Тождества формулы алгебра: Понятие тождества — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Тождество что это такое в математике, тождество и уравнение в чем отличия

Очень часто в математике встречаются такие слова «тождество», «тождественно равные», «тождественное преобразование». Многие учащиеся путают значения этих слов. Давайте с вами разберемся, что означают эти слова.

В математике и, в более общем плане, в научных областях тождество — это открытие, что два математических объекта (имеющих два разных математических сценария) на самом деле являются одним и тем же объектом. В частности, тождество — это равенство между двумя выражениями, которое истинно независимо от значений различных используемых переменных. Тождества обычно используются для преобразования одного математического выражения в другое, особенно для решения уравнения.

Определение тождества

Равенство, которое является верным при любом значении, входящей в него переменной, называется тождеством. Тождество, как и уравнение, имеет переменную — x, y или любую другую букву. Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что уравнение имеет корень — то есть значение переменной, при которой выполняется данное равенство. А в тождестве равенство должно выполняться при любом значении переменной. То есть, равенство не всегда будет тождеством.

Например, выражение:

является уравнением, поскольку верно только при .

А равенство является и тождеством и уравнением, так как верно при любом значении переменной , и как решение уравнения — — любое число.

Запомни

Тождественно равными называются два выражения, если соответственные значения их равны при любых значениях переменных.

Запомни

Тождественным преобразованием называется замена выражения тождественно равным ему выражением. Например, когда мы раскрываем скобки, то выражение заменяется тождественно ему равным.

Пример: — это тождественное преобразование левой части выражения — получаем тождество.

Уравнение или тождество

Как и уравнение, тождество имеет переменную. Уравнение содержит вопрос: при каких значениях переменной получается равенство. Тождество — это утверждение в том, что равенство верно при любом значении переменной.

Важно!

Тождествами являются равенства, с помощью которых записываются все свойства сложения и умножения (переместительное, распределительное, сочетательное и т.д.)

Определите, где в перечисленных ниже выражениях будет тождество, а где только уравнение.

Вы увидите, что все выражения, кроме третьего, являются уравнениями. А тождество у нас получается только в третьем выражении, так как при раскрытии скобок в правой части уравнения, мы получаем взаимоуничтожение переменных в правой и левой частях равенства, которое остается верным.

Очень часто тождества используются в тригонометрии. Вы можете посмотреть статью на эту тему подробнее: тригонометрические тождества часть 1 и тригонометрические тождества часть 2.

Например, самое известное, так называемое основное тригонометрическое тождество:

— верно при любом значении .

Некоторые алгебраические тождества квалифицируются как «замечательные» и позволяют облегчить вычисление или факторизацию полиномиальных выражений.

Например, замечательное тождество , которое истинно независимо от элементов и (например, относительных целых чисел или поля действительных чисел …), позволяет понять методы вычисления вавилонян для выполнения умножения:

То есть, умножение осуществлялось с помощью вычитания квадратов чисел — для этого у вавилонян имелись таблицы квадратов чисел.

А еще вы можете ознакомиться с основным логарифмическим тождеством. Удачи при изучении математики.

Тождества в алгебре высказываний

Пусть формула А зависит от списка переменных х₁, х₂, …,х_k. Формула А называется тавтологией (тождественно-истинной), если при любом значении переменных х₁, х₂, …,х_k формула А принимает значение истина. То есть, тождества – это такие формулы, которые обращаются в истину при любой комбинации переменных. Рассмотрим основные тождества (законы).

