Угол прямой смежный: Смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые

alexxlab / / Разное

1 смежные вертикальные углы. Смежные и вертикальные углы

1 смежные вертикальные углы. Смежные и вертикальные углы

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 =

/ 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2

d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

    Два угла размещнные на одной прямой и имеющие одну вершину называются смежными.

    Иначе — если сумма двух углов на одной прямой равна 180 градусам и одна сторона у них общая, то это смежные углы.

    1 смежный угол + 1 смежный угол = 180 градусов.

    Смежные углы -это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны в целом образуют прямую линию.

    Сумма двух смежных углов всегда равна 180 градусам. К примеру, если один угол 60 градусов, то второй обязательно будет равен 120 градусам (180-60).

    Углы АОС и ВОС являются смежными углами, потому что соблюдается все условия характеристики смежных углов:

    1.ОС -общая сторона двух углов

    2.АО -сторона угла АОС, ОВ -сторона угла ВОС. Вместе эти стороны образуют прямую линию АОВ.

    3.Угла два и сумма их равна 180 градусов.

    Вспоминая школьный курс геометрии, про смежные углы мы можем сказать следующее:

    у смежных углов — одна сторона общая, а другие две стороны принадлежат одной прямой, то есть находятся на одной прямой. Если по рисунку, то углы СОВ и ВОА — это смежные углы, сумма которых всегда равна 180 , так как они разделяют развернутый угол, а развернутый угол всегда равен 180 .

    Смежные углы понятие легкое в геометрии. Смежные углы, угол плюс угол дают 180 градусов в общей сумме.

    Два смежных угла — это будет один развернутый угол.

    Есть еще несколько свойств. Со смежными углами задачи решать и теоремы доказывать легко.

    Смежные углы образуются при проведении луча из произвольной точки прямой. Тогда эта произвольная точка оказывается вершиной угла, луч — общей стороной смежных углов, а прямая от которой проведен луч — двумя оставшимися сторонами смежных углов. Смежные углы могут быть как одинаковыми в случае перпендикуляра, так и отличатся при наклонном луче. Легко понять, что сумма смежных углов равна 180 градусов или попросту прямой линии. По другому этот угол можно объяснить простым примером — вы сперва шли в одном направлении по прямой, потом передумали, решили вернуться назад и развернувшись на 180 градусов отправились по той же прямой в обратном направлении.

    Итак, что же такое смежный угол? Определение:

    Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.

    И небольшой видео урок, где толково показано про смежные углы, вертикальные углы, плюс про перпендикулярные прямые, которые являются частным случаем смежных и вертикальных углов

    Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а вторая является одной линией.

    Смежные углы — это углы, зависящие друг от друга. То есть если общую строну слегка повернуть, то один угол уменьшится на сколько-то градусов и автоматически второй угол увеличится на столько же градусов. Это свойство смежных углов позволяет в Геометрии решать различные задачи и осуществлять доказательства различных теорем.

    Общая же сумма смежных углов всегда равна 180 градусов.

    Из курса геометрии, (насколько я помню за 6 класс) смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами, сумма смежных углов равна 180. Каждый из двух смежных углов, дополняет другой до развернутого угла. Пример смежных углов:

    Смежные углы это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам. А вообще все это очень легко находится в гугле или учебнике геометрии.

Начальные сведения об углах

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 1

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 2

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).

Определим теперь, что такое величина угла.

Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти. 0$.

Вертикальные углы

Рассмотрим развернутые углы $AOB$ и $MOC$. Совместим их вершины между собой (то есть наложим точку $O»$ на точку $O$) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпали. Тогда

Определение 8

Два угла будем называть вертикальными, если пары их сторон являются развернутыми углами, а их величины совпадают (рис. 3).

В данном случае углы $MOA$ и $BOC$ являются вертикальными и углы $MOB$ и $AOC$ также вертикальные.

