Абсолютная величина (модуль). Свойства абсолютных величин
Помощь в написании работы
О чем статья
Абсолютная величина и свойства модуля
Абсолютная величина или модуль (обозначается ) называется отрицательное число, что совпадает с , если и взятое со знаком минус, если , то есть
(1)
В первом уравнении , если , а во втором уравнении , если .
Например, , , .
Есть такие свойства модулей:
(2)
, тогда согласно (1) . В это же время , поэтому из первого свойства получается Значит . Теперь пусть , тогда из (1) имеем . В то же время , поэтому . Значит .
,
(3)
Доказательство неравенства (3).
а) Если , тогда в первом соотношении , а во втором – .
б) Если же , тогда , а .
(4)
Аналогично можно доказать (4).
Пусть:
а) тогда согласно (1) , а согласно (3) дальше у нас получается .
б) , поэтому снова согласно (1), (3), и (2) имеем:
.
Свойство доказано.
(5)
Доказательство неравенства (5).
[согласно (4)].
Аналогично:
.
Так как , тогда из полученных соотношений получается неравенство (5).
(6)
По определению модуль произведения чисел и равен либо x , если , либо -( x ), если x . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел и равно либо x . , либо , если . что доказывает рассматриваемое свойство.
Рассмотрим (7) свойство:
Модуль частного от деления на = частному от деления модуля числа на модуль числа
, где
(7)
Так как частное = , тогда
Определение и свойство вышеперечисленных модулей применяются при исследовании функций, построения их графиков, решения уравнений и неравенств с модулями.
Геометрические свойства абсолютной величины
Если смотреть с точки зрения геометрической абсолютной величины, тогда модуль вещественного (действительного) или комплексного чисел находится расстояние между числом и началом координат.
Рассмотрим комплексные и вещественные (действительные числа.
Вещественные числа
- Область определения – это .
- Область значений – .
- Чётная функция.
- Функция дифференцируема везде, кроме нуля. Если точка , тогда функция претерпевает излом.
Комплексные числа
- Область определения, то есть, вся комплексная плоскость.
- Область значений – .
- Модуль как комплексная функция ни в одной точке не дифференцируема
Обратим внимание, что абсолютной величине можно дать геометрическое объяснение: если задать на числовой оси точку с абсциссой , тогда – это расстояние этой точки к точке .
Алгебраические свойства абсолютной величины
Для любых вещественных чисел имеют место такие соотношения:
- = {}.
- .
- .
- Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: .
- Только тогда , когда , но модуль совершенно любого числа равен или же больше нуля:.
- Модули противоположных чисел всегда равны: .
- Модуль произведения, где есть от двух чисел всегда равен произведению их модулей.
- Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: .
- Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:.
- .
- .
- .
- .
- , если существует.
Примеры решения задач с модулем
Пример 1
Задача
1) Построить график функции .
2) Решить уравнение .
3) Решить неравенство .
4) Решить неравенство .
Решение
Сначала построим график функции , а за основу берём (1) неравенство:
(8)
При этом в первом уравнении , если , а , если . Поэтому графиком функции будет ломаная, см. рис. 1.
Рис. 1
2) Первую часть задания выполнили, то есть, график построили а теперь нам необходимо решить уравнение .
Пользуясь изображением выше (рис.
1) по формуле (8) решим сначала уравнение на интервале . Так как , тогда .
Если же , тогда , поэтому .
Если , тогда у нас получается единственное решения .
Решили уравнение и получилось, что , .
Обратим ваше внимание, что решения и легко понять по рис. 1. А если выходить из геометрического содержания абсолютной величины, тогда очевидно, что на расстоянии от точки на оси находятся две точки и .
3) Решаем неравенство .
Можно осуществить на каждом из интервалов и или проще воспользоваться нашим уже построенным рисунком, из которого видно, что график ломаной находится не выше прямой для , то есть
, где
(9)
4) Итак, решаем последнее неравенство .
Запишем, согласно с рис. 1:
.
(10)
Соотношение (9) и (10) будут использоваться и в дальнейшем.
Ответ
Решили уравнение и у нас получилось: , ;
Из первого неравенства получилось, что , где .
Второе неравенство – .
Пример 2
Задача
Записать без знака модуля для функции .
Решение
Приравняем подмодульное выражение к нулю .
Теперь разделим ось на два интервала и .
Если , тогда , поэтому, согласно с (1) .
Если же , тогда , поэтому . Значит
Строим отдельно графики: для и для . (см. рис. 2)
Рис. 2
Мы видим, что график функции можно получить параллельным переносом графика влево вдоль оси на две единицы.
Очевидно, что по большому счёту график функции можно получить параллельным переносом графика по направлению оси на единиц вправо, если и влево, если .
Как и в примере 1 после построения графика можно легко найти решение уравнения , а также неравенств .
Ответ
Запишем: = и неравенство .
Пример 3
Задача
Построить график функции .
Решение
Аналогично предыдущему примеру, приравняем к нулю подмодульное выражение: .
Разбиваем на три интервала:
1. Если , тогда , поэтому ,
.
2. Если , тогда и , а и , поэтому .
3. Если , тогда , поэтому .
Значит, для нашей функции имеем:
её график см. на рис. 3.
Рис. 3
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 2
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
7775
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Помощь в написании работы
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
Поиск по сайту:
| Справочник по математике | Алгебра | Модуль действительного числа |
| Абсолютная величина (модуль) действительного числа |
| Свойства модуля |
| График функции y = | x | |
| Простейшее уравнение с модулем |
Абсолютная величина (модуль) действительного числа
Определение.
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа a называют неотрицательное число | a | , которое определяется по формуле:
Так, например,
| 5 | = 5, | – 2 | = 2,
| 0 | = 0.
Свойства модуля
Если x и y – действительные числа, то справедливы равенства:
Кроме того, справедливо соотношение:
В то же время справедливы неравенства:
| (неравенство треугольника) | |
График функции y = | x |
График функции y = | x | имеет следующий вид:
Простейшее уравнение с модулем
Рассмотрим простейшее уравнение с модулем, имеющее вид:
| f (x) | = g(x) .
Поскольку
то данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем:
Для решения исходного уравнения остается лишь решить две этих системы и объединить полученные ответы.
Замечание. Решение неравенств с модулями осуществляется аналогично.
Желающим более глубоко освоить тему «Модули», мы рекомендуем изучить наши учебные пособия: «Уравнения и неравенства с модулями» и «Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами».
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |
|
./../ris/b1_45.gif»>НАШИ ПАРТНЕРЫ. В чем разница между модулем, абсолютным значением и модулем?
спросил
Изменено 1 год, 4 месяца назад
Просмотрено 39 тысяч раз
$\begingroup$
Говоря об абсолютном значении, я сказал модуль. Тогда люди поправляют меня и говорят, что это та операция, в которой вы находите остаток. Затем я запутался, потому что я видел, как люди говорят по модулю для операции остатка. Кроме того, если мое первое утверждение верно, почему у нас есть два слова для абсолютного значения?
- терминология
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Они означают другое.
$\color{green}{\Large\bullet}$ Абсолютное значение $x = |x|$ и равно $x$, если $x \geq 0$, или равно $-x$, если $x < 0$.
$\color{green}{\Large\bullet}$ По модулю обычно относится к типу арифметики, называемой арифметикой по модулю. Например, поскольку $13 = 4\times 3 + 1$, мы пишем $13\\equiv\1\(\textrm{mod}\3)$. На обычном математическом языке это принимается как «$13$ конгруэнтно $1$ по модулю $3$».
$\color{green}{\Large\bullet}$ Модуль относится к величине/длине вектора.
Добавленный
Как насчет «Введение в теорию чисел — Нивен Цукерман» и «Чистая математика I и II Ф. Герриша»?
Эти имена часто использовались другими и иногда даже взаимозаменяемы. Но в упомянутых выше книгах они определены ясно и отчетливо.
Единственная путаница возникает из-за знака «$|…|$», который использовался как для абсолютного значения числа, так и для модуля вектора. Поэтому некоторые использовали «$|| … ||$” для того, чтобы последний делал смысл более отчетливым.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
К сожалению, математическая терминология развивалась хаотично, и часто одному и тому же слову будут придаваться совершенно разные значения в разных областях математики (иногда даже в одной и той же области, что еще хуже!). Самый крайний пример, я думаю, это «нормальный».
См. http://jeff560.tripod.com/m.html для некоторой истории многих применений «модуля» и его вариантов. 92}$ называется его модулем. Если вы часто работаете как с действительными, так и с комплексными числами, часто оговариваются и называют абсолютное значение $|x|$ действительного числа $x$ его модулем.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Насколько мне известно, я никогда не видел, чтобы Абсолютное значение называлось модулем, хотя Википедия признает такое использование.
Модуль и модуль оба относятся к операции остатка. Вообще говоря, «$5 \mod 7$» читается как «$5$ по модулю $7$», где модуль равен $7$. В конечном счете, это вопрос того, что вы предпочитаете использовать.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Мы должны сохранить различие между модулем для абсолютного значения и модулем для модульной арифметики. Большая часть литературы не проводит этого различия.
$\endgroup$
$\begingroup$
Я думаю, что есть проблема с именованием, но, как упомянул другой автор, это «а по модулю b», где «b» — это модуль.
Меня учили функции f(x)=|x| является «модулем» в математике, но всякий раз, когда нам нужно было использовать его в программировании или Excel, мы использовали абсолютную (ABS) функцию или эквивалентную.
Функция по модулю (модуль b), переведенная непосредственно в программирование и т. д.
Я также обнаружил, что названия немного сбивают с толку, но их использование достаточно четкое, чтобы не запутаться. В программировании очевидно, что вы ошибаетесь, если используете ‘mod’ для изменения положительного значения, поскольку функция принимает два аргумента.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Абсолютное значение/модуль комплексного числа
Абсолютное значение/модуль комплексного числа
Сложить Содержание Абсолютное значение/модуль комплексного числа |
Рассмотрим вещественное число $x \in \mathbb{R}$. Мы знаем, что абсолютное значение $x$ определяется следующим образом:
(1)
\begin{align} \quad \mid x \mid = \left\{\begin{matrix} x & \mathrm{if} \: x \geq 0 \\ -x & \mathrm{if} \: x < 0 \end{matrix}\right. \end{выравнивание} 92} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \end{align}
Теперь мы сформулируем и докажем некоторые важные свойства, касающиеся комплексных чисел абсолютного значения.
| Предложение 1: Пусть $z = a + bi, w = c + di \in \mathbb{C}$. Тогда: а) $\mid z \mid = \mid \overline{z} \mid$. б) $-\mid z \mid \leq \mathrm{Re} (z) \leq \mid z \mid$.  |