Упростить выражение онлайн с векторами: Упрощение выражений · Калькулятор Онлайн

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Отметим, что сложение векторов производится аналогично планиметрии, только все действия выполняются в пространстве.

 

Итак, пусть заданы два произвольных вектора в пространстве (рис. 1):

Рис. 1. Произвольные векторы в пространстве

Определим, что же называется суммой двух этих векторов.

Точно так же, как в планиметрии, из любой удобной точки, назовем ее точкой А, можно единственным образом отложить вектор, равный вектору . Напомним, что заданные векторы, как и любые другие, свободны, важно лишь направление и длина, сам вектор можно параллельно переносить в любое место как на плоскости, так и в пространстве. Так, мы получили вектор  – в результате действия вектора  точка А переместилась в точку В. Теперь из точки В откладываем единственно возможным образом вектор , получаем вектор  – так, в результате действия вектора  точка В переместилась в точку С. В результате точка А переместилась в точку С, получен вектор , который и называется суммой векторов  и  (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух векторов в пространстве

Так, получено правило треугольника для сложения векторов в пространстве.

Правило треугольника

Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.

Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.

Определение

Разностью двух векторов называется такой третий вектор, который, будучи сложенным со вторым вектором, даст первый вектор.

Введем разность векторов  и , для этого сложим вектор  с противоположным вектором :

Итак, из произвольной точки А откладываем вектор , получаем точку В. Чтобы получить вектор  мы строим вектор, равный вектору  по длине, но противонаправленный. Полученный вектор откладываем из точки В – получаем точку D. Вектор  и будет искомым вектором разности.

Проиллюстрируем (рис. 3):

Рис. 3. Вычитание двух векторов в пространстве

Построим на заданных векторах  и  параллелограмм (рис. 4):

Рис. 4. Параллелограмм на двух заданных векторах

Т. к. вектор ; аналогично .

По правилу треугольника:

Так, одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов.

Рассмотрим разность векторов. По правилу треугольника:

.

Так, вторая диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует разности этих векторов.

Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы  и :

Рис. 5. Три вектора в пространстве

Необходимо построить вектор .

Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы  и . Вектор  сонаправлен с вектором , длина его в три раза больше. Вектор  противонаправлен вектору , длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):

Рис. 6. Умножение вектора на число

Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор  – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор  – получаем точку С. Из точки С откладываем вектор  – получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор  соответствует искомому вектору :

Рис. 7. Сложение векторов по правилу многоугольника

Задача 1:

Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:

 

Рис. 8. Тетраэдр, задача 1

Решение:

По правилу треугольника:

Аналогично:

, ч. т. д.

По правилу треугольника:

Аналогично: , ч. т. д.

Задача 2

Упростить выражение:

Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: , ее значение очевидно:

Проиллюстрируем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух векторов

Теперь сократим противоположные векторы:

Можно было сразу заметить:

.

В результате упрощения получено:

.

Итак, мы ввели операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число в стереометрии, отметили, что операции аналогичны таким же для планиметрии. Кроме того, решили несколько задач, базирующихся на описанных операциях.

 

Список литературы

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.onlinemschool.com (Иточник).
2. Emomi.com (Источник).
3. Cleverstudents.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Задача 1: задан параллелепипед (рисунок 10). Доказать:

1.

2.

3.

Рис. 10. Параллелепипед

Задача 2: упростить выражение:

Задача 3: построить вектор , если векторы  и  заданы на рисунке 11:

Рис. 11. Векторы, задача 3

 

§1. Определение вектора. Операции над векторами — ЗФТШ, МФТИ

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`.  Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а). 

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6). 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`. Тогда  полученный  вектор `vec f = vec c + vec d` и  будет представлять собой сумму  трёх  векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго — откладывают третий, из конца третьего  — четвёртый  и  т.  д. 

Так,  на рис. 7 вектор  `vec g`  представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`,  найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен

где `|k|` — абсолютная величина числа `k`.  

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).

При `k = — 1` получим `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

5. Разность двух векторов.

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

см. рис.  9а, 9б.

Упрощение выражений | nool

Перейти к основному содержанию

Домашняя страница Технологического института Онтарио

nool

Алгебраические выражения иногда могут выглядеть беспорядочно, поскольку они содержат не только числа, но и буквы алфавита. Давайте подробнее рассмотрим, как мы можем упростить эти выражения.

Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы должны собрать одинаковые термины. При упрощении алгебраического выражения находится эквивалентное выражение, которое проще исходного. Обычно это означает, что упрощенное выражение меньше исходного выражения. Существует множество различных видов алгебраических выражений, поэтому стандартной процедуры для их упрощения не существует. Вот список шагов, которым нужно следовать.

• Подготовьте алгебраическое выражение для упрощения (например, путем расширения).
• Определите и сгруппируйте похожие термины.
• Объедините похожие термины.

Пример: Упростите выражение 5x + 3y -9z -8x + 6y.

Решение:

Выражение не нужно готовить, поэтому сначала определите и сгруппируйте одинаковые члены:

(5x — 8x) + (3y + 6y) — 9z

Затем объедините одинаковые члены:

-3x + 9y — 9z

Пример: Упростите выражение 4(5a — 4b) -7(6a + 2b).

Решение:

Сначала подготовьте выражение для упрощения (расширьте): 20a — 16b — 42a- 14b

Затем определите и сгруппируйте одинаковые термины: (20a — 42a) + (-16b — 14b)

Наконец, объедините одинаковые термины: -22a — 20b

Важно понимать, что не все алгебраические выражения можно упростить. Например, выражение 56a — 8b + 7c -5 не может быть упрощено дальше, так как в выражении нет одинаковых членов.

Закончим еще одним примером выражения, в котором есть произведения и частные простых множителей, включающих степени с одним и тем же основанием. Их можно легко упростить, добавляя и вычитая индексы степеней (используя экспоненциальные законы).

Пример: Упростите выражение 004 Выражение не нужно подготавливать, поэтому объедините похожие термины: 12w ³ x ⁵ /yz

Пример — объединение рациональных выражений:

Как избежать распространенных математических ошибок при упрощении:

90 004 Упрощение с экспонентами:

Алгебраическое сложение и вычитание векторов

Введение

 

В этой статье мы рассмотрим вектор. Векторы, в отличие от простых чисел (скаляров), которые имеют только величину, имеют как величину (длину), так и направление. Мы изучим, как представлять векторные величины, а также как их складывать и вычитать.

 

Ключевые термины

 

Скаляр

Вектор

Нулевой вектор

 

Цели

 

 

Количественное определение векторов используя систему координат

Сложение и вычитание векторов графически и алгебраически

 

 

Отдельные числа, то есть значения, имеющие только (положительную или отрицательную) величину, называются скалярами. Числа 0, –3, π, i, 1.3, e, и т. д. — все это примеры скаляров. Другой тип значения, который часто используется в математике, — это вектор. Вектор — это величина, имеющая как величину , так и направление . В этой статье мы рассмотрим некоторые математические характеристики векторов. Векторы имеют широкое применение, например, в физике.

Введение в векторы

Чтобы понять разницу между скаляром и вектором, полезно подумать о физических примерах. Возьмем, к примеру, температуру. Вы можете использовать термометр для измерения температуры воздуха в разных местах. В каждом случае вы получаете некоторое число (и единицу измерения), скажем, 65°F. Это величина, но с ней не связано никакого направления; таким образом, это скалярная величина. Теперь рассмотрим измерения ветра в тех же местах. Когда вы измеряете ветер, вы, скорее всего, измеряете и скорость, и направление. Таким образом, ваши измерения ветра составляют вектор. Мы могли бы выразить этот вектор как стрелку, направленную в направлении ветра, причем длина стрелки пропорциональна скорости ветра. Ниже приведена иллюстрация двух измерений ветра, сделанных в разных точках; стрелки представляют векторы, связанные с этими измерениями.

Векторы имеют величину и направление, но не имеют назначенного местоположения как такового. То есть, пока сохраняется направление и длина «стрелки», мы можем перемещать ее куда угодно, не меняя ее. Это важная характеристика, которая позволит нам широко работать с векторами.

 

A Представление векторов

Наша первая задача — найти способ четкого и последовательного представления векторов. Графически это просто: поскольку мы можем перемещать вектор куда угодно, давайте всегда располагать «хвост» вектора в начале координат плоскости. (Обратите внимание, что «голова» и «хвост» вектора определяются, как показано ниже.)

 

 

 

Теперь, поместив хвост вектора в начало координат (помните, что мы можем перемещать вектор куда угодно, пока сохраняем его направление и длину), мы можем количественно определить его как координаты голова. Пример показан ниже для вектора v . (Обратите внимание, что для того, чтобы отличить символы, представляющие векторы, от символов, представляющих скаляры, мы используем жирный шрифт. Другой распространенный метод — использовать маленькую стрелку над символом: например, вектор.)

 

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Precalculus?

Таким образом, вектор v — это просто координаты точки (2, 3). Обратите внимание, что все векторы, показанные ниже, равны (2, 3) — наше соглашение состоит в том, что вектор описывается координатами точки в его начале только , когда его конец расположен в начале координат.

 

 

 

Хотя мы показали вектор только в двух измерениях, этот подход можно обобщить на любое количество измерений. Например, в трех измерениях вектор будет иметь вид ( x, y, z ). Все свойства двумерных векторов можно легко распространить на три измерения.

Но как нам «переместить» вектор с числовой точки зрения? Например, скажем, вектор v имеет голову в (3, 2) и хвост в (1, 4).

 

 

 

Ответ заключается в перемещении (или перемещении) головы и хвоста на эквивалентное расстояние и в одном направлении. Этот перевод должен привести к перемещению хвоста вектора в начало координат — простой процесс, который включает вычитание каждой хвостовой координаты из самой себя. В приведенном выше примере результат равен (3 – 3, 2 – 2) = (0, 0). Чтобы переместить голову, аналогичным образом вычтите координаты хвоста из координат головы — это удовлетворяет нашему критерию, согласно которому перемещение имеет фиксированное расстояние и направление. Таким образом, голову следует двигать следующим образом: (1 – 3, 4 – 2) = (–2, 2). Таким образом, в общем случае, чтобы найти значение произвольно расположенного вектора, нужно вычесть координаты хвоста из координат головы. Этот процесс проиллюстрирован ниже.

 

Обратите внимание, что вектор (0, 0), иногда называемый нулевым вектором , имеет длину 0, но не имеет определенного направления. (То есть независимо от того, какое направление вы выберете, нулевой вектор один и тот же.)

Практическая задача: Определите значение каждого вектора, показанного на графике ниже.

 

Решение: В каждом случае можно найти координатное выражение для вектора, вычитая хвостовые координаты из соответствующих головных координат. Это работает, даже если хвост находится в начале координат, который имеет координаты (0, 0). Но если хвост находится в начале координат, вектор также просто равен координатам головы. Если это вам поможет, перерисуйте векторы так, чтобы хвосты располагались в начале координат.

a = (–1, 4)

 

b = (–3, –3)

  

c = (3 – 3, 2 – 0) = (0, 2)

 

d = (3 – 2, –4 – [–1]) = (1, –3)

 

Сложение и вычитание векторов 9 0003

Как и в случае со скалярами, мы можем добавить и вычесть векторы. Процесс аналогичен, но с одной или двумя оговорками. Чтобы сложить или вычесть два вектора a и b добавить или вычесть соответствующие координаты вектора. То есть там, где a и b определяются следующим образом, здесь действуют правила сложения и вычитания.

 

Обратите внимание, что, как и в случае со скалярами, сложение векторов является коммутативным , а вычитание — нет. Графически мы добавляем два вектора a и b , позиционируя хвост b в начале a , а затем создайте новый вектор, начиная с хвоста a и заканчивая головой b . Координаты этого нового вектора определяются так же, как и раньше: размещением его хвоста в начале координат. Этот процесс проиллюстрирован ниже для векторов a = (4, 1) и b = (-1, 2).

 

 

 

Обратите внимание, что

 

 

 

 

Вычитание векторов происходит в основном по той же процедуре, что и сложение, за исключением того, что вычитаемый вектор «обращается» по направлению. Рассмотрим те же векторы a _{и b , что и выше, за исключением того, что мы будем вычислять a – b. (Обратите внимание, что это то же самое, что и , где – b имеет ту же длину, что и b , но противоположно по направлению.)}

 

Практическая задача: Выполните следующие векторные операции.

 

 

а. (3, 2) — (4, 5) б. (-1, 5) + (10, -6) в. (-1, 0) — (0, 0)

 

 

Решение: В каждом случае сложите или вычтите соответствующие координаты, чтобы найти результат.