Умножить скобку на скобку: правила и примеры (7 класс)

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

— потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Как умножить скобку на скобку примеры. можно познакомиться с функциями и производными

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.

Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

В данной статье мы подробно рассмотрим основные правила такой важной темы курса математики, как раскрытие скобок. Знать правила раскрытия скобок нужно для того, чтобы верно решать уравнения, в которых они используются.

Как правильно раскрывать скобки при сложении

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак « + »

Эта самый простой случай, ибо если перед скобками стоит знак сложения, при раскрытии скобок знаки внутри них не меняются. Пример:

(9 + 3) + (1 — 6 + 9) = 9 + 3 + 1 — 6 + 9 = 16.

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « — »

В данном случае нужно переписать все слагаемые без скобок, но при этом сменить все знаки внутри них на противоположные. Знаки меняются только у слагаемых из тех скобок, перед которыми стоял знак « — ». Пример:

(9 + 3) — (1 — 6 + 9) = 9 + 3 — 1 + 6 — 9 = 8.

Как раскрыть скобки при умножении

Перед скобками стоит число-множитель

В данном случае нужно умножить каждое слагаемое на множитель и раскрыть скобки, не меняя знаков. 2) * 12 = 1728.

Как раскрыть 3 скобки

Бывают уравнения, в которых перемножаются сразу 3 скобки. В таком случае нужно сначала перемножить между собой слагаемые первых двух скобок, и затем сумму этого перемножения умножить на слагаемые третьей скобки. Пример:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 — 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 — 6) = — 21.

Данные правила раскрытия скобок одинаково распространяются для решения как линейных, так и тригонометрических уравнений.

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

П родолжаю цикл методических статей на тему преподавания. Пришло время рассмотреть особенности индивидуальной работы репетитора по математике с учащимися 7-х классов . С великим удовольствием поделюсь своими соображениями о формах подачи одной из важнейших тем курса алгебры в 7 классе — «раскрытие скобок». Дабы не пытаться объять необъятное, остановимся на ее начальной ступени и разберем методику работы репетитора с умножением многочлена на многочлен. Как репетитор по математике действует в сложных ситуациях, когда слабый ученик не воспринимает классическую форму объяснения? Какие задания нужно готовить для сильного семиклассника? Рассмотрим эти и другие вопросы.

Казалось бы, ну что здесь сложного? «Скобки — это проще простого», — скажет любой отличник. «Есть распределительный закон и свойства степеней для работы с одночленами, общий алгоритм для любого количества слагаемых. Умножай каждое на каждое и приводи подобные». Однако, не все так просто в работе с отстающими. Вопреки стараниям репетитора по математике, учащиеся умудряются допускать ошибки самого разного калибра даже в простейших преобразованиях. Характер ошибок поражает своей разноплановостью: от мелких пропусков букв и знаков, до серьезных тупиковых «стоп-ошибок».

Что мешает школьнику правильно выполнить преобразования? Почему возможно непонимание?

Индивидуальных проблем существует огромное множество и одним из главных препятствий на пути усвоения и закрепления материала является затруднения в своевременном и быстром переключении внимания, сложность в обработке большого объема информации. Возможно, кому-то покажется странным, что я говорю о большом объеме, но слабому ученику 7 класса может не хватить ресурсов памяти и внимания даже для четырех слагаемых. Мешают коэффициенты, переменные, степени (показатели). Ученик путает очередность операций, забывает какие одночлены уже перемножены, а какие остались не тронутыми, не может вспомнить как их умножают и т. д.

Числовой подход репетитора по математике

Конечно же, нужно начинать с объяснений логики построения самого алгоритма. Как это сделать? Нужно поставить задачу: как изменить порядок действий в выражении , чтобы не поменялся результат? Я довольно часто привожу примеры, объясняющие работу тех или иных правил, на конкретных числах. А уже затем заменяю их буквами. Техника использования числового подхода будет описана ниже.

