Углы при секущей: Углы при пересечении двух прямых

Углы и прямые 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 2: Планиметрия

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

УГЛЫ И ПРЯМЫЕ

Прямая — это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.

Виды углов при пересечении двух прямых:

1. Смежными называются углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой. Смежные углы в сумме дают 180°.
2. Вертикальными называются углы, у которых стороны одного угла являются продолжением второго угла. Вертикальные углы равны.

Непересекающиеся прямые – параллельные

Свойства параллельных прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой

Углы при параллельных прямых и секущей:

Накрест лежащие углы это два угла во внутренней области параллельных прямых и на разных сторонах секущей. Внутренние накрест лежащие углы попарно равны (3 и 6, 4 и 5).

Соответственные углы это два угла, один во внешней области, один во внутренней области, и которые лежат на одной стороне секущей. Соответственные углы равны (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8).

Односторонние углы лежат по одну сторону от всей секущей внутри параллельных прямых. Сумма односторонних углов равна 180° (3 и 5, 4 и 6).

Признаки параллельных прямых:

• ✓ Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

• ✓ Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

• ✓ Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180◦, то прямые параллельны.

• ✓ Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Задача №1

Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 67°.

Чему равны три остальных угла?

Решение:

Угол 1: 180-67=113, угол 2 равен 67, угол 3 равен углу 1, т.е. 113.

Задача №2

Прямые a и b параллельны. Найдите градусную меру угла x.

Угол х и угол в 100˚ являются соответственными при параллельных прямых, тогда x = 100˚

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы — Студопедия

Поделись  

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые а и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны,то есть
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180º.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Углы 1 и 6 —

односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна180°, то есть
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть ВМ — биссектриса тупого угла В. По условию, отрезки МD и АВ равны 3х и 4х соответственно.

Рассмотрим углы СВМ и ВМА. Поскольку АD и ВС параллельны, ВМ — секущая, углы СВМ и ВМА являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник АВМ — равнобедренный, следовательно, АВ = АМ = 4х.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
7х + 7х + 4х + 4х = 88.
Отсюда х = 4, 7х = 28.

Ответ: 28.

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26º и 34º. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: 120º.

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50º? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, чторавнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, α — β = 50°, то есть α = β + 50°.

Углы α и β — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
α + β = 180°.

Итак, 2β + 50° = 180°
β = 65°, тогда α = 115°.

Ответ: 115.

EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Высоты, медианы, биссектрисы треугольника



Тангенс, секущие, их дуги и углы — Формула, Рисунки, Интерактивная демонстрация и практические задачи

К сожалению, в прошлом году рекламный блок начал отключать загрузку почти всех изображений на нашем сайте, что привело к тому, что mathwarehouse стало непригодным для использования пользователями adlbock.

Рабочий лист с ключом ответа на эту тему

Теоремы круга

Резюмируются три теоремы для перехваченных дуг до угла двух касательных, двух секущих или 1 касательной и 1 секущей. по картинкам ниже. Если вы посмотрите на каждую теорему, вам действительно нужно запомнить только ОДНУ формулу.

Формула

Угол, образованный пересечением 2 касательных, 2 секущих или 1 касательной и 1 секущей вне окружности, равен половине разница перехватываемых дуг! Следовательно, чтобы найти этот угол (угол K в примеры ниже), все, что вам нужно сделать, это взять дальнюю перехваченную дугу и рядом с меньшей перехваченной дугой, а затем разделите это число на два! Вот почему мы называем это теоремой Far Arc Near Arc (иногда сокращенно Farc — Narc).

Дальняя дуга – Формула ближней дуги

Все формулы на этой странице можно рассматривать как «дальнюю дугу» и «ближнюю дугу». Угол, образованный вне круга, всегда равен дальней дуге минус ближняя дуга, деленной на 2.

Технические формулы

Посмотрите выше, чтобы увидеть простой способ запомнить формулы

Примечание: учитываются только перехваченные дуги.

Случай I. Тангенс и секанс

Мера угла, образованного секущей и касательная, проведенная из точки вне окружность $$ \frac 1 2 $$ разность пересекаемых дуг .

Помните, что в этой теореме использовались только перехваченные дуги. Поэтому красная дуга на картинке ниже не используется в эта формула.

Дело II. 2 секунца

Мера угла, образованного двумя секущими, проведенными из внешней точки окружность составляет половину разности перехваченных дуг:

На рисунке ниже мера $$ \angle x$$ равна $$ \frac 1 2 $$ разности дуг, пересекаемых двумя секущими.

Помните, что в этой теореме используются только перехваченные дуги. Поэтому красные дуги на картинке ниже не используется в формуле этой теоремы.

Дело III. 2 тангенса

Мера угла, образованного двумя касательными из точки вне круга $$\frac 1 2 $$ разность пересекаемых дуг .

С одной стороны, этот случай, по-видимому, отличается от других, потому что вся окружность включена в перехваченные дуги. Поскольку обе линии являются касательными, они касаются окружности в одной точке и, следовательно, не «отрезают» какие-либо ее части. круг.

Интерактивное приложение

$$ \overparen{\rm Far} = \class{data-angle-0}{35,92} \\ \overparen{\rm Near} = \class{data-angle-1}{89,84} \\ \angle{Outer} = \frac{\overparen{\rm Far} — \overparen{\rm Near}}{2} \\ = \ frac {\ class {data-angle-0} {035,92} — \ class {data-angle-1} {89,84}} {2} \\ = \ class {данные-угол-внешний} {26,9{\ круг} $$

Перетащите точки, чтобы начать демонстрацию

Апплет на собственной странице

Практические задачи

Проблема 1

Какова мера $$\угол x $$?

Примените формулу. {\circ} = \overparen{\rm CH}$$

Проблема 6

Две секущие выходят из одной точки и пересекают окружность, как показано на диаграмме ниже. Каково значение х?

Примените формулу.

$$ m \angle x = \frac{1}{2} \left( \overparen{Farc} — \overparen{Narc} \right) \\ м \угол x = \frac{1}{2} \left( \overparen{ABC} — \overparen{XYZ} \right) \\ м \угол x = \frac{1}{2}(140-50) \\ м \угол x = \frac{1}{2}(9{\ круг} $$

Проблема 7

Используйте свои знания теорем на этой странице, чтобы определить, в какой точке C или D находится нижний сегмент. пересекает окружность. Другими словами, является ли точка D касательной к круг?

Так как $$ \frac{1}{2}(113- 45) \ne 35. $$ Отрезок не касается окружности в точке C.

Однако $$\frac{1}{2}(115- 45) = 35 $$, поэтому отрезок пересекает точку D. (115 представляет 113 + 2, что является суммой дуги ABC + дуги CD)

Рабочий лист с ключом ответа на эту тему

Теоремы круга

Угол пересекающихся секущих Теорема

Горячая математика

Если две прямые пересекаются вне круг , то мера угла, образованного двумя прямыми, равна половине положительной разности мер пересекаемых дуги .

В круге две линии А С ↔ а также А Е ↔ пересекаются вне круга в точке А .

м ∠ С А Е знак равно 1 2 ( м С Е ⌢ − м Б Д ⌢ )

Пример:

В показанном кружке, если м Б Д ⌢ знак равно 28 ° а также м С Е ⌢ знак равно 88 ° , затем найдите м ∠ С А Е .