Решу математику: Решение задач по высшей математике на заказ

Содержание

Международный конкурс по математике «Я Решаю!»

Докажи, что ты лучший математик, — решай задачи и выигрывай призы!

К участию в конкурсе приглашаются ученики 9-11-х классов из нестоличных городов России (кроме Москвы и Санкт-Петербурга), стран ближнего и дальнего зарубежья

Зачем участвовать?

Призы

Чтобы выиграть призы, среди которых — годовые именные стипендии для учащихся 11-х классов, электронная техника и возможность поступить в Президентский физико-математический лицей №239 — для учащихся 9–10-х классов.

Лекции и общение со специальными гостями

Увлекательные лекции и общение со специальными гостями — выдающимися математиками, экспертами в области высоких технологий, заслуженными деятелями науки и образования.

Перспективы

Чтобы проверить свои знания, заявить о себе и открыть новые перспективы получения высшего технического образования в любом из ведущих вузов.

Этапы

1-й онлайн-тур: 05 сентября — 14 ноября 2022 года
2-й онлайн-тур: 24 ноября — 09 декабря 2022 года
3-й (финальный) тур: 28-29 января 2023 года

Подробнее

Конкурсные задания

Задания составлены на основе российской общеобразовательной школьной программы по математике и аналогичны олимпиадным. Задания будут доступны к прохождению с 5 сентября.
1-й отборочный тур включает восемь заданий: три с вариантами ответов и пять открытых. Продолжительность выполнения заданий составляет 90 минут (скорость не учитывается).
Определяющим фактором для выхода во 2-й отборочный тур является количество правильных ответов. 2-й тур конкурса включает 8 открытых заданий, ранжированных по сложности. Продолжительность выполнения – 180 минут. Победители этого этапа проходят в финальный тур для выполнения заданий.

Подробнее

Организатор

GS Group — российский инвестиционно-промышленный холдинг, ведущий деятельность на базе собственных высоких технологий в сфере телекоммуникаций и инноваций

Подробнее об организаторе

Все фото

Все видео

Один шаг до победы: названы финалисты IX Международного конкурса по математике для старшеклассников «Я Решаю!»

В финал выходят 34 школьника из 15 регионов России. Кто из них станет лучшим юным математиком, определится 29 января.

20 Декабря 2022

Покоряя царицу наук: объявлены результаты 1-го тура конкурса по математике «Я Решаю!»

Стали известны результаты 1-го этапа IX Международного конкурса по математике для старшеклассников «Я Решаю!». Второй год подряд география проекта выходит за пределы Евразии — на конкурс зарегистрировались школьники из 19 стран мира. Во втором туре борьбу продолжат 660 участников.

22 Ноября 2022

Все новости

Мы в соцсетях

Будь в курсе первым —
подпишись на рассылку!

Партнеры

Президентский физико-математический лицей № 239 (Санкт-Петербург)

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Межрегиональный институт экономики и права при Межпарламентской ассамблее ЕврАзЭс

Институт программных систем РАН (Переславль-Залесский)

«Скажу честно: я пашу как лошадь»: как готовятся к профильному ЕГЭ по математике

Саша Панеева учится в обычной подмосковной школе и в этом году сдаёт профильный ЕГЭ по математике. По ночам ей снятся занятия, а от задач и уравнений она отдыхает, готовясь к другим экзаменам. Саша рассказала «Мелу», как готовится к одному из самых сложных ЕГЭ и почему это того стоит.

«Как только у меня появляется свободная минута, я решаю математику»

Сдавать профильный экзамен по математике я решила ещё в начале десятого класса. С базовой математикой берут только в гуманитарные вузы, а я хочу поступать в технический. Основные надежды связываю с двумя направлениями: ядерные реакторы и материалы и проектирование авиационных и ракетных двигателей.

Ещё год назад я считала, что у меня высокий уровень подготовки. Сделала специальное расписание, когда именно готовлюсь, собиралась уделять математике несколько дней на неделе. В школе по алгебре и геометрии я получала только четвёрки и пятёрки, но оказалось, мои знания были ниже плинтуса. Мама нашла репетитора. Начался треш.

