Третий признак равенства треугольников доказательство: Доказательство третьего признака равенства треугольников

Второй и третий признаки равенства треугольников

Содержание

Как мы выяснили несколькими уроками ранее, определять равенство между треугольниками можно задействуя меньше данных о фигурах. Нам удалось познакомиться с одним подобным признаком — по равенству двух сторон и углу между ними. Теперь мы готовы разобрать второй признак равенства треугольников и третий признак. Они пригодятся в течение всего курса геометрии.

Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеются треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$, у которых равны стороны $AB$ и $A_{1}B_1$ и углы при этих сторонах — $\angle{A}=\angle{A_1},~\angle{B}=\angle{B_1}$. Докажем, что треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ равны.

Доказательство. Наложим треугольники друг на друга таким образом, что вершина $A$ совпадет с вершиной $A_1$, а вершины $C$ и $C_1$ будут находиться в одной полуплоскости от стороны $AB$. Поскольку $AB=A_{1}B_1$, вершины $B$ и $B_1$ также совпадут при наложении.

Под вопросом остается расположение вершин $C$ и $C_1$ относительно друг друга. Поскольку $\angle{A}=\angle{A_1},$ по аксиоме откладывания угла равного данному лучи $AC$ и $A_{1}C_1$ будут совпадать. Аналогично совпадение лучей $BC$ и $B_{1}C_{1}$ по равенству углов $\angle{B}=\angle{B_1}$.

Раз лучи совпадают, точка пересечения лучей — вершина $C$, то вершина $C_1$ находится в той же точке, что и вершина $C$. Все три вершины совпадают, а значит треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ равны. Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Даны два треугольника, у которых равны два угла и одна сторона. Можно ли применить второй признак равенства к этому случаю? [[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr. ru/wp-content/uploads/2022/02/test-1.svg","width":"500"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Конечно нет","Конечно да!"],"explanations":["Углы должны быть равны при <b>сторонах</b>, а не в произвольном порядке. На изображениях показаны треугольники, в которых просто совпадает ряд данных. Кто знает, равны они или нет. Однако в целом данных недостаточно для подобных заключений. Ни о каком втором признаке равенства не может быть и речи.","Вы уверены, что внимательно осмотрели чертеж?"],"answer":[0]}}}]}

Совет!

Запоминать полные формулировки теорем признаков равенства треугольников сложно и может вызвать путаницу. Это придет с опытом решения задач. Пока для вас, возможно, будет удобнее использовать фразу «признак равенства треугольников по…».

Например, второй признак равенства кратко можно перефразировать как «признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам». А как бы вы перефразировали первый?

Показать ответ

Скрыть ответ

👍 Все просто: «Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними».

Равнобедренный треугольник: что такое обратная теорема

В точных науках существует понятие обратной теоремы: когда условие исходной теоремы используется в качестве заключения, а заключение — в качестве условия. Чтобы понять, как «работают» обратные теоремы, обратимся для примера к недавно нами доказанной теореме о равнобедренном треугольнике: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Положим, что:

— утверждение $A$ — это «равнобедренность треугольника»;
— утверждение $B$ — это «равенство углов при основании».

Логическая операция, к которой мы будем обращаться далее ($\Rightarrow$), формально называется импликацией (от лат. ‘implicāre’, в переводе — «впутывать»).

Тогда с точки зрения логики мы можем сказать, что из утверждения $A$ следует утверждение $B$: если $A$, то $B$. Или на языке логики — $A\Rightarrow{B}$. В обратной теореме утверждения меняются местами — $B\Rightarrow{A}$, из $B$ следует $A$. В нашем случае читается обратная теорема так: «Если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный».

Давайте проверим ее истинность.

Обратная теорема о равнобедренном треугольнике. Если два угла треугольника при основании равны, то такой треугольник является равнобедренным.

Доказательство

Пусть $\bigtriangleup(ABC)$ — треугольник, в котором углы при основании $AB$ равны: $\angle{A}=\angle{B}$. Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{BAC}$. Они будут равны по второму признаку равенства треугольников: $AB=BA,$ $\angle{A}=\angle{B},$ $\angle{B}=\angle{A}$.