Проблемы мотивации .
В начале урока репетитору по математике трудно собрать ученика, если он не понимает актуальности изучаемого. В рамках программы за 6 — 7 класс сложно найти примеры использования правила умножения многочленов. Я бы сделал упор на необходимость учиться менять порядок действий в выражениях То, что это помогает решать задачи, ученик должен знать по опыту сложения подобных слагаемых. Ему же приходилось их складывать в при решении уравнений. Например, в 2х+5х+13=34 он использует, что 2х+5х=7х. Репетитор по математике просто должен акцентировать на этом внимание школьника.

Учителя математики часто называют прием раскрытия скобок правилом «фонтанчика» .

Этот образ хорошо запоминается и его обязательно нужно использовать. Но как это правило доказывается? Напомним классическую форму, использующую очевидные тождественные преобразования:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Репетитору по математике трудно что-либо здесь комментировать. Буквы говорят сами за себя. Да и не нужны сильному ученику 7 класса подробные объяснения. Однако, что делать со слабым, который в упор не видит в этой «буквенной мешанине» какого-либо содержания?

Основной проблемой, мешающей восприятию классического математического обоснования «фонтанчика», является непривычная форма записи первого множителя. Ни в 5 классе, ни 6 классе школьнику не приходилось перетаскивать первую скобку к каждому слагаемому второй. Дети имели дело только с числами (коэффициентами), расположенными, чаще всего, слева от скобок, например:

К окончанию 6 класса у школьника формируется визуальный образ объекта – определенное сочетание знаков (действий), связанных со скобками. И любое отклонение от привычного вида в сторону чего-то нового может дезориентировать семиклассника. Именно визуальный образ пары «число+скобка» репетитор по математике берет в оборот при объяснениях.

Можно предложить следующее объяснение. Репетитор рассуждает: «Если бы перед скобкой стояло какое-нибудь число, например 5, то смогли бы мы изменить порядок действий в этом выражении? Конечно. Тогда сделаем это . Подумай, изменится ли его результат, если вместо числа 5 мы вписать сумму 2+3, заключенную в скобки? Любой ученик скажет репетитору: «Какая разница, как писать: 5 или 2+3». Прекрасно. Получится запись . Репетитор по математике берет небольшую паузу, чтобы ученик зрительно запомнил картинку-образ объекта. Затем обращает его внимание на то, что скобка, как и число, «распределилась» или «прыгнула» к каждому слагаемому. Что это означает? Это означает, что данную операцию можно выполнять не только с числом, но и со скобкой. Получились две пары множителей и . С ними большая часть учеников легко справляется самостоятельно и выписывает репетитору результат . Важно сопоставить получившиеся пары с содержанием скобок 2+3 и 6+4 и станет понятно как они открываются.

Если необходимо, то после примера с числами репетитор по математике проводит буквенное доказательство. Оно оказывается легкой прогулкой по тем же самым частям предыдущего алгоритма.

Формирование навыка раскрытия скобок

Формирование навыка умножения скобок — один из важнейших этапов работы репетитора по математике с темой. И даже более важный чем этап объяснения логики правила «фонтанчика». Почему? Обоснования преобразований забудутся уже на следующий день, а навык, если он вовремя сформирован и закреплен, останется. Ученики выполняют операцию механически, как будто извлекают из памяти таблицу умножения. Этого и нужно добиваться. Почему? Если каждый раз при раскрытии скобок школьник будет вспоминать о том, почему раскрывается так, а не иначе, он забудет о задаче, которую решает. Именно поэтому оставшееся время урока репетитор по математике бросает на то, чтобы трансформировать понимание в механическое запоминание. Эта стратегия часто используется и в других темах.

Как репетитору сформировать у школьника навык раскрытия скобок? Для этого ученик 7 класса должен выполнить ряд упражнений в достаточном для закрепления количестве. При этом возникает другая проблема. Слабый семиклассник не справляется с возросшим количеством преобразований. Пусть даже мелких. И ошибки сыплются одна за другой. Что должен предпринять репетитор по математике? Во-первых, нужно рекомендовать подрисовывать стрелки от каждого слагаемого к каждому. Если ученик очень слабый и не способен быстро переключаться с одного вида работы на другой, теряет концентрацию при выполнении несложных команд преподавателя, то репетитор по математике сам рисует эти стрелки. Причем не все сразу. Сначала репетитор соединяет первое слагаемое левой скобки с каждым слагаемым правой скобки и просит выполнить соответствующее умножение. Только после этого стрелки направляются от второго слагаемого в ту же правую скобку. Иными словами репетитор разделяет процесс на два этапа. Лучше выдерживать небольшую временную паузу (5-7 секунд) между первой и второй операцией.

1) Один набор стрелок нужно рисовать над выражениями, а другой под ними.
2) Важно пропускать между строчками хотя бы пару клеток . Иначе запись будет очень плотной, а стрелки залезут не только на предыдущую строку, но и смешаются со стрелками от следующего упражнения.

3) В случае умножения скобок в формате 3 на 2 стрелки проводятся от короткой скобки к длинной. Иначе этих «фонтанчиков» будет не два, а три. Реализация третьего заметно усложняется в виду отсутствия для стрелок свободного пространства.
4) стрелки всегда направляются из одной точки. Один мой ученик все время порывался их поставить рядом и вот, что у него получалось:

Такое расположение не позволяет выделять и фиксировать текущее слагаемое, с которым ученик работает на каждом из этапов.

Работа пальцев репетитора

4) Для удержания внимания на отдельной паре умножаемых слагаемых, репетитор по математике прикладывает к ним два пальца. Это надо делать так, чтобы не закрывать ученику обзор. Для наиболее невнимательных школьников можно использовать метод «пульсации». Репетитор по математике подводит первый палец к началу стрелки (к одному из слагаемых) и фиксирует его, а вторым «стучит» по ее концу (по второму слагаемому). Пульсация помогает собрать внимание на том слагаемом, на которое ученик умножает. После того, как выполнено первое умножение на правую скобку, репетитор по математике говорит: «Теперь работаем с другим слагаемым». Репетитор передвигает к нему «неподвижный палец», а «пульсирующим» пробегает по слагаемым из другой скобки. Пульсация работает словно «поворотник» в автомобиле и позволяет собирать внимание рассеянного ученика на проводимой им операции. Если ребенок пишет мелко, то вместо пальцев используются два карандаша.

Оптимизация повторения

Как и при изучении любой другой темы курса алгебры умножение многочленов можно и нужно интегрировать с ранее пройденным материалом. Для этого репетитор по математике использует специальные задания-мостики, позволяющие найти применение изучаемого в различных математических объектах. Они не только соединяют темы в единое целое, но и весьма эффективно организуют повторение всего курса математики. И чем больше мостиков построит репетитор, тем лучше.

Традиционно в учебниках алгебры для 7 класса расскрытие скобок интегрируется с решением линейных уравнений. В конце cписка номеров всегда имеются задания такого порядка: решить уравнение . При раскрытии скобок квадраты сокращаются и уравнение легко решается средствами 7 класса. Однако, почему-то про построение графика линейной функции авторы учебников благополучно забывают. Дабы исправить этот недостаток я бы посоветовал репетиторам по математике включать скобоки в аналитические выражения линейных функций, например . На таких упражнениях ученик не только тренирует навыки проведения тождественных преобразований, но еще и повторяет графики. Можно попросить найти точку пересечения двух «монстров», определить взаимное расположение прямых, найти точки их пересечения с осями и т. д.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике в Строгино. Москва

Число, математика и статистика — набор академических навыков

Раскрытие скобок и факторизация (экономика)

Главное меню ContentsToggle 1 Правила раскрытия скобок 2 Примеры работы 3 Факторизация 4 Примеры видео 5 Рабочая тетрадь 6 Проверка себя 7 Внешние ресурсы

Правила раскрытия Скобки

Раскрытие скобок или , умножение , включает в себя умножение каждого члена внутри скобки на член снаружи, а затем сбор подобных членов с целью удаления набора скобок. Раскрытие скобок часто является важным шагом в решении уравнений и представляет собой процесс, противоположный факторизации.

Формула раскрытия одинарной скобки: \[a(b+c) = ab + ac\]

Формула раскрытия двойной скобки: \[(a+b)(c+d) = a(c +d)+b(c+d)=ac + ad + bc + bd\]

Эта последняя формула произведения часто упоминается как метод FOIL : Умножьте F первые члены, O внешние термины, I нбоковые термины, L аст термины. $a$ и $c$ — первые члены, $a$ и $d$ — внешние члены, $b$ и $c$ — внутренние члены, а $b$ и $d$ — последние члены. 92-32 \end{align}

Факторизация

Факторизация включает запись выражения в виде произведения факторов. Это обратный процесс раскрытия скобок. Таким образом, хороший способ проверить, правильно ли вы разложили выражение на множители, — раскрыть скобки.

Пример 1

Factorise Следующее, где это возможно:

A) $ 2x+4y $

B) $ 2x+4xy $

C) $ -4a+19abc $

D $ -4a+19abc $

D $ -4a+19abc $

d ) $16xyz+x+8xy$

Решение

а) Оба члена в этом выражении имеют общий делитель $2$. Таким образом, мы можем вывести этот множитель за скобки следующим образом: \[2x+4xy=2(x+2xy)\]

b) Оба слагаемых в этом выражении имеют общий множитель $2x$, поэтому мы можем разложить на множители это как: \[2x+4xy=2x(1+2y)\]

c) Члены в этом выражении имеют общий делитель $a$, поэтому мы имеем: \[-4a+19abc=a(19bc -4)\]

c) Все слагаемые в этом выражении имеют общий множитель $x$, поэтому имеем: \[16xyz+x+8xy=x(16yz+1+8y)\]

Примеры видео

Пример 1

Профессор Робин Джонсон расширяет выражение $x(2x-1)(2-x)$.

Пример 2

Профессор Робин Джонсон расширяет выражение $(x-y)(x+y)$ и говорит о разности двух квадратов , которая используется при разложении на множители.

Рабочая тетрадь

Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по повторению, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.

• Упрощение и факторизация

Проверь себя

Проверь себя: тест Numbas по раскрытию скобок

Проверь себя: тест Numbas по алгебраическим манипуляциям

Внешние ресурсы

• Рабочая тетрадь по раскрытию и удалению скобок в mathcentre.
• Быстрая рабочая тетрадь «Раскрывающие скобки» в mathcenter.
• Факторизация ресурсов простых выражений в mathcentre.

Расширение и упрощение — GCSE Math

Здесь мы научимся расширять и упрощать алгебраические выражения. Сначала раскрываем скобки, потом собираем однотипные члены для упрощения выражения.

В конце вы найдете рабочие листы с расширяющимися скобками, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что означает «расширить и упростить»?

Чтобы расширить и упростить выражение, нам нужно умножить скобки, а затем упростить полученное выражение, собрав одинаковые члены.

Раскрытие скобок (или умножение) — это процесс удаления скобок.

Это обратный процесс факторизации. Чтобы раскрыть скобки, мы умножаем все, что за скобками, на все, что внутри скобок.

Раскрыв скобки, мы можем упростить выражение, собрав одинаковые члены.

Если расширить и упростить

2(х+5)+3(х-2)

получим

\begin{выровнено} 2(x+5)+3(x-2) &=2x+10+3x-6 \\\\ &=5x+4 \end{выровнено}

Что означает расширение и упрощение?

Расширьте и упростите рабочие листы

Загрузите бесплатно расширьте и упростите рабочие листы с более чем 20 рассуждениями и прикладными вопросами, ответами и схемой оценок.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Расширение и упрощение рабочих листов

Загрузите бесплатно расширение и упрощение рабочих листов с более чем 20 рассуждениями и прикладными вопросами, ответами и схемой оценок.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Умножение скобок и упрощение Это означает ровно то же самое. «Раскрыть скобки» — это то же самое, что «умножить скобки», это просто дает дополнительную подсказку, что, когда мы раскрываем скобки, мы умножаем все, что находится за скобками, на все, что внутри скобок.

Как расширить и упростить скобки

Чтобы расширить и упростить скобки:

1. Раскройте каждую скобку в выражении.
2. Соберите похожие термины.

Существует три способа расширения и упрощения кронштейнов, как описано ниже:

• одиночные кронштейны
• два или более кронштейна
• сурд

Объясните, как расширить и упростить скобки?

