Точками разрыва называют: Точки разрыва функции и их виды

Классификация точек разрыва

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если — точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

Например, функция

определена в точке ( f (2) = 0), однако в точке имеет разрыв (рисунок 27), т.к. эта функция не имеет предела при :

.

Например, функция (рисунок 28). Здесь – точка разрыва, т.к а

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.

е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева, или справа, или оба вместе) не существует или равен бесконечности.

Обратимся к функциям, рассмотренным выше.

Для функции , — точка разрыва второго рода (рисунок 26).

Для функции является точкой разрыва первого рода (рисунок 27), скачок функции равен

Для функции является точкой устранимого разрыва первого рода (рисунок 28). Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно,

Следовательно, , а Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Приведем их тоже без доказательства

Теорема 5.16Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема 5.17 Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Теорема 5.18 Если функция непрерывна и строго монотонна на оси

Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси Оу .

Например, функция , в силу теоремы 3.16, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых , т.е. кроме значений . Функции , в силу теоремы 3.18, непрерывны при всех значений х при которых эти функции определены.

Теорема 5.19Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведённых выше теорем вытекает:

Теорема 5.20 Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

ПримерНайти

Решение. Функциянепрерывна в точке, поэтому

Точки разрыва и их классификация. Определение 7.8.Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Поделись  

Определение 7.8.Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке .

Пример 7.3. Функция не определена в точке , но определена в ее окрестности. Поэтому – точка разрыва функции.

2. Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при .

Пример 7.4.Функция

определена в точке : , но в точке имеет разрыв, т.к. при функция предела не имеет: левосторонний и правосторонний пределы различны

.

3. Функция определена в точке и ее окрестности, существует , но этот предел не равен значению функции в точке : .

Пример 7.5.Функция

имеет разрыв в точке , так как и , т.е. .

Все точки разрыва функции подразделяют на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 7.9.Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода и обозначают , т.е.

.

Определение 7.10. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов или не существует или равен бесконечности.

Так, для функции (см. пример 7.3) точка является точкой разрыва второго рода.

Для функции

(см. пример 7.4) точка – точка разрыва первого рода (конечный разрыв). Легко определить скачок функции в данной точке разрыва: .

Для функции

(см. пример 7.5) точка – это точка разрыва первого рода (устранимый разрыв).

Пример 7.6.Найти точки разрыва функции .

Решение: Легко видеть, что функция определена и непрерывна в любой точке , кроме точки . Также очевидно, что

Значит, , а . Поэтому в точке функция терпит разрыв первого рода (конечный разрыв). Скачок функции в этой точке равен .

Пример 5.7.Исследовать на непрерывность функцию

Решение: Функции , и определены и непрерывны в любой точке , поэтому кусочно-заданная функция может иметь разрывы только в точках, где изменяется ее аналитическое выражение, т. е. только в точках и .

Исследуем функцию на непрерывность в найденных точках. Для этого найдем односторонние пределы и значение функции в каждой точке в отдельности.

В точке будем иметь:

Таким образом,

т.е. в точке функция имеет разрыв первого рода (конечный разрыв). Скачок функции в этой точке равен

.

Аналогичным образом для точки получим:

однако значение не определено. Следовательно,точка – это точка устранимого разрыва для функции .



Почему точка останова называется «точкой останова»? — Общее — Форум

Meowface_Sam (Сэм)

#1

Но что такое точка останова? Почему точку останова называют «точкой останова»? Точка, в которой что-то ломается? Что такое очки и как/почему мы их разбиваем?

веб-разработчик (Джефф С. )

26 октября 2021 г., 8:07

#2

Существует удивительный инструмент под названием Google, который может ответить на многие ваши вопросы. Но для этого я сэкономлю вам шаг. Руководство для начинающих по медиа-запросам — Изучите веб-разработку | MDN или точка останова — Википедия

Meowface_Sam (Сэм)

#3

Это все еще не ответ на мой вопрос.

веб-разработчик (Джефф С.)

, 20:23

#4

Когда пользователи изменяют размер окна браузера, все может сломаться. Точки останова — это просто ссылки на медиа-запросы, которые запускаются при изменении размера браузера. А если серьезно, что случилось с вашим собственным исследованием?

1 Нравится

Мяуфейс_Сэм (Сэм)

#5

Вы предполагаете, что я исследовал это , а не . Ничто там, включая ссылку, которую вы прислали, не дало ответа на мой вопрос, который ищет логику / этимологию термина.
(Пожалуйста, больше никакого пассивного стыда. Либо проявите терпение и помогите, либо вообще не отвечайте.)

Andrew_Beardman (Эндрю Диллон)

#6

Честно говоря, в ваших первоначальных вопросах есть намек на троллинг. Когда вы задаете неконструктивные вопросы, такие как «что такое очки и как их сломать?», вы получите взамен только неконструктивные ответы.

При этом команда Webflow не изобрела термин «точка останова», и, как упомянул Джефф, поиск в Google даст вам все, что вам нужно.

Если вы ищете «Что такое контрольные точки в веб-дизайне» на первой странице результатов этого определения.

В адаптивном дизайне точка останова — это «точка», в которой контент и дизайн веб-сайта адаптируются определенным образом, чтобы обеспечить наилучшее взаимодействие с пользователем.

Я объясню это с точки зрения адаптивного веб-дизайна. Точки останова — это проверки в коде CSS, которые вы включаете в свой CSS, чтобы установить минимальную или максимальную ширину экрана, с которой должен работать этот CSS. Webflow специально использует точку останова «max-width:», поэтому, как сказано в видео, он всегда работает с установленным разрешением и ниже. Вы можете использовать эти точки останова для выполнения ряда различных действий, таких как изменение размера элементов, чтобы они лучше соответствовали этому экрану, скрытие элементов, которые не помещаются, изменение меню с меню класса на раскрывающуюся версию, сообщение меньшим экранам, что их экран слишком мал, чтобы использовать это веб-приложение (как это делает веб-поток в дизайнере), и этот список можно продолжать и продолжать.

Как это работает? Допустим, с Webflow у вас есть 3 точки останова.

  • Точка останова 1 — экраны шириной до 3840 пикселей
  • Точка останова 2 — экраны шириной до 1920 пикселей
  • Точка останова 3 — экраны шириной до 1280 пикселей

Поскольку они используют точку останова «max-width:», это будет работать следующим образом:
Любой экран шире 3840 пикселей будет использовать точку останова 1
Любой экран ниже 3840 пикселей, но шириной более 1920 пикселей будет использовать точку останова 1
Любой экран ниже 1920 пикселей, но более 1280 пикселей в ширину будет использовать точку останова 2
Любой экран ниже 1280 пикселей будет использовать точку останова 3

Поэтому, когда вы разрабатываете свой веб-сайт в Webflow, чтобы эффективно использовать это, вам нужно начать проектирование с просмотра самой большой точки останова, это гарантирует, что все меньшие точки останова начнутся. с теми же настройками, что и у самого большого (потому что, пока вы не нажмете на меньшую точку останова и не отредактируете что-то, точка останова для этого селектора еще не будет существовать). Затем, как только вы закончите проектирование своего веб-сайта, чтобы он отлично выглядел в самой большой точке останова, щелкните вторую по величине и переформатируйте ее, чтобы она выглядела там хорошо, и переходите к точке останова за точкой останова по одной, от самого большого к самому маленькому, переформатируя/изменяя элементы, которые необходимо скорректировать. чтобы каждый размер экрана выглядел хорошо.

После публикации и тестирования на как можно большем количестве устройств я заметил, что iPhone Safari иногда ненавидит веб-сайты, несмотря ни на что, и может потребоваться настройка.

Надеюсь, это поможет.

Исправление: все, что находится выше точки останова по умолчанию «Рабочий стол» в Webflow, использует «min-width:», что гарантирует, что большие размеры экрана по сравнению с максимальной точкой останова продолжают работать.

Мяуфейс_Сэм (Сэм)

#7

Я ценю исчерпывающий ответ и благодарю вас за осознание того, что я изначально звучал как «тролль» в том, как я задал свой вопрос. (Определенно не «троллинг», который я до сих пор не понимаю в тонкостях того, что, черт возьми, «тролль» на самом деле означает в этом современном, технологическом контексте.) Да, я получил несколько неконструктивных и «тролльских» ответов. (Чертовы форумы. На самом деле я собираюсь отказаться от Webflow теперь, когда они прямо сказали мне, что больше не будут отвечать на мои технические вопросы… «хотя мы будем рады помочь с каждым вопросом дизайна, который мы получаем , это вне нашего поля зрения». Что за хрень? Меня волнует качество обслуживания клиентов компанией самый!)

Если бы вы были настоящим тупоголовым новичком и искренне желали узнать этимологию термина («точка останова»), ради искреннего понимания его логики почему эти два конкретных слова были выбраны в качестве имени для этой штуковины, как бы вы могли сформулировать вопрос, предполагая, что вы даже знаете , как его задавать, в отличие от меня?

Спасибо, Эндрю

Узнайте об улучшениях точки останова — WWDC21 — Видео

Больше видео

  • Точки останова могут помочь вам отладить проблемы, позволяя приостанавливать и проверять проблемы в середине процесса. Откройте для себя последние улучшения точек останова в Xcode, включая столбцы и неразрешенные точки останова. Мы также рассмотрим рекомендации по общим точкам останова, а также советы и рекомендации по LLDB.

    Ресурсы

    Похожие видео

    WWDC22
    WWDC 2019
    WWDC 2018
  • Скачать

    ♪ Играет басовая музыка ♪ ♪ Хан Минг Онг: Здравствуйте, меня зовут Хан Минг Онг. Я инженер в команде Xcode Debugger UI. Сегодня я хочу рассказать об улучшениях, внесенных командой в контрольные точки, которые сделают вашу отладку более продуктивной. Давайте начнем с некоторых основ точек останова, чтобы все были на одной странице. Когда вы сталкиваетесь с ошибкой в ​​своей программе, это означает, что она не выполняется в соответствии с вашими ожиданиями, и вы хотите проверить с помощью отладчика, почему реальность расходится. На данный момент, есть два общих действия, которые вы делаете. Во-первых, вы проверяете состояние процесса, чтобы лучше понять ситуацию. Во-вторых, вы подтверждаете свою логику, проходя через выполнение процесса. Оба действия требуют от вас паузы, в идеале непосредственно перед тем, как произойдет ошибка. И лучший способ приостановить процесс — использовать точку останова. Мы поговорим о трех общих точках останова, которые вы можете создать в Xcode. Во-первых, это контрольные точки исходного файла. Это точки останова, которые устанавливаются в одном файле. Наиболее распространенным типом является точка разрыва строки. Это рабочая лошадка точек останова, и она отлично подходит для паузы в строке кода, которую вы хотите проверить. Самый быстрый способ создать его — просто щелкнуть в поле прямо рядом со строкой, которую вы хотите приостановить. Предположим, в этот момент я хотел бы проверить логику функции convertToVolume, войдя в нее.