Из данного равенства следует, что $AC=BC$. Стороны при основании равны. Тогда $\bigtriangleup{ABC}$ равнобедренный. Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"$A$ — «вертикальность углов», $B$ — «равенство углов».  Известно, что $A\\Rightarrow{B}$ — «если углы вертикальны, то они равны». Как будет звучать обратное следствие $B\\Rightarrow{A}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если углы равны, то они вертикальны","Углы равны, если они вертикальны"],"explanations":["","😅 Как говорится, от перестановки мест слагаемых сумма не меняется! 
Ваше логическое суждение все так же имеет порядок $A\\Rightarrow{B}$. Вчитайтесь и таки переставьте условие и заключение местами."],"answer":[0]}}}]}

Немного об импликациях

Несмотря на то, что прямое и обратное следствия для равнобедренных треугольников оказались истинными, мы не можем, к примеру, сказать то же про вертикальные углы. Действительно, если углы равны… то они вертикальны? Далеко не факт. Иными словами, истинность импликации не гарантирует истинность обратной импликации.

В быту же законы логики соблюдаются редко: мы все время перемешиваем меж собой заключения и условия и, что страшнее, превращаем корреляции в импликации. Например, всем давно известная корреляция между геймингом и детской жестокостью. Нужно понимать, что корреляция — это не более чем статистическая взаимосвязь случайных величин.

Скажем, автомобилист Гриша на третьем перекрестке по дороге домой всегда попадает на зеленый свет светофора. Имеем ли мы право перейти от случайной корреляции к фактическому следствию «если $A$, то $B$»? То есть сказать: «Если Гриша едет домой, то светофор всегда будет зеленым»?

К сожалению, люди размышляют именно так. Корреляция «часто жестокие дети играют в компьютерные игры» превращается в импликацию «если дети играют в игры, то они становятся жестокими».

Или еще хуже, в обратную импликацию: «если ребенок жестокий, то он играет в компьютерные игры».

Первое дает возможность родителям безапелляционно контролировать детей. Второе — снимать какую-либо ответственность за жестокое поведение ребенка с окружения. Импликация — мощное оружие. Особенно когда она используется вне законов науки логики. Так что в следующий раз, если услышите нечто подобное, можете смело заявить о некорректном переходе от корреляции к импликации.

Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Даны два треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$, в которых $AB=A_{1}B_1,~BC=B_{1}C_1$ и $CA=C_{1}A_1$. Наложим треугольники друг на друга так, чтобы вершина $C_1$ располагалась в одной полуплоскости с вершиной $C$. Поскольку $AB=A_{1}B_1,$ точка $A$ совпадет с точкой $A_1,$ точка $B$ совпадет с точкой $B_1$.

Воспользуемся методом доказательства от противного и предположим, что при наложении точка $C_1$ не лежит ни на луче $BC$, ни на луче $AC$. Тогда между вершинами $C$ и $C_1$ имеется расстояние $CC_1$. Обозначим точку $D$ как середину этого отрезка.

Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{AC_{1}C}$ и $\bigtriangleup{BC_{1}C}$.

Они являются равнобедренными, с общим основанием $CC_1$. В них $AD$ и $BD$ — медианы, поскольку $D$ мы обозначали как середину $CC_1$.

По теореме о медиане равнобедренного треугольника, медианы $AD$ и $BD$ также будут являться высотами соответствующих треугольников. Согласно теореме о единственности перпендикуляра, к точке прямой можно провести только один перпендикуляр. У нас — два перпендикуляра $AD$ и $BD$, к одной точке $D$.

Мы пришли к противоречию. Значит, точка $C_1$ располагается либо на луче $AC$, либо на луче $BC$. Если $C_1\in{AC},$ тогда $C_1$ совпадает с точкой $C$, поскольку $CA=C_{1}A_1$. Точно так же приходим к выводу о совпадении точек $C$ и $C_1,$ если $C_1\in{BC}$. Все три точки совпадают. Треугольники равны.

Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Перед вами — различные пары треугольников. Определите на чертеже, где какой признак равенства. [[matcher-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-2-1.svg"},"matcher-5":{"type":"matcher","labels":["Пара «а»","Пара «b»","Пара «c»"],"items":["Второй признак равенства","Первый признак равенства","Третий признак равенства"]}}}]}

Задача

Попробуйте решить задачу самостоятельно. Ничего страшного, если где-то возникнет заминка: готовое решение находится ниже.

