Умножение множеств: Что такое декартово произведение множеств?

9. Декартово произведение множеств

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято записывать, используя круглые скобки: (а;b). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элементb– второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; b) и (с;d) равны в том и только в том случае, когда а = с иb=d.

В упорядоченной паре (а; b) может быть, что а =b. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств.

Пусть, например, А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая компонента – множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множества:

{(1; 3), (1; 5) (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.

Видим, что, имея два множества А.и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение.Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, записывают:

А х В = {х; у) / х ∈ А и у∈В}.

Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения декартова произведения

. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А∪В) х С = (А х С)∪(В х С),

(А / В) х С = (А х С) / (В х С).

Доказывать эти свойства мы не будем, но проверить их можно на конкретных примерах.

Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое количество элементов, то его можно изобразить при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств

А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке.

А В

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изобразить на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение выше названных множеств на координатной плоскости будет выглядеть так:

1 2 3

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В – на оси Оу.

Такой способ наглядного изображения декартова произведения множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» — это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще nмножеств.

Определение.Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, Аnназывается множество всех кортежей длиныn, первая компонента которых принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂, …, n-я — множеству Аn.

Декартово произведение множеств А₁, А₂, …, Аnобозначают так:

А₁х А₂ х …х Аn.

Лекция 4. Число элементов множеств

План:

1. Число элементов в объединении и разности конечных множеств

2. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств

3. Основные выводы

определение, координатная плоскость как декартово произведение

1. Понятие декартова произведения
2. Табличное представление декартовых произведений
3. Координатная плоскость как декартово произведение
4. Примеры

Понятие декартова произведения

Мощность декартова произведения равно произведению мощностей исходных множеств: $|A \times B| = |A| \cdot |B|$. 2$ называют декартовым квадратом.

Например:

Если A = {1;3;5}, B = {2;4}, их декартово произведение – это множество пар:

$A \times B$ = {(1;2),(1;4),(3;2),(3;4),(5;2),(5;4)}

Мощность декартова произведения $n(A \times B) = 6 = \underbrace{n(A)}_{3\text{}} \cdot \underbrace{n(B)}_{2\text{}} $

Произведение в другом порядке:

$B \times A$ = {(2;1),(2;3),(2;5),(4;1),(4;3),(4;5)}

Множества $A \times B$ и $B \times A$ отличаются.

Табличное представление декартовых произведений

Таблица умножения или таблица квадратов натуральных чисел являются примером функций, заданных на декартовых произведениях.

Например, таблица квадратов натуральных чисел:

1

121

144

169

196

225

2

441

484

529

576

625

3

961

1024

1089

1156

1225

4

1681

1764

1849

1936

2025

5

2601

2704

2809

2916

3025

Соответствует декартову произведению двух множеств

A = {1;2;3;4;5} и B{1;2;3;4;5}

На котором задана функциональная зависимость:

$$f(A \times B) = {f(a,b) | f(a,b) = (10a+b)^2, a \in \Bbb A, b \in \Bbb B}$$

Второй пример – турнирная таблица встреч команд-участников чемпионата

Для пяти команд, если встречи две и на первом месте в паре – команда-хозяин, получаем:

1

—

(1;2)

(1;3)

(1;4)

(1;5)

2

(2;1)

—

(2;3)

(2;4)

(2;5)

3

(3;1)

(3;2)

—

(3;4)

(3;5)

4

(4;1)

(4;2)

(4;3)

—

(4;5)

5

(5;1)

(5;2)

(5;3)

(5;4)

—

В этом случае:

$$ f(A \times B) = \{(a,b)|a \neq b,a \in \Bbb A, b \in \Bbb B\} $$

Координатная плоскость как декартово произведение

Координатная плоскость является декартовым квадратом множества действительных чисел: $ \Bbb R \times \Bbb R = \Bbb R^2$. 2 $ = {(e;e),(e;f),(f;e),(f;f)}

Пример 2. Отметьте на координатной плоскости точки множеств $A \times B$ и $B \times A$, найдите их пересечение, если

а) A = {2;3;5}, B = {-2;3}

Точки $ A \times B$ синие, точки B×A красные, точка пересечения $ A \times B \cap B \times A$ = {(3,3)} зелёная.

б) A = {-1;2}, B = {0;2;4}

Точки $ A \times B$ синие, точки B×A красные, точка пересечения $ A \times B \cap B \times A$ = {(2,2)} зелёная.

Умножение множеств

Я могу представить себе два контекста, в которых обычно используются понятия произведения или умножения множеств. Один из них представляет собой пересечение наборов, а другой известен как прямой продукт . У обоих есть аналоги (множественное объединение и прямая сумма соответственно), само существование которых делает терминологию весьма произвольной. Ибо, как я уже упоминал, что касается абстрактного определения, единственная разница между операциями сложения и умножения заключается в обозначениях.

Пересечение и объединение множеств

Пространство, на котором две операции определены так, что это напоминает нам о пересечение и объединение множеств известно как решетка . Для обозначения двух операций используются различные обозначения. Если провести аналогию с алгеброй множеств, я буду использовать теоретико-множественное ∪ и . Аксиомы решетки действительно весьма симметричны. Точнее, для всех a, b, c (элементов решетки)

	a∪a = a	A∩A = A	Idempotent Law
	A∪B = B∪A	A∩B = B∩A	. = a∪(b∪c)	(a∩b)∩c = a∩(b∩c)	ассоциативный закон
	(a∪b)∩c = (a∩c)∪( b∩c)	(a∩b)∪c = (a∪c)∩(b∪c)	распределительный закон
	(a∪b)∩a = a	(a∪b) )∪a = a	закон частичного порядка

Закон частичного порядка используется для введения следующих асимметричных обозначений:

a ≤ b тогда и только тогда, когда a∪b = b

Это эквивалентно требованию, чтобы a∩b = a. Действительно, предположим, что a ≤ b, как определено, тогда

а∩b = а∩(а∪b) = (а∩а)∪(а∩b) = а∪(а∩b) = а

Обратное показано аналогично. Заказ завершен , если для любых a и b либо a ≤ b или b ≤ а. Часто наличие наименьший элемент 0 и самый большой элемент 1 также оговорено. This are defined by

a∪0 = a

a∪1 = 1

or equivalently

a∩0 = 0

a∩1 = a

для всех а.

Решетки были введены немецким математиком И. В. Р. Дедекиндом (1831-1916) вместе с изобретением им идеалов. в кольцах. Слово «решетка» впервые употребил американец Г.Д.Биркгоф (1884-1919 гг.).44) в 1930-е годы. Определение фантастически широкое. Кроме того для теории множеств и идеалов числа (целые и действительные) образуют решетку, если a ∪ b определяется как max (a, b) и пересечение двух чисел устанавливается как минимум из двух.

Теперь вернемся к продукту из двух наборов. Как известно, часто используемое обозначение для пересечения двух множеств A и B есть плоскость AB. Независимо от обозначений, это полугрупповая операция.

Прямые суммы и произведения

Мы встречались с прямыми суммами, когда говорили о булевых алгебрах. Но подход более общий. Даны два множества A и B, их прямое произведение A×B — множество пар (a, b) с a∈A и b∈B. Теперь определение на самом деле сбивает с толку, потому что как бы часто не один и тот же набор пар не назывался прямое произведение двух множеств A и B. Некоторое различие прослеживается, когда мы рассматриваем прямые суммы и произведения из бесконечных чисел наборов. Например, прямое произведение счетного множества наборов R действительных чисел. числа — это множество всех последовательностей {(a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…)} а прямая сумма счетного числа копий R состоит только из таких последовательностей, в которых только конечная количество членов отличается от 0. Это не следует путать с произведением конечного числа факторов. Определение никогда не говорится, какие координаты должны быть равны 0, а только то, что существует конечное число ненулевых компонентов.

Что можно умножить?

• Что такое умножение?
• Умножение уравнений
• Умножение функций
• Умножение матриц
• Умножение чисел
• Пасьянс «Кошка» и теория групп
• Умножение перестановок
• Умножение наборов
• Умножение векторов
• Умножение вектора на матрицу
• Векторное пространство и пространства со скалярным произведением
• Таблицы сложения и умножения в различных основаниях
• Умножение точек на окружности
• Умножение точек на эллипсе

|Контакты| |Главная страница| |Содержание| |Вверх|

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный. Например, 45 — это произведение 9 и 5. Необходимо знать основные операции над множествами, такие как объединение и пересечение, которые выполняются над 2 или более множествами. Декартово произведение также является одной из таких операций, выполняемых над двумя множествами, которые возвращает набор упорядоченных пар .

Что такое упорядоченная пара?

Упорядоченная пара — это пара объектов, в которой один элемент назначается первым, а другой элемент назначается вторым, что обозначается (a,b). Здесь «a» называется первой компонентой, а «b» называется второй компонентой упорядоченного множества.

Пример: (5, 7) — упорядоченная пара целых чисел.

Примечание: (5, 7) ≠ (7, 5), упорядоченная пара (a, b) равна (x, y), только если a = x и b = y.

Декартово произведение множеств

Декартово произведение двух непустых множеств A и B — это множество всех возможных упорядоченных пар, где первый компонент пары — из A, а второй компонент пары — из B. Полученное таким образом множество упорядоченных пар обозначается A×B .

A × B = {(a, b) : a ∈ A и b ∈ B}

Пример: 

Пусть A = {1, 2} и B = {4, 5, 6}

А × В = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}
 

Здесь первый компонент каждой упорядоченной пары взят из множества A, а второй компонент из множества B.

Декартово произведение двух множеств можно легко представить в виде матрицы, в которой оба множества лежат на каждой оси, как показано на изображении ниже. Декартово произведение A = {1, 2} и B = {x, y, z}

Свойства декартова произведения

1. Декартово произведение некоммутативно: A × B ≠ B × A

Пример:

A = {1, 2} , B = {a, b}

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2 , b)}

B × A = {(a, 1), (b, 1), (b, 1), (b, 2)}

Следовательно, поскольку A ≠ B, имеем A × B ≠ B × A
 

2. A × B = B × A, только если A = B

Доказательство:

B ⊆  A, то A = B
 

3. Мощность декартова произведения определяется как количество элементов в A × B и равна произведению мощностей обоих множеств: |A × B| = |А| * |Б|

Доказательство:

Пусть a ∈ A, тогда количество упорядоченных пар (a, b), таких что b ∈ B, равно |B|.

Следовательно, имеем |B| выбор b для каждого a, где a ∈ A, следовательно, количество элементов в A×B равно |A| * |Б|.
 

4. A × B = {∅}, если либо A = {∅}, либо B = {∅}

Доказательство:  

Мы знаем |{∅}| = 0.

Теперь имеем |A × B| = |{∅}| = 0

Как |А × В| = |А| * |Б| , получаем |А| * |Б| = 0

Таким образом, по крайней мере один из |A| или |В| должно быть равно 0

Следовательно, либо A = {∅}, либо B = {∅}
 

Примеры задач на упорядоченные пары и декартово произведение множеств

Задача 1: Найти значение x и y учитывая (2x – y, 25) = (15, 2x + y)?

Решение:  

Как мы знаем из свойства упорядоченных пар, 2x – y = 15 и 25 = 2x + y.

Решая линейные уравнения, получаем x = 10 и y = 5.

Задача 2. Даны A = {2, 3, 4, 5} и B = {4 , 16 , 23}, a ∈ A , b ∈ B, найти множество упорядоченных пар таких, что a ² < b?

Решение:

As 2 ² < 16 и 23, 3 ² < 16 и 23, 4 ² < 23  

У нас есть множество упорядоченных пар таких, что a ² < b есть {(2, 16), (2, 23), (3, 16), (2, 23), (4 , 23)}

Задача 3. Если A = {9, 10} и B = {3, 4, 6}, найти A × B и |A × B|?

S решение:

A × B = {(9, 3), (9, 4), (9, 6), (10, 3), (10, 4), ( 10, 6)}

|А × В| = |А| * |Б| = 2 * 3 = 6

Задача 4. Если A × B = {(a, x), (a, y ), (b, x ), (b, y)}, найти A и B?

Решение:

Мы знаем, что A — это набор всех первых компонентов в упорядоченных парах A × B, а

B — это набор вторых компонентов в упорядоченной паре A × B.

No related posts.