Скажу честно: я пашу как лошадь. Вот мой обычный день: прихожу в школу, занимаюсь там математикой, потом иду домой и решаю задачи до 11–12 часов вечера. В день выходит не менее пяти часов.

В выходные я могу сесть за математику в девять-десять часов утра и закончить в полночь. Делаю два-три перерыва, чтобы поесть

По ночам мне иногда снится, как я решаю задачи, которые не успела пройти днём. Постоянно беру тетради с задачами в школу — учителя уже привыкли, что я решаю математику практически на всех уроках.

Забавно, но даже на школьных уроках по математике я решаю то, что задал репетитор, а не задания учителя в классе. У моего репетитора очень объёмные задания. Чтобы их выполнить, мне нужно отдавать математике почти всё свободное время. Поэтому, как только появляется свободная минута, я возвращаюсь к подготовке.

Если мне удаётся куда-то выбраться, я обязательно беру с собой математику. Вдохновение для решения задач может прийти в любом месте. Даже в пальто у меня лежат какие-то шпоры. Когда я иду к репетитору, по дороге повторяю материалы, которые она мне даёт. У меня есть несколько листов теории по стереометрии, по планиметрии. Я читаю их на ходу, даже на дорогу не смотрю. Знаю, это может быть похоже на паранойю, но, к сожалению, иначе никак.

Саша Панеева

Когда мои знания были на низком уровне, я говорила себе: нужно готовиться, нужно стараться, если я буду долбить математику постоянно, что-нибудь да получится. Мне кажется, человеку страшно, если только он не готовится к экзаменам.

Сейчас я уже на таком уровне подготовки, когда все темы пройдены и остаётся только систематически решать. Я практически не волнуюсь и просто хочу, чтобы всё закончилось. Я уже ничего не чувствую — ни волнения перед экзаменом, ни радости от правильно решённой задачи. Хочется сдать и порадоваться, что ты наконец показал, на что способен, можно выдохнуть спокойно.

«Задания профильного ЕГЭ — это уровень первых курсов технических вузов»

Подготовиться к профилю по математике самостоятельно, на мой взгляд, можно, только если ты крутой олимпиадник и семи пядей во лбу. И в принципе не знаешь, что такое другая оценка по математике, кроме пятёрки. В остальных случаях — нет.

Попробую объяснить, почему на подготовку уходит так много времени. Репетитор даёт мне задания по тематическим блокам, например по логарифмическим неравенствам. Репетитор может дать мне всего десять неравенств, но на их решение я потрачу около трёх часов.

Это непростые темы из второй части экзамена, которая оценивается гораздо выше первой. С ними есть шанс набрать больше 70 баллов. Это минимальный порог, с которым примут в приличный технический вуз (но, конечно, лучше набрать более 80). Чтобы их пройти, нужно знать темы, которых нет в школьной программе.

В ЕГЭ не просто много заданий по темам, которые в школе не проходят. Задания профильного экзамена — это уровень первых курсов технических вузов. В остальных случаях тебе обязательно будет нужен человек, который научит решать нестандартные варианты.

Базовый экзамен по математике проверяет основные знания по предмету. Если в школе ты учился хорошо, то к нему особо готовиться не нужно

Я знаю все темы, которые могут быть на экзамене. Одно из моих любимых заданий — задача на параметры. Многие ученики не понимают, как её решать, потому что в школах параметры не проходят.

Последнюю в экзамене задачу № 19 решить могут, наверное, только олимпиадники. Она проверяет владение логикой больше, чем математику. Подобное не то что в школах не разбирают — даже для многих репетиторов это слишком мудрёно.

Если на экзамене у меня останется 30 минут свободного времени, я попробую свои силы. Но большинство до этой задачи просто не доходит, потому что не успевает решить предыдущие.

«От математики я отвлекаюсь, готовясь к другим ЕГЭ»

Я учусь в техническом классе обычной подмосковной школы, но профильную математику у нас сдают практически все. При этом все знают, в какие вузы и на какие конкретно направления поступают. Сложно сказать, сдают они профиль по собственной воле или заставляют родители.