1. Закон тождества. Всякое высказывание является логическим следствием самого себя:

х→х

2. Закон противоречия. Для всякого высказывания х неверно, что истинно само высказывание и его отрицание:

3. Закон исключенного третьего. Для каждого высказывания х истинно само высказывание или его отрицание:

х¬х

4. Закон двойного отрицания. Каково бы ни было высказывание х, отрицание его отрицания эквивалентно самому высказыванию:

¬¬х~х

5. Истина из чего угодно. Если х истина, то каково бы ни было у высказывание у→х – истина:

х→ (у→х)

6. Из ложного – что угодно. Если х истина, то ¬х – ложь. Ложь имплицирует все, что угодно:

¬х→ (х→у)

7. Modus ponens ( правило отделения). Если х истина и х→у – истина, то у – истина:

(х(х→у)) →у

8. Modus tollens (правило устранения). Если х имплицирует у и у ложно, то х ложно:

((х→у) ¬у) →¬х

9. Закон силлогизма. Если из х следует у и из у следует z, то из х следует z:

(x→y)  (y→z) → (x→z)

10. Тривиальные тождества:

Л→А, А→И.

Булевы формулы

Булевыми формулами назовем такие формулы, в которых отсутствуют знаки операций ; ~; . Рассмотрим основные равносильности булевых формул. Эти равносильности носят название законов. Доказательство законов можно провести с помощью таблиц истинностей. Пусть А, В и С – формулы. Тогда для них справедливы следующие законы:

Коммутативные:

АВ = ВА,

АВ = ВА.

Ассоциативные:

А (ВС) = (АВ) С,

А (ВС) = (АВ) С.

Идемпотентности:

АА = А,

АА = А.

Дистрибутивные:

(АВ)С = АС  ВС,

АВС = (АВ)(АС).

Де Моргана:

Двойного отрицания:

7. А  Ā = И, А  Ā = Л,

А  Л = А, А  Л = Л,

А  И = И, А  И = А.

Интерпретации

Определим формальную систему, в которой заданы переменные a, b, c,…; операции над переменными , , ¬; правила построения правильных формул; для придания более общего характера, заменим Л и И на 0 и 1. В результате получим булеву алгебру.

Интерпретации:

Булева алгебра высказываний. Считается, что a, b, c,…- высказывания. Значения 0 и 1 кодируем значениями Л и И. Операции рассматриваются как логические связки НЕ, ИЛИ, И.
Булева алгебра множеств. Считаем, что
a, b, c,…- множества, 0 и 1 интерпретируются как  и Т, а операции: как дополнение ¯, объединение , пересечение .
Булева алгебра событий. Переменные a, b, c,…- представляют события. Событие имеет место или нет. Несомненное событие обозначается 1. Если событие не наступило – 0. Операции представляются символами , , . Здесь  — отрицание события,  — сумма событий,  — произведение событий. Операциям придается определенный смысл. Сумма событий – это событие, которое наступает, когда, по крайней мере, наступает одно из этих событий а, b. Произведение событий – событие, которое наступает тогда, когда оба события имеют место. Алгебра событий является фундаментом теории вероятностей.
Теория электрических цепей. Используются те же самые булевы формулы. Переменные a, b, c,… ставятся в соответствие электрическим цепям. Интерпретация рассматривается с точки зрения проводит цепь ток или нет. Цепь может находиться в двух состояниях: проводимом и не проводимом

Рисунок 4.1 — дизъюнкция

ab – означает параллельное соединение двух цепей, ток проходит, если проводит a или b.

Рисунок 4.2 — конъюнкция

Последовательное соединение цепей — a  b.

Операция отрицания  — способ построения такой цепи, проводимость которой противоположна основной.

Рисунок 4.3 Инвертирование цепи

Рисунок 4.3 — аc  bā  cb

алгебраических тождеств | Brilliant Math & Science Wiki

Мэй Ли, Махиндра Джейн, Ниранджан Хандерия, и

способствовал

Содержимое

Тождества биномиальной теоремы

Факторинг личности 93-3(13)(8) \\
&= 512-312 \\
&= 200.