Треугольники $ABC$ и $ABC_1$ равнобедренные, с общим основанием $AB$. Докажите, что треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ равны.

Показать решение

Скрыть решение

Дано:

$\bigtriangleup{ABC},~\bigtriangleup{ABC_1}$
$BC=CA$
$BC_1=C_{1}A$

Найти:

$\bigtriangleup{ACC_1}=\bigtriangleup{BCC_1}$

Решение
Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ACC_1}$ и $\bigtriangleup{BCC_1}$. У них — общая сторона $CC_1$. Поскольку треугольники $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{ABC_1}$ равнобедренные, то в треугольниках $\bigtriangleup{ACC_1}$ и $\bigtriangleup{BCC_1}$ стороны попарно равны: сторона $AC$ равна стороне $BC$, сторона $BC_1$ равна стороне $C_1{}A$. Тогда треугольники $\bigtriangleup{ACC_1}$ и $\bigtriangleup{BCC_1}$ равны по третьему признаку равенства треугольников — по трем сторонам.

Что и требовалось доказать.

Третий признак равенства треугольников





Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
  
\( 1)\:\:AC=A_1C_1\)
\( 2)\:\:AB=A_1B_1\)
\( 3)\:\: BC=B_1C_1\)   
\(\Rightarrow ΔABC=ΔA_1B_1C_1\) по третьему признаку.   

---

  
1. На рисунке \(AB=AD, \;\; BC=CD \).
Доказать: \( ΔABC=ΔACD \)


Показать подсказку Показать решение Видеорешение

  

\( AC \) общая

Дано: \(AB=AD, \;\; BC=CD \).


Доказать: \( ΔABC=ΔACD \)

     Доказательство:

\( 1)\:\: AB=AD \) (по условию)


2) \( BC=CD \) (по условию)
3) \(AC\) общая
\(\Rightarrow ΔABC=ΔACD \) по третьему признаку.



---




---




---

  
2. На рисунке \(AC=BD, \;\; AB=CD \).
Доказать: \( ΔABD=ΔACD \)

Показать подсказку Показать решение Видеорешение

  

\( AD \) общая

Дано: \(AC=BD, \;\; AB=CD \).


Доказать: \( ΔABD=ΔACD \)

     Доказательство:

\( 1)\:\: AC=BD \) (по условию)
2) \( AB=CD \) (по условию)


3) \(AD\) общая
\(\Rightarrow ΔABD=ΔACD \) по третьему признаку.



---




---




---

---

  
3. На рисунке \(AC=BD, \;\; AB=CD \).
Доказать: \( ΔABC=ΔBCD \)

Показать подсказку Показать решение Видеорешение

  

\( BC \) общая

Дано: \(AC=BD, \;\; AB=CD \).


Доказать: \( ΔABC=ΔBCD \)

     Доказательство:

\( 1)\:\: AC=BD \) (по условию)
2) \( AB=CD \) (по условию)
3) \(BC \) общая
\(\Rightarrow ΔABC=ΔBCD \) по третьему признаку.




---




---




---

  
4. На рисунке \(AB=AD, \;\; BC=CD \).
На диагонали \(AC \) четырехугольника \(ABCD \) взята точка \(K . \)
Доказать: \( ΔABK=ΔADK \)

Показать подсказку Показать решение Видеорешение

  

Сначала докажем, что \( ΔABC=ΔACD \)

Дано: \(AB=AD, \;\; BC=CD \).


Доказать: \( ΔABK=ΔADK \)

     Доказательство:

\( 1)\:\: AB=AD \) (по условию)
2) \( BC=CD \) (по условию)
3) \(AC\) общая
\(\Rightarrow ΔABC=ΔACD \) по третьему признаку.

\( 1) \angle BAK=\angle DAK \) так как \(ΔABC=ΔACD \)
\( 2)\:\: AB=AD \) (по условию)
\( 3) \ AK \) Общая
\(\Rightarrow ΔABK=ΔADK \) по первому признаку.
Из равенства треугольников \( ΔABK \ и \ ΔADK \) следует равенство их сторон \(BK \ и \ KD \)
Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.





---




---




---

Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути представляют собой замкнутую непересекающуюся ломаную, треугольник является фигурой с наименьшим числом углов. Другими словами, это самый простой многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе множество загадок и интересных открытий, которым посвящен специальный раздел математики — геометрия. Эта дисциплина преподается в школах с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признаки равенства треугольников.

Первая встреча

Одно из первых правил, с которым знакомятся студенты, звучит так: сумма величин всех углов треугольника равна 180 градусам. Чтобы убедиться в этом, достаточно измерить каждую вершину с помощью транспортира и сложить все полученные значения. Исходя из этого, по двум известным величинам легко определить третью. Например : В треугольнике один из углов равен 70°, а другой — 85°, чему равен третий угол?

180 — 85 — 70 = 25.

Ответ: 25°.

Проблемы могут быть более сложными, если указано только одно значение угла, а второе значение говорит только во сколько или во сколько раз он больше или меньше.

В треугольнике для определения каких-либо его признаков могут быть проведены специальные линии, каждая из которых имеет свое название:

• Высота — перпендикулярная линия, проведенная от вершины к противоположной стороне;
• Все три высоты, проведенные одновременно в центре фигуры, пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от типа треугольника может быть как внутри, так и снаружи;
• Медиана — линия, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны;
• Пересечение медиан является точкой притяжения, находится внутри фигуры;
• Биссектриса — прямая, проходящая от вершины до точки пересечения с противоположной стороной, точка пересечения трех биссектрис — центр вписанной окружности.

Простые истины о треугольниках

Треугольники, как, впрочем, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже было сказано, эта фигура представляет собой простейший многоугольник, но со своими характерными особенностями:

• Против большей стороны всегда находится угол с большей величиной, и наоборот;
• Равные углы лежат на равных сторонах, например, равнобедренный треугольник;
• Сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
• При продолжении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, не смежных с ним;
• Любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

Типы треугольников

Следующий этап знакомства — определение группы, к которой относится изображенный треугольник. Принадлежность к той или иной форме зависит от углов треугольника.

• Равный — с двумя равными сторонами, которые называются боковыми, третья в данном случае выступает в качестве основания фигуры. Углы при основании такого треугольника равны, а медиана, проведенная из вершины, есть биссектриса и высота.
• Правильный или равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.
• Прямоугольный: один из его углов равен 90°. При этом сторона, противоположная этому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
• Остроугольный треугольник — все углы меньше 90°.
• Тупоугольный — один из углов больше 90°.

Равенство и подобие треугольников

В процессе обучения не только рассматривать одну фигуру, но и сравнивать два треугольника. И в этой, казалось бы, простой теме есть масса правил и теорем, по которым можно доказать, что рассматриваемые фигуры являются равными треугольниками. Признаки равенства треугольников имеют следующее определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы равны. При этом равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их прямые сойдутся. Также фигуры могут быть похожими, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся только размером. Для того, чтобы сделать такой вывод о изображенных треугольниках, необходимо соблюсти одно из следующих условий:

• Два угла одной фигуры равны двум углам другой;
• Две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а углы, образованные сторонами, равны;
• Три стороны второй фигуры такие же, как у первой.

Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо, чтобы все элементы обеих фигур имели одинаковые значения, но с помощью теорем задача сильно упрощается, и допускаются лишь некоторые условия доказать равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Задачи по данной теме решаются на основе доказательства теоремы, которая гласит: «Если две стороны треугольника и образуемый ими угол равны двум сторонам и угол другого треугольника, то и фигуры равны».

Как звучит доказательство теоремы о первом признаке равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину, или равны окружности, если они имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками имеется несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно для решения различных геометрических задач.

Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описана выше, но ее доказательство:

• Предположим, треугольники ABC и A ₁ B ₁ C ₁ имеют одинаковые стороны AB и А ₁ В ₁ и, соответственно, ВС и В ₁ С ₁ , причем углы, которые образованы этими сторонами, имеют одинаковую величину, то есть равны. Затем, применяя △ ABC к △ A ₁ B ₁ C _1, получаем совпадение всех прямых и вершин. Отсюда следует, что эти треугольники абсолютно тождественны, а значит, равны друг другу.

Теорему «Первый признак равенства треугольников» еще называют «О двух сторонах и углу». Собственно, в этом его суть.

Вторая характеризационная теорема

Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основано на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А теорема звучит так: «Если сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры тождественны, то есть равны».

Третий знак и доказательство

Если и двойки, и единицы равенства треугольников касаются сторон и углов фигуры, то третья относится только к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: «Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры равны».

Чтобы доказать эту теорему, нам нужно более подробно остановиться на самом определении равенства. В самом деле, что означает выражение «треугольники равны»? Тождество означает, что если наложить одну фигуру на другую, то все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, если их стороны и углы равны. При этом угол, противолежащий одной из сторон, такой же, как и у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что на этом этапе доказательство легко можно перевести в 1 признак равенства треугольников. При несоблюдении такой последовательности равенство треугольников просто невозможно, за исключением случаев, когда фигура является зеркальным отражением первого.

Прямоугольные треугольники

В структуре таких треугольников всегда есть вершины с углом 90°. Следовательно, верны следующие утверждения:

• Треугольники с прямым углом равны, если катет одного равен катету второго;
• Фигуры равны, если равны их гипотенуза и один из катетов;
• Такие треугольники равны, если их стороны и острый угол равны.

Этот атрибут относится к прямоугольным треугольникам. Для доказательства теоремы применим приложение фигур друг к другу, в результате чего треугольники складываются катетами так, что из двух прямых получается развернутый угол со сторонами СА и СА ₁ .

Практическое применение

В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7-го класса по геометрии и планиметрии используется и для расчета длины, например, телефонного кабеля без измерения местности, над которой он пройдет. С помощью этой теоремы легко произвести необходимые расчеты для определения длины острова посредине реки, не пересекая ее. Либо армировать забор, поместив брусок в пролет так, чтобы он делил его на два равных треугольника, либо рассчитать сложные элементы столярных работ, либо при расчете стропильной системы крыши при строительстве.

Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема многим кажется скучной и совершенно ненужной.

Что такое неравенство треугольника? (3 ключевых понятия, которые нужно знать) — JDM Educational

При работе с треугольниками нам часто нужно рассчитать и сравнить длины сторон (в дополнение к углам). Неравенство треугольника — это один из инструментов, который мы можем использовать, чтобы помочь нам.

Итак, что такое неравенство треугольника? Неравенство треугольника связывает длины трех сторон треугольника. В частности, неравенство треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон больше или равна длине третьей стороны. Если длины сторон равны x, y и z, то x + y >= z, x + z >= y и y + z >= x.

Конечно, равенство происходит только с «вырожденным» треугольником, который имеет нулевую площадь (и где самая длинная сторона пересекается с двумя более короткими сторонами).

В этой статье мы поговорим о том, что такое неравенство треугольника и как мы можем его использовать. Мы также ответим на некоторые распространенные вопросы о неравенстве треугольника.

Начнем.

Что такое неравенство треугольника?

Теорема о неравенстве треугольников гласит:

«Для треугольника с длинами сторон x, y и z сумма длин любых двух сторон будет больше или равна длине третьей стороны».

(Более общее утверждение о расстояниях состоит в том, что для действительных чисел x и y |x + y| <= |x| + |y|).

В символах это означает, что выполняются все три следующих уравнения:

• x + y >= z
• x + z >= y
• y + z >= x

Обратите внимание, что это имеет особое значение, связанное с периметром треугольника. длины сторон.

Использование стандартного отклонения

Пожалуйста, включите JavaScript

Использование стандартного отклонения

Неравенство треугольника и периметр треугольника

Для треугольника со сторонами x, y и z периметр просто равен x + y + z . Мы можем использовать неравенство треугольника, чтобы показать:

• x + y + z   [периметр треугольника]
• =(x + y) + z   [группировать члены x и y вместе]
• >= z + z y > [x + z = z, по неравенству треугольника]
• = 2z

Мы можем доказать нечто подобное для x и y. То есть x + y + z >= 2x и x + y + z >= 2y.

По сути, это говорит нам о том, что периметр треугольника как минимум в два раза больше наибольшей стороны .

Почему теорема о неравенстве треугольников верна? (Доказательство неравенства треугольников)

Давайте рассмотрим два разных способа осмысления неравенства треугольников:

• Интуитивное «доказательство», использующее концепцию расстояния между двумя точками.
• Строгое доказательство с использованием алгебры.

Начнем с интуитивного «доказательства».

Интуитивное «доказательство» неравенства треугольников

Рассмотрим любой треугольник, такой как изображенный ниже.

Для треугольника с длинами сторон x, y и z неравенство треугольника говорит нам, что x + y >= z (сумма длин любых двух сторон больше или равна длине третьей стороны).

Представьте, что область внутри и снаружи треугольника заполнена глубокой водой (а вы не умеете плавать!). Чтобы попасть из точки А в точку С, вам придется пройтись по периметру треугольника.

Это можно сделать двумя способами. Вы можете:

• пройти от A до B (расстояние z), а затем от B до C (расстояние x), общее расстояние x + z.
• пешком от A до C (расстояние y)

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия, поэтому y — это кратчайшее расстояние между A и C. Это означает, что x + z должно быть большее расстояние, чем y, поэтому x + z >= y (неравенство треугольника).

Теперь, когда вы понимаете интуицию, лежащую в основе теоремы, вот как доказать теорему о неравенстве треугольников с помощью строгих аргументов.

Строгое доказательство неравенства треугольников

Рассмотрим приведенный ниже треугольник с тремя вершинами, обозначенными A, B, C, и длинами трех сторон, обозначенными x, y, z (x — противоположная вершина A, y — противоположная вершина B, а z — противоположная вершина C).

Здесь у нас есть отмеченный треугольник с вершинами A, B и C и длинами сторон x, y и z.

Сначала нарисуйте пунктирную линию, продолжающую сторону BA треугольника на расстояние y до точки D (как показано ниже).

Сначала продлите линию AB на расстояние y до точки D.

Затем нарисуйте пунктирную линию, соединяющую точку D с точкой C (как показано ниже).

Затем проведите вторую пунктирную линию, соединяющую точку C с точкой D.

Затем обратите внимание, что стороны AD и AC в правом верхнем треугольнике равны, так как они имеют одинаковую длину y. Это означает, что их противоположные углы (угол ACD и угол D) должны быть равны (назовем эту угловую меру «t»).

Затем пометьте угол ACD и угол D как конгруэнтные (назовите этот общий угол «t»).

Теперь обратите внимание, что угол BCD в большом треугольнике больше, чем угол ACD в верхнем правом треугольнике. Кроме того, напомним, что угол ACD равен углу D.  Это означает, что:

• угол BCD > угла ACD = угол D

Таким образом, угол BCD > угла D.

Наконец, обратите внимание, что в большом треугольнике противоположная сторона угла BCD равна y + z, а противоположная сторона угол D равен х.

Поскольку угол BCD > угла D, то y + z > x (для большего угла противоположная сторона должна быть больше).

Другие утверждения (x + y > z и x + z > y) можно доказать аналогичными аргументами.

Почему важна теорема о неравенстве треугольников?

Теорема о неравенстве треугольников важна, потому что мы можем использовать ее, чтобы выяснить, могут ли три длины сторон образовывать жизнеспособный треугольник или нет.

Существуют некоторые комбинации длин трех сторон, которые не образуют правильного треугольника, независимо от того, как вы их переставляете.

Неравенство треугольника также полезно для установления границ сумм при работе с абсолютными значениями или другими мерами.

Работает ли неравенство треугольника с вычитанием?

Мы можем переформулировать теорему о неравенстве треугольника с вычитанием, если это необходимо. Например, мы можем получить два утверждения неравенства вычитания из:

• x + y >= z

Для первого вычесть y с обеих сторон, чтобы получить:

• x >= z – y

Для второго вычесть из x одно сторон, чтобы получить:

• y >= z – x

Мы также можем использовать два других утверждения о неравенстве треугольника (x + z >= y и y + z >= x), чтобы получить четыре других утверждения :

• х >= у – г
• z >= y – x
• y >= x – z
• z >= x – y

Когда выполняется равенство в неравенстве треугольника?

Равенство в треугольнике Неравенство в частном случае вырожденного треугольника. Все это означает, что более короткие стороны (назовем их здесь x и y) перекрываются с самой длинной стороной z.

Этот треугольник вырожден, потому что его площадь равна нулю (нет высоты!) и все углы равны 0, 0 и 180 градусов.

Во всех остальных случаях неравенство треугольника является строгим; то есть x + y > z.

Примеры неравенства треугольника

Давайте рассмотрим несколько примеров того, как мы можем использовать неравенство треугольника, чтобы решить, возможна ли комбинация длин трех сторон. Пример 1: Невозможный треугольник0030

Можем ли мы построить треугольник с такими длинами сторон?

Нет. Неравенство треугольника показывает нам, почему:

• x + y >= z   [по неравенству треугольника]
• 2 + 3 >= 6 (?)
• 5 >= 6 (?)

Последнее утверждение неверно, поэтому оно противоречит неравенству треугольника. Не существует треугольника со сторонами 2, 3 и 6.

*Примечание: верно, что 2 + 6 > 3 и 3 + 6 > 2, но этого недостаточно! Все три утверждения из неравенства треугольника должны выполняться, иначе треугольник невозможен с заданным набором трех длин сторон!

Пример 2: Еще один невозможный треугольник

Рассмотрим следующие длина боковых слов:

• x = 4
• y = 10
• z = 5
9002. ?

Нет. Неравенство треугольника показывает нам, почему:

• x + z >= y   [по неравенству треугольника]
• 4 + 5 >= 10 (?)
• 9 >= 10 (?)

Это последнее утверждение неверно, поэтому оно противоречит неравенству треугольника. Не существует треугольника с длинами сторон 4, 5 и 10.

Пример 3. Треугольник, который может существовать

Рассмотрим следующие длины сторон: z = 4

Можем ли мы построить треугольник с такими длинами сторон?

Да. Все 3 утверждения неравенства треугольника выполняются:

• 2 + 3 >= 4 (это верно)
• 2 + 4 >= 3 (это верно)
• 3 + 4 >= 2 (это верно)
21 A 9 2 Треугольник -3-4 правильный, и мы можем его построить.

Пример 4: Еще один треугольник, который может существовать

, рассмотрим следующие длина боковых средств:

• x = 4
• Y = 4
• Z = 4
. длины?

Да. Все 3 утверждения неравенства треугольника выполняются, поскольку:

• 4 + 4 >= 4 (это верно)

Этот конкретный случай является примером равностороннего треугольника, у которого три равные длины сторон (и таким образом, три равные угловые меры, каждая из которых по 60 градусов).

Равносторонний треугольник со сторонами, равными 4 (и тремя углами по 60 градусов каждый), правильный, и мы можем его построить.

Пример 5. Ограниченный интервал длины стороны треугольника

Рассмотрим треугольник со сторонами x, y и z. Длины сторон y и z равны 1, а x неизвестно.

Заявления о неравенстве треугольника рассказывают нам:

• x + y> = z
• x + z> = y
• y + z> = x

or, upiting y = 1 и x

or, upititing y = 1 и y = 1 и y = 1 и x

or, upititing y = 1 и y = 1 и x

или, ряд y = 1 и x. z = 1:

• x + 1 >= 1
• x + 1 >= 1
• 1 + 1 >= x

:0003

• x >= 0
• x >= 0
• 2 >= x

Объединяя эти утверждения, мы получаем 0 <= x0 = 0 2. вырожденный треугольник с длинами сторон 0, 1, 1.

Случай x = 2 является вырожденным треугольником с длинами сторон 2, 1, 1.

Случаи 0 < x < 2 дают нам бесконечно много правильных треугольников с длинами сторон x, 1, 1. Обратите внимание, что все это равнобедренные треугольники (а в случае x = 1 треугольник равносторонний).

Заключение

Теперь вы знаете, что такое неравенство треугольника и как его использовать. Вы также знаете, как доказать утверждение теоремы.

Здесь вы можете узнать об использовании неравенства в повседневной жизни.

Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.