Теорема 2

Вертикальные углы равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3. Докажем, к примеру, что угол $MOA$ равняется углу $BOC$.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия

См. Угол … Большой Энциклопедический словарь

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь

См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

— (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия

Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия

Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия

Книги

  • О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
  • Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…

Вертикальные и смежные углы. Вертикальные и смежные углы Сумма углов, имеющих общую вершину

Урок 8. Вертикальные углы. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. ТЕОРЕМА. Вертикальные углы равны. Доказательство: = = 180 Аналогично = = = 3 2 = 4 Решение задач: 64, 66 Домашнее задание: п. 11, 66, 67

Математический диктант. 1 вариант. 1. Закончите предложение: «Если углы 1 и 2 – смежные, то их сумма…» 2. Острым, тупым или прямым будет угол, смежный с углом 30 градусов? 3. Сумма двух углов 180 градусов. Обязательно ли эти углы смежные? 4. Прямые АМ и СЕ пересекаются в точке О, которая лежит между ними. Получились ли при этом вертикальные углы? Если да, то назовите их. 5. Чему равен угол, если вертикальный с ним угол равен 34 градуса? 6. Один из четырех углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 140 градусов. Чему равны остальные углы? 7. У двух углов – общая вершина, первый угол 40 градусов, второй – 140 градусов. Вертикальные ли эти углы? 2 вариант. 1. Закончите предложение: «Два угла называются смежными, если одна сторона – общая, а другая…» 2. Острым, тупым или прямым будет угол, смежный с углом 130 градусов? 3. Сумма двух углов с общей стороной 180 градусов. Обязательно ли эти углы смежные? 4. Ученик построил 2 вертикальных угла. Сколько пар прямых при этом получилось? 5. У двух углов – общая вершина, каждый из этих углов равен 60 градусов. Обязательно ли эти углы вертикальные? 6. Один из четырех углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 80 градусов. Чему равны остальные углы? 7. Чему равен угол, если вертикальный с ним угол равен 120 градусов?

Ответы. 1. Равна 180 градусов 2. Тупой угол 3. Нет 4. Углы АОС и ЕОМ, АОЕ и СОМ градуса и 40 градусов 7. Да 1. Дополнительные лучи 2. Острый угол 3. Нет 4. Одна пара 5. Нет и 100 градусов градусов

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Смежные углы (какие свойства и примеры)

Смежные углы — это важные пары углов, которые вы будете изучать в базовой и продвинутой геометрии. Вы также могли столкнуться с объектами, образующими смежные углы, такими как кусочки пиццы, рулевые колеса и даже часы. Вы узнаете, почему эти объекты находятся под смежными углами, прочитав эту статью!

В этой статье вы узнаете об условиях, которым должны соответствовать все смежные углы. Мы также покажем вам важные свойства, которые нужно знать о смежных углах. К концу этого обсуждения мы хотим, чтобы вы чувствовали себя уверенно при работе с различными приложениями смежных углов.

Что такое смежные углы?

Смежные углы — это пары углов, которые имеют общую сторону и общую вершину. Важно отметить, что для того, чтобы два угла были смежными, их углы никогда не должны пересекаться. Представьте, что два угла сливаются вместе, образуя больший угол, как видно из рисунка, показанного ниже.

Рассмотрим два смежных угла \угол ABC и \угол CBD, которые образуют больший тупой угол \угол ABD.

  • Два смежных угла имеют общую вершину B.
  • Они также имеют общую сторону, \overline{BC}.
  • Два угла также не пересекаются друг с другом и встречаются только в вершине.

Только осмотром мы можем сразу увидеть, смежны ли два угла друг с другом. Можете ли вы вспомнить реальные примеры, которые содержат смежные углы или сами являются смежными углами? Вот несколько типичных примеров, которые могут вам прийти в голову:

  • Два куска пиццы, лежащие рядом друг с другом, образуют смежные углы с центром в качестве общей вершины.
  • Стрелки часов могут образовывать смежные углы в нужное время. Секундная, минутная и часовая стрелки образуют углы, как показано выше.
  • Ломтики апельсинов, как и ломтики пиццы, также образуют смежные углы, когда лежат рядом друг с другом.

Мы рассмотрели определение смежных углов, а также показали несколько реальных примеров. Возможно, вы также слышали, что углы внутри многоугольника называются смежными углами, поэтому важно подчеркнуть разницу между ними.

Понимание смежных углов в многоугольниках

Когда дан многоугольник и его внутренние углы, смежные углы в данном контексте просто означают углы, лежащие рядом друг с другом. Эти смежные внутренние углы по-прежнему будут иметь общую сторону.

Например, в этом шестиугольнике углы C и D являются смежными внутренними углами просто потому, что они имеют общую сторону \overline{CD}. Мы просто хотели уточнить, что при работе со смежными углами в многоугольниках мы просто смотрим на углы, лежащие рядом друг с другом. Не путайте это определение со смежными углами, образованными двумя или более углами. Давайте теперь вернемся к обсуждению смежных углов, и отличный способ сделать это — сначала решить задачу на разогрев!

Задача 1

Определите, верны или нет следующие утверждения, основываясь на нашем определении смежных углов. При необходимости используйте схему, показанную ниже.

а. Углы \угол ABC и \угол DBE являются смежными углами и имеют общую точку B.

Верно, что два угла, \угол ABC и \угол DBE, имеют общую точку или вершину B. Однако при ближайшем рассмотрении два угла не имеют общей стороны. Это ключевое условие для того, чтобы два угла были смежными, поэтому утверждение неверно.

б. Углы \угол ABC и \угол CBD смежные и имеют общую сторону \overline{BC}.

Из диаграммы видно, что два угла имеют общую вершину и общую сторону (ВС).

Это означает, что два угла удовлетворяют определению смежных углов, поэтому утверждение действительно верно.

в. Сумма \угла CBD и \угла CDE равна \углу CBE.

Два угла смежные – они имеют общую сторону \overline{BD} и общую вершину B. Теперь эти два смежных угла образуют больший угол, как видно из диаграммы. При объединении \угол CBD и \угол CDE образуют больший угол, \угол CBE.

Это означает, что сумма двух углов равна мере \угла CBE. Следовательно, утверждение верно. На данный момент мы знаем, что вы хотите узнать больше интересных фактов и свойств смежных углов. Вот почему в следующем разделе рассматриваются все свойства и распространенные типы смежных углов, с которыми вы столкнетесь в базовой геометрии.

Каковы некоторые свойства и общие примеры смежных углов?

Смежные углы различны из-за общей стороны и общей вершины. Вот некоторые другие интересные свойства смежных углов:

  • Смежные углы никогда не будут накладываться друг на друга – всегда помните об этом.
  • Поскольку они никогда не перекрываются, пара смежных углов никогда не будет иметь общую внутреннюю точку.
  • Смежные углы могут быть дополнительными или дополнительными. Ниже приведены примеры комплементарных и дополнительных смежных углов.
  • Мы знаем, что смежные углы имеют общую сторону. Вот еще одно свойство: у смежных углов тоже должна быть не общая сторона!

Это важные факты, которые следует помнить о смежных углах. Мы рассмотрели прочную основу для смежных углов, поэтому давайте используем наши текущие знания, чтобы решить приведенные ниже проблемы.

Задача 2

Запишите пять пар смежных углов по схеме, показанной ниже.

При поиске пар смежных углов сначала убедитесь, что они удовлетворяют двум основным условиям: 1) имеют общую вершину и 2) имеют общую сторону. Наблюдая за диаграммой, мы видим, что мы можем найти смежные углы, используя O в качестве общей точки.

Давайте сначала сосредоточимся на верхней половине диаграммы – мы видим, что помимо общей вершины O, углы \угол AOB  и COB имеют общую сторону: \overline{OB}. Это означает, что у нас есть первая пара вертикальных углов: угол AOB и угол COB.

В нижней половине мы видим две пары смежных углов. Каждая пара будет иметь общую сторону \overline{OD}, а O останется общей вершиной. Следовательно, наши вторая и третья пары смежных углов равны:

  • \угол COD и \угол ODE
  • \угол ODE и \угол EOA

Для двух последних пар смежных углов давайте посмотрим на правую и левую стороны диаграммы.

Отсюда имеем две последние пары смежных углов: 

  • \угол COD  и \угол COB (общая сторона \overline{CO}katex])
  • [katex]\угол BOA  и \угол AOE (общая сторона \overline{OA}katex])

При поиске смежных ракурсов на большой диаграмме или с нескольких ракурсов полезно искать их в структурированном виде, как мы вам показали. Это поможет вам убедиться, что все пары учтены, и избежать дублирования любой пары смежных углов из вашего списка.

Теперь давайте увеличим масштаб смежных углов, которые дополняют и дополняют друг друга, поскольку они открывают для нас широкий спектр применений позже в более сложных математических темах.

Понимание дополнительных и дополнительных углов, которые являются смежными углами

Дополнительные и дополнительные углы – это углы, образующие прямой и прямой углы соответственно. Поскольку смежные углы — это два угла, которые имеют общую точку и общую сторону, это означает, что есть случаи, когда они также образуют прямые или прямые углы.

  • Когда два смежных угла образуют прямой угол и в сумме дают 90o, они также являются дополнительными углами.

Аналогично, когда два смежных угла образуют прямой угол и в сумме дают 180o, они также являются дополнительными углами.

Это означает, что когда вы видите дополнительные или дополнительные углы, имеющие общую точку и сторону, они также являются смежными углами. Это утверждение остается верным и в обратном порядке. Для нашей последней задачи мы хотим, чтобы вы работали с дополнительными и дополнительными смежными углами и применяли то, что вы только что узнали.

Проблема 3

Углы [katex]\угол AOB и \угол BOC являются смежными углами, которые также являются дополнительными углами. Каково значение \угла AOB, если \угол BOC = 70\градус?

Сначала попробуйте набросать диаграмму, представляющую нашу проблему. Убедитесь, что нарисованные смежные углы имеют общую точку O и общую сторону \overline{OB}.

Чтобы два смежных угла были дополнительными, сумма их углов должна составлять 90 o . Это означает, что больший угол \угол AOC будет иметь сумму 90 o . Чтобы найти меру угла BOC, просто вычтите меру угла AOB из 90 o .

\begin{выровнено}\угол AOB &= 90\градус — \угол ВОС\\&= 90\градус – 70\градус \\&= 20\градус \конец{выровнено}

Это означает, что \угол AOB имеет меру 20 o .

Проблема 4

Углы \угол AOC и \угол BOC являются смежными углами, которые также являются дополнительными углами. Каково значение \угла AOB, если \угол BOC = 60\градус?

Эта задача похожа на нашу предыдущую, но на этот раз мы работаем со смежными углами, которые являются дополнительными. Это означает, что два угла образуют линейный угол и в сумме дают 180 9 .0103 или . Нарисуйте схему, которая поможет вам решить эту проблему.

Это означает, что \угол AOB имеет угловую меру 180 o и является прямой линией. Чтобы найти меру угла AOB, мы вычитаем меру угла AOC из 180 o .

\begin{выровнено}\угол AOC &= 180\градус — \угол BOC\\&= 180\градус – 60\градус \\&= 120\градус \end{выровнено}

Следовательно, \угол AOC имеет меру 120 o .

СМЕЖНЫЙ УГОЛ определение | Кембриджский словарь английского языка

Примеры смежного угла

смежного угла

И это смежные углы.

Из Кембриджского корпуса английского языка