    Но когда я вступаю, я на самом деле вхожу в другое выражение. Компилятор правильно определил, что в первую очередь необходимо выполнить AdjustDensity. Конечно, я могу выйти, а затем вернуться в функцию, но это может стать трудоемким, если вам придется повторять это много раз. Здесь мы видим, что иногда точка останова на строке недостаточно детализирована. Это связано с тем, что компилятор сгенерировал более одного места для остановки LLDB. Чего мы действительно хотим, так это сделать паузу непосредственно перед выполнением convertToVolume. В Xcode 13 мы вводим точки останова столбцов. Это позволяет вам избежать недостатков точек останова строки, когда вам нужно сделать паузу на определенных выражениях вдоль строки. Чтобы установить точку останова столбца на convertToVolume, щелкните выражение, удерживая клавишу Command, чтобы открыть всплывающее окно «Действия», а затем выберите «Установить точку останова столбца». Как и в случае с точкой останова строки, вы можете щелкнуть значок, чтобы отключить или включить. Вы можете дважды щелкнуть по нему, чтобы вызвать редактор точек останова, если вам нужно изменить точку останова. Поскольку нам больше не нужна точка останова строки, мы можем удалить ее, перетащив ее за пределы желоба. Вы можете сделать то же самое с нашей точкой останова столбца, но я просто оставлю ее там. Контроль или щелчок правой кнопкой мыши вызывает контекстное меню, которое включает наше предыдущее действие. Здесь я выберу «Показать в навигаторе точек останова». Подзаголовок был изменен, чтобы показать вам столбец точки останова. Когда мы продолжим, мы пройдемся по следующему NutritionFact и достигнем нашей недавно установленной контрольной точки столбца. Когда точка останова достигает точки останова, Xcode использует строку PC, чтобы сообщить вам приостановленную строку. Он рисует светло-зеленую подсветку над линией. В Xcode 11.4 мы представили колонку PC. Столбец PC показывает приостановленный столбец, рисуя зеленое подчеркивание под выражением. Таким образом, он позволяет узнать выражение, которое отладчик собирается выполнить следующим. Так как я вижу колонку PC под convertToVolume, я могу с уверенностью сделать один шаг в функцию. Точки останова столбцов особенно полезны для замыканий в Swift или блоков в Objective-C. Иногда одна строка Swift может иметь несколько замыканий, как эта единственная строка 269.. Когда компилятор компилирует файл в условиях отладки, он создает карту, называемую строковой таблицей, которая отображает исходные строки и столбцы в скомпилированные адреса. Таким образом, для каждого замыкания в этой строке компилятор создает запись таблицы строк, которую отладчик будет использовать для приостановки. Предположим, я хочу проверить анонимный параметр $0 последнего замыкания, я могу установить точку останова строки на 269, но после паузы, чтобы достичь последнего замыкания, мне нужно выполнить многочисленные входы и выходы из-за сгенерированной таблицы строк записи. Мы видели, что с Xcode 13 мы можем просто установить точку останова столбца на последний $0, и при паузе мы точно там, где хотим быть, и мы можем проверять $0 сколько душе угодно. Хм, кажется, смузи из ароматного дуриана — на завтрак не меньше — это отличный способ начать день. Вкусно! Перейдем к символическим точкам останова. Это точки останова на именах функций, которые приостанавливают процесс при выполнении этих функций. Они очень полезны в ситуациях, когда точки останова исходного файла не могут быть использованы или неудобны. Например, у вас нет доступа к исходным файлам и, следовательно, вы не можете скомпилировать их с отладочной информацией. Или у вас много подклассов, реализующих общую функцию, и ставить точку останова файла в каждом из них громоздко. Давайте взглянем. Мы нажмем кнопку «Добавить» в нижней части навигатора точек останова. Это вызывает список точек останова, которые мы можем создать. Мы выберем Symbolic Breakpoint, и сразу же появится редактор точек останова, чтобы мы могли ввести имя символа. Предположим, нас интересует приостановка функции переключения, которая реализована в нескольких классах. Вместо того, чтобы искать каждый из них, мы можем просто ввести здесь переключатель. Но вы должны быть осторожны с именами функций, которые являются общеупотребительными словами. Это связано с тем, что LLDB будет соответствовать имени во всех библиотеках, загружаемых в процессе, включая системные библиотеки. При отсутствии ограничений может быть много разрешенных точек останова, иногда даже тысячи. Это может раздражать, если многие из них постоянно попадаются на пути выполнения. К счастью, мы можем ограничить поиск определенным модулем. Модуль — это бинарник или образ, который может быть загружен во время выполнения, включая основной бинарник. Здесь мы вводим «Fruta» — двоичное имя нашего приложения. И мы получаем три разрешенных местоположения, что намного удобнее. Поскольку мы выбрали смузи, давайте переключим кнопку «Избранное». Мы достигнем только что установленной символической точки останова. Теперь, что касается символических точек останова, вы знаете, что довольно легко сделать типографскую ошибку. А затем во время выполнения программы точка останова не срабатывает, и вам остается чесать затылок. Давайте попробуем создать один с именем convertToMass.

    Новое в Xcode 13, если точка останова не разрешается в какое-либо место с помощью LLDB, Xcode покажет вам пунктирную иконку. Существует множество причин, по которым точка останова не разрешается, но есть несколько распространенных объяснений. Если вы наведете курсор на значок неразрешенной точки останова, у нас есть всплывающая подсказка, которая может вам помочь. Первая пара причин относится к типу точки останова. Таким образом, для символической точки останова имя должно быть написано правильно, а символ должен существовать в своей библиотеке. Следующая причина более общая: должна быть загружена библиотека для точки останова. Иногда библиотека загружается только после того, как вы выполнили какое-либо действие пользователя, например, щелкнули кнопку, и в этот момент LLDB автоматически разрешит для вас точку останова. В этом случае я подозреваю, что у меня плохое правописание. Давайте разберемся. Один из способов — использовать навигатор поиска и выполнить поиск по запросу «конвертировать». Как видите, результатов довольно много и потребуется некоторое время, чтобы проанализировать их визуально. Вместо этого давайте воспользуемся другим приемом через LLDB. В консоли Xcode мы вводим `image`, что также означает модуль, `lookup -r` для регулярного выражения, `n` для имени, `convert`, и мы указываем имя модуля, Fruta, чтобы ограничить поиск. Вы можете видеть, что у нас есть только четыре совпадения и, конечно же, ошибка в имени функции. Он должен быть «преобразован в массу». Давайте скопируем и вставим его в наш редактор точек останова.

    И на этот раз LLDB успешно разрешила проблему и предоставила нам местонахождение номер один.

    Если вас интересуют другие советы и рекомендации по LLDB, посмотрите нашу предыдущую презентацию «LLDB: за пределами ‘po’». Поднимем другой файл.

    Неразрешенные точки останова также можно увидеть в точках останова исходного файла. Есть две причины, которые относятся к ним. Во-первых, должна быть скомпилирована строка для точки останова. В этом случае строка 23 не была скомпилирована, потому что она находится в другой части условия компилятора. Кроме того, компилятор должен сгенерировать отладочную информацию для модуля. Если нет, вам нужно проверить настройки сборки. Далее идут точки останова во время выполнения. Проблема времени выполнения — это проблема, возникающая во время выполнения, например изменение состояния пользовательского интерфейса в фоновом потоке. Это не так серьезно, как сбой, и по умолчанию Xcode не приостанавливает ваш процесс, потому что это может быть слишком разрушительным, когда вы сосредоточены на другой ошибке. Вместо этого, когда возникает проблема во время выполнения, Xcode записывает обратную трассировку и представляет ее в навигаторе проблем. Но поскольку проблема возникла в прошлом, нет смысла проверять текущее состояние процесса. Поэтому иногда вы хотите поймать это, когда это произойдет. Наличие точки останова во время выполнения позволяет вам сделать паузу в отладчике и тут же нажать на процесс. Существуют различные типы точек останова во время выполнения. Вы можете легко выбрать конкретный тип, используя всплывающее окно типа. Имейте в виду, что для некоторых из них необходимо включить соответствующую функцию на вкладке диагностики редактора схемы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *