Умножение сложение вычитание и деление целых чисел: Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Содержание

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Сложение и вычитание десятичных дробей.

Умножение десятичных дробей.

Деление десятичных дробей.

Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.

П р и м е р .

Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях .

Замечание

: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце !

П р и м е р .

Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на целое число

Если делимое меньше делителя , записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем.

Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему , сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.

П р и м е р . Разделить 1.328 на 64.

Р е ш е н и е :

Деление одной десятичной дроби на другую.

Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом.

Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.

П р и м е р . Разделить 0.04569 на 0.0006.

Р е ш е н и е.

Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:

6.4. Выполнение операций сложения, вычитания и умножения целых чисел

← 6.3. Сумматор

6.5. Контрольные вопросы и задания →

Навигация по разделу:

6.4.1. Сложение и вычитание

↑ Наверх

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -710.

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n-1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки. Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.

А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов. Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Свойства целых чисел — объяснение и примеры

Существуют различные свойства целых чисел, которые помогают нам выполнять операции над целыми числами. Эти свойства определяют характеристики операций. В этой статье мы собираемся изучить свойства целых чисел при сложении, вычитании, умножении и делении.

1.	Список свойств целых чисел
2.	Свойство закрытия
3.	Ассоциативное свойство
4.	Коммутативная собственность
5.	Распределительная собственность
6.	Часто задаваемые вопросы о свойствах целых чисел

Список свойств целых чисел

Целые числа — это натуральные числа наряду с числом 0. Набор целых чисел в математике — это набор {0,1,2,3,…}. Оно обозначается символом W.

Четыре свойства целых чисел таковы:

Свойство закрытия
Ассоциативное свойство
Коммутативное свойство
Распределительная собственность

Давайте подробно рассмотрим все четыре свойства целых чисел.

Свойство замыкания целых чисел

Свойство замыкания целого числа гласит, что «Сложение и умножение двух целых чисел всегда является целым числом». Например: 0+2=2. Здесь 2 — целое число. Таким же образом умножьте любые два целых числа, и вы увидите, что произведение снова будет целым числом. Например, 3×5=15. Здесь 15 — целое число. Таким образом, множество целых чисел W замкнуто относительно сложения и умножения.

Свойство замыкания W формулируется следующим образом:

Для всех a,b∈W, a+b∈W и a×b∈W.

Это свойство не выполняется в случае операций вычитания и деления над целыми числами. Так как 0 и 2 — целые числа, а 0 — 2 = -2, что не является целым числом. Точно так же 2/0 не определено.

Следовательно, целые числа не замыкаются при вычитании и делении.

Ассоциативное свойство целых чисел

Ассоциативное свойство целых чисел гласит, что «Сумма и произведение любых трех целых чисел остаются одинаковыми независимо от того, как числа сгруппированы вместе или расположены».

Пример 1: (1+2)+3 = 1+(2+3), потому что

(1+2)+3 = 3+3 = 6

1+(2+3) = 1+5 = 6

Пример 2: (1×2)×3 = 1×(2×3), потому что

(1×2)×3 = 2×3 = 6

1×(2×3) = 1 ×6 = 6

Таким образом, набор целых чисел W ассоциативен относительно сложения и умножения. Ассоциативность W формулируется следующим образом:

Для всех a,b,c∈W, a+(b+c)=(a+b)+c и a×(b×c)=(a×b) ×с.

Ассоциативность целых чисел не распространяется на операции вычитания и деления. Это потому, что расположение чисел важно в этих операциях. Например, 2, 3 и 4 — целые числа, но 2 — (3 — 4) = 2 — (-1) = 3 и (2 — 3) — 4 = — 1 — 4 = —5. Итак, 3 ≠ -5. То же самое с делением, где 8 ÷ (4 ÷ 2) ≠ (8 ÷ 4) ÷ 2.

Переместительное свойство целых чисел

Коммутативное свойство целых чисел гласит, что «сумма и произведение двух целых чисел остаются неизменными даже после изменения порядка чисел». Это то же самое, что и ассоциативное свойство, с той лишь разницей, что здесь речь идет только о двух целых числах.

Пример 1: 2+3 = 3+2, потому что

2+3 = 5

3+2 = 5

Пример 2: 2×3 = 3×2, потому что

2×3 = 6

3×2 = 6

Таким образом, множество целых чисел W коммутативно относительно сложения и умножения. Коммутативность W формулируется следующим образом:

Для всех a,b∈W, a+b=b+a и a×b=b×a.

Свойство перестановочности целых чисел не выполняется при вычитании и делении.

Сведем эти три свойства целых чисел в таблицу.

Эксплуатация	Свойство закрытия	Ассоциативное свойство	Коммутативная собственность
Дополнение	да	да	да
Вычитание	нет	нет	нет
Умножение	да	да	да
Отдел	нет	нет	нет

Распределительное свойство целых чисел

Распределительное свойство умножения над сложением: a×(b+c)=a×b+a×c.

Пример 1: 3×(2+5) = 3×2+3×5, потому что

3×(2+5) = 3×7 = 21

3×2+3×5 = 6+15 = 21

Распределительное свойство умножения над вычитанием: a×(b−c)=a×b−a×c.

Пример 2: 3×(5−2) = 3×5−3×2 as,

3×(5−2) = 3×3 = 9

3×5-3×2 = 15-6 = 9

В заключение давайте посмотрим на приведенную ниже таблицу свойств целых чисел, чтобы понять, какое свойство применимо к какой операции.

Аналитический центр:

Замкнут ли W при вычитании и делении?
Является ли W ассоциативным при вычитании и делении?
Является ли W коммутативным при вычитании и делении?

Загадочные вопросы о свойствах целых чисел:

Найдите произведение, используя распределительное свойство: 28×75.
Под действием какой из операций множество целых чисел коммутативно?
(а) Сложение (б) Вычитание
(c) Умножение (d) Раздел

► Также проверьте:

Целые числа
Свойства целых чисел
Свойства рациональных чисел

Часто задаваемые вопросы о свойствах целых чисел

Каковы свойства целых чисел?

Свойства целых чисел — это набор правил или законов, которые можно применять при выполнении основных арифметических операций над целыми числами. Например, согласно свойству перестановочности целых чисел, мы можем прибавить 2 к 99, а не прибавлять 99 к 2.

Каковы четыре свойства целых чисел?

Четыре свойства целых чисел приведены ниже:

Свойство закрытия
Ассоциативное свойство
Коммуникативное имущество
Распределительное имущество

Каковы свойства целых чисел при сложении и умножении?

Свойства целых чисел при сложении приведены ниже:

Свойство замыкания ⇒ a + b ∈ W, ∀ a,b ∈ W.
Ассоциативное свойство ⇒ a + (b + c) = (a + b) + c, ∀ a,b,c ∈ W.
Коммутативное свойство ⇒ a + b = b + a, ∀ a,b ∈ W.
Распределительное свойство ⇒ a × (b + c) = (a × b) + (a × c), ∀ a,b,c ∈ W.
Аддитивная идентичность ⇒ 0 является элементом идентичности для сложения целых чисел, как 0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ W.

Ниже перечислены свойства целых чисел при умножении:

Свойство замыкания ⇒ a × b ∈ W, ∀ a,b ∈ W.
Ассоциативное свойство ⇒ a × (b × c) = (a × b) × c, ∀ a,b,c ∈ W.
Коммутативное свойство ⇒ a × b = b × a, ∀ a,b ∈ W.
Нулевое свойство ⇒ a × 0 = 0 × a = 0, ∀ a ∈ W.
Мультипликативная идентичность ⇒ 1 — элемент идентичности для умножения целых чисел, как 1 × a = a × 1 = a, ∀ a ∈ W.

Каковы свойства деления целых чисел?

Свойства целых чисел при делении приведены ниже:

0 разделить на любое целое число, отличное от нуля, всегда дает 0.
0 разделить на 0 не определено.
Любое ненулевое целое число, деленное на 1, всегда дает одно и то же целое число.
Любое ненулевое целое число, деленное само на себя, всегда дает 1.
Деление целых чисел удовлетворяет алгоритму деления, который гласит: «Дивиденд = делитель × частное + остаток».

Каковы свойства вычитания целых чисел?

Свойства целых чисел при вычитании перечислены ниже:

0 вычитание из любого целого числа дает одно и то же число.
Любое целое число, вычитаемое из 0, приводит к его аддитивной инверсии.
Замыкающие, ассоциативные и коммутативные свойства не выполняются для вычитания.
Дистрибутивное свойство умножения над вычитанием выполняется. Отсюда следует, что a × (b — c) = (a × b) — (a × c), ∀ a,b,c ∈ W.

Что такое ассоциативное свойство сложения целых чисел?

Ассоциативное свойство сложения целых чисел гласит, что порядок, в котором расположены три числа, не влияет на их сумму. Математически это можно выразить как a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b, ∀ a,b,c ∈ W.

Алгоритмы целых чисел и немного алгебры!

Целочисленные алгоритмы и немного алгебры!

Использование десятичных блоков для «видения» алгоритмов

Цель: Рассмотреть сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел с геометрической, практической и алгоритмической точки зрения.

Аудитория: Это занятие предназначено для учителей. Упражнение предназначено для установления связи между использованием манипулятивных средств и разработкой алгоритмов. Приглашаются родители и ученики!

Часть 1: Дополнение. Сосредоточьтесь на торговле и перегруппировке.
Часть 2: Вычитание — Сосредоточьтесь на торговле и перегруппировке.
Часть 3: Умножение. Сосредоточьтесь на моделях распределительной собственности и площади.
Часть 4: Разделение. Сосредоточьтесь на методе каркаса и моделях областей.
Часть 5: Немного алгебры. Сосредоточьтесь на моделях распределительных свойств и областей.

Нажмите здесь, чтобы получить это задание в формате PDF.

Виртуальный манипулятор: базовые 10 блоков!

Нажмите здесь, чтобы открыть виртуальные блоки Base 10.
Нажмите на коврик для фона, если вам нужно.
Нажмите на цифры, чтобы получить единицы, десятки и сотни штук.

Нажмите на молоток, клей или лассо, чтобы помочь в работе!
Нажмите здесь, чтобы узнать больше о разработчике!

Часть 1: Дополнение

Один тип алгоритма сложения
Попробуйте решить эти задачи, используя блоки с основанием 10 и алгоритм. Документируйте свою работу.

Часть 2: Вычитание

Один тип алгоритма вычитания

Попробуйте решить эти задачи, используя блоки с основанием 10 и алгоритм. Документируйте свою работу.

Часть 3: Умножение

Один тип алгоритма умножения — Если в вашем классе 23 ученика, и каждый из них нужно 12 соломинок для поделки, сколько соломинок вам нужно поставить? Мы пишем это как 23 группы по 12 или 23 человека 12. Напишите, как бы вы нашли решение этой проблемы.
Обратите внимание, что два применения Распределительного свойства дают нам «стандартные» части. Здесь вы видите это как в вертикальном, так и в горизонтальном форматах. Найдите части из вычислений ниже на модели местности. Обратите внимание, что мы на самом деле находим 12, 23.

Вертикально:

ИЛИ

Горизонтальный:

Попробуйте решить эти задачи, используя блоки с основанием 10. Нарисуйте или распечатайте модель местности, которую вы построили. Запишите детали алгоритма и найдите продукты на модели вашей местности. Обратите внимание, что вторая проблема является многоступенчатой. (Почему?)

Часть 4: Раздел

Алгоритм деления одного типа — У вас есть 483 морских раковины для классного художественного проекта. Каждому ученику нужна 21 ракушка. Сколько студенты смогут сделать проект? Сколько групп по 21 ракушке можно составить из 483? объекты? Пишем 483 21. Напишите, как бы вы нашли решение этой проблемы.
Найдите количество групп размера 21 на модели области. Нарисуйте в самой левой колонке с соответствующие «Базовые 10 блоков».
Далее взгляните на приведенный ниже метод каркаса. (Есть ли корреляция с «хорошей догадкой» эшафота? метод и модель области? Должны ли быть отношения?)

Леса:

Теперь у вас есть 483 морских раковины для классного художественного проекта. В вашем классе 21 ученик. Если вы даете каждому ученику одинаковое количество ракушек, сколько ракушек будет у каждого ученика? Использовать блоки для моделирования этой проблемы. Там все еще написано 483 21? Обсуждать.
Попробуйте это, нарисовав блоки Base 10. Затем запишите решение, используя метод лесов.

Примечание для учителя: когда вы выбираете задачи для иллюстрации с блоками с основанием 10, убедитесь, что вы их первыми, используя блоки! Иногда проблема требует, чтобы вы разбили КВАРТИРУ, чтобы для заполнения модели области. Этот тип проблемы не лучший для первого использования блоков.

Часть 5: Переходим к алгебре!

Мы можем использовать концепцию блоков с основанием 10 для создания блоков XY. X и Y — неизвестные длины!
Дополнительно: Щелкните здесь, чтобы создать набор блоков XY. Используйте кнопку Назад, чтобы вернуться на эту страницу.
Для этого задания нам понадобится только X блоков.

Посмотрите на рисунок ниже. Это представление площади (x + 2)(x + 3). Сравните это до 23 12. Видите ли вы сходство?

Теперь разложите (x + 2)(x + 3), используя распределительное свойство: (x + 2)(x + 3) =
Найдите каждый член (x + 2)(x + 3) на картинке выше.
No related posts.