Равносильные уравнения. Преобразование уравнений
Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:
x2 + 2 = 3x и x2 — 3x + 2 = 0
равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 – это можно проверить подстановкой).
Уравнения, не имеющие корней, тоже считаются равносильными.
Преобразование уравнений
Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение
x2 + 5 = 9
можно преобразовать в такое:
5 + x2 = 9
Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:
заменив его равносильным уравнением
5x = 15
Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.
- Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение равносильное данному.
Рассмотрим уравнение x — 5 = 7. Прибавив к обеим частям уравнения число 5
x — 5 + 5 = 7 + 5
получим уравнение x = 12. Если в уравнение x — 5 = 7 вместо x подставить число 12, то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число 5, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.
Из данного свойства можно вывести три следствия:
-
Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).
Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим
x = 10
-
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Рассмотрим уравнение 5x — 4 = 12 + x. Прибавим к обеим частям уравнения по 4:
5x — 4 + 4 = 12 + x + 4
получим:
5x = 12 + x + 4
то есть член 4 перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения 5x — 4 = 12 + x по x:
5x — 4 — x = 12 + x — x
получим:
5x — 4 — x = 12
то есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.
-
Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.
Перенесём все члены левой части уравнения 5x — 4 = 12 + x в правую, а все члены правой в левую:
-12 — x = -5x + 4
а учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то поменяв левую часть с правой получим:
-5x + 4 = -12 — x
То есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.
Данное преобразование можно также рассматривать, как умножение обеих частей уравнения на -1.
-
Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение равносильное данному.
Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3
3x : 3 = 12 : 3
получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.
Из данного свойства можно вывести два следствия:
- Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом упростив его.
Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:
2x + 1 = 5
- Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.
Возьмём уравнение:
После приведения всех членов к общему знаменателю, получим:
Теперь, умножив все члены уравнения на 4 или, что тоже самое, просто отбросив знаменатель, получим:
4x + 12 — x = 2(26 — x)
- Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом упростив его.
naobumium.info
Урок математики «Упрощение выражений. Решение уравнений и текстовых задач». 5-й класс
Разделы: Математика
Цели урока:
- Образовательные – совершенствовать умения упрощать выражения, применять их при решении уравнений и текстовых задач;
- Развивающие – развивать познавательный интерес к математике, память учащихся, умения организовывать свой труд;
- Воспитательные – воспитывать самостоятельность, аккуратность, потребность к приобретению знаний
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков
Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая.
Планируемые результаты обучения:
- Предметные: уметь в процессе реальной ситуации применять упрощение выражений.
- Личностные: упрощают выражения, используют свойства умножения, применяют рациональные приёмы для вычислений, формируют внимательность и аккуратность в вычислениях, требовательное отношение к себе и к своей работе.
- Познавательные: закрепляют навыки и умения применять правила упрощений выражений при решении задач на умножение натуральных чисел и применение свойств умножения, систематизируют знания, обобщают и углубляют знания, выбирают и формулируют познавательную цель, выражают смысл ситуации с помощью различных примеров.
- Регулятивные:
- Планируют собственную деятельность, определяют средства для её осуществления.
- Коммуникативные: регулируют собственную деятельность посредством речевых действий, умения слушать и вступать в диалог, воспитывать чувство взаимопомощи. Уважительное отношение к чужому умению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Цель: подготовить учащихся к работе на уроке
Посмотрите, все ль в порядке:
Книжка, ручки и тетрадки.
Прозвенел сейчас звонок,
Начинается урок.
II. Мотивация учебной деятельности
Цель: создать условия для формирования у учеников внутренней потребности во включение в учебную деятельность.
Учитель: Здравствуйте, ребята! Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле?
(Выслушиваются варианты ответов учеников)
Учитель: Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал — Бируни: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
III. Проверка домашнего задания
Соседи по парте обмениваются тетрадями, проверяют домашнее задание по интерактивной доске и карандашом ставят оценку (Презентация, слайд 1)
IV.Актуализация опорных знаний и умений учащихся
Цель: подготовить учащихся к деятельности на основном этапе урока;-развивать логическое мышление, умения обобщать, классифицировать, строить
умозаключения.
Учитель: Определите, какое слово лишнее в данных заданиях (слайд 2)
а) Километр, метр, сантиметр, длина, миллиметр, дециметр.
Ученики: длина.
б) Тонна, центнер, масса, грамм, пуд.
Ученики: масса.
Учитель: В каком отношении находится лишнее слово в каждом из списков?
Ученики: В случае а) километр, метр, сантиметр, миллиметр, дециметр – единицы измерения длины, а в случае б) тонна, центнер, грамм, пуд – единицы измерения массы.
1. Упростите выражения (слайд 3)
4а + 8а 30р – 12р
6х + 8х + х 8у – 3у – у
9с + 4с + 7с 5у + 2у
8а – а – а
Учитель: Какие свойства умножения применили при упрощении выражений?
Ученики: Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Учитель: Запишите эти свойства на доске.
(Два ученика записывают буквенную запись свойств на доске: (а + в)с = ас + вс, (а – в)с = ас – вс)
Учитель: Общаясь в парах по парте, вспомните правила нахождения неизвестного компонента в уравнении и решите его (слайд 4).
а) х + 15=40; в х : 20 = 3;
б) у – 10 = 32; г) 25х = 100
Учитель: Как вы думаете, какова тема сегодняшнего урока?
Ученики: Упрощение выражений, решение уравнений.
Учитель: (уточняет тему) Упрощение выражений, решение уравнений и текстовых задач.
Учитель: Каковы цели урока?
Ученики: Научиться безошибочно упрощать выражения, применять эти умения при решении уравнений и текстовых задач.
V. Усвоения новых знаний
Цель: Организовать деятельность учащихся по усвоению новых способов действий.
Учитель: Откройте тетради, запишите дату и тему урока «Упрощение выражений. Решение уравнений и текстовых задач» (слайд 5)
7а + 5 + 42а (слайд 6)
Учитель: Прочитайте выражение.
Ученики: Сумма выражений 7а и 42а и числа
5.
Учитель: Назовите слагаемые этой суммы
Ученики: 7а, 5, 42 а
Учитель: Какие из них можно объединить?
По какому признаку?
Ученики: 7а и 42 а, так как у них
одинаковая буква.
Учитель: Совершенно верно! Эти
слагаемые содержат одинаковую букву, поэтому их
называют подобными. Для удобства упрощения
подобные слагаемые можно подчеркнуть.
7а + 5 + 42а
Учитель: Что можно сделать с
подчеркнутыми слагаемыми?
Ученики: Применить распределительное
свойство умножения относительно сложения.
7а + 5 + 42а = 49 а + 5
Учитель: Решим уравнение
3у + 7у + 25 = 85 (слайд 7)
Учитель: Каков первый шаг в решении
уравнения?
Ученики: Подчеркнуть подобные
слагаемые и упростить левую часть уравнения.
Учитель: Какое уравнение получим?
Ученики: 10у + 25 = 85
Учитель: Проговорите названия
компонентов действия.
Ученики: 10у – первое слагаемое, 25 –
второе слагаемое, 85 – сумма.
Учитель: Дорешайте уравнение ( Один
ученик работает у доски, комментируя решение)
10у = 85 – 25
10 у = 60
х = 60 : 10
х = 6
Ответ: 6
Учитель: Откройте страницу 88 учебника
и прочитайте задачу № 578 (работа с учебником,
разбор решенной задачи).
Учитель: Какие произведения напечатаны
в книге?
Ученики: Рассказ и повесть.
Учитель: Сколько в книге страниц?
Ученики: 70 страниц.
Учитель: Сколько страниц занимает
повесть?
Ученики: Неизвестно, но в 4 раза больше,
чем рассказ.
Учитель: Каков вопрос задачи?
Ученики: Сколько страниц занимает
рассказ и сколько повесть?
Учитель: Чем отличается эта задача от
тех, что мы решали уравнением?
Ученики: В вопросе два неизвестных
числа.
Учитель: Запишем краткое условие задачи
Учитель: Какую величину в задаче удобно
обозначить за х?
Ученики: Меньшую величину. Пусть х –
количество страниц в рассказе.
Учитель: Сколько страниц занимает
повесть?
Ученики: 4х страниц
Учитель: В условии сказано, что
рассказ и повесть вместе занимают 70 страниц. Как
составить уравнение?
Ученики: х + 4х = 70
Учитель: Решите уравнение
5х = 70
х = 70 : 5
х = 14
Учитель: Что означает найденный
корень уравнения?
Ученики: 14 страниц занимает рассказ
Учитель: Как найти, сколько страниц
занимает повесть?
Ученики: 14 • 4 = 56 (с.) – занимает повесть.
Учитель: Запишите ответ задачи.
VI. Пробное применение знаний
Цель: развивать коммуникативные навыки учащихся
Учитель: У доски выполним задание №574 (Два ученика работают у доски по очереди, подробно объясняя ход решения, остальные учащиеся решают в тетрадях, слушая комментарии учеников у доски).
а) 3x + 7x + 18 =
178
б) 6у – 2у + 25 = 65
10х + 18 =
178
4у + 25 = 65
10х = 178 –
18
4у = 65 – 25
10 х =
160
4у = 40
х = 160 :
10
у = 40 : 4
х =
16
у = 10
Ответ:
16
Ответ: 10
VII.Физкультминутка
Поднимает руки класс
Это «раз», (Потягивания под счет учителя.)
Повернулась голова —
Это «два». (Движения головой.)
Руки вниз, вперед смотри –
Это «три». (Приседания.)
Руки в стороны пошире
Развернули на «четыре». (Повороты туловища.)
С силой их к плечам прижать —
Это «пять». (Движения руками.)
Всем ребятам тихо сесть —
Это «шесть».
Учитель: Прочитайте задачу №580 и обсуждая в парах, решите её (слайд 9)
х + 9х = 220
х = 22 ( столов)
22*9 = 198 (стульев)
Ответ: 22 стола и 198 стульев
(Проверяют решение с доски, слайд 7)
Учитель: Выполним творческое задание на составление задачи по уравнению №594(а)
(Учащиеся выполняют самостоятельно, потом желающие прочитывают свою задачу классу)
VI. Проверка знаний
Цель: Проверить уровень усвоения знаний по теме, определить недостатки, ликвидировать пробелы.
Учитель: Выполните тест,ответы запишите в бланках. (Приложение 1)
VII. Рефлексия
Цель: способствовать формированию умения анализировать собственную деятельность по достижению поставленной цели.
Учитель: Наше занятие подходит к концу. Пожалуйста, поделитесь своими мыслями о сегодняшнем уроке (Приложение 2)
1. Я умею упрощать выражения (да, нет).
2. Я умею решать уравнения (да, нет).
3. Сегодня на уроке мне было …
4. Трудности возникли при …
5. Мне помог преодолеть трудности …
VIII. Домашнее задание
1) Для обязательного выполнения №614 (в,г) , 618
2) Для выполнения по желанию учащихся (на
карточке, Приложение 3)
Пусть записано подряд семь цифр от 1 до 7: 1234567
Легко соединить их знаками «плюс» и «минус» так,
чтобы получилось 40:
12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40
Попробуйте найти другие расстановки знаков между теми же цифрами, при которых получилось бы не 40, а 55.
7.03.2015
urok.1sept.ru
Общий вид уравнения первой степени с тремя неизвестными
65. Упрощение уравнений. Общий вид уравнения 1-ой степени с тремя неизвестными. В предыдущих примерах мы брали уравнения уже упрощенные, причем все неизвестные члены были перенесены в левую часть, а известный член в правую. Мы легко установим теперь общий вид уравнения первой степени с тремя неизвестными, — это есть уравнение:
ax + by + cz = m.
Давая a, b, c и m различные значения, мы получим всевозможные уравнения с тремя неизвестными.
Если уравнения даны в сложной форме (со скобками, с дробями и т. п.), то следует каждое из них упростить, причем следует стремиться привести их к форме, которая дана выше, к общему виду.
Пример:
(x – z – 4y)/3 – 1 = (6 – 7y – z) / 5
(x – 1) / (2z – y) = 2/3
(1 – x – 2y) / 16 = (x + 2z – 2) / 12.
Упростим сначала 1-ое уравнение, для чего умножим обе его части на общего знаменателя 15, — получим:
5x – 5z – 20y – 15 = 18 – 21y – 3z.
Перенеся неизвестные члены влево, известные вправо и выполнив приведение подобных членов, получим:
5x + y – 2z = 33.
Упростим теперь второе уравнение для чего воспользуемся свойством пропорции: «произведение крайних членов пропорции равно произведению средних»:
3x – 3 = 4z – 2y
откуда
3x + 2y – 4z = 3.
Для упрощения 3-го уравнения не будем пользоваться свойством пропорции (в виду того, что у знаменателей 16 и 12 имеется общий множитель 4), а умножим обе части уравнения на общего знаменателя 48. Получим:
3 (1 – x – 2y) = 4 (x + 2z – 2)
или
3 – 3x – 6y = 4x + 8z – 8
или
7x + 6y + 8z = 11.
Итак, мы получили уравнения:
5x + y – 2z = 33
3x + 2y – 4z = 3
7x + 6y + 8z = 11.
Наблюдая их, мы подметим, что если применить способ уравнивания коэффициентов, то можно сразу из 1-го и 2-го уравнения исключить и y и z (уравнивая, например, коэффициенты при y, мы уравняем их и при z). Поэтому составим следующий план для решения наших уравнений: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнения и, исключив из них и y и z, получим 1 уравнение с одним неизвестным x, откуда и определим x; 2) подставим полученное значение x – a в одно из первых двух уравнений (лучше в 1-ое – оно проще) и в третье, — тогда получим 2 уравнения с двумя неизвестными, которые и решим
maths-public.ru
Упрощенные уравнения — Справочник химика 21
При обычной записи уравнений электролитической диссоциации координационная сфера ионов не указывается и на практике пользуются упрощенными уравнениями, например [c.129]
Модифицированная теория соответственных состояний. Теорий соответственных состояний в классической формулировке Ван-дер-Ваальса основана на предположении, что подобие физико-химиче-ских свойств веществ можно описать упрощенными уравнениями (1У-34). Однако в общем случае необходимо использовать уравнения (1У-35). Например, физико-химические свойства водорода и гелия подчиняются принципу соответственных состояний, если их приведенные параметры выра ить в следующем виде [c.97]
Хотя в действительности подобное допущение выполняется лишь приближенно, получающееся при этом упрощение уравнения (III.166) очень удобно при ориентировочных расчетах [c.223]
Решение. Температурная зависимость истинной молекулярной теплоемкости воздуха выражается следующим упрощенным уравнением (см. табл. 6) [c.93]
Из-за сложности решения этого уравнения, называемого двухпараметрической диффузионной моделью, его упрощают, полагая, что Оц = 0. Упрощенное уравнение называют однопараметрической диффузионно моделью. [c.231]
Упрощенное уравнение для расчета числа единиц переноса [c.163]
Пример У1-27. Рассчитать мольную энтальпию двуокиси азота при температуре 100 °С и давлении 200 ат. По табл. УМ мольная энтропия в стандартных условиях 5298 = 57,47 кал/(моль-К) Зависимость мольной теплоемкости от температуры можно представить следующим упрощенным уравнением [c.174]
Поскольку обе фазы разбавлены, можно воспользоваться упрощенным уравнением материального баланса [c.195]
Выбор расстояния Z —Z, позволяющего использовать уравнения (IV.195) и (IV.I96), определяется величинами Z, Рер, R и Ь. На рис. IV-20 для Zi=0,9 показана зависимость относительной погрешности величины Рер от расстояния Z —Z для различных Рер, R YI Ь при расчете по упрощенным уравнениям (IV. 195) и (IV. 196). Для определения этой погрешности (АРе) при заданных значениях Рер, R, Ь и Z вычисляем по уравнениям (IV.188) [c.137]
Составление полуреакций. Начнем с упрощения уравнения реакции. Поскольку ион К не изменяет состояния окисления, его можно исключить из рассмотрения [c.427]
Последовательная дискриминация как метод упрощения уравнений химической кинетики является весьма эффективным приемом построения адекватных моделей [91]. [c.239]
Технологический расчет одночервячного пресса проводится либо на основе использования упрощенных уравнений гидродинамической теории, либо методом масштабного моделирования, если известны параметры модельной машины, удовлетворительно перерабатывающей заданный вид материала в тот же вид изделия. Для получения точных результатов диаметр червяка модельной машины должен быть > 50 мм. [c.339]
Вопрос устойчивости однородного псевдоожижения был впервые рассмотрен на основе весьма упрощенных уравнений движения, предложенных Джексоном . Еще ранее была исследована устойчивость нижней области слоя, поддерживаемого только восходящим потоком ожижающего агента. К таким же, в сущности, результатам, как и Джексон пришли независимо Пигфорд и Барон . Мюррей исследовал устойчивость псевдоожиженного слоя на основе выведенных им более сложных уравнений движения, однако, в его расчетах отсутствует количественная оценка скорости роста возмущений. Совсем недавно для анализа устойчивости псевдоожиженных систем были использованы описанные в предыдущих параграфах уравнения движения (см. ниже ). [c.85]
При указанных упрощениях уравнения движения приводятся к виду [c.96]
При анализе метода Дэвидсона становится очевидным, что уравнения (111,45)—(П1,48) могут быть удовлетворены только в том случае, если вблизи пузыря возможно изменение порозности и, соответственно, коэффициента лобового сопротивления Р (е). Известно, что график функции Р (е) имеет вогнутую к верху форму, причем величина Р быстро возрастает вблизи точки начала псевдоожижения. Следовательно, если порозность е близка к величине, отвечающей началу псевдоожижения, то изменение е будет значительно меньше, чем соответствующее изменение р. Отсюда следует, что первое приближение к решению уравнений (111,45)—(111,48) может быть получено путем замены е на
www.chem21.info
Упрощение выражений. Решение уравнений.
