1.2. Пределы иррациональных выражений
Пример 1. Пр. 4, Пр. 2
Примечание. При вычислении пределов иррациональных выражений, дающих неопределенности типа или используют введение новой переменной, освобождающей от иррациональности, или преобразование выражения с помощью сопряженного ему. Например, парами взаимно сопряженных выражений будут:
1) и
2) и
3) и которые при вычислении пределов используются в формах:
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Пример 2. Пр.6
Пример 3.
Пример 4.
Примечание. Обратите внимание на то, что при вычислении предела 5 из пункта 2.4.I и 3,4 настоящего пункта, при раскрытии неопределенности и стараются так преобразовать выражение, чтобы дробь можно было сократить на множители стремящийся к нулю.
1.
Пример 1. Пр.2 Пр. 3
Пример 2. EMBED Equation.DSMT4
Пример 3. Пр. 2
Пример 4.
Пример5. Пр.4,Пр.6 Пр.6
Пример 6. (Пр.5)=
Пример 7.
Пример 8.
Пример 9. не определен из-за знака
1)
2) Пр.4
Таким образом, существуют различные односторонние на и на пределы.
1.4. Указания к заданию 5.
Пример. Докажите, что
и
бесконечно малые функции одного порядка при Найдите значение постоянной “C”, при котором они будут эквивалентны.
Решение.
Пр.
Пр. Пр.3 при
1.5. Пример выполнения задания 5.
Определите порядок относительно “x” функции
бесконечно малой при
Решение.
при
— бесконечно малая одного порядка по отношению к , то сеть второго порядка относительно “x”.
1.6. Указания к выполнению задания 7.
При исследовании функции на непрерывность пользуются теоремой о непрерывности элементарных функций там, где они определены; признаком непрерывности фуки в точке когда
(2.19)
При наличии точек разрывов исследуют функции в их окрестности и соответствующим образом классифицируют.
Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность и построить её схематический график, если
Решение. Сначала найдем область определения функции
Область определения симметрична
относительно начала координат, следует
исследовать функцию на признак четности.
функция нечетная и её график симметричен относительно начала координат. Таким образом, достаточно исследовать функцию на промежутке построить график, а затем отобразить его симметрию начала координат.
В точке функция определена справа, поэтому найдем лишь правосторонний предел в ней:
— точка бесконечного разрыва (П-рода), не входит в
На получим
график приближается к оси OX ( =0) снизу при
Для уточнения графика найдем дополнительную точку
Заданная функция элементарная, и область её непрерывности совпадает с областью определения
— область непрерывности.
Строим график для а затем достраиваем для
Раздел недели: Плоские фигуры. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления. / / Виды и правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов Поделиться:
 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коды баннеров проекта DPVA.ru Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.
2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2). 
В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a2 – b2 = (a – b)(a + b) . В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула 
— Как оценить этот предел иррациональной функции?
Глядя на различные комментарии ОП, кажется, что учебники, которым он следует, не очень хорошего качества, и вместо того, чтобы предлагать пошаговый подход к ограничениям, они пытаются научить набору трюков.
Для большинства обычных предельных задач достаточно базовых правил пределов и некоторых стандартных пределов:
1) $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) \pm g(x) = \lim_{ х \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$ 9{x} — 1}{x} = 1,\, \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1$$
Далее мы подходим к конкретному вопросу здесь $$\lim_{h \to 0}\frac{5}{\sqrt{5h + 1} + 1}$$ Нам не нужно думать, рациональная это функция или нет, но просто заметим, что она выражение вида $f(h)/g(h)$, где $f, g$ — некоторые функции, поэтому следует применить правило 3). Ясно, что для числителя $f(h) = 5$ мы видим, что $\lim_{h \to 0} 5 = 5$, и нам нужно проверить, соответствует ли предел знаменателя $g(h) = \sqrt{5h + 1 } + 1$ существует и не равно нулю. Если мы видим форму $g(h)$, она выглядит как сумма двух функций, и, следовательно, можно применить правило 1). Таким образом, мы можем написать
$ \ displaystyle \ begin {align} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {5} {\ sqrt {5h + 1} + 1} & = \ dfrac {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} 5}}{{\displaystyle \lim_{h \to 0}\{\sqrt{5h + 1} + 1\}}}\\ & = \ dfrac {5} {\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}}} \\ & = \ dfrac {5} {\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ sqrt {5h + 1} + \ lim_ {h \ to 0} 1}} \\ &= \frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}\end{aligned}$
Просто для сравнения мы пытаемся вычислить $$\lim_{h \to 0}\ frac{h}{\sqrt{5h + 1} — 1}$$ Если мы будем следовать, как и раньше, мы увидим, что предел как числителя, так и знаменателя равен $0$, и, следовательно, правило 3) не может быть применено именно потому, что предел знаменателя составляет $0$.
Затем пришло время сделать некоторые манипуляции, чтобы данная функция могла быть представлена в форме, которая позволяет избежать ограничения знаменателя $0$. Такая манипуляция выполняется при правильном предположении, что $h \neq 0$. Затем
$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h \to 0}\frac{h}{\sqrt{5h + 1} — 1} &= \lim_{h \to 0}\frac{h}{ \ sqrt {5h + 1} — 1} \ cdot \ frac {\ sqrt {5h + 1} + 1} {\ sqrt {5h + 1} + 1} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{h\{\sqrt{5h + 1} + 1\}}{5h}\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{5h + 1} + 1}{5}\\ &\text{(как в предыдущем примере)}\\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}$
Как видно из различных вопросов об ограничении на этом веб-сайте, большинство новичков в исчислении пытаются использовать такие понятия, как непрерывность, производная, L’Hospital и даже разложение в ряд для решения простые предельные проблемы (большинство ответов, приведенных здесь, также пытаются использовать эти методы). Очень жаль, что новички недооценивают силу простых правил ограничений (упомянутых выше) и переходят на концепции высокого уровня.
ИМХО, новичку, впервые изучающему ограничения, будет лучше, если он совершенно не знает об этих высокоуровневых понятиях (которые в конечном итоге выводятся из более простого понятия пределов) и вместо этого сосредотачивается на правилах пределов.
Можно ли представить каждое иррациональное число как (предел) бесконечной суммы рациональных чисел?
====new edit====
Благодаря ответу Люсьена я обратил внимание на то, что «представленное как бесконечная сумма последовательности рациональных чисел» может быть истолковано двояко. Это может быть просто $x = \sum q_n $, где каждое $q_n$ является рациональным числом. Именно так я это интерпретировал, и именно на этой интерпретации основана остальная часть этого ответа.
Или это можно интерпретировать как $x = \sum $( какое-то хорошее правило, которое дает рациональное число на основе n ). Примеры ОП относятся к этому типу и имеют прогностическое качество. Мы можем использовать их для вычисления значения действительного числа.
Моя интерпретация не может предсказать, какими будут члены $q_n$; просто есть ряда рациональных терминов, которые сходятся к реальному иррациональному х.
Согласно моей интерпретации, все иррациональные могут быть представлены таким образом (ответ ниже). По интерпретации Люсьена, они не могут. Его/Ее причина в том, что существует только счетное множество правил. Я не уверен в этом, но я считаю, что иррациональные неисчислимые делают их «произвольными» и непредсказуемыми. Но мне было бы очень трудно формализовать это.
========== конец нового редактирования ===========
Краткий ответ: Это определение действительного числа.
Длинный ответ:
Фундаментальная теорема анализа состоит в том, что существует упорядоченное поле, которое расширяет рациональные числа так, что поле обладает свойством наименьшей нижней границы. Мы определяем действительные числа как это поле.
Это означает, что по определению каждое действительное число является пределом сходящейся последовательности рациональных чисел.
По определению.
Бесконечные суммы являются пределом конечных сумм. Следовательно, каждое действительное число может быть записано как бесконечная сумма рациональных чисел. Это эквивалентно определению действительного числа.
Доказательство фундаментальной теоремы довольно утомительно и долго. Это несложно, но дело в том, что вы выполняете доказательство до того, как будут определены действительные числа , и определение появится во время доказательства.
Более длинный ответ:
Теорема о фундаменте:
Шаг 1: Определить «разрез» как набор рациональных чисел со свойствами:
i) разрез не пуст. ii) если p находится в разрезе, то каждое рациональное число меньше p находится в разрезе iii) для любого p в разрезе можно найти большее рациональное число, которое находится в разрезе
Таким образом, разрезом могут быть все рациональные числа, меньшие, но не равные 3. Или все рациональные числа, квадраты которых меньше 2. (Первое в конечном итоге будет эквивалентно 3, а последнее в конечном итоге будет эквивалентно в $\sqrt 2$
Шаг 2: Определите a < b, чтобы означать, что разрез a является подмножеством разреза b
Шаг 3: Покажите, что множество всех разрезов, назовем его R~, имеет наименьший верхний связанное свойство.
Блин. Здесь оно становится абстрактным. Свойство наименьшей верхней границы означает, что каждое ограниченное множество в универсальном множестве (например, какими будут вещественные числа, когда мы их определим) имеет четкий предел, который находится в универсальном множестве. , Пример: Q делает , а не имеют свойство наименьшей верхней границы.
Таким образом, у нас может быть множество разрезов, называемых A. Его можно ограничить сверху, что означает разрез b, такой, что все разрезы в A являются подмножествами b. (Помните, что «меньше» означает «является подмножеством»). Объединение всех разрезов в A больше или равно всем разрезам в A. Объединение само по себе является разрезом. Объединение — это наименьший разрез, который больше, чем все разрезы в A. Таким образом, объединение является наименьшей верхней гранью, а R~ обладает свойством наименьшей верхней границы.
Шаг 4: Определите разрез a «+» разрез b как разрез, который содержит суммы элементов из a плюс элементы из b.