Целенаправленной подготовки к ЕГЭ по математике даже в моём техническом классе нет. Школа не обязана готовить к экзамену

Но у нас очень хорошая учительница. Каждую неделю она проводит электив и регулярно присылает через электронный дневник подборки задач, которые мы разбираем. Если бы я не занималась с репетитором, то эта подготовка в школе была бы очень полезна.

Лучше всего со стрессом мне помогают справиться друзья. Когда я с ними общаюсь, у меня улучшается настроение, я расслабляюсь, становится легче. Когда все говорят: «Ты сдашь, ты справишься и поступишь», в душе ликуешь, хоть и немного сомневаешься в себе.

Сейчас из-за подготовки к экзаменам я перестала гулять с друзьями. Постоянно сижу дома за столом и решаю. От математики отвлекаюсь, в основном готовясь к другим ЕГЭ — по русскому и физике. Стараюсь находить время для своего хобби — люблю рисовать (я окончила художественную школу). Обычно делаю это по вечерам перед сном.

Как выбрать репетитора и какие задания решать

Если вы учитесь в восьмом-девятом классе, то лучше постараться сменить школу с обычной на профильную с углублённой подготовкой, желательно московскую. Особенно это касается школ в маленьких городах и сёлах. Мне кажется, там подготовиться к профильному ЕГЭ по математике просто нереально, а от школы очень многое зависит (знаю на собственном опыте).
Если вы учитесь в 10-м классе и перевестись в другую школу проблематично, советую начать готовиться прямо сейчас, в эту самую минуту. Конечно, в десятом классе это затруднительно: многие темы из ЕГЭ ещё не пройдены по школьной программе. Но если вы начнёте заранее и не будете жалеть на это сил, то, скорее всего, сдадите профиль на 80+.
Начинать готовиться за два года до экзамена — идеальный вариант ещё и потому, что ты не напряжён из-за подготовки к другим экзаменам. У тебя есть дополнительные летние каникулы, во время которых уроки не будут мешать усиленной подготовке.
Что касается выбора репетитора, скажу так: это не ты выбираешь репетитора, а он выбирает тебя. Когда я пришла к репетитору, она сразу предупредила: если буду бездельничать, ныть и привередничать, не решать и не учить то, что она мне даёт, она не будет со мной работать. Материала хватает с лихвой. Я точно знают, что так организовать себя и своё время при подготовке к экзаменам самостоятельно я бы не смогла.

Если говорить непосредственно про экзамен, то не нужно оставлять без внимания задания второй части. Многие репетиторы ограничиваются только первой частью, но именно за вторую можно получить больше баллов. Если вы решаете только первую, не ждите больше 60 баллов.
По моему опыту, во второй части нужно обратить внимание на задания 13, 15 и 17. Они легче остальных — реально решить, даже если готовишься самостоятельно.

Пособия, которые я использую для подготовки

1. Сайт «Решу ЕГЭ»: там есть разборы сложных заданий, по которым можно самостоятельно готовиться ко второй части профильного экзамена по математике.

2. Из бумажных пособий полезны книги для подготовки к профильному ЕГЭ по математике Ф. Ф. Лысенко. Причём я решаю задания не только из сборника за последний год, но и за предыдущие. Это помогает набить руку.

3. Официальные пособия ФИПИ под редакцией И. В. Ященко.

4. Пособия Ю. В. Садовничего — в них очень сложные, уникальные задания для тех, кто нацелен только на высокий балл.

5. Пособия под редакцией Д. А. Мальцева.

Журнал Quanta

В этой колонке есть предупреждение: не пытайтесь решить эту математическую задачу.

Вы будете искушены. Эта проблема просто сформулирована, легко понятна и слишком привлекательна. Просто выберите число, любое число: если число четное, сократите его пополам; если оно нечетное, утройте его и прибавьте 1. Возьмите это новое число и повторите процесс снова и снова. Если вы продолжите в том же духе, вы в конечном итоге застрянете в петле. По крайней мере, это то, что мы думаем, произойдет.

Возьмем, к примеру, 10: 10 четно, поэтому мы разделим его пополам, чтобы получить 5. Поскольку 5 нечетно, мы утроим его и прибавим 1. Теперь у нас есть четное число 16, поэтому мы разделим его пополам, чтобы получить 8, затем разделите его пополам, чтобы получить 4, затем еще раз пополам, чтобы получить 2, и еще раз, чтобы получить 1. Поскольку 1 нечетная, мы утраиваем ее и прибавляем 1. Теперь мы вернулись к 4, и мы знаем, куда это идет: 4 идет к 2, который идет к 1, который идет к 4, и так далее. Мы застряли в петле.

Или попробуйте 11: это нечетно, поэтому мы утроим его и добавим 1. Теперь у нас есть 34, что является четным, поэтому мы разделим его пополам, чтобы получить 17, утроим и прибавим 1, чтобы получить 52, уменьшим вдвое, чтобы получить 26, и снова чтобы получить 13, утроить и добавить 1, чтобы получить 40, разделить пополам, чтобы получить 20, затем 10, затем 5, утроить и добавить 1, чтобы получить 16, и разделить пополам, чтобы получить 8, затем 4, 2 и 1. И мы снова попали в петлю.

Печально известная гипотеза Коллатца гласит, что если вы начнете с любого положительного целого числа, вы всегда окажетесь в этом цикле. И вы, вероятно, проигнорируете мое предупреждение о попытке решить ее: она кажется слишком простой и слишком упорядоченной, чтобы сопротивляться ее пониманию. На самом деле, трудно найти математика, который не занимался бы этой проблемой.

Я не мог игнорировать это, когда впервые узнал об этом в школе. Мои друзья и я целыми днями обменивались захватывающими идеями, которые, казалось, так и не приблизили нас к ответу. Но гипотеза Коллатца печально известна по одной причине: даже несмотря на то, что каждое число, которое когда-либо пробовали, попадает в этот цикл, мы все еще не уверены, что оно всегда верно. Несмотря на все внимание, это все еще только предположение.

Тем не менее, прогресс был достигнут. Один из величайших ныне живущих математиков проигнорировал все предупреждения и взялся за дело, добившись самых больших успехов в решении проблемы за последние десятилетия. Давайте посмотрим, что делает эту простую задачу такой сложной.

Чтобы понять гипотезу Коллатца, начнем со следующей функции:

$latex f(n) = \begin{cases}
n / 2 & \text{если $n$ четно } \\
3n +1 & \text{если $n$ нечетно }
\end{cases}\ $

Возможно, вы помните «кусочные» функции из школы: приведенная выше функция принимает входные данные n и применяет к ним одно из двух правил. , в зависимости от того, является ли вход нечетным или четным. Эта функция f реализует правила описанной выше процедуры: например, f (10) = 10/2 = 5, так как 10 четно, и f (5) = 3 × 5 + 1 = 16, так как 5 нечетно. Из-за правила нечетных входных данных гипотеза Коллатца также известна как гипотеза 3 n + 1.

Гипотеза Коллатца имеет дело с «орбитами» этой функции f . Орбита — это то, что вы получите, если начнете с числа и будете многократно применять функцию, принимая каждый вывод и возвращая его обратно в функцию в качестве нового ввода. Мы называем это «итерацией» функции. Мы уже начали вычислять орбиту 10 меньше f , поэтому давайте найдем следующие несколько членов:

f (10) = 10/2 = 5
f (5) = 3 × 5 + 1 = 16
f
(6) = 16 /2 = 8
f (8) = 8/2 = 4

Орбиту удобно представлять в виде последовательности со стрелками. Вот орбита 10 под f :

10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → …

В конце мы видим, что застряли в петле 1 → 4 → 2 → 1 → ….

Аналогично орбита для 11 до f можно представить как

11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → ….

Мы снова попадаем в ту же петлю. Попробуйте еще несколько примеров, и вы увидите, что орбита, кажется, всегда стабилизируется в этом цикле 4 → 2 → 1 → … . Начальные значения 9 и 19 — это весело, и если у вас есть несколько свободных минут, попробуйте 27. Если ваши арифметические расчеты верны, вы доберетесь до него через 111 шагов.

