Упростить дробь онлайн с буквами и степенями: Алгебраический калькулятор | Microsoft Math Solver

Упрощение дробей: примеры, показатель степени и деление

Рассмотрим дроби и . Оба они фактически представляют одно и то же значение. Тем не менее, кажется значительно проще, чем . В этом случае дробь выражается в так называемой простейшей форме или в ее наименьших терминах.

В этой статье мы узнаем больше о различных методах упрощения дробей.

Упрощение определения дроби

Упрощение дроби — это способ представить дробь в ее простейшей форме.

Простейшая форма определения дроби

Простейшей формой дроби является то, что между ее числителем и знаменателем нет более общих множителей.

Дробь имеет простейшую форму, если наибольший общий делитель между ее числителем и знаменателем равен 1.

Чтобы убедиться в этом, давайте рассмотрим следующий пример.

Дробь в простейшей форме.

На самом деле множители 8 равны 1, 2, 4 и 8, а множители 11 равны 1 и 11.

Мы видим, что 1 является наибольшим (и единственным) множителем числителя и знаменателя.

Следовательно, действительно в своей простейшей форме.

Однако дробь не в простейшем виде.

На самом деле множители 20 — это 1, 2, 4, 5, 10 и 20, а множители 88 — это 1, 2, 4, 22, 44 и 88. Заметим, что есть два общих множителя. между 20 и 88, что равно 2 и 4. Отсюда мы заключаем, что наша дробь не имеет простейшей формы и, следовательно, может быть еще более упрощена.

Подробнее об этом мы поговорим далее в статье.

Методы упрощения дробей

Существует два широко используемых метода упрощения дробей.

Метод повторного деления для упрощения дробей

Многократное деление числителя и знаменателя на наименьшее простое число, являющееся общим делителем. Продолжайте повторять этот шаг, пока не останется другого общего простого множителя.

Использование метода наибольшего общего делителя для упрощения дробей

Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Это дало бы дробь в ее простейшей форме.

В этой статье мы не будем рассматривать процесс нахождения наибольшего общего делителя. Чтобы освежить в памяти тему, ознакомьтесь с нашей статьей о наибольшем общем делителе.

Как упростить смешанные дроби?

Напомним, что смешанная дробь — это сочетание целого числа и правильной дроби.

Например, , является суммой 2 и .

Чтобы упростить смешанную дробь, выполните следующие действия:

• Преобразуйте ее в неправильную дробь,
• Продолжите стандартный процесс упрощения, используя любой из методов, упомянутых выше.

Упрощение дробей с показателями степени

Для дроби, которая содержит показатели степени в числителе и/или знаменателе, для ее упрощения используется метод наибольшего общего делителя.

Обратите внимание, что при наличии показателей с общим основанием как в числителе, так и в знаменателе общее основание с меньшим показателем может быть принято как часть НОД.

Например, если числитель содержит 2 ¹⁰ , а знаменатель содержит 2 ⁶ , мы включаем 2 ⁶ как часть НОД.

Упрощение дробей с переменными

Для дробей с переменными, также известных как алгебраические дроби, мы используем метод наибольшего общего делителя для упрощения числителя и знаменателя таким образом, чтобы представить дробь в ее простейшей форме.

Для нахождения НОД алгебраических дробей мы относимся к показателям переменных так же, как мы относимся к числовым показателям — мы берем младший показатель общей переменной как часть НОД.

Например, если числитель содержит x ¹⁰ , а знаменатель содержит x ⁶ , мы включаем x ⁶ как часть НОД.

Примеры упрощения дробей

В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров упрощения дробей.

Примеры упрощения числовых дробей

Упрощение .

Решение

Способ 1. Использование многократного деления для упрощения дробей.

Множители 45: 1,3,5,9, 15 и 45.

Множители 144: 1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24 ,36,48,72 и 144.

Заметим, что наименьшее простое число, являющееся общим делителем числителя и знаменателя, равно 3. Таким образом, мы делим числитель и знаменатель на 3, чтобы получить

15 и 48 делятся на 3, поэтому, разделив на 3, мы получим

Больше нет общих простых множителей между числителем 5 и знаменателем 16.

Следовательно, это простейшая форма выражения.

Метод 2. Использование наибольшего общего делителя числителя и знаменателя.

Наибольший общий делитель чисел 45 и 144 равен 9.

Делим числитель и знаменатель на 9, чтобы получить

.

Упростить

Решение

Способ 1. Использование многократного деления для упрощения дробей.

Сначала заметим, что и числитель 48, и знаменатель 216 — четные числа, поэтому они оба делятся на 2,

Делим на 2, чтобы получить

четные, поэтому они делятся на 2,

Делим на 2, чтобы получить,

12 и 54 оба четные числа, поэтому они тоже делятся на 2, поэтому у нас есть

Делим на 2, чтобы получить,

2 90 и 27 имеют 3 в качестве наименьшего общего простого множителя. Делим на 3, получаем

Разделив на 3, получим,

Больше нет общих простых множителей между числителем 2 и знаменателем 9.

Так дробь выражается в простейшей форме.

Способ 2. Использование наибольшего общего делителя числителя и знаменателя.

Коэффициенты числа 48: 1,2,4,6,24 и 48.

Делители числа 216: 1,2,3,4,6,8,9, 12, 18, 24,27,36,54, 72, 108 и 216.

Таким образом, наибольший общий делитель 48 и 216 равно 24.

На самом деле, разделив и числитель, и знаменатель на 24, мы получим

Упростить

Решение

Способ 1. Использование повторяющихся дробей.

Сначала мы замечаем, что и 240, и 90 делятся на 10, следовательно, разделив на 10, мы получим

Теперь 24 и 9 делятся на 3, поэтому, разделив на 3, мы получим

Далее, 8 и 3 не имеют общих делителей, таким образом является простейшей формой данной дроби.

Способ 2. Использование наибольшего общего делителя числителя и знаменателя.

Делители числа 240: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120 и 240.

Делителями числа 90 являются: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 и 90.

Заметим, что наибольший общий делитель чисел 240 и 90 равен 30.

и числитель, и знаменатель на 30, получаем

.

Примеры упрощения смешанных дробей

Упрощение

Решение

Во-первых, мы должны превратиться в неправильную дробь. Мы можем сделать это, записав целую часть смешанной дроби в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части.

Последний шаг — упростить неправильную дробь, используя либо метод повторного деления, либо метод наибольшего общего делителя. Используя любой из этих методов, мы находим, что упрощенная дробь равна

Следовательно

Упростить

Решение

Во-первых, мы должны превратиться в неправильную дробь. Для этого мы снова можем выразить целую часть смешанной дроби в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части.

Опять же, последний шаг — упростить неправильную дробь, используя либо метод повторного деления, либо метод наибольшего общего делителя. Используя любой из этих методов, мы находим, что упрощенная дробь равна .

Следовательно,

Упростить

Во-первых, превратим в неправильную дробь. Мы делаем это, выражая целую часть смешанной дроби в виде дроби с тем же знаменателем, что и дробная часть.

Наконец, мы упрощаем неправильную дробь либо методом повторяющихся делителей, либо методом наибольшего общего делителя. Используя любой из этих методов, мы находим, что упрощенная дробь равна .

Следовательно,

Упрощение дробей с показателями примеры

Упростить .

Решение

Как было сказано ранее в статье, при упрощении дробей с показателями в числителе и знаменателе мы используем метод наибольшего общего делителя.

При одинаковом основании следует учитывать наименьший показатель степени.

Следовательно, наибольший общий делитель и равен .

Далее, разделив и числитель, и знаменатель на НОД, получим

Таким образом, простейшая форма данной дроби

.

Упростить

Решение

Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен . Деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель дает

Упростить

Решение

Наибольший общий делитель числителя и знаменателя в этом случае равен . Деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель дает

Примеры упрощения дробей с переменными

Упрощение

Решение

Как было сказано ранее в статье, при упрощении дробей с переменными в числителе и знаменателе мы используем метод наибольшего общего делителя.

При одинаковом основании следует учитывать наименьший показатель степени.

Следовательно, наибольший общий делитель и равен .

Далее, разделив числитель и знаменатель на , получим

Таким образом, простейшая форма данной дроби

Упростить

Решение

Как было сказано ранее в статье, при упрощении дробей с переменными в числителе и знаменателе используется наибольший общий делитель метод.

При одинаковом основании следует учитывать наименьший показатель степени.

Следовательно, НОД ofand равен .

Далее, разделив и числитель, и знаменатель на, получим

Следовательно, простейшая форма данной дроби: упрощая дроби с переменными в числителе и знаменателе, используем метод наибольшего общего делителя.

При одинаковом основании следует учитывать наименьший показатель степени.

Следовательно, наибольший общий делитель и равен

Разделив числитель и знаменатель на НОД, мы получим

Следовательно, простейшая форма данной дроби:

Упрощение дробей — основные выводы

• Дробь имеет простейшую форму, если между ее числителем и знаменателем нет более общих множителей.
• Мы можем привести дробь к простейшей форме, многократно деля числитель и знаменатель на наименьший простой общий множитель, пока такой множитель не останется.
• Мы можем привести дробь к простейшей форме, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Упрощение алгебраических дробей | Вопросы и ревизия 92 + a — 6 = (a + 3)(a — 2)

Теперь, для знаменателя,

ab + 3b = b(a + 3)

Шаг 2: сократим нашу дробь, в этом случае мы можем сократить (a + 3) как в числителе, так и в знаменателе

Это выглядит так:

\dfrac{(a+3)(a-2)}{b(a+3)}=\dfrac {\xcancel{(a + 3)}(a — 2)}{b \xcancel{(a + 3)}} = \dfrac{a — 2}{b}

Уровень 6-7GCSE

Уровень 6-7GCSE

Ключевой навык 3: Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение и деление алгебраических дробей точно такое же, как и обычных дробей.

• При умножении на умножьте верх на верх и низ на низ по отдельности.
• При делении на просто переверните вторую дробь, а затем умножьте.

Пример: Упростите следующее \dfrac{(3x+1)}{(x-1)} \div \dfrac{2x}{(x-1)}

Шаг 1:  Обратите вторую дробь вверх ногами и измените \div на \times

\dfrac{(3x+1)}{(x-1)} \div \dfrac{2x}{(x-1)}=\dfrac{(3x+1)}{(x-1)} \ раз \dfrac{(x-1)}{2x}​

Шаг 2:  Сократите дробь, если это возможно.

\dfrac{(3x+1)\xcancel{(x-1)}}{2x\xcancel{(x-1)}} = \dfrac{3x+1}{2x}

Уровень 6-7GCSE

Уровень 6-7GCSE

Навык 4: Сложение и вычитание алгебраических дробей

При сложении и вычитании дробей всегда нужно находить  общий знаменатель,  то же самое для алгебраических дробей.

Пример:  Запишите \dfrac{2}{x+2} + \dfrac{3}{2x+1} как одну дробь.

Шаг 1: Нам нужно умножить каждую дробь на знаменатель другой дроби.

\bigg(\dfrac{2}{x+2}\times\textcolor{red}{\dfrac{2x+1}{2x+1}}\bigg) + \bigg(\dfrac{3}{2x +1}\times \textcolor{синий}{\dfrac{x+2}{x+2}}\bigg) = \dfrac{2\textcolor{red}{(2x+1)}}{(x+2 )\textcolor{red}{(2x+1)}} + \dfrac{3\textcolor{blue}{(x+2)}}{(2x+1)\textcolor{blue}{(x+2)} }

Шаг 2: При необходимости умножьте числители.

\dfrac{2\textcolor{red}{(2x+1)}}{(x+2)\textcolor{red}{(2x+1)}} + \dfrac{3\textcolor{blue}{( x+2)}}{(2x+1)\textcolor{синий}{(x+2)}} = \dfrac{4x + 2}{(x+2)(2x+1)} + \dfrac{3x +6}{(2x+1)(x+2)}

Шаг 3: Сложите (или вычтите) дроби

\dfrac{4x + 2}{(x+2)(2x+1)} + \dfrac{3x+6}{(2x+1)(x+2)} =  \dfrac{7x+8}{(2x+1)(x+2)}

Уровень 8-9GCSE

Уровень 6-7GCSE

Пример 1. Умножение алгебраических дробей

Полностью упростите следующую алгебраическую дробь,

\dfrac{2x + 4}{3xy} \times \dfrac{x}{x + 2}

[4 балла] 

Шаг 1:  Умножьте верх на верх и низ на низ

Умножьте числители:

(2x + 4) \times x = x(2x + 4)

Умножьте знаменатели:

3

3

3xy \times (x + 2) = 3xy(x + 2)

Итак, наша дробь:

\dfrac{x(2x + 4)}{3xy(x + 2)}

Шаг 2: Отмена вниз

Мы можем исключить множитель x сверху и снизу.

\dfrac{\xcancel{x}(2x + 4)}{3\xcancel{x}y(x + 2)} = \dfrac{2x + 4}{3y(x + 2)}

Теперь, может показаться, что мы полностью упростили его, но если мы учтем, что 2x + 4 = 2(x + 2), то внезапно у нас появится общий множитель. Получаем:

\dfrac{2(\xcancel{x + 2)}}{3y\xcancel{(x + 2)}} = \dfrac{2}{3y}

После отмены (x + 2) больше нет общих факторов, так что мы закончили.

Уровень 6-7GCSE

Пример 2. Сложение алгебраических дробей

Запишите \dfrac{m}{m — 6} + \dfrac{m}{7} как одну дробь в ее простейшей форме.

[4 балла]

Шаг 1: Нам нужно умножить каждую дробь на знаменатель другой дроби.

\dfrac{m}{\textcolor{red}{m — 6}}+\dfrac{m}{\textcolor{blue}{7}}= \dfrac{\textcolor{blue}{7}m}{ \textcolor{blue}{7}(m — 6)}+\dfrac{m(\textcolor{red}{m — 6})}{7(\textcolor{red}{m — 6})} 92 + m}{7(m — 6)}=\dfrac{m(m + 1)}{7(m — 6)}

Мы не можем еще больше упростить эту дробь, поэтому окончательный ответ равен

\dfrac{ м(м + 1)}{7(м — 6)}

Уровень 8-9GCSE

Примеры вопросов

Нам нужно найти общий знаменатель между всеми тремя дробями, прежде чем мы сможем выполнять сложение и вычитание.

 

Поскольку 30 является наименьшим общим кратным 2, 3 и 5, мы выберем 30x в качестве общего знаменателя.

 

Следовательно, мы можем умножить каждый член так, что

\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3x}-\dfrac{1}{5x} = \bigg(\dfrac{1}{2x}\times\dfrac{15}{15} \bigg)+\bigg(\dfrac{1}{3x}\times\dfrac{10}{10}\bigg)-\bigg(\dfrac{1}{5x}\times\dfrac{6}{6} \bigg)

 

\begin{aligned} &= \dfrac{15}{30x}+\dfrac{10}{30x}-\dfrac{6}{30x} \\ \\ &= \dfrac{15 +10-6}{30x} \\ \\ &=\dfrac{19}{30x}\end{выровнено}

Нам нужно найти общий знаменатель между дробями, прежде чем мы сможем выполнить сложение, следовательно,

 

 \dfrac{8}{x}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{8(x -3)}{х(х-3)}-\dfrac{1(х)}{(х-3)(х)}

 

Это можно упростить до

 

 \dfrac{8x-24-x}{x(x-3)}=\dfrac{7x-24}{x(x-3)}

 

Больше нет общих терминов, поэтому это полностью упрощено.

Во-первых, мы посмотрим на числитель, прежде чем мы сможем его разложить на множители, мы должны раскрыть скобки,

 

2(8 — k) + 4(k — 1) = 16 — 2k + 4k — 4 = 2k + 12

 

Тогда самое большее, что мы можем сделать, это убрать 2 как множитель, оставив нам 92 — 36 = (k + 6)(k — 6)

 

Поскольку в числителе и знаменателе есть множитель (k + 6), они сокращаются.

 

\dfrac{2\cancel{(k + 6)}}{(\cancel{k + 6)}(k — 6)} = \dfrac{2}{k — 6}

 

Там больше нет общих факторов, поэтому мы закончили.

Нашим первым шагом при делении любых дробей должно быть переворачивание второй дроби и превращение деления в умножение.

 

\dfrac{7ab}{12} \div \dfrac{4a}{93}{16}

Чтобы сделать это вычитание, нам нужно найти общий знаменатель.

 

Следовательно, левая дробь должна быть умножена на (z + 5) сверху и снизу.

 

\dfrac{z + 2}{z — 1} = \dfrac{(z + 2)(z + 5)}{(z — 1)(z + 5)}

 

Для правого -ручную дробь умножим (z — 1) сверху и снизу.

 

\dfrac{z}{z + 5} = \dfrac{z(z — 1)}{(z — 1)(z + 5)}

 

Тогда вычитание равно: 92 + z = 8z + 10

 

Учитывая, что знаменатель (z — 1)(z + 5), мы видим, что нет общих множителей, что означает, что наш окончательный ответ:

 

\dfrac{2 (4z + 5)}{(z — 1)(z + 5)}

Похожие темы

MME

Дроби

Уровень 1-3GCSEKS3

Пересмотреть

MME

Сложение и вычитание дробей

Уровень 1-3GCSEKS3

Пересмотреть

Рабочий лист и примеры вопросов

(НОВИНКА) Вопросы в стиле экзамена по алгебраическим дробям — MME

, уровни 6–7 GCSENewOfficial MME

Экзаменационные вопросы Отметить схему

Учебные вопросы

Вам также может понравиться…

Что дальше?

Рабочие листы, вопросы и пересмотр алгебраических дробей добавлены в ваши сохраненные темы. Вы можете просмотреть все свои сохраненные темы, посетив Мои сохраненные темы.