Тождественные преобразования многочленов
Возведение двучлена в степень
Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.
К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:
(a + b)4
Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена
(a + b)(a + b)3
Сомножитель (a + b)3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений.
Тогда получим:
(a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:
То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b)4 в виде произведения степеней (a + b)2(a + b)2
(a + b)2(a + b)2
Но выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2.
Заменим в выражении (a + b)2(a + b)2 квадраты суммы на многочлен a2 + 2ab + b2
(a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2)
А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:
Возведение трёхчлена в степень
Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.
Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c
(a + b + c)2
Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:
((a + b) + c)2
В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен.
Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Применим эту формулу к нашему примеру:
Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d
(a + b + c + d)2
Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d. Для этого заключим их в скобки:
((a + b) + (c + d))2
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:
Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b)2 + c, где (a + b)2 полный квадрат, а c — некоторое числовое или буквенное выражение.
Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Для начала нужно построить выражение вида a2 + 2ab + b2. Строить мы его будем из трехчлена 4x2 + 16x + 19. Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b
Роль переменной a будет играть член 2x, поскольку первый член трехчлена 4x2 + 16x + 19, а именно 4x2 получается если 2x возвести в квадрат:
(2x)2 = 4x2
Итак, переменная a равна 2x
a = 2x
Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x.
Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x) и второго пока неизвестного нам выражения b. Временно поставим на его место вопросительный знак:
2 × 2x × ? = 16x
Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x, то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x, и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4.
2 × 2x × 4 = 16x
Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4
b = 4
Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
4x2 + 16x + 19 =
Вместо 4x2 записываем (2x)2
4x2 + 16x + 19 = (2x)2
Далее вместо 16x записываем удвоенное произведение, а именно 2 × 2x × 4
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4
Далее прибавляем квадрат второго выражения:
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
А член 19 пока переписываем как есть:
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19
Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x2 + 16x + 19.
Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 к стандартному виду:
(2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 = 4x2 + 16x + 42 + 19
Видим, что получается многочлен 4x2 + 16x + 42 + 19, а должен был получиться 4x2 + 16x + 19. Это по причине того, что член 42 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Чтобы сохранить значение исходного многочлена, нужно после прибавления члена 42 сразу же вычесть его
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42− 42 + 19
Теперь выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b)2.
В нашем случае получится выражение (2x + 4)2
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19
Оставшиеся члены −42 и 19 можно сложить. −42 это −16, отсюда −16 + 19 = 3
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19 = (2x + 4)2 + 3
Значит, 4x2 + 16x + 19 = (2x + 4)2 + 3
Пример 2. Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x2 + 2x + 2
Сначала построим выражение вида a2 +2ab + b2. Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку x2 = x2.
Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x) и второго выражения b (это будет 1).
2 × x × 1 = 2x
Если b = 1, то полным квадратом будет выражение x2 + 2x + 12.
Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x2 + 2x + 12
x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 12 − 12 + 2 = (x + 1)2 + 1
Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.
Рассмотрим следующее числовое выражение:
9 + 6 + 2
Значение этого выражения равно 17
9 + 6 + 2 = 17
Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a2 + 2ab + b2.
Роль переменной a в данном случае играет число 3, поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2, а именно 9 можно представить как 32.
Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1
2 × 3 × 1 = 6
То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 32 + 2 × 3 × 1 + 12. Внедрим его в исходное выражение:
32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2
Свернем полный квадрат, а члены −12 и 2 слóжим:
32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)2 + 1
Получилось выражение (3 + 1)2 + 1, которое по прежнему равно 17
(3 + 1)2+1 = 42 + 1 = 17
Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см
Вычислим площадь каждой фигуры.
Площадь квадрата будет составлять 32 = 9 см2, площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см2, площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см2
Запишем сумму площадей этих прямоугольников:
9 + 6 + 2
Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:
Тогда получается фигура, площадь которой 17 см2. Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.
Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.
Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:
Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника.
Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:
Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?
(3 + 1)2
Выражение (3 + 1)2 равно 16, поскольку 3 + 1 = 4, а 42 = 16. Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(3 + 1)2 = 32 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.
Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:
(3 + 1)2 + 1
Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1)2 + 1.
А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)2 + 1
Выражение (3 + 1)2 + 1, как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17. Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см2.
Пример 4. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 + 6x + 8
x2 + 6x + 8 = x2 + 2 × x × 3 + 32 − 32 + 8 = (x + 3)2 − 1
В некоторых примерах при построении выражения a2 + 2ab + b2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b.
Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 + 3x + 2
Переменной a соответствует x.
Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так:
Получившаяся дробь и содержит значения переменных a и b. Наша задача суметь правильно их распознать. Перепишем эту дробь в виде произведения множителя 2, дроби и переменной x
Теперь второй член представлен в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. Переменная a, как было сказано ранее, равна x. А переменная b равна дроби
Возвращаемся к нашему примеру и прибавляем квадрат второго выражения, и чтобы значение выражения не изменилось, сразу же вычитаем его:
Прибавляем оставшийся член 2
Свернём полный квадрат:
Оставшийся квадрат второго выражения и число 2 можно сложить. В итоге получим:
Пример 6.
Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 9x2 + 18x + 7
Пример 7. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 − 10x + 1
В данном трёхчлене первые два члена связаны знаком «минус». В этом случае как и раньше нужно выделить полный квадрат, но это будет квадрат разности. Проще говоря, нужно построить выражение вида a2 − 2ab + b2.
Пример 8. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 16x2 + 4x + 1
Пример 9. Разложить многочлен x2 + 6x + 8 на множители при помощи выделения полного квадрата.
Сначала выделим полный квадрат:
Получившийся многочлена (x + 3)2 − 1 является разностью квадратов, поскольку единица может быть представлена в виде 12.
Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим многочлен (x + 3)2 − 1 на множители:
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Показать решение
Задание 2. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Показать решение
Задание 3. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Показать решение
Задание 4. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Решение:
Показать решение
Задание 5. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Решение:
Показать решение
Задание 6. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Показать решение
Задание 7. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Показать решение
Задание 8. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Показать решение
Задание 9. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Показать решение
Задание 10.
Решение:
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Джон Х. Линхард Щелкните здесь для прослушивания аудио эпизода 1534.
|
пол это что
сопротивляется гравитации и действует только на наши ноги.
И я слышу отголоски прекрасного старого
высказывание о языке математики:
«Математика позволяет дуракам делать то, что без нее могли бы делать только гении».
Летая в
баллистический Что такое безопасное расстояние следования? (Правило 3-х секунд)
В то время как каждый на дороге должен (теоретически) иметь действительные водительские права, к сожалению, не все имеют одинаковый уровень навыков вождения. Никто не хочет попасть в аварию, поэтому давайте рассмотрим один важный аспект вождения — какова безопасная дистанция?
Понятие «тормозной путь» Сначала поговорим о понятии «тормозной путь».
Тормозной путь — это расстояние, которое требуется вам, чтобы полностью остановить автомобиль в экстренной ситуации, и оно определяется двумя факторами: вашим реакционным расстоянием и вашим тормозным путем .
Реакционный и тормозной путиРасстояние вашей реакции — это расстояние, которое проезжает ваша машина между тем, что происходит на дороге впереди, и вашей реакцией на это.
Так как никто не обладает идеальной реакцией, между моментом, когда что-то происходит, и моментом, когда вы нажмете на тормоз, всегда будет определенное количество времени, даже доли секунды.
Время реакции зависит от нескольких факторов, включая возраст и опыт. Для большинства людей оно находится в диапазоне от 0,2 до 2 секунд.
Если вы едете медленно, расстояние, которое вы преодолеваете, будет минимальным, но если вы едете на скорости, то расстояние, которое ваша машина преодолевает за короткое время, может быть значительным.
Тормозной путь — это расстояние, которое проходит ваш автомобиль после того, как вы нажмете на педаль тормоза, до полной остановки.
Опять же, чем быстрее вы едете, тем больше времени вам потребуется, чтобы полностью остановиться — тормозной путь прямо пропорционален вашей скорости, поэтому, если вы удвоите скорость, вы удвоите свой тормозной путь.
Ваш общий тормозной путь равен вашему пути реакции плюс ваш тормозной путь . Так, например, если что-то произойдет впереди, и вы проедете 20 футов, прежде чем среагировать, а затем еще 20 футов, прежде чем полностью остановить автомобиль, ваш общий тормозной путь составит 40 футов.
Другими словами, с момента, когда впереди что-то происходит, до полной остановки автомобиля вам потребуется 40 футов.
Расчет тормозного пути Существует несколько способов расчета тормозного пути. Один из способов – умножить вашу скорость на определенный коэффициент , который увеличивается вместе с вашей скоростью.
Итак, например, при скорости 20 миль в час вы умножаете на 2, что дает тормозной путь 40 футов. Для 30 миль в час вы умножаете на 2,5, что дает вам 75 футов — и так далее, добавляя 0,5 на каждые дополнительные 10 миль в час скорости.
Тем не менее, это слишком сложно, чтобы думать об этом во время вождения, и в любом случае это только говорит вам о расстоянии, которое вам нужно, чтобы полностью остановиться. При этом не учитывается тот факт, что машина впереди тоже движется.
По этим причинам нам нужен лучший способ расчета безопасного расстояния следования , который не требует вычислений в уме во время вождения.
Правило двух секунд-второе правило.
По сути, правило двух секунд гласит, что вы должны оставаться на целых две секунды позади впереди идущего автомобиля, независимо от скорости, с которой вы едете.
Причина, по которой правило двух секунд работает независимо от вашей скорости, заключается в том, что чем быстрее вы движетесь, тем большее расстояние вы преодолеваете за две секунды.
Это означает, что по мере увеличения вашей скорости расстояние между вами и автомобилем впереди также должно увеличиваться, чтобы оставить требуемый двухсекундный интервал.
Правило двух секунд также учитывает тот факт, что идущему впереди автомобилю потребуется определенное расстояние, чтобы остановиться, что дает вам немного дополнительного времени.
Если вы едете со скоростью 70 миль в час, и машина впереди внезапно полностью остановилась на месте, вы, вероятно, не сможете вовремя остановиться, чтобы не столкнуться с ней.
Однако в реальности такого произойти не может — разве что, например, машина впереди въехала в кузов стоящего большого грузовика и остановилась как вкопанная. Но даже в этом случае правило двух секунд даст вам несколько ценных моментов, чтобы среагировать и самостоятельно избежать аварии, предприняв действия по уклонению.
Как рассчитать двухсекундное расстояние Вычислить двухсекундное расстояние между вами и впереди идущим автомобилем чрезвычайно просто — вот почему этот метод оценки расстояния так полезен и эффективный.
Пока вы едете, просто ориентируйтесь впереди. Это может быть что угодно — фонарный столб, дерево или что-то еще на обочине дороги.
Когда автомобиль впереди проходит точку отсчета, вам нужно засечь две секунды, а затем убедиться, что вы не пройдете точку отсчета до истечения двух секунд.
Вы можете попытаться оценить две секунды в уме, просто считая медленно, но лучший способ, если вы не уверены, что можете точно определить время – это сказать «одна-одна-тысяча-две-одна-тысяча» в нормальная скорость. Это даст вам лучшее приближение к двум секундам.
Если вы обнаружите, что проходите точку отсчета менее чем за две секунды, значит, вы слишком близко и вам следует немного отступить. Если это займет у вас больше двух секунд, все в порядке.
Правило трех секунд Некоторые эксперты считают двухсекундную дистанцию абсолютным минимумом, который вы должны позволять, но предлагают вместо этого применить правило трех секунд, чтобы быть действительно безопасным.
Это означает, что вы даете дополнительную одну секунду расстояния сверх двух секунд, чтобы обеспечить себе дополнительный запас прочности.
По возможности мы советуем следовать правилу трех секунд, а не двух секунд. Осторожность ничего вам не будет стоить, так как вы все равно будете двигаться с той же скоростью, но в этом может заключаться разница между попаданием в аварию и ее предотвращением.
