Тригонометрическая форма записи комплексного числа онлайн: Комплексные числа онлайн

Содержание

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Похожие презентации:

Комплексные числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел

Комплексные числа

ТЕМА
Тригонометрическая
форма записи
комплексного числа
Комплексные числа, заданные парами
, называют чисто мнимыми
числами.
Для комплексных чисел существует
несколько форм записи:
алгебраическая форма записи,
тригонометрическая форма
записи и экспоненциальная
(показательная) форма записи.
ТЕМА
Алгебраическая форма — это такая
форма записи комплексных чисел, при
которой комплексное число , заданное
,
парой вещественных чисел
записывается в виде
где использован символ
мнимой единицей.
, называемый
Определение
Число называют вещественной

(реальной) частью комплексного
числа
и обозначают
.

Число называют мнимой частью
комплексного числа
обозначают
.
и
Определения
Комплексные числа, у которых
, являются
вещественными числами.
Комплексные числа, у которых
, являются чисто
мнимыми числами.
Сложение и вычитание
комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Определение
Два комплексных числа
и
у которых вещественные
части одинаковые, а мнимые части
отличаются знаком, называются
комплексно сопряжёнными
числами.
Свойства комплексно
сопряжённых
чисел
Определение
Модулем комплексного числа
называют вещественное
число, обозначаемое и
определенное по формуле
Свойства модулей
комплексных чисел
Деление комплексных
чисел
Определение
Рассмотрим плоскость с заданной
на ней прямоугольной декартовой
системой координат
и
напомним, что радиус-вектором

на плоскости называют вектор,
начало которого совпадает с
началом системы координат.

Определение
Назовем рассматриваемую
плоскость комплексной
плоскостью, и будем
представлять комплексное число
радиус–вектором с
координатами
.
Геометрическое представление
комплексных чисел
Определение
Аргументом комплексного числа
называют угол между положительным
направлением вещественной оси и
радиус-вектором .
Аргумент комплексного числа
считают
положительным, если поворот от
положительного направления
вещественной оси к радиус-вектору
происходит против часовой стрелки, и
отрицательным — в случае поворота по
часовой стрелке (см. рис.).
Определение
Поскольку аргумент любого комплексного
числа определяется с точностью до
слагаемого где — произвольное целое
число, то вводится, главное значение
аргумента, обозначаемое
и
удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым
равенство:
Тригонометрическое
представление
комплексного числа
Если для комплексного числа
нам известны его модуль
и его
аргумент , то мы можем найти
вещественную и мнимую части по
формулам
Тригонометрическая запись
колмплексного числа
Из формул вытекает, что любое
отличное от нуля комплексное число
может быть записано в виде
Расположение
числа
Положительная
вещественная
полуось
Первый
квадрант
Положительная
мнимая
полуось
Второй
квадрант
Отрицательная
вещественная
полуось
Третий
квадрант
Отрицательная
мнимая
полуось
Четвёртый
квадрант
Знаки и
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры
Спасибо за работу на
уроке!

English Русский Правила

Формы записи комплексных чисел — онлайн справочник для студентов

Существует три формы написания сложных чисел: алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные.

Каждая форма записи удобна для решения ваших проблем; соответственно, вы можете передать комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от проблемы, которую нужно решить.

Алгебраическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраическая форма комплексного числа — это запись комплексного числа \(\ z \) в виде\(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) — вещественные числа, i — мнимая единица.

Например:

1. Комплексное число \(\ z=83-412 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=83+412 i \)записываются в алгебраической форме.

2. Мнимое число \(\ z=35 i \) записывается в алгебраической форме.

Подробнее об алгебраической форме читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа \(\ z=x+i y \) есть обозначение \(\ z=r z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) — модуль комплексного числа \(\ z \). {-\frac{\pi}{2} i} \)

Подробнее об экспоненциальной форме читайте в отдельной статье: Экспоненциальная форма комплексного числа.

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Таблица градусов и углов Таблицы истинности Таблица котангенсов Таблица тангенсов

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

калькулятор комплекса номера • Математика • Convertori Online

Определения и формулы

Представление комплексных номеров

Кортезианская комплексная плоскость

Полярная комплексная плоскость

Отношения и операции

ЭКОЛЕНТИКА КОМПЛЕКТОВ

Комплексное сопряжение

Добавление и подраздел.

Умножение

Обратное выражение и деление

Извлечение квадратного корня

Приложения

Определения и формулы

Комплексное число — это число в виде суммы действительной части и мнимой части a + bi . Символ i или j в электротехнике (инженеры-электрики мыслят иначе, чем в остальном мире!) называется мнимой единицей и определяется уравнением i ² = –1. Другими словами, i — это квадратный корень из минус единицы (√–1).

Действительная часть — это действительное число, а мнимая часть — это мнимое число, представляющее собой квадратный корень из отрицательного числа. Обычно мнимую часть приводят к действительному числу, умноженному на квадратный корень из минус единицы. Например,

Представление комплексных чисел

Декартова комплексная плоскость

Математическая запись комплексных чисел использует два оператора для разделения комплексного числа на его действительную и мнимую части: Re( z ) и Im( z ). Подобно тому, как все действительные числа можно рассматривать как точки на числовой прямой, комплексное число z , которое отождествляется с упорядоченной парой действительных чисел (Re( z ), Im( z )), может быть представлено точкой в двумерном пространстве, называемом комплексной плоскостью. Горизонтальная ось комплексной плоскости соответствует действительной части комплексного числа, а вертикальная ось соответствует мнимой части. Мы можем видеть, что прямая с действительными числами совпадает с действительной (горизонтальной) осью комплексной плоскости, потому что мнимая часть действительных чисел равна нулю.

Полярная комплексная плоскость

Комплексное число z = x + jy = r ∠φ представлено в виде точки и вектора на комплексной плоскости

Комплексное число также может быть3 представлена в полярной системе координат, в которой используется другой тип комплексной плоскости в полярной системе координат. Это представление использует величину (модуль) r вектора, начинающегося в начале координат и заканчивающегося в комплексной точке z и угол φ между этим вектором и положительной вещественной осью, измеренный по часовой стрелке. Этот угол называется аргументом.

Величина комплексного числа z = x + iy определяется следующим образом:

функция:

Величина r и аргумент φ вместе представляют комплексные числа в полярной форме, поскольку их комбинация определяет уникальное положение точки, представляющей комплексное число, на полярной плоскости. Для получения прямоугольных координат из полярных используем следующую формулу:

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и комплексной показательной функцией для любого действительного числа φ :

Формула Эйлера позволяет представить синусоиду как сложную экспоненциальную функцию, удобную во многих областях. В физике и электротехнике полярное представление комплексных чисел широко используется для представления синусоидальных напряжений и токов. В этом представлении термины «амплитуда» и «фаза» используются вместо терминов «модуль» («величина») и «аргумент».

Комплексное число, представляющее синусоидальную функцию с амплитудой A , угловой частотой ω и начальной фазой θ , называется вектором (от фазового вектора). Дополнительную информацию о визуализации комплексных чисел, векторах и преобразовании полярных чисел в прямоугольные и наоборот вы найдете в нашем калькуляторе векторных преобразований.

Отношения и операции

Комплексные числа подчиняются тем же правилам алгебры, что и обычные числа. Количество i рассматривается как константа, и всякий раз, когда встречается i ², оно заменяется на -1.

Равенство комплексных номеров

Два комплексных номера x + YI и N + миль равны, если и только если x = N и Y = M .

Комплексно-сопряженное число

Комплексно-сопряженное число находится путем изменения знака мнимой части. Например, следующие два числа являются комплексно-сопряженными:

В физике и электротехнике комплексное сопряжение часто обозначается как z *. Сопряженный пример (нажмите для просмотра в калькуляторе):

Сложение и вычитание

Сумма и разность двух комплексных чисел m + ni и p + qi

определяются как 3 2

и
То есть, чтобы сложить или вычесть два комплексных числа, надо отдельно сложить или вычесть их действительные или мнимые части. Примеры (нажмите для просмотра):
Умножение
Два комплексных числа в прямоугольной форме умножаются путем умножения каждого члена одного числа на оба члена другого числа и объединения полученных действительных и мнимых членов (называемых j-членами в электротехнике). машиностроение). Определение i ² = –1 также используется в процессе умножения. Например:
В полярной форме умножение двух комплексных чисел проще и упрощается до умножения величин и сложения углов, например:
Обратное и деление
Обратное ненулевого комплексного числа z = a + bi в прямоугольной форме получается путем умножения как числителя (в данном случае, 1) комплексным сопряжением знаменателя (в данном случае комплексного числа) и затем объединением слагаемых и упрощением:
Деление двух комплексных чисел a + bi и c + di в прямоугольной форме выполняется по тому же принципу с использованием комплексного сопряжения знаменателя:
Как и умножение, деление двух чисел в полярной форме проще. Величина частного двух чисел определяется путем деления величины числителя на величину знаменателя. Угол частного определяется путем вычитания угла знаменателя из угла числителя. Например,
Квадратный корень
Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то квадратные корни этого числа представляют собой пару комплексных чисел с положительным и отрицательным знаками. Положительное число считается основным значением квадратного корня. Этот калькулятор найдет только главный (положительный) квадратный корень комплексного числа. Для прямоугольного представления комплексного числа используется следующая формула:
, где sgn( y ) — знаковая функция числа 9.0029 y , который определяется следующим образом:
Приложения
Комплексные числа широко используются в реальных приложениях, таких как геометрия, теория управления (критерий устойчивости Найквиста, который использует комплексную плоскость), электротехника и сигнализация анализ (периодические сигналы удобно описывать комплексными числами), квантовая механика, теория относительности и многие другие области. Изобретенные почти 200 лет назад кватернионы, расширяющие комплексные числа, используются в компьютерной графике, инерциальной навигации и теории управления.
Первоклассная статья и главный редактор Анатолий Золотков.
8.5 Полярная форма комплексных чисел — предварительное исчисление 2e
Цели обучения
В этом разделе вы:
Нанесение комплексных чисел на комплексную плоскость.
Найдите абсолютное значение комплексного числа.
Запишите комплексные числа в полярной форме.
Преобразование комплексного числа из полярной формы в прямоугольную.
Поиск произведений комплексных чисел в полярной форме.
Найдите частные комплексных чисел в полярной форме.
Найдите степени комплексных чисел в полярной форме.
Найдите корни комплексных чисел в полярной форме.
«Бог создал целые числа; все остальное — дело рук человека». Эта довольно известная цитата немецкого математика девятнадцатого века Леопольда Кронекера закладывает основу для этого раздела о полярной форме комплексного числа. Комплексные числа были изобретены людьми и представляют собой более тысячи лет непрерывных исследований и борьбы таких математиков, как Пифагор, Декарт, Де Муавр, Эйлер, Гаусс и другие. Комплексные числа ответили на вопросы, которые веками озадачивали величайшие умы науки.
Впервые мы столкнулись с комплексными числами в книге «Комплексные числа». В этом разделе мы сосредоточимся на механике работы с комплексными числами: переводе комплексных чисел из полярной формы в прямоугольную и обратно, интерпретации комплексных чисел в схеме приложений и применении теоремы Муавра.
Построение комплексных чисел на комплексной плоскости
Построение комплексного числа a+bia+bi аналогично построению действительного числа, за исключением того, что по горизонтальной оси отложена действительная часть числа, a,a, а по вертикальной оси отложена мнимая часть числа, bi.bi.
Как
Даны комплексные числа a+bi,a+bi, изобразите их на комплексной плоскости.
Пометьте горизонтальную ось как реальную ось , а вертикальную ось как воображаемую ось.
Постройте точку на комплексной плоскости, перемещая единицы aa в горизонтальном направлении и единицы bb в вертикальном направлении.

Пример 1
Построение комплексного числа на комплексной плоскости
Построение комплексного числа 2−3i2−3i на комплексной плоскости.
Решение
От исходной точки переместитесь на две единицы в положительном горизонтальном направлении и на три единицы в отрицательном вертикальном направлении. См. рис. 1.
Рис. 1
Попытайся #1
Постройте точку 1+5i1+5i на комплексной плоскости.
Нахождение абсолютного значения комплексного числа
Первым шагом к работе с комплексным числом в полярной форме является нахождение абсолютного значения. Абсолютное значение комплексного числа совпадает с его величиной, или |z|.|z|. Он измеряет расстояние от начала координат до точки на плоскости. Например, график z=2+4i,z=2+4i на рисунке 2 показывает |z|.|z|.

Рисунок 2
Абсолютное значение комплексного числа
Учитывая комплексное число z=x+yi,z=x+yi, абсолютное значение zz определяется как
|z|=x2+y2|z|=x2+y2
Это расстояние от начало координат в точку (x,y). (x,y).
Обратите внимание, что абсолютное значение действительного числа дает расстояние числа от 0, в то время как абсолютное значение комплексного числа дает расстояние числа от начала координат, (0,0).(0,0).
Пример 2
Нахождение абсолютного значения комплексного числа с радикалом
Нахождение абсолютного значения z=5−i.z=5−i.
Решение
Используя формулу, мы имеем
|z|=x2+y2|z|=(5)2+(−1)2|z|=5+1|z|=6|z|=x2+y2| z|=(5)2+(−1)2|z|=5+1|z|=6

См. рис. 3.
Рис. 3
Попытайся #2
Найдите абсолютное значение комплексного числа z=12−5i.z=12−5i.
Пример 3
Нахождение абсолютного значения комплексного числа
Для данных z=3−4i,z=3−4i найти |z|.|z|.
Решение
Используя формулу, мы имеем
|z|=x2+y2|z|=(3)2+(−4)2|z|=9+16|z|=25|z|=5|z| =x2+y2|z|=(3)2+(−4)2|z|=9+16|z|=25|z|=5
Абсолютное значение zz равно 5. См. рис. 4.
Фигура 4
Попытайся #3
Для данных z=1−7i,z=1−7i найти |z|.|z|.
Запись комплексных чисел в полярной форме
Полярная форма комплексного числа выражает число через угол θθ и его расстояние от начала координат r.r. Учитывая комплексное число в прямоугольной форме, выраженное как z=x+yi,z=x+yi, мы используем те же формулы преобразования, что и для записи числа в тригонометрической форме:

x=rcosθy=rsinθr=x2+y2x=rcosθy=rsinθr=x2+y2
Мы рассмотрим эти отношения на рисунке 5.
Рисунок 5
Мы используем термин по модулю для обозначения абсолютного значения комплексного числа или расстояния от начала координат до точки (x,y).(x,y). Таким образом, модуль равен r, r, радиусу в полярной форме. Мы используем θθ для обозначения угла направления (так же, как и с полярными координатами). Подставляя, имеем
z=x+yiz=rcosθ+(rsinθ)iz=r(cosθ+isinθ)z=x+yiz=rcosθ+(rsinθ)iz=r(cosθ+isinθ)
Полярная форма комплексного числа
При записи комплексного числа в полярной форме используются следующие формулы преобразования: =(rcosθ)+i(rsinθ)z=r(cosθ+isinθ)z=x+yiz=(rcosθ)+i(rsinθ)z=r(cosθ+isinθ)

, где rr — модуль, а θθ — аргумент. Мы часто используем аббревиатуру rcisθrcisθ для обозначения r(cosθ+isinθ).r(cosθ+isinθ).
Пример 4
Выражение комплексного числа с использованием полярных координат
Выражение комплексного числа 4i4i с использованием полярных координат.
Решение
На комплексной плоскости число z=4iz=4i совпадает с z=0+4i.z=0+4i. Записав это в полярной форме, мы должны сначала вычислить rr.
r=x2+y2r=02+42r=16r=4r=x2+y2r=02+42r=16r=4
Далее смотрим на x.x. Если x=rcosθ,x=rcosθ и x=0,x=0, то θ=π2.θ=π2. В полярных координатах комплексное число z=0+4iz=0+4i можно записать как z=4(cos(π2)+isin(π2))z=4(cos(π2)+isin(π2)) или 4cis (π2).4цис(π2). См. рис. 6.
Рисунок 6

Попытайся #4
Выразите z=3iz=3i как rcisθrcisθ в полярной форме.
Пример 5
Нахождение полярной формы комплексного числа
Нахождение полярной формы -4+4i. -4+4i.
Решение
Сначала найдите значение r.r.
r=x2+y2r=(−4)2+(42)r=32r=42r=x2+y2r=(−4)2+(42)r=32r=42
Найдите угол θθ по формуле :
cosθ=xrcosθ=−442cosθ=−12θ=cos−1(−12)=3π4cosθ=xrcosθ=−442cosθ=−12θ=cos−1(−12)=3π4
Таким образом, раствор 42цис(3π4).42цис(3π4).
Попытайся #5
Запишите z=3+iz=3+i в полярной форме.
Преобразование комплексного числа из полярной формы в прямоугольную
Преобразование комплексного числа из полярной формы в прямоугольную зависит от оценки того, что дано, и использования распределительного свойства. Другими словами, при заданных z=r(cosθ+isinθ),z=r(cosθ+isinθ) сначала оцените тригонометрические функции cosθcosθ и sinθ.sinθ. Затем умножьте на r.r.
Пример 6
Преобразование полярной формы в прямоугольную
Преобразование полярной формы заданного комплексного числа в прямоугольную:
z=12(cos(π6)+isin(π6))z=12(cos(π6)+isin( №6))
Решение
Начнем с вычисления тригонометрических выражений.
cos(π6)=32andsin(π6)=12cos(π6)=32andsin(π6)=12
После подстановки комплексное число равно
z=12(32+12i)z=12(32+12i)
Применяем распределительное свойство:
z=12(32+12i) =(12)32+(12)12i =63+6iz=12(32+12i) =(12)32+(12)12i =63+6i
Прямоугольная форма данной точки в комплексной форме 63+6i.63+6i.
Пример 7
Нахождение прямоугольной формы комплексного числа
Нахождение прямоугольной формы комплексного числа при данных r=13r=13 и tanθ=512.tanθ=512.
Решение
Если tanθ=512,tanθ=512 и tanθ=yx,tanθ=yx, мы сначала определяем r=x2+y2=122+52=13. г=х2+у2=122+52=13. Затем мы находим cosθ=xrcosθ=xr и sinθ=yr.sinθ=yr.
z=13(cosθ+isinθ)=13(1213+513i)=12+5iz=13(cosθ+isinθ)=13(1213+513i)=12+5i
Прямоугольная форма данного числа в комплексе форма 12+5i.12+5i.
Попытайся #6
Преобразование комплексного числа в прямоугольную форму:
z=4(cos11π6+isin11π6)z=4(cos11π6+isin11π6)
Нахождение произведений комплексных чисел в полярной форме
Теперь, когда мы можем преобразовывать комплексные числа в полярную форму, мы научимся выполнять операции над комплексными числами в полярной форме. В оставшейся части этого раздела мы будем работать с формулами, разработанными французским математиком Абрахамом де Муавром (1667–1754). Эти формулы сделали работу с произведениями, частными, степенями и корнями комплексных чисел намного проще, чем кажется. Правила основаны на умножении модулей и добавлении аргументов.
Произведения комплексных чисел в полярной форме
Если z1=r1(cosθ1+isinθ1)z1=r1(cosθ1+isinθ1) и z2=r2(cosθ2+isinθ2),z2=r2(cosθ2+isinθ2), то произведение этих чисел определяется как:
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2cis(θ1+θ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2cis(θ1+ θ2)
Обратите внимание, что произведение требует умножения модулей и сложения углов.
Пример 8
Нахождение произведения двух комплексных чисел в полярной форме
Найдите произведение z1z2,z1z2, зная z1=4(cos(80°)+isin(80°))z1=4(cos(80°)+isin(80°)) и z2=2(cos( 145°)+isin(145°)).z2=2(cos(145°)+isin(145°)).
Решение
Следуйте формуле
z1z2=4⋅2[cos(80°+145°)+isin(80°+145°)]z1z2=8[cos(225°)+isin(225°)]z1z2=8[ cos(5π4)+isin(5π4)]z1z2=8[−22+i(−22)]z1z2=−42−4i2z1z2=4⋅2[cos(80°+145°)+isin(80°+145° )]z1z2=8[cos(225°)+isin(225°)]z1z2=8[cos(5π4)+isin(5π4)]z1z2=8[−22+i(−22)]z1z2=−42− 4и2
Нахождение частных комплексных чисел в полярной форме
Частное двух комплексных чисел в полярной форме — это частное двух модулей и разность двух аргументов.
Частные комплексных чисел в полярной форме
Если z1=r1(cosθ1+isinθ1)z1=r1(cosθ1+isinθ1) и z2=r2(cosθ2+isinθ2),z2=r2(cosθ2+isinθ2), то частное этих чисел равно
z1z2=r1r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)],z2≠0z1z2=r1r2cis(θ1−θ2),z2≠0z1z2=r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)],z2≠ 0z1z2=r1r2cis(θ1−θ2),z2≠0
Обратите внимание, что модули делятся, а углы вычитаются.
Как
Даны два комплексных числа в полярной форме, найдите частное.
Разделить r1r2.r1r2.
Найдите θ1−θ2.θ1−θ2.
Подставьте результаты в формулу: z=r(cosθ+isinθ).z=r(cosθ+isinθ). Замените rr на r1r2,r1r2 и замените θθ на θ1−θ2.θ1−θ2.
Рассчитайте новые тригонометрические выражения и умножьте на r.r.
Пример 9
Нахождение отношения двух комплексных чисел
Найдите частное z1=2(cos(213°)+isin(213°))z1=2(cos(213°)+isin(213°)) и z2=4(cos(33°)+isin (33°)).z2=4(cos(33°)+isin(33°)).
Решение
Используя формулу, имеем
z1z2=24[cos(213°-33°)+isin(213°-33°)]z1z2=12[cos(180°)+isin(180°)]z1z2=12 [−1+0i]z1z2=−12+0iz1z2=−12z1z2=24[cos(213°−33°)+isin(213°−33°)]z1z2=12[cos(180°)+isin(180° )]z1z2=12[−1+0i]z1z2=−12+0iz1z2=−12
Попытайся #7
Найдите произведение и частное z1=23(cos(150°)+isin(150°))z1=23(cos(150°)+isin(150°)) и z2=2(cos(30°) )+isin(30°)). z2=2(cos(30°)+isin(30°)).
Нахождение степеней комплексных чисел в полярной форме
Нахождение степеней комплексных чисел значительно упрощается с помощью теоремы Муавра. В нем говорится, что для положительного целого числа n,znn,zn находится путем возведения модуля в n-ю степень и умножения аргумента на n.n. Это стандартный метод, используемый в современной математике.
Теорема де Муавра
Если z=r(cosθ+isinθ)z=r(cosθ+isinθ) — комплексное число, то
zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]zn=rncis(nθ)zn=rn [cos(nθ)+isin(nθ)]zn=rncis(nθ)
где нн является положительным целым числом.
Пример 10
Вычисление выражения с помощью теоремы Муавра
Вычисление выражения (1+i)5(1+i)5 с помощью теоремы Муавра.
Решение
Поскольку теорема Муавра применима к комплексным числам, записанным в полярной форме, мы должны сначала записать (1+i)(1+i) в полярной форме. Найдем р.р.
r=x2+y2r=(1)2+(1)2r=2r=x2+y2r=(1)2+(1)2r=2
Затем находим θ.θ. Использование формулы tanθ=yxtanθ=yx дает
tanθ=11tanθ=1θ=π4tanθ=11tanθ=1θ=π4
Используйте теорему де Муавра для вычисления выражения.
(a+bi)n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)](1+i)5=(2)5[cos(5⋅π4)+isin(5⋅π4)](1+ i)5=42[cos(5π4)+isin(5π4)](1+i)5=42[−22+i(−22)](1+i)5=−4−4i(a+bi) n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)](1+i)5=(2)5[cos(5⋅π4)+isin(5⋅π4)](1+i)5=42[cos (5π4)+isin(5π4)](1+i)5=42[−22+i(−22)](1+i)5=−4−4i
Нахождение корней комплексных чисел в полярной форме
Чтобы найти n -й корень комплексного числа в полярной форме, мы используем n-ю теорему о корне или теорему Муавра и возводим комплексное число в степень с рациональным показателем. Есть несколько способов представить формулу для нахождения корней n-й степени комплексных чисел в полярной форме.
Теорема о
n -м корне

Чтобы найти корень n-й степени комплексного числа в полярной форме, используйте формулу

+isin(θn+2kπn)]

, где k=0,1,2,3,. ..,n−1.k=0,1,2,3,…,n−1. Добавим 2kπn2kπn к θnθn, чтобы получить периодические корни.

Пример 11

Нахождение

n -го корня комплексного числа
Вычислить кубические корни z=8(cos(2π3)+isin(2π3)).z=8(cos(2π3)+isin(2π3)).
Решение
Имеем
z13=813[cos(2π33+2kπ3)+isin(2π33+2kπ3)]z13=2[cos(2π9+2kπ3)+isin(2π9+2kπ3)]z13=813[cos(2π33+2kπ3) )+isin(2π33+2kπ3)]z13=2[cos(2π9+2kπ3)+isin(2π9+2kπ3)]
Будет три корня: k=0,1,2.k=0,1,2 . При k=0,k=0 имеем
z13=2(cos(2π9)+isin(2π9))z13=2(cos(2π9)+isin(2π9))
При k=1,k= 1, имеем
z13=2[cos(2π9+6π9)+isin(2π9+6π9)] Добавить 2(1)π3 к каждому углу. z13=2(cos(8π9)+isin(8π9))z13= 2[cos(2π9+6π9)+isin(2π9+6π9)] Добавить 2(1)π3 к каждому углу. z13=2(cos(8π9)+isin(8π9))
z13=2[cos(2π9+12π9)+isin(2π9+12π9)]Добавить 2(2)π3 к каждому углу. z13=2(cos(14π9)+isin(14π9))z13=2[cos(2π9+ 12π9)+isin(2π9+12π9)]Добавить 2(2)π3 к каждому углу. z13=2(cos(14π9)+isin(14π9))
Не забудьте найти общий знаменатель, чтобы упростить дроби в подобных ситуациях. . Для k=1,k=1 угловое упрощение равно
2π33+2(1)π3=2π3(13)+2(1)π3(33)=2π9+6π9=8π92π33+2(1)π3=2π3 (13)+2(1)π3(33)=2π9+6π9=8π9
Попытайся #8
Найдите четыре корня четвертой степени из 16(cos(120°)+isin(120°)).16(cos(120°)+isin(120°)).
8.5 Секционные упражнения
устно
1.
Комплексное число a+bi.a+bi. Объясните каждую часть.
2.
Что представляет абсолютное значение комплексного числа?
3.
Как комплексное число преобразуется в полярную форму?
4.
Как найти произведение двух комплексных чисел?
5.
Что такое теорема Муавра и для чего она используется?
Алгебраический
В следующих упражнениях найдите абсолютное значение заданного комплексного числа.
6.
5+3i5+3i
7.
−7+i−7+i
8.
−3−3i−3−3i
9.
2−6i2−6i
10.
2i2i
11.
2.2−3.1i2.2−3.1i
Для следующих упражнений запишите комплексное число в полярной форме.
12.
2+2i2+2i
13.
8-4i8-4i
14.
−12−12i−12−12i
15.
3+i3+i
16.
3i3i
Для следующих упражнений преобразуйте комплексное число из полярной формы в прямоугольную.
17.
z=7цис(π6)z=7цис(π6)
18.
z=2цис(π3)z=2цис(π3)
19.
z=4цис(7π6)z=4цис(7π6)
20.
z=7цис(25°)z=7цис(25°)
21.
z=3cis(240°)z=3cis(240°)
22.
z=2цис(100°)z=2цис(100°)
Для следующих упражнений найдите z1z2z1z2 в полярной форме.
23.
z1=23цис(116°);z2=2цис(82°)z1=23цис(116°);z2=2цис(82°)
24.
z1=2цис(205°);z2=22цис(118°)z1=2цис(205°);z2=22цис(118°)
25.
z1=3цис(120°);z2=14цис(60°)z1=3цис(120°);z2=14цис(60°)
26.
z1=3цис(π4);z2=5цис(π6)z1=3цис(π4);z2=5цис(π6)
27.
z1=5цис(5π8);z2=15цис(π12)z1=5цис(5π8);z2=15цис(π12)
28.
z1=4цис(π2);z2=2цис(π4)z1=4цис(π2);z2=2цис(π4)
Для следующих упражнений найдите z1z2z1z2 в полярной форме.
29.
z1=21цис(135°);z2=3цис(65°)z1=21цис(135°);z2=3цис(65°)
30.
z1=2цис(90°);z2=2цис(60°)z1=2цис(90°);z2=2цис(60°)
31.
z1=15цис(120°);z2=3цис(40°)z1=15цис(120°);z2=3цис(40°)
32.
z1=6цис(π3);z2=2цис(π4)z1=6цис(π3);z2=2цис(π4)
33.
z1=52цис(π);z2=2цис(2π3)z1=52цис(π);z2=2цис(2π3)
34.
z1=2цис(3π5);z2=3цис(π4)z1=2цис(3π5);z2=3цис(π4)
В следующих упражнениях найдите степени каждого комплексного числа в полярной форме.
35.
Найти z3z3, когда z=5cis(45°).z=5cis(45°).
36.
Найти z4z4, когда z=2cis(70°).z=2cis(70°).
37.
Найти z2z2, когда z=3cis(120°).z=3cis(120°).
38.
Найти z2z2, когда z=4cis(π4).z=4cis(π4).
39.
Найти z4z4, когда z=cis(3π16).z=cis(3π16).
40.
Найти z3z3, когда z=3cis(5π3).z=3cis(5π3).
В следующих упражнениях оцените каждый корень.
41.
Вычислить кубический корень из zz, когда z=27cis(240°).z=27cis(240°).
42.
Вычислить квадратный корень из zz, когда z=16cis(100°).z=16cis(100°).
43.
Вычислить кубический корень из zz, когда z=32cis(2π3).z=32cis(2π3).
44.
Вычислить квадратный корень из zz, когда z=32cis(π).z=32cis(π).
45.
Вычислить квадратный корень из zz, когда z=8cis(7π4).z=8cis(7π4).
Графический
Для следующих упражнений нанесите комплексное число на комплексную плоскость.
46.
2+4i2+4i
47.
−3−3i−3−3i
48.
5−4i5−4i
49.
−1−5i−1−5i
50.
3+2i3+2i
51.
2i2i
52.
−4−4
53.
6-2i6-2i
54.
−2+i−2+i
55.
1-4i1-4i
Технология
Для следующих упражнений найдите все ответы, округленные до сотых.
No related posts.