\ _\квадрат
\end{align}\]

Следующее тождество выполняется для всех действительных чисел \(x\) и \(y:\) \[-7x+4y+11=a(x-2y+1)+b(-2x+3y+3)+c.\] Что такое \(a+b+c?\)
Переписывая личность, мы имеем \[\begin{align}
-7x+4y+11&=a(x-2y+1)+b(-2x+3y+3)+c\\ -7x+4y+11&=(a-2b)x+(-2a+3b)y+(a+3b+c). \конец{выравнивание}\] Это дает следующую систему уравнений: \[\begin{align}
a-2b&=-7\\ -2а+3б&=4\\ а+3b+с&=11. \конец{выравнивание}\] Решение этой системы уравнений дает \[a=13, b=10, c=-32 \подразумевает a+b+c=-93-3abc=6\cdot(14-11)=18.\) \(_\квадрат\)

Процитировать как: Алгебраические тождества. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/алгебраические-идентичности/

Алгебраические тождества — две и три переменные, факторизация

Алгебраические тождества — важный набор формул в математике.

Они составляют основу алгебры и помогают выполнять вычисления простыми и легкими шагами. Некоторые задачи по алгебре требуют выполнения множества математических шагов, чтобы получить ответ. Здесь, используя алгебраические тождества, мы можем производить вычисления без каких-либо дополнительных действий.

Алгебраическое тождество означает, что левая часть уравнения тождественно равна правой части для всех значений переменных. Здесь мы постараемся ознакомиться со всеми алгебраическими тождествами, их доказательствами и тем, как использовать эти тождества в наших математических вычислениях.

1.	Что такое алгебраические тождества?
2.	Два переменных идентификатора
3.	Три переменных идентификатора
4.	Идентичности факторизации
5.	Доказательство алгебраических тождеств
6.	Часто задаваемые вопросы об алгебраических тождествах

Что такое алгебраические тождества?

Алгебраические тождества — это уравнения в алгебре, в которых значение левой части уравнения тождественно равно значению правой части уравнения. Их устраивают любые значения переменных. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять это лучше. Рассмотрим уравнения: 5x — 3 = 12, 10x — 6 = 24 и x 9.0149 2 + 5x + 6 = 0. Эти уравнения удовлетворяют только для определенных значений x и вообще не работают ни для каких значений. Теперь рассмотрим уравнение x ² — 9 = (x + 3)(x — 3). Обратите внимание, что это уравнение выполняется для любого значения x (попробуйте подставить любое число вместо x как слева, так и справа, вы должны получить один и тот же ответ).

Они полезны для решения многочисленных математических задач. Четыре основных тождества алгебры таковы.

(а + б) ² = а ² + 2аб + б ²
(а — б) ² = а ² — 2аб + б ²
(а + b)(а — b) = а ² — б ²
(х + а)(х + Ь) = х ² + х(а + Ь) + аб

Два переменных идентификатора

Ниже приведены тождества в алгебре с двумя переменными. Эти тождества можно легко проверить, расширив квадрат/куб и выполнив полиномиальное умножение. Например, чтобы проверить первое тождество ниже, (a + b) ² = (а + b) (а + b) = а ² + ab + ab + b ² = а ² + 2ab + b ² . Точно так же мы можем проверить и другие тождества.

(а + б) ² = а ² + 2аб + б ²
(а — б) ² = а ² — 2аб + б ²
(а + b)(а — b) = а ² — б ²
(а + б) ³ = а ³ +3а ² б + 3аб ² + б ³
(а — б) ³ = а ³ — 3а ² б + 3аб ² — б ³

Пример: Расширить (2x + y) ² .

Решение:

Чтобы расширить данное выражение, подставьте a = 2x и b = y в (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² ,

(2 ) ² = (2х) ² + 2(2х)(у) + у ²
= 4x ² + 4xy + y ²

Три переменных идентификатора

Алгебраические тождества для трех переменных также были получены точно так же, как были получены тождества для двух переменных. Кроме того, эти тождества помогают легко работать с алгебраическими выражениями с наименьшим количеством шагов.

(a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2ab + 2bc + 2ac
a ² + b ² + c ² = (a + b + c) ² — 2(ab + bc + ac)
a ³ + b ³ + c ³ — 3abc = (a + b + c)(a ² + b ² + c ² — ab — ca — bc) 900
(а + b) (b + c) (c + a) = (a + b + c) (ab + ac + bc) — 2abc

Пример: Когда a + b + c = 0, каково значение a ³ + b ³ + c ³ ?

Решение:

По одному из приведенных выше тождеств,
a ³ + b ³ + c ³ — 3abc = (a + b + c)(a ² + b ² + c ² — ab — ca — bc)
Подставив (a+b+c)=0, получим
a ³ + b ³ + c ³ — 3abc = 0 (a ² + b ² + c ² — ab — ca — bc)
а ³ + б ³ + в ³ — 3abc = 0
a ³ + b ³ + c ³ = 3abc

Помимо тождеств, перечисленных выше, есть и другие алгебраические тождества, которые мы будем использовать в старших классах. Проверьте их на странице Алгебраические формулы тождеств и примеры.

Идентичности факторизации

Алгебраические тождества очень полезны при факторизации алгебраических выражений. Используя эти тождества, некоторые из высших алгебраических выражений, такие как ⁴ — b ⁴ можно легко разложить на множители, используя основные алгебраические тождества, такие как a ² — b ² = (a — b)(a + b). В приведенном ниже списке представлен набор алгебраических тождеств, полезных для факторизации многочленов.

а ² — б ² = (а — б)(а + б)
x ² + x(a + b) + ab = (x + a)(x + b)
а ³ — б ³ = (а — б)(а ² + аб + б ² )
a ³ + b ³ = (a + b)(a ² — ab + b ² )

Пример: a ⁴ — b ⁴ = (a ² ) ² — (b ² ) ²
0 = (а ² — б ² ) (а ² + б ² )
= (a — b)(a + b)(a ² + b ² )

Доказательство алгебраических тождеств

Следующие доказательства алгебраических тождеств помогут нам наглядно понять каждое тождество и лучше понять его. Рассмотрим доказательства каждого из основных алгебраических тождеств.

Доказательство (x + a)(x + b) = x

² + x(a + b) + ab

(x+a)(x+b) есть не что иное, как площадь прямоугольника, стороны которого равны (x+a) и (x+b) соответственно. Площадь прямоугольника со сторонами (x+a) и (x+b) относительно отдельных площадей прямоугольников и квадрата равна x ² , ax, bx и ab. Суммируя все эти площади, мы имеем x ² + ax + bx + ab. Это дает нам доказательство алгебраического тождества (x + a)(x + b) = x ² + ax + bx + ab = x ² + х(а + б) + аб.

Доказательство (a + b)

² = a ² + 2ab + b ²

Алгебраическое выражение (a+b) ² есть не что иное, как (a+b) × (a+b) × +б). Это можно представить в виде квадрата со сторонами (a+b) и площадью (a+b) ² . Квадрат со стороной (a + b) можно представить как четыре области a ² , ab , ab и b ² . Сумма этих площадей a ² + ab + ab + b ² дает площадь большого квадрата (a+b) ² . Следовательно, (a+b) ² = a ² + ab + ab + b ² .

Доказательство (a + b)(a — b) = a

² — b ²

Цель состоит в том, чтобы найти значение a ² — b ² , которое можно принять как разность площадей двух квадратов со сторонами a единиц и b единиц соответственно. Это равно сумме площадей двух прямоугольников, как показано на рисунке ниже.

Один прямоугольник имеет длину a единиц и ширину (a — b) единиц. Берется другой прямоугольник длиной (a — b) и шириной b единиц. Далее берем площади двух прямоугольников и суммируем площади для получения результирующих значений. Соответствующие площади двух прямоугольников равны (a — b) × a = a (a — b) и (a — b) × b = b (a — b). Наконец, мы берем сумму этих площадей, чтобы получить результирующее выражение.

a(a — b) + b(a — b) = (a — b) (a + b)

Следовательно, a ² — b ² = (a — b) (a + b)

Доказательство (a − b)

² = a ² − 2 ab + b ²

Еще раз представим (a — b) ² как площадь квадрата длины ( а — б). Чтобы понять это, давайте начнем с большого квадрата площадью ² . Нам нужно уменьшить длину всех сторон на b, и она станет a — b. Теперь нам нужно удалить лишние биты из ² оставить с (a — b) ² . На рисунке ниже (a — b) ² показано синей областью. Чтобы получить синий квадрат из большего оранжевого квадрата, мы должны вычесть вертикальную и горизонтальную полоски, площадь которых равна ab. Однако удаление ab дважды также удалит перекрывающийся квадрат в правом нижнем углу дважды. Следовательно, мы добавляем b ² . Таким образом, мы имеем (a − b) ² = a ² − ab − ab + b ² . Следовательно, это доказывает алгебраическое тождество (a − b) ² = a ² − 2ab + b ²

Экспоненты
Квадратные уравнения

Часто задаваемые вопросы об алгебраических тождествах

Сколько алгебраических тождеств существует в математике?

В математике есть четыре основных алгебраических тождества . Эти четыре тождества полезны при выполнении многочисленных вычислений, а также при получении многих других тождеств. Четыре тождества следующие.

(а + б) ² = а ² + 2аб + б ²
(а + б) ² = а ² + 2аб + б ²
(а + b)(а — b) = а ^2ic — b ²
(х + а)(х + Ь) = х ² + х(а + Ь) + аб

Кто открыл алгебраические тождества?

Первая форма алгебраических тождеств называлась теорией уравнений. Понятия алгебры были получены персидским математиком, а многочисленные термины алгебры были получены из арабского языка. Рождение алгебры также можно отнести к вавилонянам. Различные формы алгебры — это риторическая алгебра, синкопированная алгебра и символическая алгебра.

Что такое четыре алгебраических тождества?

Ниже приведены четыре наиболее часто используемых алгебраических тождества:

Квадрат суммы двух двучленов
(a + b) ² = (a+b)(a+b) = a ² + 2ab + b ²
Квадрат разности двух двучленов
(a — b) ² =( a-b)(a-b) = a ² — 2ab + b ²
Произведение суммы и разности двух двучленов
(а + б)(а — б) = а ² — б ²
Произведение двух двучленов
(𝑥 + a) (x + b) = x ² + x(a+b) + ab

Используйте калькулятор алгебраических тождеств для решения некоторых задач с алгебраическими тождествами.

В чем разница между алгебраическими тождествами и алгебраическими выражениями?

Существует очень простое различие между алгебраическими тождествами и алгебраическими выражениями. В тождестве алгебры у нас есть знак равенства с выражением с обеих сторон. А в алгебраическом выражении у нас нет знака равенства, и выражение приводит к разным значениям на основе разных входных значений переменных. Пример выражения алгебры: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² , а примером алгебраического выражения является ax ² + bx + c.

Как мы можем проверить алгебраическую идентичность?

Тождества алгебры можно легко проверить двумя способами. Один из них заключается в подстановке значений вместо переменных в алгебраических тождествах. Алгебраическое тождество имеет некоторое выражение по обе стороны от знака равенства. Здесь мы можем подставить значения по обе стороны от знака равенства и попытаться получить одинаковый ответ с обеих сторон. Другой метод состоит в том, чтобы решить алгебраически, чтобы проверить тождество алгебры, манипулируя и упрощая левую часть уравнения, чтобы получить правую часть уравнения.

Для чего используются алгебраические тождества?

Алгебраические тождества имеют многочисленные применения во всех областях математики. Тема алгебры полностью основана на этих тождествах алгебры. Кроме того, такие темы, как геометрия, координатная геометрия, тригонометрия, исчисление, широко используют алгебраические тождества. Они помогают найти решение проблем простыми и легкими шагами.

Читайте также

Умножение алгебраических выражений
Сложение и вычитание алгебраических выражений

Как выучить алгебраические тождества?

Алгебраические тождества можно легко выучить двумя простыми способами:

Их можно легко запомнить, визуализируя тождества в виде квадратов или прямоугольников.
Их также можно запомнить по факторизованным формам, а не по упрощенным формам.
No related posts.