Теорема Виета и ее применение к решению квадратных уравнений
Автор Андрющенко Ольга Викторовна На чтение 7 мин. Просмотров 2.7k. Опубликовано
Наблюдательность и способность к анализу позволяет сделать величайшие открытия. Так французский математик Франсуа Виет открыл закономерность, связывающую корни квадратного уравнения и его коэффициенты.
В курсе алгебры 8 класса изучается теорема Виета. Основное применение этой теоремы — упрощение вычисления корней приведенного квадратного уравнения.
В этой статье мы дадим определение теоремы Виета, докажем ее, покажем применение теоремы при решении квадратных уравнений, а также рассмотрим теорему обратную теореме Виета.
Содержание
Квадратное уравнение и его корни
Давайте вспомним, как решается обычное квадратное уравнение. Сначала мы определяем его дискриминант по формуле: , затем мы сравниваем дискриминант с нулем:
- Если , то уравнение имеет два разных корня, которые определяются по формулам: и
- Если , то имеем два, совпадающих друг с другом корня: .
- Если , то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте запишем уравнение и решим его.
Разделим левую и правую части на 2, получим приведенное квадратное уравнение:
Определим дискриминант: . Дискриминант больше нуля, значит, решением будут два корня:
и .
Сумма этих корней , а произведение . То есть сумма этих корней равна второму коэффициенту приведенного уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.
Проанализировав множество приведенных уравнений и сумм и произведений их корней, французский математик Франсуа Виет (1540—1603) открыл эту закономерность и доказал, что она справедлива для всех приведенных уравнений. Эту закономерность он назвал теоремой, которую мы теперь знаем, как теорему Виета. Она была доказана в 1591 году.
Теорема Виета и ее доказательство
Теорема. Если и корни уравнения , то , а .
Доказательство:
Используя формулу корней приведенного квадратного уравнения, запишем их сумму и произведение:
Что и требовалось доказать.
Теорема (обратная теореме Виета)
Если числа и такие, что их сумма равна , а их произведение равно , то они являются корнями уравнения .
Доказательство.
Если , а , то заменим и в уравнении:
Если , — корни уравнения, то, подставив в уравнение сначала , потом , мы должны получить верное равенство.
То есть, мы доказали, что — корень уравнения.
Подставим теперь :
Итак, доказано, что — корень уравнения .
Теорема доказана.
Примеры применения теоремы Виета
Рассмотрим примеры, в которых целесообразно применение теоремы Виета.
Пример 1
Напишите приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 25 и 2.
Решение:
Приведенное квадратное уравнение имеет вид:
По теореме Виета имеем:
Тогда:
Искомое уравнение будет иметь вид:
Ответ: .
Пример 2
Решите уравнение, применяя теорему Виета.
Решение:
По теореме корни уравнения удовлетворяют системе:
Подбирая, получим:
, .
Действительно, подставим данные корни по очереди в исходное уравнение, и проверим правильность решения.
Корни уравнения найдены верно.
Ответ: , .
Пример 3
Требуется найти корни уравнения .
Решение:
Решать будем через теорему Виета, так как уравнение приведенное — старший коэффициент .
.
Корнями уравнения будут числа и . Они удовлетворяют системе. Сделаем проверку:
Ответ: и .
Совет 1. Если вы делаете выбор в пользу применения теоремы Виета, то обязательно делайте проверку, так как на этапе подбора корней очень часто совершаются ошибки.
Совет 2. Если вы не можете подобрать корни, используя теорему Виета, то вы всегда можете решить уравнение, используя формулы для корней квадратного уравнения.
Пример 4
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
Решение:
Сумму и произведение корней найдем по формулам Виета , .
Ответ: , .
Пример 5
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .
Решение:
Связь между корнями уравнения и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.
, тогда .
Определим :
Тогда уравнение будет иметь вид: .
Ответ: .
Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья
КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?
Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!
КАК ВЫБРАТЬ репетитора
Выбрать репетитора самостоятельно
ИЛИ
Позвонить и Вам поможет специалист
8 (800) 333 58 91
* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК
ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41
Выбранные репетиторы
Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.
Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.
Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных
Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки
Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ
от
800 до 5000 ₽
за 60 мин.
и зависит
ОТ ОПЫТА и
квалификации
репетитора
ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)
ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)
Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом
Почему я выбираю DisTTutor
БЫСТРЫЙ ПОДБОР
РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД
ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА
ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ
НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.
ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА
ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО
376338 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор
И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах
Владимир Александрович Кузьмин
«
Тренинг у Кузьмина В. А. проходил в экстремальных условиях. Мой модем совершенно не держал соединение. За время часового тренинга связь прерывалась практически постоянно. Ясно, что в таких условиях чрезвычайно непросто чему-то учить.
Однако Владимир Александрович проявил удивительную выдержку и терпение. Неоднократно он перезванивал мне на сотовый телефон, чтобы дать пояснения или комментарии.
Ценой больших усилий нам удалось рассмотреть три программы: ConceptDraw MINDMAP Professional Ru, GeoGebra и Ultra Flash Video FLV Converter. Владимир Александрович открыл мне курс на платформе dist-tutor.info и научил подключать и настраивать Виртуальный кабинет, порекомендовав изучать возможности этого ресурса, чтобы постепенно уходить от использования Skype.
«
Вячеслав Юрьевич Матыкин
Чулпан Равилевна Насырова
«
Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!
«
Алина Крякина
Надежда Васильевна Токарева
«
Мы занимались с Надеждой Васильевной по математике 5 класса. Занятия проходили в удобное для обоих сторон время. Если необходимо было дополнительно позаниматься во внеурочное время, Надежда Васильевна всегда шла навстречу. Ей можно было позванить, чтобы просто задать вопрос по непонятной задачке из домашнего задания.
Моя дочь существенно подняла свой уровень знаний по математике и начала демонстрировать хорошие оценки. Мы очень благодарны Надежде Васильевне за помощь в этом учебном году, надеемся на продолжение отношений осенью.
«
Эльмира Есеноманова
Ольга Александровна Мухаметзянова
«
Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.
«
Оксана Александровна
Клиентам
- Репетиторы по математике
- Репетиторы по русскому языку
- Репетиторы по химии
- Репетиторы по биологии
- Репетиторы английского языка
- Репетиторы немецкого языка
Репетиторам
- Регистрация
- Публичная оферта
- Библиотека
- Бан-лист репетиторов
Партнеры
- ChemSchool
-
PREPY. RU
- Class
RU
Формула Виета для квадратных уравнений
Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней. Виета был французским математиком, чья работа над многочленами проложила путь современной алгебре.
Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и продукты его корней. Виета был французским математиком, работавшим над многочлены проложили путь современной алгебре.
Формула Виета для квадратных уравнений
let α и β — корни квадратичного уравнения AX 
) x + a ( αβ ) = 0.
.
So a quadratic equation whose roots are α and β is x 2 − ( α + β ) x + αβ = 0 ; то есть a квадратичный уравнение с заданными корнями:
x 2 − (сумма корней) x + произведение корней = 0. (1)
Примечание Неопределенный артикль a используется в приведенном выше заявлении. В факт, если P ( x ) = 0 является квадратным уравнением, корни которого равны α и β , тогда cP ( x ) также является квадратным уравнением с корни α и β для любого ненулевого константа c . В более ранних классах, используя приведенные выше отношения между корнями и
коэффициентов мы построили квадратное уравнение, имея корни α и β .
Фактически,
такое уравнение дается формулой (1). Например, квадратное уравнение,
корни равны 3 и 4: x 2 − 7 x +12 = 0,
Далее строятся новые полиномиальные уравнения, корни которых функции корней заданного полиномиального уравнения; в этом процессе мы формируем новое полиномиальное уравнение без нахождения корней данного полинома уравнение. Например, мы строим полиномиальное уравнение, увеличивая корни данного полиномиального уравнения на два, как указано ниже.
Пример 3.1
Если α и β — корни квадратного уравнение17 x 2 + 43 x − 73 = 0, постройте квадратное уравнение, корни α + 2 и β + 2 .
РешениеТак как α и β являются корнями 17 х 2 + 40 х , имеем α + β = -43/17 и αβ = -73/17
Мы хотим построить квадратное уравнение с корнями α +
2 и β + 2 .
Таким образом, чтобы построить такое квадратное уравнение, вычислите
сумму корней = α + β + 4 = [-43/17] + 4 = [25/17] и
произведение корней = αβ + 2(α + β ) + 4 = (-73/17) + 2 (-43/17) + 4 = -91/17.
Следовательно, квадратное уравнение с требуемыми корнями равно x 2 – (25/17) x – (91/17) = 0
Умножение этого уравнения на 17 дает 17 x 2 — 25 x — 91 = 0
, что также является квадратным уравнением, имеющим корни α + 2 и β + 2 .
Пример 3.2IF α и β являются корнями квадратичного уравнения 2 x 2 — 7 x +13 = 0, 0, 2 — 7 x +13 = 0, 2 – составить квадратное уравнение, корни которого равны α 2 и β 2 .
РешениеТак как α и β являются корнями квадратного уравнения имеем α + β = 7/2 и αβ = 13/2
Таким образом, для построения нового квадратного уравнения
Сумма корней = α 2 + β 2 = ( α + β) 2 — 2αβ = -3/4.
Произведение корней = α 2 β 2 = (αβ) 2 = 169/4
Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид x 2 + (¾) х + (169/4) = 0 . From this we see that
4 x 2 + 3 x +169 = 0
is a quadratic equation with roots α 2 and β 2 .
Замечание В примерах 3.1 и 3.2 мы вычислили сумму и
произведение корней с использованием известных α + β и αβ . Таким образом, мы можем построить квадратное уравнение с желаемым
корней при условии суммы и произведения корней нового квадратного
уравнение можно записать, используя сумму и произведение корней данного
Квадратное уравнение. Заметим, что данное уравнение мы не решили; мы делаем
не знать значения α и β даже после выполнения задания.
Учебный материал, Лекционные заметки, Задание, Справочник, Вики-описание, пояснение, краткое описание
12-я математика: РАЗДЕЛ 3: Теория уравнений: Формула Виета для квадратных уравнений | Теория уравнений
Вычисление функций корней без вычисления корней
Время от времени необходимо вычислить некоторую функцию корней многочлена, и это может быть возможно сделать без предварительного вычисления корней.
Квадратика
Квадратичная формула дает явные решения уравнения
Два решения для x :
, где
Неудобная часть заключается в извлечении квадратного корня из дискриминанта Δ. Но в этом нет необходимости, если вам нужно знать только сумму или произведение корней.
Сумма двух корней равна просто – b / a , потому что члены, включающие дискриминант, сокращаются.
Продукт корней получается c / a .
В моем предыдущем посте мне понадобилась разность двух корней. Это не так просто, как сумма, но получается √Δ/ a .
Многочлены высших порядков
Существуют простые выражения для суммы и произведения корней многочленов в целом.
Сумма корней есть минус отношения второго коэффициента к первому. Итак, для кубического уравнения
сумма корней снова равна – b / a , как и в квадратичном случае.
Произведение корней равно отношению последнего коэффициента к первому со знаком минус для многочленов нечетной степени. Итак, в кубическом случае произведение корней — d / a .
Более формальный
Чтобы использовать символы, а не слова, пусть p ( x ) будет многочленом
и нумеруем корни r 1 от до r n . Затем
История
Приведенная выше теорема восходит к Франсуа Виету (1540–1603) и известна как первая и последняя формулы Виета.
(Есть и другие промежуточные варианты. Мы скоро к этому вернемся.) Формулы называются формулами Виета, а не формулами Виета, потому что первая основана на латинизированной форме его имени, Франциска Виета.
Как я писал здесь, Виет открыл следующее бесконечное произведение числа π:
Обобщение
Я не знаю, восходят ли формулы Виета в их полной общности к Виету. Часто первопроходец прокладывает тропу, а кто-то другой идет за ним, чтобы улучшить тропу.
Сумма корней многочлена – это сумма всех произведений корней, содержащих один член. Произведение равно сумме всех произведений корней, содержащих n слагаемых. Можно было бы запросить сумму всех корней, содержащих промежуточное число терминов. Например, если корни кубического
уравнение
являются α. β и γ, можно было бы как для суммы всех произведений двух корней
и получается c / a.
, если мы насчитываем корни нашей полиномиальной R 1 по R N Затем сумма всех различных продуктов K ROOT вышеприведенного уравнения сложно, но оно представляет собой сумму всех различных корней произведений, взятых к за раз.
Доказательство
Доказательство на самом деле довольно простое. Начните с записи многочлена в факторизованной форме.
Теперь представьте, что произведение умножается. Каждый термин в произведении получается путем выбора из каждого термина либо x , либо – r и сложения всех возможных вариантов.
Коэффициент x n -1 получается из суммирования всех способов выбора x из всех терминов, кроме одного, и выбора одного термина с отрицательным корнем. Значит сумма минусов корней равна 9.0391 a n -1 разделить на член a n перед произведением. Это доказывает первую формулу Виета.
Доказательство формулы Виета k th происходит из применения аналогичного комбинаторного рассуждения к коэффициенту x n – k .
Обсуждение
Формулы Виеты очень умны, хотя их легко доказать.
Квадратичный случай можно доказать грубой силой: найти корни, вычислить их сумму и произведение. Было бы возможно, но трудно сделать то же самое для кубического случая, хотя я не знаю, видел ли Виет когда-либо формулу для корней кубического уравнения, потому что он и Кардано были современниками. Случай с полиномами четвертой степени был бы еще сложнее, а случай с полиномами более высоких степеней был бы невозможен даже в принципе.
Было бы понятной ошибкой полагать, что вам нужно обобщить квадратичную формулу, чтобы обобщить теорему о суммах и произведениях корней. Но это не так. В математике часто случается озарение, когда вы понимаете, что вам не нужно вычислять то, что, как кажется, вы должны вычислить. Возможно, отсутствие удобных формул для высших корней заставило Виету посмотреть на проблему более абстрактно.
Результат Виеты впечатляет еще больше, если учесть, насколько неудобными были математические обозначения в его время. В алгебре даже не использовались круглые скобки, пока их не ввел Виета.