S089, S089 | Белый | Магнитная полоса встроенная |
* (символы 5-8) для идентификации Square Stand модели
Совместимость с iPad для квадратной подставки (2-го поколения) и крепления для квадратной подставки
| Последовательность ММММ | Совместимость с iPad | Прочие детали |
|---|---|---|
| S176, S155, S195 | — iPad 9-го поколения (2021 г. ), экран 10,2 дюйма — iPad 8-го поколения (2020 г.), экран 10,2 дюйма — iPad 7-го поколения (2019 г.), экран 10,2 дюйма — iPad Air 3 (2019 г.), экран 10,5 дюйма — iPad Pro 10,5” (2017) | Имеет разъем Lightning и использует защелку для удержания iPad на месте. |
Примечание . В настоящее время квадратная подставка и крепление на квадратную подставку несовместимы с iPad 10,9 дюйма (10-го поколения, 2022 г.).
Совместимость с iPad для квадратной подставки (1-го поколения)
| Последовательность ММММ | Совместимость с iPad | Прочие детали |
|---|---|---|
| С142 | — iPad 9-го поколения (2021 г.), экран 10,2 дюйма — iPad 8-го поколения (2020 г.), экран 10,2 дюйма — iPad 7-го поколения (2019 г.), 10,2 дюйма — iPad Air 3-го поколения (2019 г.) — iPad Pro 10,5 дюйма | Имеет разъем Lightning и использует встроенный защитный штифт, чтобы удерживать iPad на месте. |