Гипотеза Коллатца утверждает, что орбита каждого числа меньше f в конце концов достигает 1. И хотя гипотезу никто не доказал, она подтверждалась для каждого числа меньше 2 ⁶⁸ . Так что, если вы ищете контрпример, вы можете начать с 300 квинтиллионов. (Вы были предупреждены!)

Легко проверить, что гипотеза Коллатца верна для любого конкретного числа: просто вычисляйте орбиту, пока не получите 1. Но чтобы понять, почему это трудно доказать для каждого числа, давайте рассмотрим несколько более простую гипотезу. функция, ℊ .

$latex g(n) = \begin{cases}
n / 2 & \text{если $n$ четно} \\
n+1 & \text{если $n$ нечетно }
\end{ case}\ $

Функция ℊ похожа на f , но для нечетных чисел она просто добавляет 1, а не утраивает их сначала. Поскольку ℊ и f являются разными функциями, числа имеют разные орбиты при ℊ и при f . Например, вот орбиты 10 и 11 под ℊ :

10 → 5 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1 → 2 → 1 → 2 → …
11 → 12 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1 → 2 → 1 → 2 → …

Обратите внимание, что орбита из 11 достигает 1 быстрее при ℊ , чем при f . Орбита 27 также достигает 1 намного быстрее при ℊ.

27 → 28 → 14 → 7 → 8 → 4 → 2 → 1 → 2 → … цикл:

→ 2 → 1 → 2 → 1 → ….

Мы можем предположить, что орбиты меньше ℊ всегда достигают 1. Я назову это гипотезой Ноллатца, но мы также можем назвать ее гипотезой n + 1. Мы могли бы исследовать это, проверив больше орбит, но знание того, что что-то верно для группы чисел — даже 2 ⁶⁸ из них, — не является доказательством того, что это верно для каждого числа. К счастью, гипотезу Ноллатца можно доказать. Вот как.

Во-первых, мы знаем, что половина положительного целого числа всегда меньше самого целого числа. Итак, если n четное и положительное, тогда ℊ ( n ) = n /2 < n. Другими словами, когда орбита достигает четного числа, следующее число всегда будет меньше.

Теперь, если n нечетно, то ℊ ( n ) = n + 1, что больше, чем n . Но поскольку n нечетно, n + 1 четно, и поэтому мы знаем, куда дальше пойдет орбита: ℊ сократит n + 1 пополам. за нечетное n орбита будет выглядеть так:

… → n → n + 1 → $latex \frac{n+1}{2}$ → …

Обратите внимание, что $latex \frac{n+ 1}{2}$ = $латекс \frac{n}{2}$ + $латекс \frac{1}{2}$. Поскольку $latex \frac{n}{2}$ < n и $latex \frac{1}{2}$ мал, $latex \frac{n}{2}$ + $latex \frac{1} {2}$ также, вероятно, меньше n . Фактически, некоторая простая теория чисел может показать нам, что пока n > 1, всегда верно, что $latex \frac{n}{2}$ + $latex \frac{1}{2}$< п .

Это говорит нам о том, что когда орбита меньше ℊ достигает нечетного числа больше 1, мы всегда будем на меньшее число двумя шагами позже. А теперь мы можем набросать доказательство гипотезы Ноллатца: в любом месте нашей орбиты, будь то четное или нечетное число, мы будем двигаться вниз. Единственным исключением является случай, когда мы нажимаем 1 в нижней части нашего спуска. Но как только мы достигнем 1, мы замкнем петлю, как и предполагали.

Может ли аналогичный аргумент работать для гипотезы Коллатца? Вернемся к исходной функции.

$latex f(n) = \begin{cases}
n / 2 & \text{если $n$ четно} \\
3n+1 & \text{если $n$ нечетно }
\end{ case}\ $

Как и в случае ℊ , применение f к четному числу уменьшает его. И, как и в случае с ℊ , применение f к нечетному числу дает четное число, а это значит, что мы знаем, что произойдет дальше: f сократит новое число вдвое. Вот как выглядит орбита под f , когда n нечетно:

… → n → 3 n + 1 → $latex \frac{3n+1}{2}$ → …

Но здесь наш аргумент разваливается. В отличие от нашего примера выше, это число больше n : $latex \frac{3n+1}{2}$ = $latex \frac{3n}{2}$ + $latex \frac{1}{2} $ и $latex \frac{3n}{2}$ = 1,5 n , что всегда больше n . Ключ к нашему доказательству гипотезы Ноллатца заключался в том, что нечетное число должно стать меньше двумя шагами позже, но в случае Коллатца это неверно. Наш аргумент не сработает.

Если вы похожи на меня и моих школьных друзей, то, возможно, вам сейчас интересно доказать, что гипотеза Коллатца неверна: в конце концов, если орбита продолжает увеличиваться, то как она может уменьшиться до 1? Но этот аргумент требует размышлений о том, что произойдет дальше, и то, что произойдет дальше, проливает свет на то, почему гипотеза Коллатца такая скользкая: мы не можем быть уверены, четно ли $latex \frac{3n+1}{2}$ , или нечетно.

Мы знаем, что 3 n + 1 четно. Если 3 n + 1 тоже делится на 4, то $latex \frac{3n+1}{2}$ также четно, и орбита упадет. Но если 3 n + 1 не делится на 4, то $latex \frac{3n+1}{2}$ нечетно, и орбита будет подниматься. Как правило, мы не можем предсказать, что будет правдой, поэтому наш спор застопорится.

Но этот подход не совсем бесполезен. Поскольку половина всех натуральных чисел четные, существует 50%-ная вероятность того, что $latex \frac{3n+1}{2}$ четно, что делает следующий шаг на орбите $latex \frac{3n+1}{4 }$. Для n > 1 это меньше, чем n , поэтому в половине случаев нечетное число должно уменьшаться после двух шагов. Также существует 50 %-й шанс, что $latex \frac{3n+1}{4}$ является четным, что означает 25 %-й шанс, что нечетное число будет уменьшено до менее чем половины исходного значения после трех шагов. И так далее. Конечным результатом является то, что в среднем орбиты Коллатца уменьшаются, когда они сталкиваются с нечетным числом. А поскольку орбиты Коллатца всегда уменьшаются при четных числах, это предполагает, что все последовательности Коллатца должны уменьшаться в долгосрочной перспективе. Этот вероятностный аргумент широко известен, но никому не удалось распространить его на полное доказательство гипотезы.

Однако несколько математиков доказали, что гипотеза Коллатца верна «почти всегда». Это означает, что они доказали, что относительно количества чисел, которые, как они знают, ведут к 1, количество чисел, в которых они не уверены, ничтожно мало. В 1976 году эстонско-американский математик Рихо Террас доказал, что после многократного применения функции Коллатца почти все числа в конечном итоге оказываются ниже того, с чего они начинались. Как мы видели выше, показать, что числа на орбите постоянно уменьшаются, — это один из способов показать, что они в конечном итоге достигают 1.

А в 2019 году Теренс Тао, один из величайших ныне живущих математиков, улучшил этот результат. Там, где Террас доказал, что почти для всех чисел последовательность Коллатца n заканчивается ниже n , Тао доказал, что почти для всех чисел последовательность Коллатца n заканчивается намного ниже: ниже $latex \frac{n}{ 2}$, ниже $latex \sqrt{n}$, ниже $latex \ln n$ (натуральный логарифм n ), даже ниже каждого f ( n ), где f ( x ) – это любая функция, которая уходит в бесконечность, независимо от того, насколько медленно. То есть почти для каждого числа мы можем гарантировать, что его последовательность Коллатца будет настолько низкой, насколько нам нужно. Говоря о проблеме, Тао сказал, что этот результат «настолько близок, насколько можно приблизиться к гипотезе Коллатца, не решая ее».

Несмотря на это, гипотеза будет по-прежнему привлекать математиков и энтузиастов. Так что выберите число, любое число, и дайте ему попробовать. Просто помните, вас предупредили: не зацикливайтесь на бесконечном цикле.

Упражнения

1. Покажите, что существует бесконечно много чисел, орбиты Коллатца которых проходят через 1.

2. «Время остановки» числа n — это наименьшее количество шагов, которое требуется для орбиты Коллатца числа . n , чтобы достичь 1. Например, время остановки 10 равно 6, а время остановки 11 равно 14. Найдите два числа со временем остановки 5.

3. В недавнем докладе о гипотезе Коллатца Терренс Тао упомянул следующую функцию типа Коллатца:

$latex h(n) = \begin{cases}
n / 2 & \text{если $n$ четно} \\
3n-1 & \text{если $n$ нечетно }
\end{ case}\ $

Тао указывает, что помимо петли 1 → 2 → 1 → 2 → 1… появляются еще две петли. Вы можете найти их?

Ответы

Нажмите для ответа 1:

Обратите внимание, что каждая степень числа 2 имеет простой орбитальный путь к 1. Например,

2 ⁴ → 2 ³ → 2 ^{→ 2}

…

Поскольку существует бесконечно много степеней двойки, существует бесконечно много чисел, орбиты Коллатца которых проходят через 1.

Нажмите для ответа 2:

Обратите внимание, что 2 ⁵ имеет время остановки 5, так как 2 ⁵ → 2 ⁴ → 2 ³ → 2 ² → . 2 → 1. А так как 2 ⁴ имеет время остановки 4, любое число, которое находится в одном шаге от 2 ⁴, имеет время остановки 5. Например, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Могут ли быть другие?

Щелкните для ответа 3:

Остальные петли:

5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5 → …

17 → 50 → 25 → 74 → 37 → 110 → 55 → 164 → 82 → 41 → 122 → 61 → 182 → 91 → 272 → 136 → 68 → 34 → 17 → ….

Решение (некоторых) формальных математических олимпиадных задач

Мы создали нейронный доказатель теорем для бережливого производства, который научился решать множество сложных олимпиадных задач для старших классов, включая задачи из соревнований AMC12 и AIME, а также две задачи, адаптированные из ИМО.

^[1] Доказательство использует языковую модель для поиска доказательств формальных утверждений. Каждый раз, когда мы находим новое доказательство, мы используем его в качестве новых данных для обучения, что улучшает нейронную сеть и позволяет ей итеративно находить решения для все более и более сложных утверждений.
Read Paper
Мы достигли нового уровня техники (41,2% против 29,3%) в тесте miniF2F, сложном сборнике олимпиадных задач для старшеклассников. Наш подход, который мы называем утверждением учебной программы обучения , состоит из ручного сбора набора утверждений разного уровня сложности (без доказательств), где самые сложные утверждения аналогичны контрольному показателю, на который мы ориентируемся. Изначально наш нейронный прувер слаб и может доказать только некоторые из них. Мы многократно ищем новые доказательства и переобучаем нашу нейронную сеть на недавно обнаруженных доказательствах, и после 8 итераций наш доказывающий оказывается значительно лучше при тестировании на miniF2F.

Формальная математика — захватывающая область для изучения из-за (i) ее богатства, позволяющего доказывать произвольные теоремы, требующие рассуждений, творчества и проницательности, и (ii) ее сходства с играми — в которых ИИ добился впечатляющих успехов — в том, что он автоматизированный способ определения того, успешно ли доказательство (т. е. проверено формальной системой). Как показано в тривиальном примере ниже, доказательство формального утверждения требует создания последовательности шагов доказательства, каждый шаг доказательства состоит в вызове тактики. ^[2] Эти тактики используют математические термины в качестве аргументов, и каждый вызов тактики преобразует текущее утверждение, которое нужно доказать, в утверждения, которые легче доказывать, до тех пор, пока не останется ничего, что нужно было бы доказывать.