1. Расширьте и упростите с помощью одинарных скобок .

Раскройте скобки, чтобы получить следующее выражение:

 Напр. 2 (х + 5) + 3 (х - 1)
= 2х + 10 + 3х - 3)
= 5x + 7 

Помните: выражения с двумя членами, такими как 5x + 7, называются биномами.

2 Расширение и упрощение с помощью двух или более скобок .

Раскройте скобки, чтобы получить следующее выражение:

 Напр. (х + 5) (х - 1)
= х  2  + 5х - х - 5
= x  2  + 4x - 5 

Помните: выражения с тремя членами, такими как x ² + 4x — 5, известны как трехчлены.

Выражение, содержащее более двух членов и включающее переменные и коэффициенты, называется полиномом.

3 Расширение и упрощение с помощью сурдов .

 Напр. (3 + √5)(2 + √5)
= 6 + 3√5 + 2√5 + √5√5
= 11 + 5√5 

Чтобы раскрыть одну скобку, мы умножаем член вне скобки на все, что внутри скобки. Мы можем упростить выражение, собрав подобные члены.

Пример 1: константы вне скобок

Расширить и упростить:

 2(x + 5) + 3(x − 2) 

1. Раскрыть каждую скобку в выражении

Multiply the first bracket:

Multiply the second bracket – remember we are multiplying both x and − 2 на + 3:

Не забудьте включить знак – перед номером.

 2(х + 5) + 3(х - 2)
 = 2x + 10 + 3x − 6 

2 Соберите одинаковые члены

Выделите два члена x (2x и + 3x) и две константы (+ 10 и − 6).

Не забудьте также выделить знак перед номером!

 2x + 10 + 3x − 6 

 2x + 3x = 5x 

 10 − 6 = + 4 

 = 5x + 4 

Пример 2: константы и переменные вне скобок

Расширьте и упростите:

 2x(x + 6) - 3(x - 2) 

Раскройте каждую скобку в выражении.

Multiply the first bracket:

Multiply the second bracket – remember we are multiplying both х и — 2 на — 3:

 2x(x + 6) − 3(x − 2)
= 2x  2  + 12x - 3x + 6 

 12x  2  + 12x - 3x + 6
12х - 3х = 9Икс
= 12x  2  + 9x + 6 

 3(2x − 6y) − 5(x − 2y) 

 3(2х - 6у) - 5(х - 2у)
= 6x - 18y - 5x + 10y 

 6x - 18 лет - 5x + 10 лет
6х - 5х = 1х = х
− 18 лет + 10 лет = − 8 лет
= х - 8 лет 

 (x + 5)(x − 1) 

 х ✕ х = х  2 
х ✕ - 1 = - х 

 х ✕ 5 = 5х
5 ✕ - 1 = - 5 

 (x + 5)(x − 1) = x  2  − x + 5x − 5 

 х  2  - х + 5х - 5
= x  2  + 4x − 5 

 (2x − 4)(x + 5) 

 2x ✕ x = 2x  2 
2x ✕ 5 = 10x
x ✕ - 4 = - 4x 

 5 ✕ - 4 = - 20 

 (2x - 4)(x + 5)
= 2x  2  + 10x - 4x - 20 

 2x  2  + 10x - 4x - 20
= 2x  2  + 6x − 20 

 (x + 3)  2  (x − 1) 

 (x + 3)  2   = (x + 3)(x + 3) 

 х ✕ х = х  2 
х ✕ 3 = 3x
х ✕ 3 = 3x
3 ✕ 3 = 9
х  2  + 3х + 3х + 9
= x  2  + 6x + 9 

 x ✕ x  2  = x  3 
х ✕ 6х = 6х  2 
х ✕ 9 = 9х
− 1 ✕ х  2  = − х  2 
− 1 ✕ 6x = − 6x
− 1 ✕ 9 = − 9
х  3 9{2}+6x-1
                                         

  
 3) Расширьте и упростите с помощью surds 
 
 Чтобы раскрыть скобки, нам нужно умножить каждый термин на любой другой термин. 
 
 
 Расширить и упростить примеры (с сурдами) 
 
 
 Пример 1: с константами и сурдами 
  
 Раскрыть и упростить: 
 
 (3 + √5)(2 + √5) 
 Раскрыть скобки в выражении .
 ✕
 2
 + √5
 3
. 3 ✕ √5 = 3√5
2 ✕ √5 = 2√5
√5 ✕ √5 = 5
= 6 + 3√5 + 2√5 + 5 
 2Соберите одинаковые члены.
 Выделите два постоянных члена (6 и 25) и выделите два поверхностных члена (3√5 и 2√5).
 6 + 3√5 + 2√5 + 25
= 11 + 5√5 
 Пример 2: со всеми терминами в виде сурдов 
 Расширьте и упростите:
 (√2 + √5)  2  − (3 + √5)  2  
 Раскройте скобки в выражении.
 Расширение и упрощение:
 (√2 + √5)  2  = (√2 + √5) (√2 + √5) 
 2 2
6 ✕
6 √2
666666266266266266 2
2666666266 2
26666 2
6266 2
66 2
6 29266 2
6 2
66 2
66 2
666 2
6 2
666 2
 2
666666,
 √2
 2
 + √10
 + √5
 + √10
 + 5
 + 5
 + 5
.
= 7 + 2√10 
 Развернуть и упростить:
 (3 + √5)  2  = (3 + √5) (3 + √5) 
. √5
 + √5
 + 3√5
 + 5
 9 + 3√5 + 3√5 + 5
= 14 + 6√5 
 Соберите подобные члены.
 Теперь вычтем два ответа.
 Помните, что поскольку мы убираем все (14 + 6√5), нам нужно использовать скобки.
 = 7 + 2√10 − (14 + 6√5) 
 = 7 + 2√10 − 14 − 6√5 
 = − 7 + 2√10 − 6√5
 Потренируйтесь расширять и упрощать вопросы ( 
 32+5\sqrt{6}
 12+5\sqrt{6}
 12+6\sqrt{6}
 7\sqrt{6}
 (2+\sqrt{6) })(3+\sqrt{6})\\ 
 =6+2\sqrt{6}+3\sqrt{6}+6\\ 
 =12+5\sqrt{6}
 11- \sqrt {5}
 11-5\sqrt{5}
 1-5\sqrt{5}
 1-\sqrt{5}
 (3+\sqrt{5})(2-\sqrt{5) })\\ 9{2}\\ 
 =2-2\кв{16}+8-2-2\кв{16}-8\\ 
 =-16
 Распространенные заблуждения 
  Умножение всех членов в скобках 
 Мы должны умножить значение вне скобок на каждое слагаемое внутри скобок (скобки).
 2(6x  2  - 3x) = 12x  2  - 3x ✖ 
 Здесь мы не умножали значение за скобками на второй член.
 Правильный ответ:
 2(6x  2  − 3x) = 12x  2  − 6x ✔ 
  Умножение с отрицательными числами 
 Чтобы два числа при умножении давали +, их знаки должны совпадать.
 + ✕ + = + 
 − ✕ − = +
 напр. 2 ✕ 3 = 6 
 например. − 2 ✕ − 3 = 6
 4 ✕ 5 = 20 
 − 4 ✕ − 5 = 20
 Чтобы при умножении двух чисел получилось a −, их знаки должны быть разными.
 + ✕ — = — 
 — ✕ + = —
 напр. 2 ✕ — 3 = — 6 
 напр. − 2 ✕ 3 = − 6
 4 ✕ − 5 = − 20 
 − 4 ✕ 5 = − 20
 Напр.
 - 4(3y - 5) = - 4y - 20 
 Здесь мы не использовали — ✕ — = +
 - 4 ✕ - 5 =  + 20  
 Таким образом, правильный ответ — 4(3y — 5) = − 4y + 20.
  Возведение члена в квадрат 
 Когда мы что-то возводим в квадрат, мы умножаем это само на себя.
 3  2  = 3 ✕ 3
х  2  = х ✕ х
(5 лет)  2 = 5y ✕ 5y 
 Когда мы возводим скобку в квадрат, мы умножаем ее на всю скобку.
No related posts.
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт