Теория вероятностей
Теория вероятностей
ОглавлениеГлава 1. ВведениеПРЕДИСЛОВИЕ 1.  Теория вероятностей: 1.2. Краткие исторические сведения Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 2.1. Событие. Вероятность события 2.2. Непосредственный подсчет вероятностей 2.3. Частота, или статистическая вероятность, события 2.4. Случайная величина 2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической универсальности Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 3.2. Теорема сложения вероятностей 3.3. Теорема умножения вероятностей 3.4. Формула полной вероятности 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) Глава 4. Повторение опытов 4.1. Частная теорема о повторении опытов 4.2. Общая теорема о повторении опытов Глава 5. Случайные величины и их законы распределения 5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 5.2. Функция распределения 5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 5.  4. Плотность распределения5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение 5.8. Закон равномерной плотности 5.9. Закон Пуассона Глава 6. Нормальный закон распределения 6.1. Нормальный закон распределения и его параметры 6.2. Моменты нормального распределения 6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 6.4. Вероятное (срединное) отклонение Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 7.1. Основные задачи математической статистики 7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 7.3. Статистический ряд. Гистограмма 7.5. Выравнивание статистических рядов 7.6. Критерии согласия Глава 8.  Системы случайных величин8.1. Понятие о системе случайных величин 8.2. Функция распределения системы двух случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 8.5 Зависимые и независимые случайные величины 8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 8.7. Система произвольного числа случайных величин 8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин Глава 9. Нормальный закон распределении дли системы случайных величин 9.1. Нормальный закон на плоскости 9.2 Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений.  Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величинГлава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 10.2. Теоремы о числовых характеристиках 10.3. Применения теорем о числовых характеристиках Глава 11. Линеаризация функций 11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 12.4. Закон распределения функции двух случайных величин 12.5. Закон распределения суммы двух случайных величин.  Композиция законов распределения12.6. Композиция нормальных законов 12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 12.8. Композиция нормальных законов на плоскости Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 13.2. Неравенство Чебышева 13.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 13.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 13.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 13.7. Характеристические функции 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении Глава 14. Обработка опытов 14.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки дли неизвестных параметров закона распределения 14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 14.  3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 14.5. Оценка вероятности по частоте 14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 15.1. Понятие о случайной функции 15.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 15.3. Характеристики случайных функций 15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 15.7. Линейные преобразования случайных функций 15.7.1. Интеграл от случайной функции 15.  7.2. Производная от случайной функции15.8. Сложение случайных функций 15.9. Комплексные случайные функции Глава 16. Канонические разложения случайных функций 16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 16.2. Каноническое разложение случайной функции 16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями Глава 17. Стационарные случайные функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем 17.  17.8. Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции по одной реализации Глава 18. Основные понятия теории информации 18.1. Предмет и задачи теории информации 18.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 18.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий 18.4. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 18.5. Энтропия и информация 18.6. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 18.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 18.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона-Фэно 18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 19.1. Предмет теории массового обслуживания 19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 19.  3. Поток событий. Простейший поток и его свойства19.4 Нестационарный пуассоновский поток 19.5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 19.6. Время обслуживания 19.7. Марковский случайный процесс 19.8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 19.9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 19.10. Система массового обслуживания с ожиданием 19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди Приложения Таблица 1 Значения нормальной функции распределения Таблица 2. Значения экспоненциальной функции Таблица 3. Значения нормальной функции Таблица 4. Значения “хи-квадрат” в зависимости от r и p Таблица 5. Значения удовлетворяющие равенству Таблица 6. Таблица двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100 Таблица 8. Значения распределение Пуассона |
8. Зависимые события, условная вероятность, умножение вероятностей зависимых событий.
Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми. Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило. Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий где — вероятность события B при условии, что произошло событие A.
9. Формула полной вероятности, формулы Байеса.
События
образуют полную
группу,
если они в совокупности описывают все
возможные несовместные друг с другом
исходы некоторого испытания; сумма
вероятностей событий полной группы
равна 1.
Предположим, что событие A
может наступить лишь при появлении
одного из несовместных событий (гипотез)
H1,
H2,
. .., Hn,
образующих полную группу. Тогда
вероятность события A определяется как
сумма произведений вероятностей каждой
из гипотез на соответствующую условную
вероятность события A:
Формула Бейеса (Байеса)
Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, …, Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).
10. Повторные испытания. Схема Бернулли.
Пусть проводятся независимые испытания. Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна
В формуле Бернулли используется число сочетаний. Для реализации схемы Бернулли необходимы два условия: 1) независимость проводимых испытаний; 2) p = const (постоянное значение вероятности появления события) Наивероятнейшее число появления события (мода) при n испытаниях заключено в пределах np-q ≤ Mo ≤ np+p,
11.
Формула Пуассона для повторных испытаний.Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона:
Эта формула дает удовлетворительное приближение для и . При больших рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).локальная теорема: Если вероятность Р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно к раз приближенно =
12. Понятие случайной величины, дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, способы его задания.
Случайная
величина —
это величина, которая в результате
испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперед неизвестное
и зависящее от случайных причин, которые
заранее не могут быть учтены.
Дискретная случайная величина принимает конечное (или счетное) число возможных значений— xi (где i = 1.. n или i = 1 .. ∞) с определенными вероятностями. (игральные кости)
Непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно. (рост человека). Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.
Рассмотрим
случайную величину X,
которая принимает значения x1, x2, x3 … xn с
некоторой вероятностью pi,
где i =
1. . n.
Сумма вероятностей pi равна
1.
x1 | x2 | x3 | … | xn |
p1 | p2 | p3 |
| pn |
Таблица
соответствия значений случайной
величины и их вероятностей вида
называется рядом
распределения дискретной случайной
величины или
просто рядом распределения. Эта таблица
является наиболее удобной формой
задания дискретной случайной величины.
Графическое представление этой таблицы
называется многоугольником
распределения.
По оси абсцисс откладываются возможные
значения дискретной случайной величины,
а по оси ординат соответствующие
вероятности.
Страница не найдена | 979-230-3000
Можем ли мы помочь вам что-то найти?
Вы можете использовать приведенные ниже ссылки, чтобы быстро перейти на некоторые из наших наиболее посещаемых страниц.
Если вы нашли неработающую ссылку, вы также можете сообщить об этом , чтобы мы могли ее исправить.
Регистрация и зачисление
Прием и регистрацияПриемная комиссия и регистратор могут помочь вам с различными вопросами, связанными с зачислением, такими как подача заявления, запрос выписки или регистрация на занятия .
Свяжитесь с приемной комиссией и регистратором
Узнайте больше об очистке от менингита
Запросите или отправьте стенограммы
Консультирование Наши консультанты и тренеры ACE It здесь, чтобы убедиться, что вы на правильном пути и выполнили все требования, чтобы вы были приняты, зачислены и на пути к успешному будущему.
Связь с консультированием и тестированием
Информация для студентов с двойным кредитом
Связаться с ACE It Coach
Оплата обучения в колледжеФинансовая помощь может помочь вам подать заявку на получение помощи, разобраться в типах помощи и получить предложенные средства. Вы можете совершать платежи и настраивать планы платежей в кассе.
Связь с отделом финансовой помощи
Связь с кассой (бизнес-офис)
Обязательное тестированиеВсе новые студенты, стремящиеся к получению степени, должны сдать экзамен Texas Success Initiative (TSI). Чтобы поддержать наших студентов в этот кризис, мы теперь предоставляем услуги тестирования как онлайн, так и на территории кампуса.
Узнайте больше и зарегистрируйтесь на экзамен TSI
Пройдите предварительную оценку TSI перед сдачей экзамена TSI
Начало занятий
Помощь с технологиями У нас есть точки доступа, руководства, точки доступа и руководства 900 помочь настроить электронную почту на телефоне. Отдел дистанционного обучения может помочь ответить на вопросы, касающиеся виртуального кампуса (D2L).Узнайте, как сбросить пароль
Подключение к службе поддержки Virtual Campus (D2L)
Совершите экскурсию по виртуальному кампусу
Запросите личную точку доступа или ноутбук
Настройте электронную почту BC на своем iPhone или Android
Получение оценки
Проблемы с академической поддержкой7 ваши занятия? Мы здесь, чтобы помочь. Мы работали над тем, чтобы перевести многие из наших служб поддержки в онлайн, чтобы вы могли получить помощь, необходимую для достижения успеха.
Связь с центром письма
Связь с математическим центром
Свяжитесь с библиотекарем
Свяжитесь с руководителем SI, чтобы получить помощь в изучении курса естествознания
Посмотрите видео о Центре успеха студентов
Доступ к услугам в кампусе Необходимо составить тест или купить книгу ? Такие службы, как книжный магазин и службы обучения, по-прежнему открыты, чтобы помочь вам в течение семестра. Обратитесь в службу ИТ-поддержки, чтобы получить помощь с учетной записью учащегося и потребностями, связанными с технологиями.
Связь со службой технической поддержки
Посетите веб-сайт книжного магазина Британской Колумбии
Составьте тест или обратитесь за помощью в Службу обучения
Рука помощи
Продовольственная и экстренная помощь
дело неопределенности и стресса.
Свяжитесь с отделом здоровья и основных потребностей
Запросите информацию о GatorMart (Foodbank Британской Колумбии)
Посмотрите видео о GatorMart (Foodbank Британской Колумбии)
Подать заявку на экстренную помощь
Планирование образования и карьеры
Наша приверженность успеху учащихся лежит в основе всего, что мы делаем. Какими бы ни были ваши карьерные цели, мы здесь, чтобы помочь вам их достичь.
Связаться с тренером ACEit
Запрос на беседу с консультантом
Проверить Центр карьеры
Посмотреть видео о Центре карьеры
Сделать перерыв
9 Виртуальное мероприятие 8 007 Мы здесь, чтобы продолжать помогать вам за пределами классной комнаты, обеспечивая качественное участие студентов и оздоровительные мероприятия, которые дополняют академические программы и улучшают образовательный опыт.
Просмотр предстоящих мероприятий
Свяжитесь с Управлением студенческой жизни
Свяжитесь с нами в социальных сетяхСвяжитесь с группами в кампусе через Facebook и получайте новости обо всех событиях в Brazosport College через наши каналы в социальных сетях.
Свяжитесь с нами в Facebook
Свяжитесь с нами в Instagram
Свяжитесь с нами в Twitter
Свяжитесь с нами в Vimeo
Присоединяйтесь к программе BAT или группе Health and Wellness в Facebook
Что такое правило умножения вероятности ? (Видео и практика)
TranscriptPractice
Привет! Добро пожаловать в это видео о правиле умножения вероятности!
Чтобы освежить вашу память, вероятность — это мера того, насколько вероятно, что данное событие произойдет.
Осознаете вы это или нет, но каждый божий день вы используете вероятность, чтобы делать выбор и принимать решения в своей повседневной жизни. Например, если вы просыпаетесь с 80-процентной вероятностью дождя, вы, скорее всего, возьмете с собой на работу зонтик. Питчер, столкнувшийся с отбивающим со средним показателем 0,347, скорее всего, будет подавать осторожно и стратегически.
«Вероятность дождя 80%» — это еще один способ сказать, что из 100 дней с такой конкретной погодой 80 дней, скорее всего, будут идти с дождем. Среднее количество ударов 0,347 указывает на то, что отбивающий в среднем наносит 347 ударов из 1000 ударов летучими мышами.
Это просто вероятности одного события. Чтобы определить вероятность возникновения нескольких событий, нам нужно использовать правило умножения вероятности. Чтобы понять это правило, нам нужно глубже погрузиться в область вероятностей.
Независимые и зависимые события
Во-первых, важно различать независимые и зависимые события.
Два события независимы друг от друга, если появление первого не влияет на второе. Например, монету можно подбросить дважды, но независимо от того, какая сторона выпадет после первого подбрасывания, при втором подбрасывании шанс выпадения орла или решки составляет 50/50.
Напротив, предположим, что вы делаете два выбора из стандартной колоды карт и выбираете туза при первом выборе, не возвращая его обратно в колоду. Вероятность вашего второго выбора изменилась, потому что теперь у вас на одну карту меньше в колоде. Эти два выбора будут зависимыми, поскольку первый из них оказывает влияние и влияет на вероятность второго выбора.
Исходя из этого, давайте копнем глубже и исследуем еще один элемент вероятности — что, если вы хотите определить вероятность двух событий, происходящих в последовательности?
Определение вероятности нескольких событий
Пример 1
В качестве примера предположим, что у вас есть традиционный шестигранный кубик и вы хотите определить вероятность выпадения 2 при первом броске И 3 при втором броске.
Поскольку каждое число появляется на кубике только один раз, мы знаем, что вероятность выпадения 2 равна 1 из 6. Помните, что, поскольку числа на кубике не меняются независимо от того, сколько раз его бросают, выпадение кости будут считаться независимыми событиями. Следовательно, вероятность выпадения 3 при втором броске также равна 1 из 6.
Но как определить вероятность ОБОИХ событий? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся правилом умножения вероятности.
Это правило гласит, что если вы хотите найти вероятность того, что произойдут как событие A, так и событие B, вы должны умножить вероятность события A на вероятность события B.
В нашем примере событие A будет вероятностью выпадение 2 при первом броске, то есть \(\frac{1}{6}\). Событие B будет выбрасывать 3 при втором броске, вероятность которого также равна \(\frac{1}{6}\).
Следовательно, чтобы найти вероятность того, что произойдут оба этих события, мы возьмем вероятность события A и умножим ее на вероятность события B.
\(\frac{1}{6} \times \frac {1}{6}\)
Умножение числителей даст нам 1, а умножение знаменателей даст нам 36, что даст нам ответ 1 на 36.
\(\frac{1}{ 6} \times \frac{1}{6}= \frac{1}{36}\)
Это означает, что, по всей вероятности, человек будет выбрасывать 2, а затем 3 один раз в каждые 36 попытки.
Пример 2
Рассмотрим другой пример.
Допустим, у вас есть стандартная колода карт, и вы хотите определить вероятность того, что сначала выпадет король червей, а затем любая карта червовой масти.
Давайте рассмотрим эту задачу по одному событию за раз.
Первое событие — розыгрыш червового короля. Мы знаем, что в стандартной колоде 52 карты, и в каждой колоде есть только один король червей. Следовательно, вероятность вытянуть короля червей равна \(\frac{1}{52}\).
Теперь давайте рассмотрим второе событие — вытягивание одной из оставшихся карт червовой масти. Помните, что второе событие является зависимым событием. Это означает, что он должен отражать изменения обстоятельств, вызванные первым событием.
Вот что я имею в виду: Обычно в колоде 13 карт каждой масти. Но так как червового короля мы уже вытащили, то в червовой масти осталось всего 12 карт. Если мы запишем нашу вероятность в виде дроби, это даст нам 12 в нашем числителе для 12 оставшихся червей.
И хотя в стандартной колоде обычно 52 карты, поскольку мы уже вынули одну карту, осталась только 51 карта. Это дает нам 51 в нашем знаменателе и вероятность \(\frac{12}{51}\) для второго события.
Следуя правилу умножения, мы должны умножить \(\frac{1}{52}\) и \(\frac{12}{51}\).
\(\frac{1}{52} \times \frac{12}{51}\)
Умножение числителей даст нам 12, а умножение знаменателей, 52 и 51, даст нам 2652, что дает нам вероятность \(\frac{12}{2652}\). Поскольку и числитель, и знаменатель являются четными числами, мы знаем, что их можно упростить, по крайней мере, разделив оба на 2. В этом случае мы действительно можем разделить оба на 12, что даст нам окончательный ответ \(\frac{1} {221}\). Это означает, что вероятность вытянуть короля червей, за которым следует еще одна карта червовой масти, будет один раз на каждые 221 попытку.
Итак, помните, чтобы определить вероятность возникновения нескольких событий, просто умножьте вероятность события A на вероятность события B, по возможности упростив дроби.
Надеюсь, отзыв был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Таблица умножения и печатные формы
Практические вопросы
Вопрос №1:
Какой сценарий описывает два независимых событий?
Неоплата счета за электроэнергию, а затем отключение электричества.
Незаконная парковка, а затем получение парковочного талона.
Сначала посадка в самолет, а потом поиск хорошего места.
Завести собаку, а потом посадить цветник.
Показать Ответ
Ответ:
Зависимые события описывают ситуации, когда первое событие оказывает прямое влияние на второе событие. Например, если вы припарковались неправильно, в результате вы, скорее всего, получите штраф. Первое событие влияет на второе событие. Только один предоставленный сценарий является примером независимых событий. Посадка цветника не зависит от того, есть ли у вас собака. Два события независимы друг от друга.
Скрыть ответ
Вопрос №2:
Определите вероятность того, что на обычном игральном кубике выпадет шестерка, а затем пятерка.
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{2}{6}\)
\(\frac{1}{36}\)
\(\frac{2 }{36}\)
Показать ответ
Ответ:
При определении вероятности двух или более событий можно умножить вероятность первого события на второе событие. В этом примере вероятность выпадения шестерки равна \(\frac{1}{6}\), а вероятность выпадения пятерки также равна \(\frac{1}{6}\). Правило умножения вероятности гласит, что \(\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\) будет вероятностью того, что произойдут оба события: \(\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\)
Скрыть ответ
Вопрос №3:
Определите вероятность того, что выпадет нечетное число, а затем число больше семи.
\(\frac{1}{10}\)
\(\frac{2}{10}\)
\(\frac{1}{9}\)
\(\frac{ 3}{3}\)
Показать ответ
Ответ:
Для решения этой задачи можно использовать правило умножения вероятности. Вероятность выпадения нечетного числа равна \(\frac{5}{10}\), а вероятность выпадения числа больше семи равна \(\frac{2}{10}\). Когда эти две вероятности перемножаются, мы видим, что наш ответ равен \(\frac{10}{100}\), или в простейшей форме \(\frac{1}{10}\).
Скрыть ответ
Вопрос № 4:
В классе из 30 учеников 8 учеников занимаются в кружке искусств, 12 учеников в драматическом кружке и 17 учеников в футбольном клубе. Какова вероятность случайного выбора студента, который участвует в драматическом кружке?
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{15}{6}\)
\(\frac{5}{3}\)
\(\frac{12 }{35}\)
Показать Ответ
Ответ:
В драмкружке 12 учеников, всего 30 учеников.