Xyy 1 x 2: Mathway | Популярные задачи

2

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

y′=f₁(x)∙f₂(y) (1)

Предположим, что . Тогда уравнение можно записать так:

(2)

Уравнение (2) называется уравнением с разделенными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (2), получим общее решение уравнения (1)

.

Алгоритм решения

1) Разделить переменные (с учетом условий, когда это можно сделать).

2) Интегрировать почленно полученное уравнение.

3) Выяснить, имеет ли уравнение решение, не получившего из общего интеграла.

4) Найти частное решение (если нужно).

2. Однородные ду первого порядка

  Определение.  Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

 Например, функция  является однородной третьего порядка, т.к.

   Определение. Уравнение вида P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, (3)

где P(x, y), Q(x, y) – однородные функции x и y одинаковой степени, называется однородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (3) можно привести к виду (4)

  Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

, т. е. y=ux  и y^/=u^/x+u

После решения полученного ДУ относительно u, нужно выразить u через x и у и решить новое ДУ с разделяющимися переменными.

3. Линейные ду первого порядка

  Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

(4)

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. 

  Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного

дифференциального уравнения первого порядка вида

(5)

 Такого типа дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

,

     Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяется основном метод Бернулли.   Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y=uv, где u=u(x), v=v(x)—некоторые функции от x, тогда y^/=u^/v+uv^/. Этот метод более подробно рассмотрен в практической части.

 

  Практическая часть

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

y′tgx=1+y, если при ;

Решение. Уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, где f₁(x)=tgx, f₂(y)=1+y.

ln|1+y|=ln|sinx|+C_1,

1+y=sin x ,

y=Csin x-1.

Находим С, подставляя в данное равенство начальные данные условия.

С=1.

Таким образом,

y=sin x-1.

Ответ: y=sin x-1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Заданное уравнение имеет вид (3), т.е. является однородным диф. уравнением первого порядка. Приведем его к виду (4):

Пусть тогда и уравнение привет вид:

т.к. то

— общее решение заданного уравнения.

Ответ: _.

Пример 3. Решить уравнение (x²-2y²)+2xy=0

Решение. (x²-2y²)+2xy=0.

(x²-2y²)dx+2xydy=0.

В данном уравнении функции

P(x, y)=x²-2y², Q(x, y)=2xy – однородные второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Положим, у=ux, откуда:

dy= udx+x du.

Уравнение примет вид:

x²dx-2(zx)²dx+2x ux(u dx+x du)=0,

x²dx-2u²x²dx+2u²x²dx+2ux³du=0,

dx+2uxdu=0,

,

, ,

Учитывая, что u=

y/x, находим общий интеграл

Ответ:

  Пример 4.   Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение имеет вид (4), т.е. является линейным уравнением. Пусть

y=uv, y^/=u^/v+uv^/. Тогда уравнение примет вид:

(6)

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е.

,

,

Интегрируя равенство, получим

,

.

Подставим полученное решение в (6).

.

Итак, общее решение .

Ответ:

 

Практические задания

1-2— Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными.

3— Найти частное решение ДУ с разделяющимися переменными.

4—Найти общее решение однородного ДУ первого порядка.

5— Найти общее решение линейного ДУ первого порядка.

1 вариант ydy=x3dx. xydy=(y2-1)dx ydx+ctg xdy=0, если у=1 при . y/+2xy=2xy3	2 вариант 4y2dx=x2dy. x2dx=ydy. (1+x)ydx=(y-1)xdy, если у=1 прих=1. ydx+(x+y)dy=0. y/+ycosx=sin2x
3 вариант x3dx=(y-1)dy. (x+3)dy=(y-1)dx. x2dy—y2dx=0, если у=1 при х=0,2.	4 вариант . dy+y tg xdx=0. x2dy— y3dx=0, если у=1 при х=-1. . .
Вариант 5 xdy=ydx y/=sin5x, y(π/2)=1 y/+y=e-x	Вариант 6 xdy=y4dx xyy/=1-x y/=6 dx yy/-2y+x=0 xy/+y=sinx
Вариант 7 x2dy-dx, y(1)=2 y/+2xy=2x3	Вариант 8 (2-y)dy=xdx , если у=4 при х=0 (3x2-y2)y/=2xy xy/+y=x+1
Вариант 9 y/-3xy=0 xdy+y3dx=0 , если у=1 при х=1. 2xyy/=x2+y2 y/-ysinx=sinxcosx	Вариант 10 , если у=0 при х=1 x2y/=y2-xy+x2
Вариант 11 ydy=exdx , если у=1 при х=0. (x-y)ydy-x2dy=0 xy/+y=3	Вариант 12 x3dx=(3-y)dy y2dx=exdy, если у=1 при х=0. xy2y/=x3+y3 xy/-3y=x4ex
Вариант 13 xydх-(2+x2)dy=0. 1+y2=xyy/, y(2)=1 x3dy-y(x2+y2)dx=0. xy/-y-x3=0	Вариант 14 y/+y=5 x2dy+(y-3)dx=0 cosxsinydy=cosysinxdx, y(π)=π. x2y/=xy+y2 y/-3xy=2xy2

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Как определить порядок диф. уравнения?

3. Что называется общим решением диф. уравнения? Частным?

4. Диф. Уравнения с разделяющимися переменными. Алгоритм их решения.

5. Однородные диф. уравнения первого порядка. Алгоритм их решения.

6. Линейные диф. уравнения первого порядка. Алгоритм их решения (Метод Бернулли).

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х9(х//у)(1-х//у)dy=0. Ответить Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в решении вопросов и получении отличных оценок на экзаменах. Стенограмма продвинутый, и этот вопрос мы должны решить дифференциальное уравнение 1 + 2 e возвести в степень сверхширокий X + 2 e возвести в степень 1 на 1 минус x + Y = 20, поэтому в этом вопросе мы можем написать это дано дифференциальное уравнение в форме DX DY, так как оно будет выглядеть, так это будет DX над формой y = 2 — 2 x y y 1 — x 55 над oneplus 2 e xy и x’y над формой DY, так что теперь, что я буду делать это мы возьмем X = 2y новое дифференцирование по Y, поэтому teok над t y = 2 V Plus B плюс Wi-Fi теперь мы подставим эту деятельность, когда это уравнение sunao так что станет atwell b.v. + Y TV над y = 2 — 2 так сексуально зовет быть женой то X по y равно быть так чтобы поднять в степень V1 — 65 e v на 1 + 2 секундная рука вот так сейчас возьмем меня на арках и что станет ли это будет -2 EV 1 -2 позвольте мне просто открыть скобки и умножить внутри certvalue -2 ETV плюс два VV и это Re на RHS и умножив его на эту безопасность — минус плюс два V это тоже будет минус минус 2 VV при 1 + 2 простое предложение отменяем соль и у нас остается Y dawai над t y = 2 — 2 — V над oneplus 2 EV это наше текущее уравнение знаю что мы будем делать если мы разделим пункты на один сторона и предметы с одной стороны, поэтому мы возьмем это на левой стороне, так что это будет похоже на прогрессивный брокер oneplus 2 на 1 минус и будет до EV + 3 = 2 точка. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт