Алгебра Упрощение тригонометрических выражений
Материалы к уроку
Конспект урока
14. Упрощение тригонометрических выражений
Равенства
Часто они используются при упрощении и доказательстве тригонометрических выражений.
Рассмотрим примеры использования этих формул при упрощении тригонометрических выражений.
( вынесем за скобку общий множитель косинус квадрат тэ, в скобках получим разность единицы и квадрата косинуса тэ, что равно по первому тождеству квадрату синуса тэ. Получим сумму синус четвертой степени тэ произведения косинус квадрат тэ и синус квадрат тэ. общий множитель синус квадрат тэ вынесем за скобки, в скобках получим сумму квадратов косинуса и синуса, что по основному тригонометрическому тождеству равно единице. В итоге получим квадрат синуса тэ).
( Вынесем общий множитель косинус тэ за скобки, а в скобках приведем к общему знаменателю, который представляет собой произведение один минус синус тэ на один плюс синус тэ.
В числителе получим: единица плюс синус тэ плюс единица минус синус тэ, приводим подобные, числитель равен двум после приведения подобных.
В знаменателе можно применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов) и получить разность единицы и квадрата синуса тэ, что по основному тригонометрическому тождеству
равно квадрату косинуса тэ. После сокращения на косинус тэ получим конечный ответ : два деленное на косинус тэ).
Рассмотрим примеры использования этих формул при доказательстве тригонометрических выражений.
ПРИМЕР 4.Найти значение выражения tg 2 t + ctg 2 t ,если tg t + ctg t = 6.
( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ, если сумма тангенса и котангенса равна шести).
Решение. (tg t + ctg t)2 = 62
tg 2 t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Возведем обе части исходного равенства в квадрат:
(tg t + ctg t)2 = 62 ( квадрат суммы тангенса тэ и котангенса тэ равна шести в квадрате).
Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2 Получим tg 2 t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg 2 t = 36 (тангенс квадрат тэ плюс удвоенное произведение тангенса тэ на котангенс тэ плюс котангенс квадрат тэ равно тридцати шести).
Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице, то tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 ( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ и двух равна тридцати шести),
значит tg 2 t + ctg 2 t = 34 (сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ равна тридцати четырем). Ответ: 34.
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Выбрать педагогаОставить заявку на подбор
Урок 8.
Тригонометрические формулы. Практика 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 8. Тригонометрические формулы.
Практика
Конспект урока
Построим наше занятие следующим образом – рассмотрим примеры на преобразования тригонометрических выражений с использованием наиболее часто встречающихся формул из тех, которые мы ввели в лекции к уроку.
Такие преобразования важно уметь делать при решении некоторых типов тригонометрических уравнений.
Формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов
Начнем с формул тригонометрических функций суммы/разности аргументов.
Задача №1. Упростить выражение .
Формулы двойного и тройного аргументов
Теперь приведем пример задания с использованием формул двойного аргумента.
Задача №2. Упростить выражение .
Обратим внимание, что в числителе и знаменателе дроби записаны выражения, похожие на формулы косинуса двойного угла, только с обратным знаком. Умножим числитель и знаменатель дроби на и подставим указанные формулы.
Формулы понижения степени
Задача, в которой будут использоваться формулы понижения степени.
Задача №3. Преобразовать в произведение .
Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая имеет вид . При использовании этой формулы следует понимать, что аргумент косинуса увеличивается в два раза, а не просто становится «».
Формулы суммы/разности тригонометрических функций
Переходим к примеру, в котором пригодятся формулы суммы/разности тригонометрических функций.
Задача №4. Преобразовать в произведение .
Умение преобразовывать в произведение бывает полезным при решении уравнений, в которых по одну сторону равенства находится ноль.
Тогда используется правило, что при умножении нескольких выражений одно из них точно равно нулю, если результат произведения равен нулю. Но пока решать уравнения не будем, а потренируемся в преобразованиях.
Сгруппируем слагаемые попарно, чтобы к ним можно было применить формулы сложения/вычитания тригонометрических функций:
В ходе преобразований воспользовались нечетностью функции синус.
Формулы произведения тригонометрических функций
Упростим выражение с использованием формул произведения тригонометрических функций.
Задача №5. Упростить выражение .
Подойти к решению можно двумя способами: преобразовать произведение тригонометрических функций в разность или расписать по формуле суммы разности аргументов. Первый подход в данном случае более оптимальный. Его и продемонстрируем, а вы можете самостоятельно решить вторым способом и сверить результаты.
В процессе преобразований важно не запутаться, т.
к. в роли аргументов выступают и , а такие же выражения присутствуют и в формуле произведения синусов.
Пример с использованием универсальной тригонометрической замены мы рассматривать на этом занятии не будем, т.к. этот прием тесно связан именно с решением определенных тригонометрических уравнений. Мы вспомним о нем на соответствующем уроке.
Сложение гармонических колебаний
Сейчас же рассмотрим задачу с применением формулы сложения гармонических колебаний.
Задача №6. Преобразовать выражение к одной тригонометрической функции.
Воспользуемся формулой сложения гармонических колебаний или как ее еще иногда называют «метод введения вспомогательного угла»:
,
где вспомогательным углом является .
Воспользуемся нечетностью синуса и четностью косинуса и внесем минус к аргументу синуса и косинуса, чтобы выражение превратилось в сумму и стало похожим на общую формулу:
Более подробно: и .
Теперь видно, что в роли параметра , аргумент .
Вычислим вспомогательный угол . Мы пока не говорили об обратных тригофункциях, по плану они у нас на следующем уроке, т.к. их удобно рассматривать непосредственно перед тригонометрическими уравнениями. Пока объясним вычисление арктангенса очень просто — находим в таблице значений тригонометрических функций при каком угле тангенс равен , это угол , он и соответствует значению арктангенса.
Подставим выписанные величины в общую формулу.
Из-под корня вынесли полный квадрат.
Заключение
На этом практическом занятии мы привели примеры упрощения тригонометрических выражений с использованием основных формул преобразований тригонометрических функций, это в дальнейшем пригодится нам при решении некоторых уравнений.
Упростить тригонометрическое выражение — Онлайн калькулятор тригонометрии
Упрощение триггера, онлайн-исчисление
Резюме:
Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
simple_trig онлайн
Описание :
Этот калькулятор позволяет с помощью различных тригонометрических формул от до вычислить тригонометрическое выражение . Тригнометрические выражения — это выражения, включающие функции синуса, косинуса, функции тангенса…
Для упрощения тригонометрических выражений калькулятор использует различные формулы тригонометрии, вот несколько примеров формул тригонометрические, используемые калькулятором:
`AA x в RR, k в ZZ`,
- `sin(-x)= -sin(x)`
- `sin(x+2*k*pi)=sin(x)`
- `sin(pi-x)=sin(x)`
- `sin(pi+x)=-sin(x)`
- `sin(pi/2-x)=cos(x)`
- `sin(pi/2+x)=cos(x)`
- `cos(-x)= cos(x)`
- `cos(x+2*k*pi)=cos(x)`
- `cos(pi-x)=-cos(x)`
- `cos(pi+x)=-cos(x) `
- `cos(pi/2-x)=sin(x)`
- `cos(pi/2+x)=-sin(x)`
- `tan(-x)= -tan( x)`
- `tan(x+k*pi)=tan(x)`
- `tan(pi-x)=-tan(x)`
- `tan(pi+x)=tan(x) `
- `tan(pi/2-x)=1/tan(x)`
- `tan(pi/2+x)=-1/tan(x)`
Это лишь небольшой пример из многих тригонометрических формул, используемых этим тригонометрическим калькулятором.
Когда калькулятор упрощает тригонометрическое выражение, он указывает формулы, используемые для получения результата, в разделе, предназначенном для деталей расчетов.
Чтобы упростить тригонометрическое выражение , введите выражение для упрощения и примените функцию simple_trig. Таким образом, для упрощения следующего выражения `cos(x+pi)+2*sin(x)` введите simple_trig(`cos(x+pi)+2*sin(x)`) , после вычисления возвращается упрощенная форма тригонометрического выражения.
В этом другом примере показано, как вычислить тригонометрическое выражение `cos(pi-x)`: simple_trig(`cos(pi-x)`) .
Тригонометрический калькулятор может упростить не только буквенно-цифровые выражения, но и чисто числовые выражения.
Синтаксис:
simple_trig(выражение), где выражение представляет тригонометрическое выражение, которое нужно упростить.
Примеры:
simple_trig(`cos(x+pi)`) возвращает `-cos(x)`
Вычислите онлайн с помощью Simplize_trig (тригонометрический калькулятор)
См.
также
Список связанных калькуляторов:
Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.- Арксинус : арксинус. Функция arcsin позволяет вычислить арксинус числа. Функция arcsin является обратной функцией функции синуса.
- Арктангенс: арктангенс. Функция арктангенса позволяет вычислить арктангенс числа. Функция арктангенса является обратной функцией функции тангенса.
- Тригонометрический калькулятор: simple_trig. Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
- Косинус: cos. Кос-тригонометрическая функция вычисляет косинус угла в радианах, градусов или градианов.
- Косеканс: косеканс. Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
- Котангенс : котанг. Тригонометрическая функция котана для вычисления котана угла в радианах, градусов или градианов.
- Тригонометрическое расширение: expand_trigo. