Умножение вектора на число это: Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 9 класс.

Умножение вектора на число

Содержание статьи

1. Откладывание вектора от данной точки

2. Умножение вектора на число

3. Свойства произведения вектора на число

4. Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число

Откладывание вектора от данной точки

Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

1. Вектор $\overrightarrow{a}$ — нулевой.

   В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow{KK}$.

2. Вектор $\overrightarrow{a}$ — ненулевой.

   Обозначим точкой $A$ начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

   Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

   Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

   Теорема доказана.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a\ }$ и действительное число $k$.

Определение 2

Произведением вектора $\overrightarrow{a\ }$ на действительное число $k$ называется вектор $\overrightarrow{b\ }$ удовлетворяющий следующим условиям:

1. Длина вектора $\overrightarrow{b\ }$ равна $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }|$;

2. Векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ сонаправлены, при $k\ge 0$ и противоположно направлены, если $k

Обозначение: $\ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }$.

Замечание 1

Отметим, что в результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина.

Свойства произведения вектора на число

1. Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.

   Доказательство.

   По определению 2, имеем $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a\ }\right|=0\cdot \left|\overrightarrow{a\ }\right|=0$, следовательно,$\overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }=\overrightarrow{0}$

2. Для любого вектора $\overrightarrow{a\ }$ и любого действительного числа $k$ векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ коллинеарны.

   Доказательство.

   Так как по определению 2, векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.

3. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив сочетательный закон:

   \[\left(mn\right)\overrightarrow{a\ }=m(n\overrightarrow{a\ })\]

   Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.

   Рисунок 3. Сочетательный закон

4. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив первый распределительный закон:

   \[\left(m+n\right)\overrightarrow{a\ }=m\overrightarrow{a\ }+n\overrightarrow{a\ }\]

   Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.

   Рисунок 4. Первый распределительный закон

5. Для любого действительного числа $m$ и векторов $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ справедлив второй распределительный закон:

   \[m\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)=m\overrightarrow{a\ }+m\overrightarrow{b\ }\]

   Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.

   Рисунок 5. Второй распределительный закон

Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число

Пример 1

Пусть $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}$. Найти векторы:

1. $2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$

2. $\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}$

3. $-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}$

Решение.

1. $2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=2\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)+2\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)=2\overrightarrow{a\ }+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a\ }-2\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a\ }$

2. $\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a\ }-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a\ }+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{3\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}}{2}$

3. $-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}=-\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)-\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a\ }$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01.

04.2022

Основные правила и свойства умножения вектора на число и их применение на стандартных заданиях

При обучении математике и физике в старших классах средней школы, а также в высших учебных заведениях постоянно приходится сталкиваться с понятием вектора. Учащиеся и студенты обязаны уметь проводить с векторами простейшие арифметические действия.

В статье будет показано, как умножать их на постоянные числа.

Оглавление:

• Основные понятия и определения
• Правила умножения вектора на число
• Алгебраический и геометрический смысл действия
• Формулы умножения
• Возможные действия с векторами

Содержание

Основные понятия и определения

Чтобы в дальнейшем упростить работу со статьёй, введём некоторые формулировки и договорённости:

1. Постоянная — любое обычное число, которое может принимать определённые фиксированные значения, быть положительным, отрицательным или нулевым. Обозначать будем латинской буквой С (от греческого слова constanta, то есть постоянная).
2. Вектор — участок прямой, ограниченный двумя точками и имеющий заданное направление. Обозначать будем как (АВ). Причём точка, А является его началом, В — концом. Направление будем считать от точки, А к точке В. Допустима замена на (CD).
3. Вектора называются параллельными (коллинеарными), если они лежат на коллинеарных прямых или на одной прямой.
4. Нулевым вектором называется такой, у которого конец и начало совпадают. Называется нуль-вектор и обозначается (0).
5. Координатами (АВ) называются числа, равные его протяжённости относительно каждой из оси координат в Декартовой системе. Они находятся вычитанием из координат конца вектора координат его начала. Знак минус перед этим числом означает, что вектор направлен против направления данной оси.
6. Модулем (АВ) называется длина отрезка АВ.
7. Квадратный корень из числа или выражения условимся обозначать латинским буквосочетанием SQRT.
8. (АВ) с координатами (x, y, z) будем обозначать как (АВ) (x, y, z).

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Правила умножения вектора на число

Рассмотрим, как умножить вектор на число:

1. Прежде всего отметим, что при умножении на отрицательную постоянную меняется направление на противоположное.
2. Если constanta больше -1, но меньше 1, то модуль (АВ) уменьшится. Проще говоря — отрезок станет короче.
3. Если постоянная равна нулю, С=0, то результатом вычислений окажется (0).
4. Для умножения (АВ) (x, y, z) на некую постоянную, нужно найти произведение каждой из координат с этой постоянной. Получится (А1В1) (С*x, С*y, С*z).

Интересно знать: Модуль числа в математике.

Алгебраический и геометрический смысл действия

Любое математическое действие имеет некий смысл, причём в разных науках он различается. Рассмотрим, что нам даёт этот вид умножения:

1. Геометрический смысл: (АВ)*С — это вектор, коллинеарный данному, модуль которого отличается в С раз от исходного, направление может совпадать или меняться на противоположное в зависимости от знака постоянной.
2. Алгебраический смысл: (АВ) (x, y, z)*С — это новый (А1В1) с координатами равными (С*x, С*y, С*z).
3. Физический смысл: уменьшение или увеличение в С раз силы действующей на тело или материальную точку.

Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?

Формулы умножения

При умножении проще всего использовать заранее заученные на память формулы, которые вполне можно применять по шаблону, выполняя действия буквально на полном автомате:

• С*(АВ) (x, y, z) = (А1В1) (С*x, С*y, С*z).
• 0*(АВ) = (0).

Для начала возьмём физическую задачу воздействия силы на материальную точку. Пусть на неё действует сила, описываемая (АВ) (57,63,28). Как изменится эта сила по координатам при её десятикратном увеличении?

Прежде всего следует отметить, что направление воздействия силы не изменится, а сама сила возрастёт десятикратно. При раскладке по координатам получим следующее:

10*(АВ) (57,63,28) = (А1В1) (10*57,10*63,10*28) = (А1В1) (570,630,280).

Вторую задачу возьмём аналогичную: как изменится сила, действующая на материальное тело, описываемая (АВ) (46,59,-43) при её увеличении в -0,5 раза.

Прежде всего заметим, что знак у постоянной отрицательный, следовательно, направление самой силы изменится на противоположное. Воспользуемся пунктом 2 вышеизложенных правил умножения, тогда сразу станет понятно, что численное выражение силы уменьшится вдвое. Проведём вычисления по шаблону:

-0,5*(АВ) (46,59,-43) = (А1В1) (-0,5*46,-0,5*59,-0,5*(-43)) = (А1В1) (-23,-29,5,21,5).

Следует заметить, что приведённые выше задачи решались для векторов, размещённых в пространстве и имеющих три координаты. В случае плоскостного размещения количество координат уменьшается до двух, а в случае линейного — до одной. Рассмотрим математические примеры для этих случаев:

• 33*(CD) (11,10) = (C1D1) (33*11,33*10) = (C1D1) (363,330).
• -0,2*(АВ) (-0,3,25) = (А1В1) (-0,2*(-0,3), -0,2*25) = (А1В1) (0,06, -5).
• 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
• 0*(АВ) (65,-87) = (0).

Возможные действия с векторами

Не следует думать, что все возможные действия ограничиваются умножениям на число. Прежде всего можно определить длину (АВ) — модуль. Он будет равняться SQRT из суммы квадратов координат. Поясним это на примере:

• модуль (АВ) (3,4) = SQRT (3 2+ 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

Кроме этого, из курса школьной математики и физики известно, что вектора можно слагать один с другим и вычитать друг из друга. При этом проводится сложение и вычитание соответствующих координат.

Наконец, высшая математика вводит понятия числового (скалярного) и векторного умножения двух векторов. В первом случае получится некое число, во втором — третий вектор, направленный перпендикулярно плоскости, содержащей два первых.

В данной статье приведены основы умножения вектора на число. Исходя из её материала, можно утверждать, что действие это простое и доступное любому школьнику с удовлетворительной успеваемостью. Рекомендуется изучить формулы и в своих вычислениях действовать по изложенному в тексте шаблону.

Умножение вектора на число

Материал урока.

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего. Причём полученный многоугольник может быть не только плоским, но и пространственным.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора  и вектора, противоположного вектору  .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору «- », по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Как и на плоскости в пространстве вектор можно умножать на число. На этом-то уроке мы и поговорим об умножении вектора на число в пространстве.

Рассмотрим пример, который поможет нам вспомнить, что представляет собой произведение вектора на число.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором , то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость  умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор  умножением на -5.

Определение. Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение числа k на вектор  в пространстве обозначают так же как и на плоскости.

Имеют место такие следствия из определения.

Действительно, по определению длина этого вектора равна произведению длины вектора  на 0, то есть равна 0. Значит, получаем нулевой вектор.

Вторым следствием из определения является то, что ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k.

Ведь, если k≥0, то полученный вектор сонаправлен вектору , а если k<0, то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

Свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве. Напомним их.

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел k и l, можно вектор  сначала умножить на число l, а затем на число k. Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Вторым свойством запишем, что произведение вектора  на сумму чисел k и l равно сумме произведений «вектора  на число k» и «вектора  на число l». Это

первый распределительный закон.

Запишем второй распределительный закон.

Произведение суммы векторов  и  на число k равно сумме произведений «вектора  на число k» и «вектора  на число k».

Стоит также напомнить, что эти свойства позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Упростим следующие выражения.

Выполним задание, где рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁, диагонали которого пересекаются в точке О. Для каждого из равенств нужно найти такое число k, чтобы равенства были верными.

Рассмотрим первое равенство, .

Для наглядности, изобразим каждый из данных векторов.

Рассмотрим грань ABCD, которая является квадратом, так как перед нами куб.

Это значит, что стороны AB и CD параллельны и равны.

Рассмотрим следующее равенство . Изобразим векторы  и .

Понятно, что диагонали куба точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим последнее равенство .

Изобразим векторы  и .

Так мы с вами нашли значение числа k для каждого из равенств.

Выполним ещё одно задание.

Задача.  параллелограмм. Точки  и  середины сторон  и  соответственно.

 произвольная точка пространства. Выразить:

а)  через                                              б)  через

Решение.

Обратимся к пункту А.

Обратим своё внимание на пункт Б.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы сформулировали определение произведения вектора на число в пространстве, которое ничем не отличается от аналогичного определения для векторов на плоскости.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k≥0, и противоположно направлены, если k<0.

Мы вспомнили свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, которые имеют место и для векторов в пространстве.

А также отметили, что, как и на плоскости, в пространстве любой ненулевой вектор пространства можно представить в виде произведения коллинеарного ему вектора на некоторое число k.

Все эти знания мы применили при выполнении заданий уже не на плоскости, а в пределах пространства.

Видео-урок: Скалярное умножение и единичные векторы

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся умножить вектор на скаляр и как найти единичный вектор в направлении любого заданный вектор путем деления вектора на скаляр. Оба мы рассмотрим в как в двух, так и в трех измерениях.

Начнем с того, что вспомним, что мы в смысле скалярного умножения. Умножение вектора на скаляр или действительное число называется скалярным умножением. Чтобы выполнить скалярное умножение, вам нужно умножить скаляр на каждый компонент вектора. Рассмотрим вектор 𝐕 с компоненты 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Теперь давайте представим, что мы хотим умножьте этот вектор на константу или скаляр 𝑘. Мы делаем это так же, как если бы мы распределяли круглые скобки или раскрывали скобки. Вектор 𝑘𝐕 имеет компоненты 𝑘𝑎, 𝑘𝑏 и 𝑘𝑐.

При умножении вектора на скаляр, результат также является вектором. Мы знаем, что любой вектор имеет оба величину и направление. Умножение вектора на положительный число, отличное от единицы, изменяет величину, но не меняет направление. Умножение вектора на отрицательный один меняет направление, но не меняет величину. Умножение на любое другое отрицательное число меняет направление и изменяет величину вектора.

Сейчас мы рассмотрим пару примеры, где нам нужно умножить вектор на скаляр.

Учитывая, что вектор 𝐀 равен минус один, минус восемь, найти три 𝐀.

Умножение вектора на любое вещественное число, как в этом случае, известно как скалярное умножение. Чтобы выполнить скалярное умножение, мы умножаем каждую компоненту вектора на скаляр. В этом вопросе нам необходимо умножьте вектор минус один, минус восемь на три. Умножение положительного числа на отрицательное число дает отрицательный ответ. Следовательно, три умножить на отрицательный один — отрицательный три. Три умножить на минус восемь равно минусу 24. Три, умноженные на вектор 𝐀 или вектор три 𝐀 равен минус три, минус 24.

В нашем следующем вопросе мы рассмотрим, что происходит, когда мы графически умножаем вектор на скаляр.

Вектор 𝐀 представлен следующий график. Какой из следующих графиков представляет отрицательную двойку 𝐀?

Вектор 𝐀 идет от начала к пункт один, один. Это означает, что он имеет 𝑥-компонента единицы и 𝑦-компонента единицы. Вектор 𝐀 равен единице, единице. Мы хотим умножить вектор 𝐀 на минус два. Напомним, что при умножении вектора на скаляр, нам нужно умножить каждый из отдельных компонентов на скаляр. Умножение минуса два на один дает нам минус два. Следовательно, вектор, который соответствует отрицательной двойке 𝐀 отрицательной двойке, отрицательной двойке.

Теперь рассмотрим пять вариантов нам даны и какие векторы они представляют. График (A) идет от начала координат к минус два, минус два. Это означает, что он соответствует вектор минус два, минус два. Это то же самое, что минус два 𝐀, что предполагает, что это правильный график.

На графике (B) показан векторный, минус два. На графике (С) показан векторный, два. График (D) показывает векторный, 0,5. А на графике (Е) показан вектор 0,5, 0,5. Это подтверждает, что график (A) действительно действительно представляют отрицательные два 𝐀. Это приводит нас к ключевому правилу, когда умножение на отрицательные скаляры. Когда мы умножаем любой вектор на отрицательный скаляр, отличный от отрицательного, вектор изменит направление и величина. Умножение вектора на отрицательный два, как и в этом случае, удвоят величину, а направление вектора будет противоположным первоначальному направлению. Это можно показать по координате самолет по зеленой стрелке.

Остальные вопросы в это видео будет иметь дело с единичными векторами. Начнем с определения того, что мы означает единичный вектор.

Единичный вектор – это вектор, у которого величина один. Напомним, что трехмерный вектор с компонентами 𝑎, 𝑏, 𝑐 имеет модуль, равный квадратному корню из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате плюс 𝑐 в квадрате. Полосы абсолютного значения обозначают величина вектора. Чтобы найти единичный вектор с тем же направлением, что и данный вектор, мы делим на величину данного вектор. Единичный вектор 𝐕 записывается 𝐕 шляпа. Это равно единице над величина 𝐕, умноженная на вектор 𝐕.

Рассмотрим вектор 𝐕 с компоненты четыре, три. Величина вектора 𝐕 равна корень квадратный из четырех в квадрате плюс три в квадрате. Четыре в квадрате равно 16, а три в квадрате равно девяти. Это означает, что величина вектор 𝐕 равен квадратному корню из 25. Обычно мы оставляем это в радикальная или грубая форма. Но так как квадратный корень из 25 является целое число, мы можем упростить так, чтобы модуль вектора 𝐕 был равен пяти.

Таким образом, единичный вектор 𝐕 равен равно одной пятой, умноженной на вектор четыре, три. Напомним, что при умножении вектор на скаляр, мы умножаем каждый компонент отдельно на скаляр. Следовательно, единичный вектор 𝐕 равен равно четырем пятым, трем пятым.

Теперь рассмотрим несколько примеров где нам нужно вычислить единичные векторы.

Рассмотрим вектор 𝐀 пять 𝐢 минус два 𝐣 минус четыре 𝐤. Является единичным вектором в направлении 𝐀 такой же, как единичный вектор в направлении трех 𝐀?

Мы знаем, что вектор 𝐀 может быть переписан в форме пять, минус два, минус четыре. Нас также просят рассмотреть вектор три 𝐀. Это включает в себя умножение вектора 𝐀 скаляром или константой три. Это предполагает умножение каждого компонент скаляром три. Три умножить на пять равно 15. Три умножить на минус два равно минус шесть. И три умножить на минус четыре минус 12. Это означает, что три 𝐀 равно до 15, минус шесть, минус 12.

Единичный вектор 𝐕 шляпа равен на единицу больше величины вектора 𝐕, умноженной на вектор 𝐕. Это то же самое, что разделить вектор по его величине. Мы знаем, что для расчета величины любого вектора, мы находим квадратный корень из суммы квадратов каждого составная часть. Величина вектора 𝐀 равна корень квадратный из пяти в квадрате плюс минус два в квадрате плюс минус четыре в квадрате. Это равно квадратному корню из 25 плюс четыре плюс 16. Это упрощается до квадратного корня 45, что в свою очередь равно трем корням из пяти.

Величина вектора 𝐀 равна трем корень пять. Единичный вектор в направлении вектор 𝐀, следовательно, равен единице из трех корней из пяти, умноженной на пять, минус два, минус четыре. Мы могли бы переписать это как вектор пять больше трех корней пять, минус два больше трех корней пять и минус четыре больше три корня пять.

Теперь рассмотрим единичный вектор в направлении трех 𝐀. Величина вектора три 𝐀 равна равно квадратному корню из 15 в квадрате плюс минус шесть в квадрате плюс минус 12 в квадрате. Это равно квадратному корню из 405, что, в свою очередь, упрощается до девяти с корнем пять. Величина вектора три 𝐀 равна равен девяти корням из пяти.

Здесь мы можем заметить, что это в три раза больше величины вектора 𝐀. Это приводит нас к общему правило. Величина 𝑘𝐕 равна 𝑘 умножается на величину вектора 𝐕. Это означает, что три умножить на величина вектора 𝐀 равна трем умноженным на три корня из пяти. Единичный вектор в направлении Таким образом, три 𝐀 равны единице из девяти корней из пяти, умноженных на вектор 15, минус шесть, минус 12.

Вынесение тройки из вектор дает нам три из девяти, корень пять, умноженный на вектор пять, отрицательный два, минус четыре. Это то же самое, что один на три корень пять, умноженный на вектор пять, минус два, минус четыре. Таким образом, мы можем сделать вывод, что ответ да, единичный вектор в направлении 𝐀 совпадает с единичным вектором в направлении трех 𝐀.

Это будет верно для любого вектора умножается на положительную скалярную величину. Пока наше значение 𝑘 равно положительный, то единичный вектор в направлении 𝐀 будет таким же, как единичный вектор в направлении 𝑘𝐀.

В нашем следующем вопросе мы найдем единичный вектор в том же направлении, что и двумерный вектор.

Найти единичный вектор в том же направление как вектор минус три 𝐢 плюс пять 𝐣.

Мы знаем, что единичный вектор 𝐕 шляпа равно единице над величиной вектора 𝐕, умноженной на вектор 𝐕, где величина двумерного вектора с компонентами 𝑎 и 𝑏 равна квадратный корень из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате.

В этом вопросе у нас есть вектор с компонентами 𝐢 и 𝐣 отрицательными тремя и пятью. Величина этого вектора равно квадратному корню из отрицательных трех в квадрате плюс пять в квадрате. Минус три в квадрате равно девять, а пять в квадрате равно 25. Это означает, что величина вектор 𝐕 равен корню 34. Таким образом, единичный вектор 𝐕 равен равно единице на корень 34, умноженной на минус три, пять.

При умножении любого вектора на скаляр, мы умножаем каждый отдельный компонент на скаляр. Это дает нам отрицательную тройку корень 34, пять над корнем 34. Мы можем рационализировать знаменатель единицы над корнем 34 путем умножения числителя и знаменателя на корень 34. Это означает, что единица над корнем 34 равна равно корню 34 из 34. Это верно для любого радикала. Один над корнем 𝑎 равен корню 𝑎 над 𝑎.

Таким образом, мы можем переписать два наших компоненты как отрицательные три корня 34 из 34 и пять корней 34 из 34. Переписав это с точки зрения 𝐢 и 𝐣, единичный вектор в том же направлении, что и вектор минус три 𝐢 плюс пять 𝐣 равно отрицательному корню из трех 34 из 34 𝐢 плюс корень из пяти 34 из 34 𝐣.

В нашем последнем вопросе мы будем использовать комбинация скалярного умножения и единичных векторов.

Данный вектор 𝐀 равен двум, ноль, минус два и вектор 𝐁 равен единице, минус единица, единица определяют единичный вектор в направлении два 𝐁 минус 𝐀.

Наш первый шаг здесь — рассчитать вектор два 𝐁 минус 𝐀. Мы делаем это, умножая вектор 𝐁 на скаляр два, а затем вычитая вектор 𝐀. При умножении вектора на скаляр, мы умножаем каждый из компонентов на скаляр. Следовательно, два 𝐁 равны двум, минус два, два.

Нам нужно вычесть вектор два, ноль, минус два. Мы делаем это, вычитая каждый компонент по отдельности. Два минус два равно нулю. Минус два минус ноль равно минус два. Наконец, два минус два равно равно четырем, так как вычитание отрицательных двух равносильно добавлению двух.

Нам нужно найти единичный вектор это. Мы знаем, что единичный вектор 𝐕 шляпа равно единице на величину 𝐕, умноженную на вектор 𝐕. Величина двух 𝐁 минус 𝐀 равна равно квадратному корню из нуля в квадрате плюс минус два в квадрате плюс четыре в квадрате. Это равно квадратному корню из 20, что упрощается до двух корней из пяти. Таким образом, единичный вектор равен на один из двух корень пять, умноженный на ноль, минус два, четыре. Затем мы умножаем каждого человека компонента на единицу больше двух корней пять. Умножение этого на ноль дает нам нуль. Отрицательные два умножить на один два корня пять равны отрицательной единице над корнем пять.

Рационализация знаменателя на умножение числителя и знаменателя на корень пять дает нам отрицательный корень пять более пяти. Наконец, умножение четырех на один над двумя корнями пять дает нам два корня пять над пятью. Единичный вектор в направлении два 𝐁 минус 𝐀 имеют нулевой компонент, отрицательный корень пять из пяти и два корня пять более пяти.

Теперь мы суммируем ключ очки из этого видео. При умножении вектора на скаляр, мы умножаем каждый компонент вектора на скаляр. Это означает, что 𝑘 умножить на вектор 𝑎, 𝑏 равен вектору 𝑘𝑎, 𝑘𝑏. Это работает как в два, так и в три Габаритные размеры. Величина любого вектора обозначены столбиками абсолютных значений. Величина двумерного вектор 𝑎, 𝑏 равен квадратному корню из 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате.

Мы также обнаружили, что единичный вектор имеет модуль единицу в том же направлении, что и данный вектор. Единичный вектор, обозначаемый 𝐕 шляпой, равен равно единице на величину 𝐕, умноженную на вектор 𝐕. Другой способ сказать это так: единичный вектор равен заданному вектору, деленному на его величину.

Умножение векторов — GCSE по математике

Введение

Что такое векторное умножение?

Как умножить вектор

на

Рабочий лист векторного умножения

Распространенные заблуждения

Упражнения на умножение векторов

Умножение векторов Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Вы знали?

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике теперь доступны

Узнать больше

Введение

Что такое векторное умножение?

Как умножить вектор

на

Рабочий лист векторного умножения

Распространенные заблуждения

Упражнения на умножение векторов

Умножение векторов Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Вы знали?

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем о векторном умножении, в том числе на скалярное умножение вектора (умножение вектора на число).

Существуют также векторные рабочие листы на основе экзаменационных вопросов Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое векторное умножение?

Умножение векторов — это умножение вектора на число. Число является скаляром и имеет только величину, тогда как вектор имеет величину и направление.

Для этого умножаем каждую из составляющих на скалярное число.

Вот пример:

Вектор a  

\[\textbf{a}= \left(\begin{массив}{1} 2\\ 1\\ \end{array}\right)\]

Таким образом, умножение вектора a на 3 будет

\[3\textbf{a}= 3\влево(\начать{массив}{1} 2\\ 1\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 3\раз2\\ 3\умножить на 1\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 6\\ 3\\ \конец{массив}\справа)\]

Это работает, потому что умножение — это многократное сложение. Другой способ умножить вектор a на 3:

\[3\textbf{a}=\textbf{a}+\textbf{a}+\textbf{a}= \left(\begin{массив}{1} 2\\ 1\\ \конец{массив}\справа) +\влево(\начать{массив}{1} 2\\ 1\\ \конец{массив}\справа) +\влево(\начать{массив}{1} 2\\ 1\\ \конец{массив}\справа) =\влево(\начать{массив}{1} 6\\ 3\\ \end{array}\right)\]

Это видно на диаграмме. Вы можете видеть 3 лота компонента x и 3 лота компонента y.

Направление вектора, умноженного на скалярное число, такое же, как у исходного вектора, но величина вектора (также называемая абсолютным значением вектора) изменилась.

Что такое векторное умножение?

Как умножить вектор

Чтобы умножить вектор на скаляр:

1. Умножьте компонент x на скаляр.
2. Умножьте y компонент скаляром.
3. Запишите результирующий вектор.

Как умножить вектор

Рабочий лист векторного умножения

Получите бесплатный векторный лист умножения, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКОРО

Икс

Рабочий лист векторного умножения

Получите бесплатный векторный лист умножения, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКОРО

Связанные уроки по векторам

Умножение векторов является частью нашей серии уроков для поддержки пересмотра векторов . Возможно, вам будет полезно начать с урока по основным векторам, чтобы получить общее представление о том, чего ожидать, или воспользоваться пошаговыми руководствами, приведенными ниже, для получения более подробной информации по отдельным темам. Другие уроки этой серии включают:

• Векторы
• Величина вектора 
• Вектор-столбец
• Представление векторов
• Сложение векторов
• Вычитание векторов
• Задачи векторов

Примеры умножения векторов

} 4\\ 5\\ \end{массив}\right)\]

1. Умножьте компонент x на скаляр.

Умножить скалярное число на верхнее число

2\раз4=8

2 Умножьте компонент y на скаляр.

Умножить скалярное число на нижнее число

2\х5=10

3 Запишите результирующий вектор.

Запишите два ответа в виде вектор-столбца

\[2\left(\begin{array}{1} 4\\ 5\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 2\раз4\\ 2\раз5\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 8\\ 10\\ \end{array}\right)\]

Пример 2: векторное умножение

Вычислить:

\[4\left(\begin{массив}{1} 8\\ 3\\ \end{массив}\right)\]

Умножьте компонент x на скаляр.

Умножить скалярное число на верхнее число

4\х8=32

Умножьте компонент y на скаляр.

Умножить скалярное число на нижнее число

4\times3=12

Запишите результирующий вектор.

Запишите два ответа в виде вектор-столбца

\[4\влево(\начать{массив}{1} 8\\ 3\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 4\раз8\\ 4\раз3\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 32\\ 12\\ \end{array}\right)\]

Пример 3: векторное умножение, десятичный скаляр

Расчет:

\[0,5\left(\begin{array}{1} 10\\ 8\\ \end{массив}\right)\]

Умножьте компонент x на скаляр.

Умножить скалярное число на верхнее число

0,5\×10=5

Умножьте компонент y на скаляр.

Умножить скалярное число на нижнее число

0,5\х8=4

Запишите результирующий вектор.

Запишите два ответа в виде вектор-столбца

\[0,5\left(\begin{array}{1} 10\\ 8\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 0,5\х10\\ 0,5\х8\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 5\\ 4\\ \end{array}\right)\]

Пример 4: векторное умножение, дробный скаляр

Вычислить:

\[\frac{1}{3}\left(\begin{array}{1} -6\\ 9\\ \end{массив}\right)\]

Умножьте компонент x на скаляр.

Умножить скалярное число на верхнее число

\frac{1}{3}\times-6=-2

Умножьте компонент y на скаляр.

Умножить скалярное число на нижнее число

\frac{1}{3}\times9=3

Запишите результирующий вектор.

Запишите два ответа в виде вектор-столбца

\[\frac{1}{3}\left(\begin{array}{1} -6\\ 9\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} \frac{1}{3}\times-6\\ \frac{1}{3}\times9\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} -2\\ 3\\ \end{array}\right)\]

Пример 5: векторное умножение

Вычисление:

\[4\left(\begin{array}{1} -5\\ -2\\ \end{массив}\right)\]

Умножьте компонент x на скаляр.

Умножить скалярное число на верхнее число

4\раз-5=-20

Умножьте компонент y на скаляр.

Умножить скалярное число на нижнее число

4\раз-2=-8

Запишите результирующий вектор.

Запишите два ответа в виде вектор-столбца

\[4\left(\begin{array}{1} -5\\ -2\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 4\раз-5\\ 4\раз-2\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} -20\\ -8\\ \конец{массив}\справа)\]

Пример 6: векторное умножение, отрицательная скалярная величина

Расчет:

\[-3\left(\begin{array}{1} -2\\ 5\\ \end{массив}\right)\]

Умножьте компонент x на скаляр.

Умножить скалярное число на верхнее число

-3\раз-2=6

Умножьте компонент y на скаляр.

Умножить скалярное число на нижнее число

-3\times5=-15

Запишите результирующий вектор.

Запишите два ответа в виде вектор-столбца

\[-3\left(\begin{array}{1} -2\\ 5\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} -3\раз-2\\ -3\раз5\\ \конец{массив}\справа) знак равно \left(\begin{массив}{1} 6\\ -15\\ \end{array}\right)\]

Распространенные заблуждения

• Убедитесь, что вы умножили оба компонента на скалярное число .
  • Векторы-столбцы имеют только 2 числа в скобках

  Векторы-столбцы имеют верхний номер и нижний номер в скобках. Нет необходимости в каких-либо других знаках препинания, таких как запятые или точки с запятой. Нет необходимости в линии для разделения чисел.

  Практические вопросы по умножению векторов

  \begin{pmatrix} \; 5 \;\\ \; 7\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 4\; \end{pматрица}

  \begin{pmatrix} \; 12 \;\\ \; 6\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 12\; \end{pmatrix}

  3\textbf{a}= 3\begin{pmatrix} \; 2 \;\\\; 4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 3\умножить на 2\;\\\; 3\х4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 6 \;\\\; 12\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 8\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 5 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 5 \;\\ \; 15 \; \end{pматрица}

  \begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 15 \; \end{pmatrix}

  5\textbf{b}= 5\begin{pmatrix} \; 1 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 5\умножить на 1\;\\\; 5\раз3\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 5 \;\\\; 15 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 21 \;\\ \; 31\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 20. 1 \;\\ \; 30,1 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 2 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 20 \;\\ \; 3 \; \end{pматрица}

  0,1\textbf{c}= 0,1\begin{pmatrix} \; 20 \;\\ \; 30 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 0,1\раз 20\;\\\; 0,1\х30\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 2 \;\\\; 3 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; 6\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -2 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -10 \;\\ \; 6\; \end{pmatrix}

  \frac{2}{5}\textbf{a}= \frac{2}{5}\begin{pmatrix} \; -10\;\\\; 15 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; \frac{2}{5}\times -10 \;\\ \; \frac{2}{5}\times15 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; -4\;\\\; 6\; \end{pматрица}

  \begin{pmatrix} \; 12 \;\\ \; 18\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 4 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -12 \;\\ \; -18\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; -3\; \end{pmatrix}

  6\textbf{d}= 6\begin{pmatrix} \; -2 \;\\\; -3\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 6\раз -2\;\\\; 6\раз -3\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; -12\;\\\; -18\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -15 \;\\ \; -12 \; \end{pматрица}

  \begin{pmatrix} \; -2 \;\\ \; -1\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; 15 \;\\ \; 12\; \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} \; -15 \;\\ \; -4\; \end{pmatrix}

  -3\textbf{f}= -3\begin{pmatrix} \; -5 \;\\\; -4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; -3\раз -5\;\\\; -3\раз -4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 15 \;\\\; 12\; \end{pmatrix}

  Умножение векторов Вопросы GCSE

  1. Вектор \textbf{v} равен

   

  \textbf{v}= \begin{pmatrix} \; -3 \;\\ \; 5 \; \end{pматрица}

   

  Какой из приведенных ниже векторов эквивалентен 4\textbf{v} ?

   

  А	\четверка \четверка	Б	\четверка \четверка	С	\четверка \четверка	Д
  \begin{pmatrix} \; -12 \;\\ \; 5 \; \end{pmatrix}	\четверка \четверка	\begin{pmatrix} \; -1 \;\\ \; 20 \; \end{pматрица} 905:50	\четверка \четверка	\begin{pmatrix} \; -1 \;\\ \; 5 \; \end{pmatrix}	\четверка \четверка	\begin{pmatrix} \; -12 \;\\ \; 20 \; \end{pmatrix}

   

  (1 балл)

  Показать ответ

  2. Вектор \textbf{a} равен

   

  \textbf{а}= \begin{pmatrix} \; 3 \;\\ \; -6 \; \end{pматрица}

   

  Вычислить 5\textbf{a}

   

  (2 балла)

  Показать ответ

  \begin{pmatrix} \; 15 \;\\ \; -30 \; \end{pматрица}

  для компонента x (верхний номер)

  (1)

  для компонента Y (нижнее число)

  (1)

  3. Вот умножение вектора

  .

  3 \begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; \текст{б} \; \end{pматрица} знак равно \begin{pmatrix} \; \текст{а} \;\\ \; 24\; \end{pматрица}

   

  (а) Найдите значение .

   

  (b) Найдите значение b .

   

  (2 балла)

  Показать ответ

  (a)

  а=-12

  (1)

   

  (б)

  б=8

  (1)

  Учебный контрольный список

  Теперь вы научились:

  • Умножать вектор на скаляр

  Следующие уроки

  • Локусы и построение
  • Преобразования
  • Теоремы о кругах

  Знаете ли вы?

  Не включено в GCSE: мы можем транспонировать вектор-столбец, чтобы записать его как вектор-строку (и наоборот). Они выглядят как координаты, но без запятых.

  Векторы также можно расширить до математики уровня A и высшей математики, научившись умножать два вектора вместе с помощью скалярного произведения. Это также известно как скалярное произведение двух векторов. Векторы можно умножать, и это известно как векторное произведение. Это также известно как векторное произведение двух векторов. Перекрестное произведение связано с правилом правой руки.

  Мы также можем расширять векторы до трех измерений. Мы также можем посмотреть на вектор, перпендикулярный плоскости, чтобы получить уравнение плоскости.

  Векторы-столбцы являются простым примером матриц. В математике GCSE у нас есть один столбец. Матрицы изучаются на уровне A Level Additional Maths. Количество столбцов и строк будет больше 1 . Умножение матриц можно изучать вместе с нахождением обратной матрицы. Мы также можем найти определитель матрицы и пойти дальше и изучить собственные значения и собственные векторы.

  Если величина вектора равна 1 , этот вектор называется единичным вектором.

  Все еще зависает?

  Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

  Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике. Определение

  . Почему вектор, умноженный на вектор, равен числу?

  Спросил 4 года, 3 месяца назад

  Модифицированный 4 года, 3 месяца назад

  Просмотрено 2к раз

  $\begingroup$

  Мне только что пришло в голову, что у нас есть $$ \text{число} \cdot \text{число} = \text{число} \\ \text{матрица} \cdot \text{матрица} = \text{матрица} $$ но $$ \text{вектор} \cdot \text{вектор} = \text{число} $$ Почему это? Почему $\text{vector} \cdot \text{vector}$ не равен другому $\text{vector}$? Является ли это просто исторической случайностью, что знак «$\cdot$» используется таким образом для векторов, или есть более глубокая причина такой разницы в умножении между числами, матрицами и векторами?

  • векторы
  • определение

  $\endgroup$

  9

  $\begingroup$

  Три вида векторных произведений вместе с тем, что они производят:

  • Скалярный продукт: $vector \cdot vector = scalar$
  • Сквозное произведение: $vector \times vector = vector$
  • Внешний продукт: $vector \otimes vector = matrix$

  Таким образом, он производит число (скаляр), только если это скалярное произведение. 9T\cdot w$$

  Это не обязательно единственный способ увидеть это. На самом деле скалярные произведения в векторном пространстве имеют собственную теорию как симметричные билинейные отображения в векторном пространстве (или эрмитовы полуторалинейные отображения в $\Bbb C$-векторном пространстве). С другой стороны, произведение матриц представляет способ вычисления в координатах композиции линейных карт. Эти две вещи проверяют отдельные аспекты (структуры) векторных пространств, поэтому для них естественно вести себя по-разному, несмотря на то, что обе они называются «продуктами»: теоретически они являются «продуктами» в разных контекстах.

  $\endgroup$

  2

  $\begingroup$

  Вектор, умноженный на скаляр, возвращает вектор

  Перекрестное произведение двух векторов возвращает вектор

  Скалярное произведение двух векторов возвращает скаляр

  Внешнее произведение двух векторов возвращает матрицу (или тензор)

  Я предполагаю, что вы имеете в виду точечный продукт. Скалярный продукт может быть представлен как «количество» одного вектора относительно другого вектора. В этом случае он возвращает скаляр, который можно рассматривать как вектор «количества» A, указывающий в направлении вектора B. (Предположим, что вектор B является единичным вектором). 9Tv=\sum u_iv_i$$

  Как было замечено, в трех измерениях мы также можем определить перекрестное произведение векторов, которое возвращает другой вектор.

  $\endgroup$

  2

  $\begingroup$

  Намерение присвоить число двум векторам состоит в том, чтобы измерить угол — который является числом — между ними и, кроме того, составной частью одного вектора другого.

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  Как уже говорили другие, существует много возможных понятий продукта.

  No related posts.