Точки разрыва 1 и 2 рода: Точки разрыва функции онлайн

Вопрос 38. Точки разрыва первого и второго рода. Примеры.

Если f🙁a,b)R не является непрерывной в некоторой точке x₀(a,b) и имеются конечные пределы справа и слева f(x₀+0)=lim_xx0+0f(x), f(x₀-0)=lim_xx0-0f(x), то эта точка называется точкой разрыва первого рода.

Если f🙁a,b)R не является непрерывной в некоторой точке x₀(a,b) и имеется конечный предел либо справа f(x₀+0)=

lim_xx0+0f(x), либо слева f(x₀-0)=lim_xx0-0f(x) или оба отсутствуют, то такая точка называется точкой разрыва второго рода.

П ример. Пример 1. Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке .

Пример 2. Функция имеет разрыв второго рода в точке

Вопрос 39. Локальные свойства функций, непрерывных в точке (теорема о локальной ограниченности, теорема о сохранении знака, теорема о непрерывности суммы, произведения, частного, теорема о непрерывности композиции двух непрерывных функций).

Теорема 1. f🙁a,

b)R функция непрерывна в точке x₀(a,b), тогда справедливы следующие утверждения:

1. f ограничена в некоторой окрестности U(x₀) точки х₀.

2. Если f(x₀)0, то в некоторой окрестности U(x₀) точки х₀ все значения функции положительные или отрицательные т.е. sign f(x)=sign

   f(x₀).

Доказательство случая 2. Непрерывность в точке х₀, в частности обозначает, что f определена некоторой окрестности точки х₀. Пусть для определенности, f(x₀)=d>0. Возьмем = >0. Тогда по определению непрерывности >0: |f(x)-f(x₀)|<= , x😐x—x₀|<, откуда следует, что f(x)=f(x₀)+(f(x)-f(x₀))>d— = , при xU_(

x₀).

Теорема 2. Если функции f и g непрерывны в точке х₀, то функции сf, f+g, fg, а также при условии g(x₀)0, непрерывны в точке х₀. Докажем лишь что f/g непрерывна в х₀ (для остальных аналогично).

g(x)0 при xU(x₀) и частное f/g определено на U(x₀). Используя свойства пределов и непрерывность f и g: lim_xx0(f/g)(x)= lim_x

x₀f(x)/g(x)= lim_xx0f(x)/ lim_xx0g(x)=f(x₀)/g(x₀)=(f/g)(x₀).

Теорема 3.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х₀, а функция F(y) непрерывна в точке y₀=f(x₀), тогда композиция (Ff)(x):=F(f(x)) непрерывна в точке х₀.

Это утверждение является следствием теоремы по пределу сложных функций, в силу которой lim_xx0

F(f(x))=lim_yy0F(y)=F(y₀)=F(f(x₀)), что равносильно суперпозиции в точке х₀.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Если f непрерывная на отрезке [a,b] (fc[a,b]), f(a)=A, f(b)=B, то для 

С заключенного между А и В, существует такая точка ξ[a,b], что f(ξ)=С.

Доказательство. Пусть для определенности f(a)=A<B=f(b) и A<С<B. Разделим отрезок [a,b] точкой х₀ пополам, тогда либо f(x₀)=C, значит искомая точка ξ=х₀, либо f(x₀)C, тогда на концах одного из полученных отрезков

f принимает значения лежащие по разные стороны от числа С. Обозначим этот отрезок через [a₁b₁] и разделим на пополам и т.д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке ξ (т.е. f(ξ)=С), либо получим последовательность вложенных отрезков [a_n,b_n], b_n—a_n0 при n, и таких что f(a_n)<C<f(b_n) (1).

Пусть ξ – общая точка всех этих отрезков, мы знаем что ξ=lim_na_n=lim_nb_n, поэтому в силу непрерывности функции f(ξ): =lim

n_f(a_n)= lim_nf(b_n) переходя в неравенстве (1) к пределу при n, получим f(ξ)=C.

Конспект лекц. 1-ый семестр

№  гр.	Дата	Время	Аудитория
Э18	18.11.08	10:20	Г-104
	25.11.08	10:20	Г-104
Э28	18. 11.08	8:30	Г-309
	25.11.08	8:30	Г-309
Э38	18.11.08	8:30	Г-309
	25.11.08	8:30	Г-309
Э48	19.11.08	8:30	Г-309
	26.11.08	8:30	Г-309
Э58	19. 11.08	8:30	Г-309
	26.11.08	8:30	Г-309
Э18 – 58	29.11.08	8:30	И-119

 

ЛЕКЦИЯ 16

§ 8.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке , если предел функции в этой точке равен нулю. Будем обозначать: …

.

Определение. Функция  называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа  можно указать такаю окрестность  точки , что . В этом случае полагаем  .

Если в окрестности  , если же .

Если   при , то, следовательно,  .

Функция  в одних точках может быть бесконечно малой, а в других бесконечно большой.

Пример . .

Очевидно в точке , , а .

,  .

Основные свойства бесконечно малых функций (аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей).

1°. Если , то .

2°.Если  и ,  то  при .

3°.Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

4°.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

, если  – ограниченная,  при .

5°. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

, если ,  при .

Эти свойства можно распространить на конечное число бесконечно малых функций.

Доказательства аналогичны доказательствам свойств бесконечно малых последовательностей.

 

 

О п р е д е л е н и е 1. Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен частному значению функции в этой же точке.

 

                                         (3)

 

Из определения следует, что

           1°.Функция определена в точке .

           2°.Функция должна иметь предел в этой точке.

           3°.Значение функции в этой точке и предел в этой точке должны быть равны.

Точки, в которых функция не является непрерывной, т.е. нарушается хотя бы одно из этих условий, называются точками разрыва.

Условие (3)  непрерывности функции в точке можно преобразовать следующим образом

               

          ,

т.к. ,  . Итак, функция  называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента  в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции .

 

П р и м е р ы .1)Единичная функция или функция Хевисайда.

 

 

Точка  – точка разрыва, т.к.  определена в этой точке, но предел в этой точке не существует.

2)   

 

В точке  функция определена и ,  но предел в этой точке не существует. Значит,  – точка разрыва.

 

 

 

О п р е д е л е н и е  2. Точка   называется изолированной точкой множества  , если существует такая окрестность этой точки, что в ней кроме точки  нет других точек, принадлежащих .

Иначе, если существует .

О п р е д е л е н и е 3. Точка  называется предельной точкой множества , если существует такая окрестность этой точки, в которой помимо  содержится ещё, хотя бы одна точка множества .

П р и м е р. Пусть . Все  точки этого множества являются изолированными. Множество  тоже состоит из изолированных точек, а множества   𝕁,   – только из предельных.

Точка  называется точкой прикосновения множества , если существует  и .

Очевидно, предельные и изолированные точки являются точками прикосновения.

 Функция  является непрерывной в изолированных точках, т.к. в этих точках функция определена и  

 

    

 

_т.к. , поэтому есть такое , что при     и, следовательно, при         . Имеем предел стационарной последовательности

 

 

Непрерывность функции нужно рассматривать только в предельных точках, т.к. в изолированных точках функция всегда непрерывна.

По аналогии с односторонними пределами вводится также понятие односторонней непрерывности функции в точке.

О п р е д е л е н и е 4. Функция   называется непрерывной в точке  справа (слева), если соответственно

 

 

 

П р и м е р. Рассмотрим функцию .

В точке  функция будет непрерывна справа, т.к.  и .

                                       

 

 

 

О п р е д е л е н и е 1. Точка  называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, которые либо не равны друг другу, либо не равны значению функции в случае их равенства.

Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Очевидно, это такие точки, в которых предел функции либо не существует, либо равен .

 З а м е ч а н и е. Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует, но не равен частному значению функции в этой точке или если функция не определена в этой точке.

П р и м е ры. 1) Рассмотрим .   точка разрыва первого рода, т.к. , а . В этой точке существует скачок 

 

.

 

 –  точка неустранимого разрыва.

2)Рассмотрим функцию . В точке  существуют односторонние пределы 

_{Значит, в этой точке существует и предел функции}

_{Но значение функции в этой точке не равно пределу. Поэтому это точка разрыва первого рода.}

  

3) ,   – точка неопределенности.

Можно положить

 

 

 

Это уже непрерывная функция.

 

4),  функция не определенна в точке .

,.   – точка разрыва второго рода.

 

5),   –  точка разрыва второго рода, т.к. в ней предел функции не существует.

6)

 

Т.к. один из односторонних пределов функции равен , то  – точка разрыва второго рода.

        

        §  8.11. Предел и непрерывность сложной функции  (композиции функций)

 

Пусть,, ,      ,  –   сложная функция.

Если, при ,   , при  Тогда, при.

Действительно при, поэтому .

Если  непрерывна в точке , а  непрерывна в точке , то   будет непрерывна в точке .

П р и м е р.     . Тогда сложная функция  непрерывна в точке ,    т. к.  функция  непрерывна в точке , а функция   будет непрерывна в точке.

 

 §  8.12. Свойства непрерывных функций

 

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной на множестве  X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

П р и м е р. Возьмём в качестве множества X отрезок . Если функция непрерывна на интервале , то в точке  она непрерывна справа, в точке  – слева.

С в о й с т в а.

1°. Если   непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке и имеет  и   на этом отрезке.

 Из условия непрерывности следует, что функция в каждой точке этого отрезка имеет предел, следовательно, она ограничена в каждой точке. А всякое ограниченное  множество имеет верхнюю и нижнюю грани   и

                             

2°. Если   непрерывна на   и , , то существует такая точка , что, где.

Отрезок   делим пополам и выбираем тот отрезок , на концах которого , (или , ) . Получаем . Отрезок   делим пополам и выбираем тот отрезок , на концах которого , (или , ) . Процесс повторяем до тех пор пока на каком-то шаге не окажется, что =С  или =С. На этом действия прекращаются.

Если же это длится бесконечно, то получаем последовательность вложенных отрезков, где  , ,  .

 

Если же на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, т. е., то существует хотя бы одна такая точка , что .

 

3°. Пусть функция   непрерывна на  и строго возрастает, т.е. если  или . Тогда обратная функция  тоже возрастает, непрерывна и однозначна на .

                                                 ,

Из условия

Аналогично и для строго убывающей функции.

 

§ 6.13. Непрерывность элементарных функций

6.13.1. Непрерывность основных элементарных функций

1. .

2. Степенные функции.

. Рассмотрим . Функция непрерывна, если  при .

Итак,  при . Значит, функция  непрерывна на всей числовой оси.

Полином  – функция непрерывная, т.к. это сумма непрерывных функций.

Соответственно,  будет непрерывна во всех точках, в которых знаменатель не обращается в ноль.

 

3. Тригонометрические функции

 

(1)

 

По определению тригонометрических функций    , ,  .

 

 

Из рисунка следует, что , то есть для  

 

.

В случае    

       .

 

Для любых  

    .                      (2)

Согласно (1)  и  (2)  имеем

,

так как . Поэтому  при      , т.е.  – функция непрерывная на всей числовой оси.

Непрерывность косинуса доказывается  аналогично.

Функция  непрерывна везде, где знаменатель не обращается в .

Котангенс аналогично.

 

4. Обратные тригонометрические функции.

, , .

Если , , то , . Они будут непрерывными и возрастающими соответственно.

Аналогично , , .

 

5. Показательная функция.

, ,

Докажем непрерывность в точке .

При : . Докажем, что . Мы знаем, что .

Пусть , где  – любая числовая последовательность,

  – целая часть числа . Тогда

 и при

(3)

 – это частичная последовательность для последовательности , и  есть подпоследовательность для  .

Последовательность  сходится. Поэтому  любая подпоследовательность будет сходиться к тому же пределу  ,  .

Исходя из (3) и из свойства , имеем  .

Итак, функция непрерывна в точке .

Мы рассмотрели предел справа. Слева предел рассматривается аналогично (взять ).

При .

. Таким образом   при . Тогда  непрерывна на всей числовой оси.

 

6. Логарифмическая функция.

Функция  на любом отрезке непрерывна и строго возрастает при  , поэтому обратная функция  будет возрастать, а т.к. отрезок выбран произвольно, то она будет непрерывна на всей числовой оси.

 

7. Степенная функция.

.

, следовательно  непрерывна при любых , т.к. представляет собой композицию непрерывных функций.

Т е о р е м а. Каждая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Справедливость этого следует из определения элементарных функций.

О п р е д е л е н и е. Элементарными функциями называются функции, которые получаются с помощью четырёх арифметических действий и операции суперпозиции над основными элементарными функциями.

 

 

Замечательными называются следующие пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

Первый замечательный предел .

,

=;  или . Т.к. функция непрерывна, то

Аналогично для .

Вывод:  .

Вследствие .

Для   не существует.

.

Аналогично .

Второй замечательный предел .

Берем , .

 

 

 тогда

 

  

 

Рассмотрим

 

при , .

 

Аналогично

 

 

Отсюда

 

, т. е.

 

С л е д с т в и я:

Третий предел.

 

 

Четвертый предел.

 

 

 

 

Пусть  и  заданы на , а  – точка прикосновения этого множества.  ­- некоторая окрестность этой точки. – функция, заданная на  и при этом , .

О п р е д е л е н и е 1. Если функция  ограничена, т.е. , для  , то функция  называется ограниченной относительно функции  в окрестности .

Очевидно, в этом случае  в этой окрестности .

Символическая запись:  (читать:  равно  большое относительно  в окрестности ).

О п р е д е л е н и е 2. Если в  , то функции  и  называются функциями одного порядка.

В этом случае  и ,  или  ( и  — функции одного порядка в окрестности ).

О п р е д е л е н и е 3. Если функция  при , т.е. является бесконечно малой, то  называется бесконечно малой относительно  при  или в окрестности .

Т.е.  (читать:  равно  малое относительно  в окрестности ).

О п р е д е л е н и е 4. Если функция  при , функции  и  называются эквивалентными  в окрестности .

Символическая запись: .

Если  – бесконечно малая функция, то и  тоже бесконечно малая функция. Тогда  и  называются эквивалентными  бесконечно малыми функциями и .

Если  при , то функцию  называют бесконечно малой порядка  относительно .

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Т е о р е м а 1. Пусть функции ,  бесконечно малые в точке  и при этом существует , тогда существует и  и при этом эти пределы равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Рассмотрим

 

 

 

О п р е д е л е н и е 5.  Бесконечно малая  называется главной частью бесконечно малой  при , если

 

 

Пример:   ,

                            

В общем случае главная часть выделяется неоднозначно, однако существуют условия, при выполнении которых достигается однозначность в главной части.

Методы решения задач, использующих принцип выделения главной части, называется методом выделения главной части. Этот метод чаще всего используется при вычислении пределов функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

реальный анализ — Точки разрыва второго рода

$\begingroup$

У меня есть эта функция $$ е (х) = \ sqrt {2- \ sqrt {х}} $$

и знаем, что эта функция непрерывна на интервале $[0,4]$.

Значит, эта функция разрывна на отрезках $(-\infty,0) \cup (4,+\infty)$.

Вопрос : представляют ли эти интервалы точки разрыва второго рода, потому что в этих точках функция не определена, а пределов в этих точках не существует?

Я прав? Извиняюсь, если этот вопрос звучит странно, я впервые правильно изучаю непрерывность работы. 🙂

• реальный анализ
• исчисление
• пределы
• функции
• непрерывность

$\endgroup$

13

$\begingroup$

Мы не рассматриваем классификацию точек, где функция не имеет определения.

См. эту статью: https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_discontinuities

В частности:

Если функция не является непрерывной в точке своей области определения , то говорят, что она имеет там разрыв.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Функция $f$ называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Область определения $\sqrt{2-\sqrt{x}}$ равна $[0, 4]$, и функция непрерывна в каждой точке $[0, 4]$, поэтому является непрерывной функцией.

Разрыв второго рода – это такой тип неустранимого разрыва, что:

1. Функция не определена только с одной стороны точки

или

2. Боковые пределы не существуют (одна или обе стороны)

В качестве примечания: Если функция не определена по обе стороны от точки $x_0$ , разрыва второго типа нет. Функция всегда непрерывна в изолированных точках.

Подробнее об этом можно прочитать в википедии.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

реальный анализ — Свойства разрыва второго рода

Задавать вопрос

спросил 3 года 10 месяцев назад

Изменено 3 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 813 раз

$\begingroup$ 9-)$ не существует.

Предположим, что $f$ имеет разрыв второго рода на интервале $(a, b)$. Я хочу показать, что существует подинтервал $(c, d)\subseteq (a, b)$ такой, что $f$ не является монотонным на любом интервале $(e, f)\subseteq (c, d)$.

Мы уже знаем, что если $f$ монотонна на любом открытом интервале, то она не может иметь разрывов второго рода.

Не могу понять, как построить интервал вокруг разрыва.