Предмет: математика.
Класс: 5
Автор УМК: Н.Я. Виленкин и др.
Тема урока: Упрощение выражений. Решение уравнений.
Цели: систематизировать знания по теме упрощение выражения и развивать умения применять их при решении уравнений.
Технологическая карта урока.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
познавательная
коммуникативная
регулятивная
осуществляемые действия
формируемые способы деятельности
осуществляемые действия
формируемые способы деятельности
осуществляемые действия
формируемые способы деятельности
I. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности
Приветствие учащихся.
Создает эмоциональный настрой на урок.
«Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед» (А. Нивен)
Предлагает ответить на вопрос: Как вы понимаете эту цитату?
Настраивают себя на сотрудничество
Умение настроить себя на доброжелательное сотрудничество с участниками образовательного процесса
Осуществляют самоконтроль готовности к уроку.
Организация своей учебной деятельности.
II. Этап актуализации и фиксирования индивидуального затруднения в пробном действии.
Проводит устный счет.
а) б) в)
Выполняют устные вычисления.
Умение считать устно.
Слушают учителя
Умение слушать и понимать речь других.
Сопоставляют свои ответы и ответы одноклассников.
Высказывают свои ответы.
Контроль правильности ответов своих и одноклассников.
Предлагает решить уравнения:
Предлагает работу в парах: спросите у соседа по парте правила нахождения неизвестных компонентов.
Предлагает упростить выражения:
Вопрос: что вы применяли для упрощения?
Определяют неизвестные компоненты в уравнениях и вспоминают правила их нахождения.
Работают в парах: проговаривают правила нахождения неизвестных компонентов.
Вспоминают свойства сложения и вычитания, определение подобных слагаемых.
Умение осуществлять актуализацию личного жизненного опыта.
Слушают учителя
Слушают собеседника.
Умение слушать и понимать речь других.
Сопоставляют свои ответы и ответы одноклассников.
Высказывают свои предложения.
Контроль правильности ответов своих и одноклассников.
Умение высказывать предложения.
Предлагает решить уравнение:
Пытаются решить уравнение.
Умение определять порядок действий и решать уравнения.
Умение слушать и выражать свои мысли.
Умение слушать в соответствии с целевой установкой.
Сопоставляют свои ответы и ответы одноклассников. Высказывают свои предложения.
Контроль правильности ответов своих и одноклассников.
Умение высказывать предложения.
III. Этап выявления места и причины затруднения
Предлагает ответить на вопросы:
— Как вы пытались выполнять это задание?
— В каком месте у вас возникло затруднение?
— Почему вы не можете это сделать?
Строят логическую цепь рассуждений.
Сравнивают, выделяют отличительные признаки.
Отвечают на вопросы и приходят к выводам:
— мешает ;
— не было бы 20.
Не умеют решать уравнения такого вида.
Умение анализировать, выделять известную и неизвестную информацию.
Умение сравнивать, делать умозаключения.
Выражают свои мысли и выслушивают мнения других.
Умение слушать, дополнять, высказывать собственное мнение.
Участвуют в диалоге и выходят к выводу, что необходимо научиться решать уравнения такого вида.
При возникновении ситуации затруднения регулируют ход мысли
VI. Этап построения проекта выхода из затруднения
— Значит, какую цель вы перед собой поставите?
— Тогда как бы вы назвали тему урока?
— Какое уравнение мы смогли бы решить?
— С чего начнем решение уравнения?
Вопросы для учащихся:
Какой первый шаг в решении уравнения?
Знакомо ли получившееся уравнение?
Выделите главное действие.
Выдвигают свои предложения. С учётом возникших затруднений формулируют цель и записывают тему урока «Решение уравнений». Приходят к выводу: можно решить уравнение
Выделяют необходимую информацию, планируют свою деятельность, прогнозируют результат
Высказывают своё мнение. Слушают ответы учащихся. Осуществляют выбор правильного ответа
Умение слушать, дополнять. корректировать высказывания учащихся, строить понятные высказывания.
Контролируют правильность ответов обучающихся, корректируют при необходимости собственные ответы и ответы учащихся.
Умение контролировать правильность ответов, корректировать при необходимости собственные ответы и ответы учащихся.
V. Реализация построенного проекта
Предлагает упростить и решить уравнение в тетради и оформить решение на доске, решившему уравнение раньше всех.
Контролирует выполнение работы.
Самостоятельно упрощают левую часть уравнения. Решают обычное уравнение в несколько действий. Проверяют, точно ли числа являются корнями уравнения.
Умение решать уравнения в несколько действий.
Самостоятельно оценивают правильность решения уравнения в несколько действий.
VI. Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи и с самопроверкой по эталону
Предлагает решить № 568 (а, в, д).
Приглашает к доске троих учащихся на каждый пункт.
Организует работу в парах по взаимопроверке.
Решают уравнения.
Анализируют, устанавливают связь между уравнениями, обобщают.
Слушают ответы одноклассников.
Осознанное и правильное построение речевого высказывания в устной форме. Умение строить логическую последовательность рассуждений.
Понимание смысла информации.
Отвечают и слушают выступления одноклассников.
Построение монологического высказывания. Умение понимать и воспринимать на слух ответы учащихся.
Контролируют правильность и полноту ответов одноклассников, корректируют при необходимости ответы.
Умение оценивать правильность выполнения работы.
Умение осуществлять взаимоконтроль
Физкультминутка
Быстро встали, улыбнулись.
Выше – выше потянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали. Сели, встали.
И на место все присели.
Можем ли теперь решить уравнение
Контролирует выполнение задания.
Организует самопроверку по эталону (презентация)
3х + 7х +20 = 80
10х + 20 = 80
10х = 80 – 20
10х = 60
х = 60 : 10
х = 6
Ответ. 6
Самостоятельно решают уравнение.
Умение ориентироваться в своей системе знаний
Во фронтальном режиме отвечают и слушают ответы учащихся.
Умение слушать других учащихся, дополнять, уточнять, корректировать высказывания учащихся, строить понятные высказывания
Самостоятельно оценивают правильность решения уравнений.
Самоконтроль.
Взаимоконтроль.
Предлагает решить в тетради
№ 574.
Приглашает четверых учащихся к доске.
Контролирует выполнение номера.
Предлагает проверить и найти ошибки.
Сопоставляют задание с полученными знаниями и решают задачи
Умение осуществлять выбор способов решения уравнений.
Самостоятельно оценивают правильность решения задач.
Самоконтроль по эталону.
Взаимоконтроль.
VIII. Рефлексия деятельности на уроке
Подводит итоги урока
Предлагает составить предложения по «Древу целей»
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Я понял, что…
5. Теперь я могу…
6. Я приобрел…
7. Я научился…
8. У меня получилось…
9. Я смог…
Продолжают предложения, высказывают свои мысли.
Умение анализировать, обобщать, делать выводы
Рефлексия.
Формулируют собственное мнение и позицию.
Умение формулировать собственное мнение и позицию
Оценивают результаты своей деятельности
Оценивают полезность полученных знаний и умений для учебной и практической деятельности
Умение оценивать свои действия, планировать их, осознавать свое понимание или непонимание, свое продвижение вперед; проводить самооценку полезности реализованной деятельности
IX. Домашнее задание:
Предлагает домашнее задание на выбор.
1. № 614, 615
2. № 614, составить алгоритм решения уравнений.
Инструктирует по выполнению задания, отвечает на вопросы учащихся по домашнему заданию.
Записывают домашнее задание в дневник
Задают вопросы, уточняя информацию
Умение формулировать и задавать вопросы, слушать других.
infourok.ru
Упрощение выражений. Уравнение
Тип урока: методологической направленности (обобщения и систематизации знаний)
Технологии: здоровьесбережения, развитие исследовательских навыков, информационно — коммуникационные, индивидуально — личностного обучения, групповой деятельности, педагогика сотрудничества
Форма: учебно — игровое занятие «Новогоднее представление»
Форма организации деятельности детей: групповая
Виды деятельности: работа у доски, самостоятельная работа, самопроверка, работа в группах, фронтальный опрос, анализ ошибок, работа с раздаточным материалом
Планируемые результаты:
Личностные: формирование креативного мышления, умения понимать смысл поставленной задачи, оценивать результат своей деятельности, формировать умения точно и ясно формулировать свои мысли в устной и письменной речи, формировать способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждении.
Предметные: уметь решать простейшие уравнения на основе зависимостей между компонентами арифметических действий; решать задачи с помощью уравнений. Знать и уметь применять на практике распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания при упрощении выражений.
Метапредметные:
Коммуникативная деятельность: уметь отстаивать свою точку зрения, приводить аргументы; принимать точку зрения другого; организовать учебное взаимодействие в группе; уметь слушать других; уважительно относиться к мнению других; уметь договариваться, менять точку зрения.
Регулятивная деятельность: определять цель учебной деятельности; работать по составленному плану; обнаруживать и формулировать проблему самостоятельно и вместе с учителем – определять цель учебной деятельности; осуществлять поиск средств её достижения; составлять план выполнения заданий; совершенствовать критерии оценки и самооценки.
Познавательная деятельность: делать предположение об информации, необходимой для решения задачи;
формировать умение осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач, умение устанавливать причинно — следственные связи, строить логические рассуждения, делать выводы; формировать умения осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы, делать выводы; сопоставлять свою работу с образцами; анализировать условие задачи и выделять необходимую для решения информацию; находить информацию, представленную в неявном виде; группировать объекты по определенным признакам; соотносить условие задач с имеющимися моделями и выбирать необходимую модель.
Ход урока:
Ребята, сегодня у нас необычное учебное занятие по математике. Во — первых, в преддверие праздника «Нового года», мы с вами окунемся в условия его проведения. И побываем на «Новогоднем представлении». Во — вторых, у нас присутствуют гости, которые тоже, как и вы, побывают на празднике.
Какой главный атрибут Нового года?
И что мы делаем перед праздником с елкой?
И начнем мы с того, что нарядим елочку. Но, чтобы ее нарядить, вы должны ответить на вопросы. Тот, кто отвечает правильно, вешает игрушку на елку.
Какое равенство называют уравнением?
Запишите переместительное свойство умножения с помощью букв.
Угадайте без вычисления корень уравнения х. х. х=1.
Какое число называют корнем уравнения?
Что значит решить уравнение?
Запишите сочетательное свойство сложения с помощью букв.
Как называется свойство
(а+в). с=ас+вс?
Запишите распределительное свойство умножения относительно вычитания.
Результат деления?
Упростите выражение 6а+333а.
Запишите свойства умножения.
Упростите выражение 7в. 5. 10.
Запишите свойства деления.
Упростите выражение
(24 — 4). в.
Елка у нас получилась красивая и нарядная. Но, посмотрите на доску, что еще необходимо сделать, чтобы праздник получился ярким?
И это сделать вы сможете, выполнив сопоставление. У каждой команды есть конвертик с заданием, где записаны выражения, которые нужно упростить. Получив результат, сопоставьте его с ответами на гирлянде и найдите правильный. Один человек от команды подходит и открывает этот элемент от гирлянды.
Приложение 1.
Ну, вот и гирлянда разноцветная сияет. А что за слова у вас получились?
Почему именно эти слова, а не другие, я взяла для задания?
Что мы знаем по данной теме?
Что умеем?
Что уже выполняли?
Как вы думаете, сегодня, что мы будем делать по данной теме?
А что еще из данной темы вы еще не выполняли?
Правильно! И сейчас вы покажите, как умеете это делать.
Скажите, а кого мы обычно зовем на празднике Нового года?
Давайте его позовем.
Не приходит. Видно что — то случилось. (Звучит звук смс. )
А вот от него пришло сообщение. Давайте его прочитаем.
Значит, нам нужно Деду Морозу помочь.
У каждой команде есть рисунок гнома. Его надо раскрасить. Но не просто раскрасить, а выполнив преобразования применяя свойства изученные ранее. Получив результат, выбираете тот цвет, что соответствует вашему ответу.
Приложение 2.
Давайте проверим правильность вашей работы.
Без кого дед Мороз не приходит в гости?
Позовем и ее в гости!
Весь материал — смотрите архив.
videouroki.net
УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — КиберПедия
Определение 35. Линией второго порядка называется множество точек плоскости, которое в некоторой АСК можно задать уравнением второй степени от двух переменных.
Примерами таких линий являются окружность, эллипс, гипербола и парабола. Очевидно, в различных системах координат одна и та же линия будет задаваться различными уравнениями. При изучении этих линий прежде всего встают вопросы:
· Как выбрать такую систему координат, в которой линия имела бы наиболее простое уравнение.
· Какие существуют типы линий второго порядка.
Для решения этих вопросов нужно знать, как преобразуются координаты точек при переходе от одной системы координат к другой.
4.2.1. Преобразование аффинных координат на плоскости
Пусть на плоскости заданы две системы аффинных координат реперами R = и R1 = , где О1(х0, у0)R, , . Пусть М – произвольная точка плоскости, М(х, у)R и М(х1, у1 . Поставим задачу: найти связь между координатами х, у и х1, у1.
В левой и правой частях полученного равенства стоят разложения векторов по базису . Так как равные векторы имеют равные координаты, то
(63)
Так как — базис, то
Очевидно и обратное. Если заданы формулы (63) с отличным от нуля определителем, то их можно рассматривать, как формулы, связывающие координаты одной и той же точки, если первая система аффинных координат задана произвольным репером R = , а вторая система координат задана репером R1 = , где О1(х0, у0)R, , .
Замечание. Часто первую систему координат называют «старой» системой координат, а координаты точки в этой системе координат – «старыми» координатами. При этом вторую систему координат называют «новой».
Формулы (63) называются формулами преобразования аффинных координат. В этих формулах старые координаты точки выражаются через новые координаты этой же точки.
Если системы аффинных координат отличаются только началом координат, т.е. R1 = , то формулы преобразования координат будут иметь вид х1= х + х0 , у1= у + у0. Если обе системы координат имеют общее начало координат, то в формулах (63) не будет свободных членов.
4.2.2. Преобразование прямоугольных координат
Пусть на плоскости даны две системы прямоугольных координат, заданные реперами R = и R1= , О1(х0, у0)R и (рис. 61). Пусть М(х, у)R и М(х1, у1 .
и пр , пр ) = (-sina, cosa), то формулы (9) будут иметь вид
(64)
2) Реперы R = и R1= противоположно ориентированы.
В этом случае формулы (9) примут вид (65)
4.2.3. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте системы координат
Общий вид уравнения линии Г второго порядка в любой системе аффинных координат:
Г: а11х2 +2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0 (66)
Если в уравнении (66) коэффициент а12 = 0, то уравнение (66) упрощается выделением полных квадратов (мы это сделаем ниже). Пусть а12 ¹ 0. Поставим вопрос, можно ли найти такую систему координат, чтобы в уравнении линии Г не было слагаемого с произведением координат. Пусть линия Г задана в прямоугольной системе координат. Решить поставленный вопрос попробуем с помощью поворота прямоугольной системы координат. В этом случае формулы преобразования координат:
(67)
Подставив в уравнение (66), получим
а11(х1соsa — у1sina)2 + 2а12(х1соsa — у1sina)(х1 sina + у1 соsa) + а22(х1 sina + у1 соsa)2 + + 2а13(х1соsa — у1sina) + 2а23(х1 sina + у1 соsa) + а33 = 0.
Раскроем скобки, приведём подобные и запишем уравнение в виде
+ 2 (68)
Новые коэффициенты выражаются через старые по формулам:
(69)
cyberpedia.su