Тригонометрические уравнения задания: Microsoft Word — Баскаков-2-1.doc

Тригонометрические уравнения. Задания ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Математика

Русский язык

История

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].

Показать решение

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0,  tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0,  \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\, 3\pi \right]. 2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi {12}+\frac{\pi n}2, n \in \mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1-я и 3-я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac{3\pi }2\right].

x=\frac\pi {12}, x=\frac{5\pi }{12}; x=\pi ; x=\frac{13\pi }{12}; x=\frac{17\pi }{12}.

Ответ

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) \pi; \frac\pi {12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{13\pi }{12}; \frac{17\pi }{12}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. 2 x+\cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:

(\cos x)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 9}4=\frac{1\pm3}4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac{2\pi }3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12.Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =\frac{11\pi }3,  x_2=4\pi ,  x_3 =\frac{13\pi }3.

Ответ

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac{11\pi }3,  4\pi ,  \frac{13\pi }3.

Источник: «Математика. 2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.

Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.

2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. 2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

arccos 1<arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<arc\cos \frac{\sqrt 2}2,

0<arccos\frac{3\sqrt2}{5}<\frac{\pi}{4}.

Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0<a<\frac\pi 2.

Аналогично, -\frac\pi 4<arccos\frac{3\sqrt2}{5}<0,

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0<b<\frac\pi 2.

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac{3\sqrt 2}5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac{3\sqrt 2}5\Bigg). При этом -2\pi <a-2\pi <-\frac{3\pi }2,

-2\pi <b-2\pi <-\frac{3\pi }2. Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac{3\pi }2\right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac{7\pi }2.

Ответ

а) \frac\pi4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac{7\pi}4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];

Показать решение

Решение

а) Преобразуем уравнение:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^{k+1}\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. {k+1}\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin x-1}{1+\cos 2x}=\frac{\sin x-1}{1+\cos (\pi +x)}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac{3\pi }{2}; -\frac{\pi }2 \right].

Показать решение

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,

k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, \sin x \neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. 2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x, получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac{3\pi }2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi {2,}

3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z. 

Решение:

1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant  \frac13+2m \leqslant  -\frac12 -\frac{11}6 \leqslant  2m \leqslant  -\frac56 , -\frac{11}{12} \leqslant m \leqslant -\frac5{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac{11}{12};-\frac5{12}\right].

2) -\frac {3\pi} 2 \leqslant -\frac{\pi }3+2\pi n \leqslant -\frac{\pi }{2}, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1{6}, -\frac7{12} \leqslant n \leqslant -\frac1{12}. 2 x-\sin x-1=0.

Решим первое уравнение как квадратное относительно \sin x,

(\sin x)_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt 9}4=\frac{-1 \pm 3}4. Поэтому либо \sin x=-1, либо \sin x=\frac12. Если \sin x=-1, то x=\frac{3\pi }2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \sin x=\frac12, то либо x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z, либо x=\frac{5\pi }6+2t\pi , t \in \mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \sin x=1, либо \sin x=-\frac12. Тогда x =\frac\pi 2+2m\pi , m \in \mathbb Z, либо x=\frac{-\pi }6 +2n\pi , n \in \mathbb Z, либо x=\frac{-5\pi }6+2p\pi , p \in \mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z; x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =\frac{7\pi }2, x_2 =\frac{23\pi }6, x_3 =\frac{25\pi }6.

Ответ

а) \frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac{7\pi }2;\,\,\frac{23\pi }6;\,\,\frac{25\pi }6. {2x}=25, x=1.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [\log_5 4; \log_5 11]. Заметим, что \log_5 3<\log_5 4<1<\log_5 11, значит, указанному отрезку принадлежит корень x=1.

Ответ

а) 1; \log_5 3;

б) 1.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2\cos x\left( \cos x+\cos \frac{5\pi }4\right) + \cos x+\cos \frac{3\pi }4=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \pi ;\,\frac{5\pi }2\right).

Показать решение

Решение

а) Так как \cos \frac{5\pi }4= \cos \left( \pi +\frac\pi 4\right) = -\cos \frac\pi 4= -\frac{\sqrt 2}2 и \cos \frac{3\pi }4= \cos \left( \pi -\frac\pi 4\right) = -\cos \frac\pi 4= -\frac{\sqrt 2}2, то уравнение примет вид: 2\cos x\left( \cos x-\frac{\sqrt 2}2\right) +\cos x-\frac{\sqrt 2}2=0. Отсюда (2\cos x+1)\left( \cos x-\frac{\sqrt 2}2\right) =0.

Тогда \cos x=-\frac12; x=\pm\frac{2\pi }3+2\pi n или \cos x=\frac{\sqrt 2}2;\, x=\pm\frac\pi 4+2\pi n, где n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left[ \pi ;\,\frac{5\pi }2\right), найдём с помощью числовой окружности: \frac{4\pi }3;\,\, \frac{7\pi }4;\,\, \frac{9\pi }4.

Ответ

а) \pm\frac{2\pi }3+2\pi n;\,\, \pm\frac\pi 4=2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) \frac{4\pi }3;\, \frac{7\pi }4;\, \frac{9\pi }4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Математика

Русский язык

История

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Задание 13 Тригонометрия ЕГЭ 2021 Практика.

Задание 13 Тригонометрия ЕГЭ 2021 Практика. | Университет СИНЕРГИЯ

При выполнении задание 13 ЕГЭ по математике нужно показать умение решать тригонометрические уравнения. В разделе приведено 38 задач. Во всех задачах нужно решить тригонометрические уравнения и из полученного множества решений отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка. Все задачи этого раздела приведены с подробными решениями. Показано, как проводить отбор корней с помощью тригонометрического круга.

Этот документ можно скачать по ссылке

Курс подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Идёт набор!

Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от Университета «Синергия» и соглашаюсь c  политикой конфиденциальности.

Какую профессию можно получить, сдав обществознание и английский

25.10.2022

Из чего складывается проходной балл

30.06.2022

Что значит первичный балл в ЕГЭ

14.06.2022

Самые высокооплачиваемые профессии, связанные с биологией

14.06.2022

Распределение баллов ЕГЭ по русскому языку

14.04.2022

Куда можно поступить после 9 класса с обществознанием и информатикой

28. 03.2022

Смотреть все

Всё нужное в твоём телефоне

Скачай приложение и узнавай самую актуальную информацию

ПОДБЕРИ КУРС ЕГЭ И ОГЭ

Ответь на пять вопросов и узнай, где будешь учиться!

Подобрать программу

Образование для карьеры

К каким профессиям вы более склонны?

ТехническимГуманитарнымТворческимМедицинским

Какой у вас уровень образования?

Без образованияШкола 9-11 классКолледжБакалавриатМагистратураАспирантура

Какой формат обучения вам подходит?

ОчноЗаочноОнлайнПо выходным дням

Вас интересуют бюджетные места?

ДаНет

И последний вопрос. Вы из Москвы?

ДаНет

Мы подобрали вам программу обучения

Заполните форму, чтобы узнать больше о программе и наших предложениях

Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от  Университета «Синергия» и соглашаюсь c политикой конфиденциальности

Уважаемый посетитель!

Если у вас есть вопрос, предложение или жалоба, пожалуйста, заполните короткую форму и изложите суть обращения в текстовом поле ниже. Мы обязательно с ним ознакомимся и в  30-дневный срок ответим на указанный вами адрес электронной почты

Статус Абитуриент Студент Родитель Соискатель Сотрудник Другое

Филиал Абакан Актобе Алагир Алматы Алушта Анапа Ангарск Архангельск Армавир Асбест Астана Астрахань Атырау Баку Балхаш Барановичи Барнаул Белая Калитва Белгород Бельцы Берлин Бишкек Благовещенск Бобров Бобруйск Борисов Боровичи Бронницы Брянск Бузулук Чехов Челябинск Череповец Черкесск Дамаск Дербент Димитровград Дмитров Долгопрудный Домодедово Дубай Дубна Душанбе Екатеринбург Электросталь Елец Элиста Ереван Евпатория Гана Гомель Гродно Грозный Хабаровск Ханты-Мансийск Хива Худжанд Иркутск Истра Иваново Ижевск Калининград Карабулак Караганда Каракол Кашира Казань Кемерово Киев Кинешма Киров Кизляр Королев Кострома Красноармейск Краснодар Красногорск Красноярск Краснознаменск Курган Курск Кызыл Липецк Лобня Магадан Махачкала Майкоп Минеральные Воды Минск Могилев Москва Моздок Мозырь Мурманск Набережные Челны Нальчик Наро-Фоминск Нижневартовск Нижний Новгород Нижний Тагил Ногинск Норильск Новокузнецк Новосибирск Новоуральск Ноябрьск Обнинск Одинцово Омск Орехово-Зуево Орел Оренбург Ош Озёры Павлодар Пенза Пермь Петропавловск Подольск Полоцк Псков Пушкино Пятигорск Радужный Ростов-на-Дону Рязань Рыбинск Ржев Сальск Самара Самарканд Санкт-Петербург Саратов Сергиев Посад Серпухов Севастополь Северодвинск Щербинка Шымкент Слоним Смоленск Солигорск Солнечногорск Ставрополь Сургут Светлогорск Сыктывкар Сызрань Тамбов Ташкент Тбилиси Терек Тихорецк Тобольск Тольятти Томск Троицк Тула Тверь Тюмень Уфа Ухта Улан-Удэ Ульяновск Ургенч Усть-Каменогорск Вёшенская Видное Владимир Владивосток Волгодонск Волгоград Волжск Воркута Воронеж Якутск Ярославль Юдино Жлобин Жуковский Златоуст Зубова Поляна Звенигород

Тип обращения Вопрос Предложение Благодарность Жалоба

Тема обращения Поступление Трудоустройство Обучение Оплата Кадровый резерв Внеучебная деятельность Работа автоматических сервисов университета Другое

* Все поля обязательны для заполнения

Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от Университета «Синергия» и соглашаюсь c  политикой конфиденциальности

Формулы кофункций — GeeksforGeeks

Тригонометрическая кофункция определяется как выражение отношения тригонометрического угла через другой. Он иллюстрирует, как синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс связаны друг с другом. Кофункция дополнения угла равна тригонометрической функции этого угла. Например, синус угла x равен косинусу дополнения того же угла. Точно так же мы можем написать формулы кофункций и для других отношений.

Правило ASTC

Концепция формул кофункций основана на таблице тригонометрических квадрантов. Он следует правилу ASTC, которое означает «правило all sin co tan». Он сообщает, какие тригонометрические отношения положительны в любом заданном квадранте. Это также объясняет, что все тригонометрические отношения положительны в первом квадранте, только отношения синуса и косеканса положительны во втором квадранте, тангенс и котангенс положительны в третьем квадранте, а косеканс и секанс положительны в четвертом квадранте. Первый квадрант имеет углы от 0° до 9°.0°; второй квадрант имеет от 90° до 180°, третий квадрант имеет от 180° до 270°, а четвертый квадрант имеет от 270° до 360°.

 

Формулы кофункций

Формулы кофункций определены для углов -x, (90° – x), (90° + x), (180° – x), (180° + x), (270° – х), (270° + х), (360° – х). Все тригонометрические отношения оцениваются для этих углов путем замены их на угол x. Важным моментом здесь является то, что для угла x, добавленного / вычтенного на 90 ° или его кратное, тригонометрическое отношение равно положительному или отрицательному его дополнительному отношению. Например, синус угла (90° + x) есть cos x. В то время как для угла x, добавленного / вычтенного на 180 ° или его кратное, тригонометрическое отношение равно положительному или отрицательному собственному. Например, синус угла (180° + x) равен – sin x. The cofunction formulas are given below in the form of a table: 

Ratios

-x

90° – x

90° + x

180° – x

180° + x

270° – x

270° + x

360° – x

sin

-sin x

cos x

cos x

sin x

-sin x

-cos x

-cos x

-sin x

cos

cos x

sin x

-sin x

-cos x

-cos x

-sin x

sin x

cos x

TAN

-TAN x

COT x

-COT x

-TAN X

TAN X

COT X

-COT X

-TA

COT X

-COT x

-TA x x . TAN x x .TAN x x x x x .tan x x .tan x x x x x -Tan x .

-cosec x

sec x

sec x

cosec x

-cosec x

-sec x

-sec x

-cosec x

sec

sec x

косек x

-cosec x

-sec x

-sec x

-cosec x

cos x

sec x

cot

-cot x

tan x

-tan x

-кот х

кроватка х

загар х

-загар х

-кот х

Вывод

Вывод

Формулы разности и кофункции могут быть получены с использованием различных формул и кофункций.

Рассмотрим доказательство греха (90° – х) = cos х.

Мы знаем, что sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B.

Здесь A = 90° и B = x. Итак, формула принимает вид:

sin (90° – x) = sin 90° cos x – cos 90° sin x

= 1 (cos x) – 0 (sin x)

= cos x – 0

= cos x

Теперь рассмотрим доказательство того, что cos (90° – x) = sin x.

Мы знаем, cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B.

Здесь A = 90° и B = x. Итак, формула принимает вид:

cos (90° – x) = cos 90° cos x + sin 90° sin x

= 0 (cos x) + 1 (sin x)

= 0 + sin x

= sin x

Отсюда выводятся формулы кофункций для отношений синуса и косинуса. Точно так же мы можем вывести тождества кофункций и для других отношений.

Примеры задач

Задача 1: вычислить значение sin 25° cos 75° + sin 75° cos 25°.

Решение:

Мы знаем,

sin 25° = cos (90° – 25°) = cos 75°

cos 25° = sin (90° – 25°) = sin 75°

Итак, данное выражение принимает вид

sin 25° cos 75° + sin 75° cos 25° = cos 75° cos 75° + sin 75° sin 75°

= cos ² 75° + sin ² 75°

= 1

.

Решение:

Мы знаем,

sin 35° = cos (90° – 35°) = cos 65°

cos 35° = sin (90° – 35°) = sin 65°

Итак, данное выражение принимает вид = cos ² 65° + sin ² 65°

= 1

Задача 3: Вычислить значение sec 20° cosec 70° – tan 20° cot 70°.

Решение:

cosec 70° = sec (90° – 70°) = sec 20°

cot 70° = tan (90° – 70°) = tan 20°

выражение становится, 91

Задача 4: Вычислите значение cosec 40° sec 50° – cot 40° tan 50°.

Решение:

сек 50° = coсек (90° – 50°) = cosec 40°

tan 50° = ctg (90° – 50°) = cot 40° выражение принимает вид

cosec 40° sec 50° – cot 40° tan 50° = cosec 40° cosec 40° – cot 40° cot 40°

= cosec ² 40° – cot ² 40°

= 1

Задача 5: Вычислить значение tan 1° tan 2° tan 3°… tan 89°.

Решение:

У нас есть,

A = tan 1° tan 2° tan 3°……. загар 89°

= загар 1° загар 2° загар 3°……. tan 87° tan 88° tan 89°

= tan 1° tan 2° tan 3°….. tan 45° ….. tan 87° tan 88° tan 89°

= tan 1° tan 2° tan 3 °….. загар 45° ….. кроватка 3° кроватка 2° кроватка 1°

= tan 1° tan 2° tan 3°….. tan 45° ….. (1/tan 3°) (1/tan 2°) (1/tan 1°)

= tan 45°

= 1

Задача 6: Рассчитать значение кроватки 23° кроватки 41° кроватки 60° кроватки 67° кроватки 49°.

Решение:

cot 23° = tan (90 – 23) = tan 67°

cot 41° = tan (90 – 41) = tan 49°

90

кроватка 23° кроватка 41° кроватка 60° кроватка 67° кроватка 49° = коричневый 67° коричневый 49° кроватка 60° кроватка 67° кроватка 49°

= tan 67° tan 49° cot 60° (1/tan 67°) (1/tan 49°)

= cot 60°

= 1/√3

Задача 7. Вычислить значение x для уравнения, sin 2x = cos (x – 30°).

Решение:

Имеем,

sin 2x = cos (x – 30°)

Используя тождество cos x = sin (90° – x), получаем,

sin 2x 90° – (x – 30°))

sin 2x = sin (90° – x + 30°)

sin 2x = sin (120° – x)

=> 2x = 120 ° — x

=> 3x = 120 °

=> x = 40 °

Формулы и уравнения тригея — Высшая математика

Добро пожаловать в Highermathematics.co.

A Хорошее понимание Trig Formulas & Equations необходимо для успешной сдачи экзамена.

Прохождение ускоренного курса высшей математики значительно увеличивает ваши карьерные возможности, помогая вам поступить в колледж/университет, пройти стажировку или даже найти работу. «Хороший» результат по высшей математике подготовит вас к курсу математики AH в следующем году, если вы заинтересованы. Пожалуйста, сделайте все возможное, чтобы продолжать учебу.

Для студентов, которым нужна дополнительная помощь по курсу высшей математики, вы можете рассмотреть возможность подписки на фантастические дополнительные ресурсы, ориентированные на экзамены, доступные в онлайн-учебном пакете.

Чтобы получить доступ к множеству дополнительных бесплатных ресурсов по теме , воспользуйтесь расположенной выше панелью поиска или нажмите ЗДЕСЬ, выбрав тему, которую хотите изучить.

Мы надеемся, что вы найдете этот веб-сайт полезным, и желаем вам успехов в изучении курса высшей математики в 2023 году. Ниже вы найдете:

1. О тригонометрических формулах и уравнениях

2. Тригонометрия – рабочие листы

3. Тригонометрия – видео, руководства по теории и интеллект-карты

4. Основные навыки по высшей математике 

2. Лист 9000 по высшей математике.

7. Видео по высшей математике, руководства по теории, интеллект-карты и рабочие листы

8. Высшая математика и практические статьи

9. 40 вопросов и ответов по высшей математике без калькулятора

10. 200 вопросов и ответов по высшей математике 

11. Практические экзаменационные работы от A до H – ответы включены

12. 264 SQA экзамен с несколькими вариантами ответов, вопросы и ответы

13. Контрольные списки экзамена по высшей математике 1

3

3 Экзаменационные вопросы по математике по темам

15. Решения для учебников по высшей математике

16. Руководства по теории высшей математики 

17. Интеллект-карты по высшей математике 

18. Оценки модулей по высшей математике – решения включены

19. Higher Maths Past Paper Video Solutions

20. Рекомендуемый учебник по высшей математике

21. Онлайн-учебник, ориентированный на экзамен — для студентов, которые ищут «хороший» пропуск

 

Higher Math Resources

9

9

9 .

1. О формулах и уравнениях триггеров 

Чтобы узнать о формулах и уравнениях тригонометров , нажмите ссылку Руководство по теории тригонометрии (HSN) и прочитайте со страницы 2.  Также см. разделы 2 и 3 ниже видео об уравнениях триггеров 1 и 2 , интеллект-карты (см. раздел «Тригонометрия») и рабочие листы по этой теме, которые помогут вашему пониманию. Настоятельно рекомендуется использовать рабочий лист Essential Skills 13, а также рабочие листы, включающие фактические экзаменационные вопросы SQA.

Если вам нужна дополнительная помощь в понимании Trig Formulas & Equations  в  обучаемом онлайн-пакете вы найдете четкие, простые для выполнения пошаговые решения десятков экзаменационных вопросов Higher Maths Past & Practice по всем темам. Пожалуйста, предоставьте себе все возможности для достижения успеха, поговорите со своими родителями и подпишитесь на пакет онлайн-обучения

      , посвященный экзамену, сегодня.

Триггерные формулы и уравнения  

Триггерные уравнения регулярно встречаются на экзамене по высшей математике. Вы должны иметь;

• Экспертные знания о том, как использовать CAST Diagram
• Работа с формулами триггеров ⇒ они приведены в списке формул экзамена по высшей математике
• Работа с идентификаторами триггеров ⇒ они НЕ указаны в списке формул экзамена по высшей математике

.

Trig Идентичности, которые вы должны выучить:

• sin²x + cos² = 1
• танкс = sinx/cosx

.

Если в уравнении есть cos2A с cos A, то cos2A необходимо заменить на

• cos2A = cos²A – sin²A
• cos2A = 2cos²A – 1
• cos2A =1 – 2sin²A

.

Если уравнение содержит sin2A с sin A, то sin2A необходимо заменить на

• sin2A = 2sinAcosB

.

На экзаменах/тестах приведенные ниже формулы для экзамена по высшей математике помогают решать тригонометрические уравнения:

• sin(A ± B) = sinA cosB +/-  cosA sinB
• cos (A ± B) = cosA cosB -/+ sinAsinB
• sin2A = 2sinAcosB
• cos2A = cos²A – sin²A
• cos2A = 2cos²A – 1
• cos2A = 1 – 2sin²A

.

Вы также должны обладать экспертными знаниями в следующих областях (от National 5 Maths)

• Правило синусов и правило косинусов и диаграмма CAST
• Идентификаторы триггеров sin²x + cos² = 1 и tanx = sinx/cosx
• Для ознакомления с вышеизложенным N5 Maths посетите сайт www. national5maths.co.uk

.

2. Тригонометрия – Рабочие листы

Спасибо SQA и авторам за предоставление бесплатного доступа к приведенным ниже превосходным ресурсам. Пожалуйста, регулярно используйте для повторения перед оценками, тестами и выпускным экзаменом. Четкие, простые в использовании, пошаговые рабочие решения для всех рабочих листов, приведенных ниже, доступны в пакете онлайн-обучения.

Высшие рабочие листы ________________________________	Рекомендуемые ________________	Рабочий лист ___________________________________	Без ответов ________________	Примечания/комментарии ___________________________	Предоставлено ____________________
Теория тригонометрии (HSN)	Рекомендуется	Теория тригонометрии (HSN)			Предоставлено HSN
Дальнейшая теория исчисления (HSN)	Рекомендуется	Дальнейшая теория исчисления (HSN)			Предоставлено HSN
Теория волновой функции (HSN)	Рекомендуется	Теория волновой функции (HSN)			Предоставлено HSN
Heinemann — Trig Graphs & Equations	Решения для учебников	Ex 4A, 4B, 4C, 4E, 4H, 4I, 4J		Ответы по ссылкам
Heinemann — Формулы сложения	Решения из учебника	Примеры 11B, 11C, 11D, 11E, 11F, 11G, 11H, 11J		0020
Heinemann — Дальнейшее исчисление	Решения для учебников	Ex 14B, 14C, 14E, 14G, 14H, 14I, 14J, 14K
Heinemann — Wave Function	Решения для учебников	Ex 16A, 16C, 16D, 16E, 16F, 16G, 16H		Ответы по ссылкам
Практика экзамена по основным навыкам 5		Тригонометрия	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Практика экзамена по основным навыкам 7		Wave Function	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Основные навыки 11		Триггерная формула	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Основные навыки 12		Родственные углы	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Основные навыки 13		Уравнения триггера (формула двойного угла)	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Основные навыки 16		Волновая функция	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Основные навыки 19		Подтверждение подлинности триггеров	Без ответов	Только ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Базовые навыки 25 — Математика N5		Правило синусов (Математика N5)		Ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Базовые навыки 26 — Математика N5		Правило косинусов (математика N5)		Ответы	Предоставлено Mr G Rennie
Усилительная бумага 8		Волновая функция	Без ответов
Бумага Grade Booster Paper 10		Триггерные уравнения с двойными углами	Без ответов
Экзаменационный лист 1	Рекомендуемый	Дальнейшее исчисление 1 (2000–2022)	Без ответов	2022 Вопросы включены!	Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 2	Рекомендуемый	Тригонометрия 1 (2000 — 2022)	Без ответов	2022 Вопросы включены!	Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 3		Тригонометрия 2 (2000–2013)		Схемы оценки SQA	Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 4	114 вопросов SQA	Тригонометрия 3 (Старая высшая)	Без ответов	Несколько вариантов ответа включены!	Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 5	Рекомендуемый	Триггерные формулы сложения 1 (2000–2022)	Без ответов	2022 Вопросы включены!	Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 6		Триггерные формулы сложения 2 (Старое высшее)	Без ответов	Включены множественные варианты!	Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 7		Триггерные графики и уравнения (Старое выше)	Без ответов	Включен множественный выбор!	Предоставлено SQA
Рабочий лист экзамена 8		Триггерные формулы и уравнения 1	Без ответов		Предоставлено SQA
Рабочий лист экзамена 9		Триггерные формулы и уравнения 2	Без ответов		Предоставлено SQA
Рабочий лист экзамена 10	Рекомендуемый	Волновая функция 1 (2000–2022)	Без ответов	2022 Вопросы включены!	Предоставлено SQA
Рабочий лист экзамена 11		Волновая функция 2	Без ответов		Предоставлено SQA
Рабочий лист экзамена 12		Волновая функция 3 (Старое высшее)	Без ответов		Предоставлено SQA
Экзаменационный лист 13		Волновая функция 4 (2000–2013)		Схемы оценки SQA	Предоставлено SQA
Рабочие листы 1		Графики триггерных функций
Рабочие листы 2		Триггерные функции — период и амплитуда
Контрольный список экзамена 1		Формулы сложения
Контрольный список экзаменов 13		Триггерные графики и уравнения
Контрольный список экзаменов 15		Волновая функция

.

3. Тригонометрия – видео, теоретические руководства и интеллект-карты

Спасибо авторам за предоставление бесплатного доступа к приведенным ниже превосходным ресурсам. Пожалуйста, регулярно используйте для повторения перед оценками, тестами и выпускным экзаменом.

Видеоматериалы Larbert Maths ______________________________	Видео maths180.com ____________________	HSN Theory Guide ____________________________	Mind Maps 20 __________________	Mind Maps 03 ________________
Формула сложения	Решение тригонометрических уравнений	Теория тригонометрии (HSN)	Тригонометрия (HSN)
Формула двойного угла	Триггерные графики		Волновая функция (HSN)
Точные значения			Формула составного угла
Радианы			Тригонометрия 1
Триггерные уравнения 1			Тригонометрия 2
Триггерные уравнения 2
Триггерные идентификаторы
Волновая функция — введение
Волновая функция — все формы
Волновая функция — уравнения
Волновые функции — графики
Волновая функция — максимальное и минимальное значения
Волновая функция — несколько углов

.

4. Высшие математические навыки 

Благодарим г-на Г. Ренни за то, что он предоставил в свободный доступ приведенные ниже отличные ресурсы. Рабочие листы основных навыков можно использовать для общего повторения, выполнения домашних заданий, закрепления темы или подготовки к оцениванию, тестам и экзаменам. Четкие, простые в использовании, пошаговые решения для всех 33 рабочих листов основных навыков, приведенных ниже, доступны в онлайн-учебном пакете.

.

5. Рабочие листы экзамена по высшей математике по темам

Спасибо SQA и авторам за предоставление бесплатного доступа к приведенным ниже превосходным ресурсам. Рабочие листы по темам являются фантастическим учебным ресурсом, поскольку они являются реальными вопросами прошлых бумажных экзаменов. Четкие, простые в использовании, пошаговые решения для всех новых вопросов CfE по высшей математике, приведенных ниже, доступны в онлайн-пакете для изучения.

.

6. Прошлые и практические работы по высшей математике по темам

Спасибо SQA за предоставление бесплатного доступа к превосходным ресурсам, указанным ниже. Вопросы и ответы разделены по темам для удобства поиска. Четкие, простые в использовании, пошаговые решения всех приведенных ниже вопросов доступны в пакете онлайн-обучения.

. Бумага _____________

. Маркировка __________

. Круги ______

Дифференциация и оптимизация 9. Integration _________

Polynomials & Quadratics ____________

Recurrence Relations __________

Straight Lines _________

Trig Formulae & Equations ____________

. Векторы ________

Волна Функция _________

2019 P1

Marking P1

Q3,16

Q1

Q14

Q10,12

Q6,11,17b

Q8

Q2

Q4

Q5,7

Q13, 15,17а

Q9

2019 P2

Маркировка P2

Q15

Q7B, 11

Q9,12

Q5,8

Q2,13

Q7,10

Q2,13

Q7,10

Q2,13

Q7,10

Q2,13

Q7,10

Q2,13

Q7,10

Q2,13

. 0020

Q4

Q1

Q6b

Q3,14

Q6a

2018 P1

Marking P1

Q4

Q6,11

Q2,11,15

Q3,14

Q10

Q7

Q1,8

Q13

Q5,9 ,12

2018 P2

Обозначение P2

Q5c,12

Q3,9

Q11

Q6

, 17a, 17

Q1

Q1

0020

7b,c

Q5a,b

Q2

Q8

2017 P1

Marking P1

Q2

Q8,15c

Q12

Q1,6,15a

Q3,13

Q10,15b

Q4

Q9

Q7,11

Q5

Q14

2017 P2

Маркировка P2

Q3,10

Q4,7

Q9

Q2

200020

Q1

Q6,11

Q5

2016 P1

Marking P1

Q4,8

Q2,9

Q14

Q6,10,12

Q5

Q15

Q3

Q1

Q13

Q7,11

2016 P2

Marking P2

Q4

Q7

Q6

Q10,11b

3b,9

Q2,3a

Q1

Q8b,11a

Q5

Q8a

2015 P1

Marking P1

Q11,14

Q2,7

Q6

Q4,5,13

Q12,15

Q3,8

Q9

Q10

Q1

2015 P2

Marking P2

Q5

Q8

Q2

Q7a

Q4

Q3

Q1

Q7b

Q6

Q9

Specimen P1

Marking P1

Q11

Q8

Q10

Q1

Q4,7

Q2,5,9

Q6,12

Q3

Specimen P2

Marking P2

Q5

Q3b,8

Q4,7

Q9

Q3a

Q2

Q1,6

Q10

Exemplar P1

Marking P1

Q1

Q8,11

Q10

Q3

Q2,5

Q6

Q4,7

Q9

Exemplar P2

Marking P2

Q2

Q9,10

Q7

Q8

Q4

Q3

Q1

Q5,6

.

7. Видео по высшей математике, руководства по теории, интеллект-карты и рабочие листы

Десятки видеороликов по высшей математике содержат качественные уроки по темам. Также включены отличные руководства по теории, интеллект-карты и рабочие листы с актуальными экзаменационными вопросами по высшей математике. Пожалуйста, нажмите на нашу новую страницу с видео и рабочими таблицами по высшей математике по темам.

.

8. Higher Maths Past & Practice Papers

Спасибо SQA за то, что они предоставили в свободный доступ превосходные ресурсы, указанные ниже. Четкие, простые в использовании, пошаговые решения для всех представленных ниже документов CfE Higher Papers доступны в пакете онлайн-обучения.

.

9. 40 Вопросы и ответы по высшей математике без калькулятора

Спасибо SQA и авторам за предоставление бесплатного доступа к приведенным ниже превосходным ресурсам. Начните с этих вопросов, чтобы укрепить свою уверенность. После завершения вы можете перейти к 200 экзаменационным вопросам по высшей математике в следующем разделе, проверяя свои ответы по мере продвижения. Если вы застряли, всегда обращайтесь к учителю за помощью как можно скорее. Четкие, простые для понимания, пошаговые решения всех 40 приведенных ниже вопросов доступны в пакете онлайн-обучения.

.

10. 200 вопросов и ответов по высшей математике

Спасибо SQA и авторам за предоставление бесплатного доступа к приведенным ниже превосходным ресурсам. Пожалуйста, постарайтесь задать как можно больше вопросов, проверяя ответы по ходу. Если вы застряли, всегда обращайтесь к учителю за помощью как можно скорее. Четкие, простые в использовании, пошаговые решения всех 200 приведенных ниже вопросов доступны в пакете онлайн-обучения.

.

11. Практические экзаменационные работы от A до H – ответы включены

Спасибо SQA и Larkhall Academy за предоставление в свободном доступе превосходных ресурсов, указанных ниже. Пожалуйста, регулярно используйте для повторения перед оценками, тестами и выпускным экзаменом. Четкие, простые в использовании, пошаговые решения для практических работ от A до E доступны в онлайн-пакете для изучения.

.

12. 264 SQA Exam Multiple Choice Questions & Answers 

Спасибо SQA и авторам за предоставление бесплатного доступа к приведенным ниже превосходным ресурсам. Множественный выбор — это, прежде всего, вопросы уровня C, и это отличное место для начала проверки. Если вы застряли, всегда обращайтесь к учителю за помощью как можно скорее.

.

13. Контрольные списки экзамена по высшей математике

Спасибо SQA и авторам за то, что они предоставили в свободный доступ превосходные ресурсы, указанные ниже. Это фантастические контрольные списки для оценки ваших знаний по высшей математике. Пожалуйста, старайтесь регулярно использовать их для повторения перед тестами, предварительными экзаменами и выпускным экзаменом.

.

14. Старые экзаменационные вопросы по высшей математике по темам

Благодарим SQA за предоставленный в свободном доступе превосходный ресурс. Рабочие листы по темам являются фантастическим дополнительным учебным ресурсом.

Тема ________	Название темы ___________________________	Ссылка ________	Примечания ___________________
Тема 1	Круги	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 2	Дифференциация	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 3	Экспоненты и логарифмы	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 4	Функции	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 5	Дальнейшее исчисление	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 6	Графики функций	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 7	Интеграция	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 8	Многочлены	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 9	Квадратика	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 10	Рекуррентные соотношения	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 11	Прямая линия	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 12	Триггерные формулы сложения	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 13	Триггерные графики и уравнения	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 14	Векторы	ЗДЕСЬ	Ответы включены
Тема 15	Волновая функция	ЗДЕСЬ	Ответы включены

.

15. Решения для учебников по высшей математике 

Спасибо AHS за предоставленные решения для учебников Heinemann по высшей математике, указанные ниже. Они окажутся чрезвычайно полезными для улучшения ваших знаний по высшей математике. Обратите внимание, что может быть нечетная арифметическая ошибка.

.

16. Руководства по высшей математике 

Благодарим HSN за то, что они сделали превосходные руководства по высшей математике бесплатными для всех. Они окажутся фантастическим ресурсом, который поможет вам закрепить ваше понимание высшей математики.

Теоретические руководства _________________	Тема ____________________________________________	Ссылка _______
Теоретическое руководство 1	Все темы Раздел 1 Теория (HSN)	ЗДЕСЬ
Теоретическое руководство 2	Все темы, часть 1 — краткое руководство на одной странице (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 3	Все темы Раздел 2 Теория (HSN)	ЗДЕСЬ
Теоретическое руководство 4	Все темы, часть 2 — краткое руководство на одной странице (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 5	Все темы Раздел 3 Теория (HSN)	ЗДЕСЬ
Теоретическое руководство 6	Все темы, раздел 3 — краткое руководство на одной странице (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 7	Все темы Разделы 1, 2 и 3 Теория (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 8	Теория кругов (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 9	Теория дифференцировки (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 10	Теория экспонент и логарифмов (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 11	Теория функций и графиков (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 12	Дополнительная теория исчисления (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 13	Теория трансформации графиков (движение и отражение)	ЗДЕСЬ
Теоретическое руководство 14	Сводная таблица преобразований графиков	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 15	Теория интеграции (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 16	Теория многочленов и квадратичных уравнений (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 17	Теория последовательностей (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 18	Теория прямых линий (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 19	Теория тригонометрии (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 19	Теория векторов (HSN)	ЗДЕСЬ
Руководство по теории 20	Теория волновых функций (HSN)	ЗДЕСЬ

.

17. Интеллект-карты высшей математики

Спасибо авторам за предоставленные ниже отличные ресурсы. Они окажутся фантастическим ресурсом, помогающим вам подготовиться к оценкам, тестам и выпускному экзамену.

.

18. Оценки модулей по высшей математике – решения включены

Спасибо авторам за то, что они сделали нижеприведенные превосходные ресурсы бесплатными для всех. Пожалуйста, регулярно используйте для повторения перед оценками, тестами и выпускным экзаменом.

.

19. Higher Maths Past Paper Video Solutions

Щелкните DLB Maths, чтобы просмотреть видеорешения Higher Maths Past Paper. Это отличный ресурс, который поможет вам подготовиться к оцениванию, тестам и выпускному экзамену.

.

20. Рекомендуемый учебник по высшей математике

Ниже вы найдете рекомендуемый учебник, который можно заказать, нажав на книгу/ссылку.

.

No related posts.