Умножение матриц правила: IIS 7.0 Detailed Error — 404.11

Умножение матрицы на число: примеры, свойства, смысл

• Умножение матрицы на число: теория и примеры
• Свойства умножения матрицы на число
• Экономический смысл умножения матрицы на число

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц — дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Если возникают сложности, можно освежить в памяти действия с дробями. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки).

Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Можно, кстати, повторить действия со степенями и корнями из элементарной математики. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.

В сочетании со сложением и вычитанием матриц операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5

A − 3B, 4A + 2B.

Пример 5. Даны матрицы и . Вычислить 4A + 2B.

Посмотреть правильное решение и ответ.

(здесь A, B — матрицы, — числа, 1 — число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где — количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года. Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых i, j верно равенство . В этом случае отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A на число 1,2.

---

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Произведение матриц

Сложение матриц

Обратная матрица

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Как найти произведение двух матриц: условие, алгоритм, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Правила умножения матриц с примерами

В данной публикации мы рассмотрим условие и правила (алгоритм), с помощью которых можно найти произведение двух матриц. Также приведем примеры для лучшего понимания.

• Условие умножения матриц
• Алгоритм нахождения произведения матриц

Условие умножения матриц

Умножить две матрицы можно только в том случае, если число столбцов первой (m) равняется числу строк второй (n).

Например, матрицы ниже можно перемножить, т.к. m_A = n_B = 2.

При этом очень важен порядок множителей. Так например, если рассмотренные выше матрицы поменять местами, найти их произведение уже не получится.

Следствие: квадратные матрицы можно умножать в любом порядке, но при перестановке сомножителей результат будет разным. Т.е. MN ≠ NM (практически всегда).

Алгоритм нахождения произведения матриц

1. Матрица второго порядка и вектор-столбец

Пример:

2. Две матрицы второго порядка

Пример:

3. Матрицы третьего порядка

Пример:

С помощью такого же алгоритма умножаются две матрицы “три на три” и более старших порядков.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

T \]

Чтобы выполнить сложение матрицы

с , две матрицы должны иметь одинаковые размеры. Это означает, что они должны иметь одинаковое количество строк и столбцов. В этом случае просто добавьте каждый отдельный компонент, как показано ниже.

Например

\[A + B = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & -3 & -4 \\ 4 & -2 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 8 & -5 — 3 & 4 — 4 \\ 2 + 4 & 5 -2 & 3 + 9Т \]

Матричное скалярное умножение Раздел

 

Чтобы умножить матрицу на скаляр, также известное как скалярное умножение , умножьте каждый элемент матрицы на скаляр.

Например…

\[ 6*A = 6 * \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4\\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 * 1 & 6 * -5 & 6 * 4\\ 6 * 2 и 6 *5 и 6 * 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -30 & 24 \\ 12 & 30 & 18 \end{pmatrix}\]

Чтобы умножить два вектора одинаковой длины, нужно взять скалярное произведение , также называемое внутренним произведением . Это делается путем умножения каждой записи в двух векторах вместе, а затем сложения всех продуктов.

Например, для векторов x и y скалярное произведение рассчитывается ниже

\[ x \cdot y = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} = 1*4 + (-5 )*(-2) + 4*5 = 4+10+20 = 34\]

Умножение матриц Раздел

 

Чтобы выполнить умножение матриц , первая матрица должна иметь такое же количество столбцов, сколько строк во второй матрице. Количество строк полученной матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов полученной матрицы равно количеству столбцов второй матрицы. Таким образом, матрицу 3 × 5 можно умножить на матрицу 5 × 7, получив матрицу 3 × 7, но нельзя умножить матрицу 2 × 8 на матрицу 4 × 2. Чтобы найти элементы в результирующей матрице, просто возьмите скалярное произведение соответствующей строки первой матрицы и соответствующего столбца второй матрицы. T\).

Определение, правила, свойства и примеры

Умножение матриц, которое также читается как умножение матриц, является одной из матричных бинарных операций, которые можно выполнять над матрицами. Умножение любой матрицы X на другую матрицу Y возможно, если обе предоставленные матрицы совместимы. Матрицы — это множественная форма матрицы, которая символизирует прямоугольный массив или таблицу, в которой числа/элементы организованы в строки и столбцы. Матрицы могут содержать любое количество столбцов и строк.

С матрицами можно выполнять различные операции, такие как сложение матриц, вычитание матриц, скалярное умножение матриц, умножение матриц, транспонирование матрицы и т. д. Прокручивая вниз, мы узнаем об умножении матриц, умножении двух и трех матриц, правилах умножения матриц, о том, как умножать матрицы и многом другом с решенными примерами.

Умножение матриц

При работе с матрицами следует соблюдать определенные правила. Например, матрицы можно складывать или вычитать, если только они имеют одинаковое количество строк и столбцов. В то время как матрицы можно перемножать, если только столбцы в первой матрице и строки во второй идентичны. Умножение матриц — это бинарная операция, произведение которой также является матрицей при умножении двух матриц. Умножение матрицы X и Y, заданное как XY, которое не равно YX, т.е. мы можем сказать, что XY ≠ YX. Поскольку в этой статье мы сосредоточимся на умножении матриц, давайте проверим правила для того же самого.

Правила умножения матриц

Матрицы, о которых мы говорили выше, представляют собой организацию чисел/символов/переменных в прямоугольной таблице, состоящей из нескольких строк и столбцов.

Числа или записи в строке и столбце матрицы признаются ее элементами. Горизонтальные списки для матриц называются строками, а вертикальные записи известны как столбцы. Правила умножения матриц следующие:

• Для произведений матриц матрицы должны быть совместимы. Это утверждает, что две матрицы A и B совместимы, если количество столбцов в A равно количеству строк в B.
• Например, если A — матрица порядка n×m, а B — матрица порядка m×p, то можно считать, что матрицы A и B совместимы.
• Умножение матрицы порядка 4 × 3 на другую матрицу порядка 3 × 4 допустимо и дает матрицу порядка 4 × 4.
• Аналогично, если мы попытаемся умножить матрицу порядка 4 × 3 на другую матрица 2 × 3. Это умножение матрицы невозможно, поскольку две матрицы не подчиняются правилу совместимости.

Если вы читаете Умножение матриц, то вам следует также прочитать об определителях.

Как умножать матрицы?

Умножение матриц в математике включает умножение матрицы на константу или умножение матрицы на матрицу, также известное как умножение двух матриц. Для умножения двух совместимых матриц ниже приведены некоторые общие шаги, которые необходимо выполнить.

• Сначала проверьте, равно ли количество столбцов в первой матрице количеству строк во второй матрице.
• Если первое условие выполнено, то умножьте элементы отдельной строки первой матрицы на элементы всех столбцов второй матрицы.
• Затем добавьте товары и расположите добавленные товары в соответствующих столбцах.
• Мы поймем вышеуказанные шаги в следующем заголовке.

Давайте разберемся, как умножать матрицы с помощью скалярного/константного умножения, за которым следует умножение матриц 2×2 и 3×3 в приведенных ниже примерах.

Узнайте о диагональной матрице в статье по ссылке.

Умножение матриц на скалярную величину

Порядок умножения матриц по определению является необходимой вещью. Давайте теперь разберемся с умножением матрицы на скалярную величину. Если мы умножаем данную матрицу на скалярное значение, то это понимается как скалярное умножение матриц. Формула и обозначение для нее:

Если \(B=\left[b_{ij}\right]_{_{m\times n}}\) — матрица порядка m × n, скалярная величина, тогда \(pB=p\left[b_{ij}\right]_{_{m\times n}}=\left[p\left(b_{ij}\right)\right]_{_ {m\times n}}\) — результат скалярного умножения матриц. Это также известно как умножение матриц на константу. Например:

\(x.\ A=x\begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a.\ x&b.\ x\\
c.\ x&d.\ x\end {bmatrix}\)

Подробнее о правиле Крамера в этой связанной статье!

Умножение матриц 2×2

Всякий раз, когда мы умножаем матрицу на другую, мы должны получить «точечный продукт» строк 1-й матрицы и столбцов 2-й матрицы, чтобы получить результат. Ниже показано умножение двух матриц 2×2.

A. \(\ B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}e&g\\f&h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a.\ e+b .f&a.g+b.\ h\\c.\ e+d.f&c.g+d.\ h\end{bmatrix}\)

Узнайте о различных типах матриц здесь, в связанной статье.

Умножение матриц 3×3

Подобно умножению матриц 2×2, давайте поймем умножение двух матриц 3×3, как показано ниже:

\(X=\begin{bmatrix}x_{11} &\ \ x_{12}&x_{13}\\
x_{21}&\ \ x_{22}&x_{23}\\
x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{bmatrix}
\)

\(Y=\begin{bmatrix} y_{11}&\ \ y_{12}&y_{13}\\
y_{21}&\ \ y_{22}&y_{23}\\
y_{31}&y_{32}&y_{33}\end {bmatrix}
\)
Умножение двух матриц равно:

\(X\times Y\)=

\(\begin{bmatrix}x_{11}y_{11}+x_{12} y_{21}+x_{13}y_{31}&\ \ x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22}+x_{13}y_{32}&x_{11}y_{13} +x_{12}y_{23}+x_{13}y_{33}\\
x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21}+x_{23}y_{31}&\ \ x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}+x_{ 23}y_{32}&\ \ x_{21}y_{13}+x_{22}y_{23}+x_{23}y_{33}\\
x_{31}y_{11}+x_{32 }y_{21}+x_{33}y_{31}&\ x_{31}y_{12}+x_{32}y_{22}+x_{33}y_{32}&\ x_{31}y_{ 13}+x_{32}y_{23}+x_{33}y_{33}\end{bmatrix}\)

Если мы умножаем матрицу на скалярное значение, то это распознается как скалярное умножение. T\), где T обозначает транспонирование матрицы. 9{*}\).

Если AB=0, это не означает, что A=0 или B=0.

Произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.

Некоторые дополнительные свойства скалярного умножения матриц: \(λ(µA)=(λµA)=µ(λA)\)

\((-λA)=-(λA)=λ(-A)\)

Мультипликативное свойство нуля

Всякий раз, когда мы умножаем число на ноль, произведение всегда равно нулю. Независимо от положения нуля, т.е. ноль может стоять до или после числа. Рассмотрим приведенный ниже пример, чтобы понять свойство.

Если \(A=\begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}\) умножается на нулевую матрицу \(B=\begin{bmatrix}0&0\\
0&0\end{bmatrix}\ ), тогда на выходе будет только нулевая матрица, как показано: {bmatrix}1.\ 0+2.\ 0&1.\ 0+2.\ 0\\
3.\ 0+4.\ 0&3.\ 0+4.\ 0\end{bmatrix}\)

Learn о Матрице трансформации в связанной статье здесь!

Решенные примеры умножения матриц

Давайте завершим тему некоторыми решенными примерами, относящимися к формуле, свойствам и правилам.

Решено Пример 1: Найдите скалярное произведение числа 2 с заданной матрицей \(A=\begin{bmatrix}-1&\ \ 2\\
\ 4&-3\end{bmatrix}\).

Решение: Скалярное произведение может быть получено как:
\(2.\begin{bmatrix}-1&\ \ 2\\
\ 4&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&\ \ 4\\
\ \ 8&-6\end{bmatrix}\)

Решено Пример 2: Получить результат умножения A и B, где
\(A\ =\begin{bmatrix}1&0\\
2&4\end{bmatrix },\ B=\begin{bmatrix}2&1\\
0&2\end{bmatrix}\)

Решение:

\(A.\ B=\begin{bmatrix}1&0\\
2&4\end{ bmatrix}.\begin{bmatrix}2&1\\
0&2\end{bmatrix}\)

\(A.\ B=\begin{bmatrix}1.\ 2+0.0&1.1+0.\ 2\\
2.\ 2+4.0&2.1+4.\ 2\конец{bmatrix}\)

\(A.\ B=\begin{bmatrix}2&1\\
4&10\end{bmatrix}\)

Ознакомьтесь с этой статьей о применении матриц и определителей.

Решенный пример 3: Для приведенного ниже матричного условия:
\(A=\begin{bmatrix}2&3\\
1&2\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}x&4\\
y&- 2\end{bmatrix},\ A. B=\begin{bmatrix}3&2\\
1&0\end{bmatrix}\)
Каково значение x и y?

Решение:

\(A=\begin{bmatrix}2&3\\
1&2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x&4\\
y&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&2\\
1&0\end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2x+3y&8-6\\
x+2y&4-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&2\\
1&0\end{bmatrix}\)

Итак, \(2x+3y =3\cdots\left(1\right)\)
\(x+2y=1\dots\left(2\right)\)
Решая уравнения 1 и 2, получаем:
x = 3 и y = — 1.

Решено Пример 4: Если \(A=\begin{bmatrix}2&-2\\ 92+6A=\begin{bmatrix}2&0\\
0&2\end{bmatrix}\)

Мы надеемся, что приведенная выше статья об умножении матриц поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

Часто задаваемые вопросы об умножении матриц

Q.1 Как умножить две матрицы?

Ответ 1 Вы можете умножать две матрицы только в том случае, если их размеры совместимы, что указывает на то, что количество столбцов в первой матрице идентично количеству строк во второй матрице.

Затем умножьте элементы отдельной строки первой матрицы на элементы всех столбцов второй матрицы, сложите продукты и расположите добавленные продукты в соответствующих столбцах.

В.2 Можно ли перемножить матрицу 2×2 и 3×3?

Ответ 2 Нет, мы не можем перемножать матрицы 2×2 и 3×3, так как эти матрицы несовместимы друг с другом.

Q.3 Какова формула умножения двух матриц?

Ответ 3 Формула умножения двух матриц:

\(A.\ B=\begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}e&g\\
f&h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a.