как выполняется понижение для тригонометрических функций
Понижение степени в тригонометрии
Формулы понижения степени позволяют выразить тригонометрическую функцию n-ной степени через синус и косинус первой степени кратного значению n угла.
Применяемые формулы, доказательства
Формулы понижения степени выводятся из формул двойных, тройных и т.д. углов, которые в свою очередь являются следствием формул сложения и вычитания аргументов (метод заключается в представлении данных тождеств в виде суммы двух равных углов).
Формула понижения степени синуса и косинуса
Общий вид формул понижения степени для синуса и косинуса отличается для четных и нечетных степеней. Для четных (n = 2, 4, 6, …) они выглядят следующим образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(\sin^n\left(\alpha\right)=\frac{\mathrm C_\frac n2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{{\textstyle\frac n2}-1}{(-1)}^{{\textstyle\frac n2}-k}\cdot\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)
\(\cos^n\left(\alpha\right)=\frac{\mathrm C_\frac n2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{{\textstyle\frac n2}-1}\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)
Для нечетных степеней (n = 3, 5, 7, …) в общем виде формулы записываются так:
\(\sin^n\left(\alpha\right)=\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{\textstyle\frac{n-1}2}{(-1)}^{{\textstyle\frac{n-1}2}-k}\cdot\mathrm C_k^n\cdot\sin\left((n-2k)\alpha\right)\)
\(\cos^n\left(\alpha\right)=\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{\textstyle\frac{n-1}2}\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)
На практике чаще всего используются формулы для второй степени, немного реже — для третьей и четвертой.
2\left(x\right)d2x=\int2\cdot\frac{1+\cos\left(2x\right)}2d2x=\int1+\cos\left(2x\right)d2x\)
Так как выражение под знаком интеграла является многочленом, проинтегрируем каждую его часть по очереди:
\(\int1+\cos\left(2x\right)d2x=\int1d2x+\int\cos\left(2x\right)d2x=x+\sin\left(2x\right)+\mathrm C\)
основные формулы, шпаргалка, таблица для ЕГЭ
Тригонометрические формулы необходимо знать, чтобы сдать ЕГЭ. Мы собрали основные формулы в одну таблицу, с помощью которой вам будет легко готовиться к экзамену
Тригонометрические формулы для 10 класса по алгебре. Фото: shutterstock.comИгорь Геращенко Автор КП
Содержание
- Основные тригонометрические формулы
- Формулы сложения
- Формулы двойного угла
- Формулы тройного угла
- Формулы понижения степени
- Таблица с тригонометрическими формулами
История тригонометрии насчитывает более 2 000 лет.
В последующие годы значительный вклад в науку о соотношениях между углами и сторонами внесли Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Исаак Ньютон, Леонард Эйлер, Николай Лобачевский и другие ученые. Если раньше тригонометрия использовалась, в основном, в астрономии, архитектуре и геодезии, то в настоящее время практически нет таких естественных и технических наук, где бы эта дисциплина не нашла своего применения.
Основные тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы устанавливают соотношения между основными тригонометрическими функциями: синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Связей между ними достаточно много, этим и объясняется многообразие тригонометрических формул.
Существуют формулы сложения, двойного угла, тройного угла, формулы понижения степени и целый ряд других.
Шпаргалка для ЕГЭ
Задания по тригонометрии всегда вызывают большие затруднения у учащихся, сдающих ЕГЭ. На ЕГЭ по математике выносятся следующие тригонометрические задания: базовый уровень (задание 7), профильный уровень (задания 4 и 12).
Мы собрали основные тригонометрические формулы, которые помогут при решении задач на ЕГЭ.
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают то, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов находят свое выражение через тригонометрические функции этих углов. Данные формулы являются базой для вывода формул двойного и тройного угла, а также понижения степени.
Скачать формулы сложения
Формулы двойного угла
Формулы двойного угла выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2α через тригонометрические функции угла. Данные формулы следуют из формул сложения. Формулы двойного угла используются преимущественно для преобразования тригонометрических выражений.
Скачать формулы двойного угла
Формулы тройного угла
По аналогии с формулами двойного угла мы можем получить формулы тройного угла.
Для этого опять-таки используются формулы сложения, а также формулы двойного угла.
Скачать формулы тройного угла
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени дают возможность понизить степени тригонометрических функций до первой. Эти формулы помогают переходить от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов.
Скачать формулы понижения степени
Таблица с тригонометрическими формулами
Чтобы сделать процесс запоминания тригонометрических формул более простым и доступным, мы занесли основные тригонометрические формулы в одну таблицу. Если ее всегда держать перед глазами, постоянно ею пользоваться, то на ЕГЭ не возникнет проблем с выполнением заданий по тригонометрии.
Скачать таблицу с тригонометрическими формулами
тригонометрических идентификаторов снижения мощности | Brilliant Math & Science Wiki
Мэй Ли, Омкар Кулкарни, Пранджал Джайн, и
способствовалСодержимое
- Личности
- Формулы половинного угла
92 \тета.
\ _\квадрат
\конец{выравнивание}\]Используя формулы приведения степени, мы можем вывести следующие формулы половинного угла :
Формулы половинного угла
Для любого угла \(\theta\),
\[ \begin{выравнивание} \cos\left(\frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos\theta}{2} }\\ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{2} }\\ \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{1 + \cos\theta}}. \конец{выравнивание}\] 9{2}(2\тета)}{4}\\ &=\frac{1+2\cos(2\theta)+\frac{1+\cos(4\theta)}{2}}{4}\\ &=\frac{2+4\cos(2\theta)+1+\cos(4\theta)}{8}\\ &=\frac{1}{8}\big(\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3\big).\ _\square \конец{выравнивание}\]
Используйте формулы половинного угла для вычисления \(\cos \left(\frac{\pi}{12} \right) \) и \(\sin \left(\frac{\pi}{12} \right). \)
В формулах \(\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos\theta}{2} }\) и \(\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{2} },\) мы заменяем \(\theta\) на \(\frac {\пи} {6}:\)
\[\begin{выравнивание} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) &=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} } \\ & =\pm\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2} \конец{выравнивание}\]
\[\begin{выравнивание} \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) &=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} } \\ &=\pm\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.
\конец{выравнивание}\]Поскольку \(\frac{\pi}{12}\) лежит в первом квадранте, мы присваиваем положительные значения \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\) и \( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\).
Отсюда \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\) и \(\sin\left( \ frac {\ pi} {12} \ right) = \ frac {\ sqrt {2- \ sqrt {3}}} {2} \). \(_\квадрат\)
Подтвердить личность
\[\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1-\cos \theta}{\sin\theta},\quad \tan \left( \frac{\theta {2} \right) = \frac{\sin\theta}{1+\cos \theta}.\]
У нас есть
\[\begin{выравнивание} \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) &= \pm \sqrt{ \frac{1 — \cos\theta}{1 + \cos\theta}}. \конец{выравнивание}\] 92} }\\ &=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.\ _\квадрат \конец{выравнивание}\]
Процитировать как: Тригонометрические тождества понижения мощности.
\ _\квадрат
\конец{выравнивание}\]