код формальный Неформальная
теорема amc12_2000_p5 -- ← имя теоремы (x p : ℝ) -- ← утверждение, которое мы хотим (h₀ : x
Мы наблюдаем, что способность генерировать оригинальные математические термины, необходимые в качестве аргументов тактики, что невозможно сделать без модели нейронного языка, возникает из нашей процедуры обучения. Доказательство ниже является примером этого: шаг доказательства 92 = (натур.факториал(n+2) — натур.факториал(n+1)) / физ.факториал n := начинать — Модель прямо предлагает «n + 1» в качестве решения. использовать n + 1, field_simp [nat.factorial_ne_zero, pow_succ’], ring_exp конец
Мы также заметили, что наши модели и процедура поиска способны давать доказательства, объединяющие несколько нетривиальных шагов рассуждений. В приведенном ниже доказательстве модель начинается с использования противопоставления, ведущего к экзистенциальному утверждению (
∃ (x : ℝ), f x ≠ a * x + b ). Затем он генерирует для него свидетеля с использованием (0 : ℝ) и завершает доказательство, используя тактику norm_num .
код формальный Неформальная
теорема mathd_train_алгебра_217 (а б : ℝ) (ф г : ℝ → ℝ) (h₀ : ∀ x, f x = a * x + b) (ч₁ : ∀ х, ж х = б * х + а) (ч₂: а ≠ б) (h₃ : ∀ x, f (g x) - g (f x) = b - a) : а + б = 0 := начинать вернуть h₀ h₁ h₂ h₃, -- Исходное противопоставление. противопоставить!, ринтро ⟨h₀, ⟨h₁, h₂⟩⟩, -- Модель предлагает `0` в качестве свидетеля текущего -- цель, состоящая из `∃ (x : ℝ), f x ≠ a * x + b`. использовать (0 : ℝ), только просто [sub_eq_iff_eq_add, h₀, mul_zero, zero_add], norm_num в ч₀, конец

Наши модели, обученные по учебной программе обучения , смогли решить множество задач из учебных пособий, а также соревнований AMC12 и AIME, а также 2 задачи, адаптированные из IMO. Ниже мы приводим три примера таких порожденных доказательств.
код формальный Неформальная теорема
imo_1964_p2 (а б в : ℝ) (h₀ : 0
код Официальный Неформальная
теорема aime_1984_p1 ( ты : ℕ → ℚ) (ч₀ : ∀ п, и (п + 1) = и п + 1) (h₁ : ∑ k в finset.range 92)` -- что требуется для последнего вызова `nlinarith`. пусть u : евклидово_пространство ℝ (плавник 2) := ![a, b], пусть v : евклидово_пространство ℝ (плавник 2) := ![b, c], есть h₀ := real_inner_mul_inner_self_le u v, simp [u, v, fin. sum_univ_succ, ←pow_two, ←pow_two, le_of_lt, mul_assoc] at h₀, -- Модель вводит еще один обязательный разрез (т.е. изобретает -- терм `0 ≤ (c + a) * (c + a)` и доказывает его). имеют h₃ : 0 ≤ (c + a) * (c + a), {nlinarith,}, иметь h₄ := sq_nonneg (a * b + b * c + c * a), simp [sq, h₀, h₃, mul_add, add_mul] в h₄ ⊢, nlinarith[sq_nonneg(b - a), sq_nonneg (c - b), sq_nonneg (a - c)] конец

Формальная математика связана с двумя основными проблемами, которые делают наивное применение обучения с подкреплением маловероятным.
(i) Бесконечное пространство действий : формальная математика не только имеет чрезвычайно большое пространство поиска (как, например, Go), но и бесконечное пространство действий. На каждом этапе поиска доказательства модель должна выбирать не из хорошо организованного конечного набора действий, а из сложного и бесконечного набора тактик, включающих экзогенные математические термины, которые необходимо сгенерировать (например, генерация математического утверждения, которое должно быть сгенерировано). используется как свидетель, объект, используемый в таких шагах, как «существует $x$ п.т.…», или разрез, введение и цепочка леммы в середине доказательства).
(ii) Отсутствие самостоятельной игры : в отличие от игр с двумя игроками, доказывающий играет не против оппонента, а против набора утверждений, которые необходимо доказать. Столкнувшись с утверждением, которое слишком сложно, нет очевидного переформулирования, которое позволило бы доказывающему сгенерировать промежуточные более простые утверждения, с которыми нужно работать в первую очередь. Эта асимметрия предотвращает наивное применение алгоритмов самостоятельной игры, которые были успешными в играх для двух игроков.
В нашей работе мы решаем проблему бесконечного пространства действий, выбирая действия из языковой модели в поисках доказательства. Языковые модели могут генерировать тактические вызовы, а также исходные математические термины, которые часто требуются в качестве аргументов.
No related posts.