Бывают ли случаи, когда правило трех секунд не применяется?Бывают случаи, когда правило трех секунд не действует, и расстояние между вами и автомобилем впереди может составлять всего три секунды.
Например, в плохую погоду вам следует подумать о том, чтобы расстояние между вами и впереди идущим автомобилем превышало это минимальное расстояние.
Одним из примеров может быть умеренный дождь. В этом случае вам лучше посоветовать удвоить расстояние и использовать «правило шести секунд», считая до шести, прежде чем вы пройдете выбранную точку отсчета.
В условиях очень сильного дождя, снега или гололедицы следует оставлять девятисекундный интервал, и в этих условиях также следует подумать о том, чтобы двигаться намного медленнее, чем в противном случае.
Эти рекомендации довольно очевидны, поскольку безопасное вождение всегда предполагает адаптацию вашего вождения к условиям, но, по крайней мере, рассчитав шести- или девятисекундный тормозной путь, вы гарантируете, что у вас будет достаточно времени, чтобы остановиться, если что-то случается неожиданное.
В следующей таблице показано, как трех- и шестисекундные промежутки между вами и автомобилем впереди преобразуются в расстояние, которое должно быть между вами и автомобилем впереди.
Правило трех секунд Таблица
| Правило трех секунд | Безопасный интервал должен быть | 6 секунд | ||
| Скорость | Пройденное расстояние | Для этих условий | Хорошо | Маргинальный номер |
| 25 миль в час | 37 футов в секунду | 111 футов | 222 фута | |
| 35 миль в час | 52 фута в секунду | 166 футов | 312 футов | |
| 45 миль в час | 66 футов в секунду | 198 футов | 396 футов | |
| 55 миль в час | 81 фут в секунду | 243 фута. | 486 футов | |
| 65 миль в час | 96 футов в секунду | 288 футов | 576 футов | |
| 75 миль в час | 111 футов в секунду | 333 фута | 666 футов | |
| Безопасное расстояние в 9 футах0085 | ||||
Задняя дверь – езда слишком близко к впереди идущей машине – очень опасная практика, как для водителя, так и для автомобиля впереди. К сожалению, многие до сих пор это делают.
На самом деле, вероятность того, что вы въедете в багажник, по крайней мере, частично зависит от таких факторов, как пол, а также тип автомобиля, которым вы управляете, как показано в этой таблице:
| Задний борт | Тип транспортного средства | ||
| Пол водителя | Семейные/экономичные автомобили | Спортивные автомобили | внедорожники |
| Мужской | 13% | 23% | 18% |
| Женский | 13% | 20% | 25% |
Если расстояние между вами и автомобилем, за которым вы следуете, составляет менее рекомендуемых двух-трех секунд, вы рискуете столкнуться с ним сзади, если он внезапно остановится.
Прыжки в хвост тоже могут показаться очень агрессивными. Если за водителем слишком пристально следят, это может заставить его или ее чувствовать давление и даже тревогу.
Тревожные, взволнованные водители более склонны к ошибкам или неправильным решениям, которые могут поставить под угрозу оба автомобиля.
Некоторые водители также агрессивно реагируют на тех, кто едет сзади, точно так же, как некоторые люди злятся, когда вы вторгаетесь в их личное пространство. Распространенной реакцией на отключение заднего хода является внезапное нажатие на тормоз, чтобы замигали стоп-сигналы, а также резко затормозила машина позади.
Очевидно, что это опасный маневр, так как машина позади может не среагировать вовремя, или резкое торможение может привести к тому, что третья машина дальше сзади врежется в задний борт.
Кроме того, закрытие багажника и такого рода резкое торможение для предупреждения водителя, который едет сзади, может легко привести к тому, что один или оба водителя потеряют самообладание, и такое поведение может быстро привести к агрессивному поведению на дороге, более опасному вождению и даже к полномасштабной конфронтации.
Совет ясен – не лезьте в багажник.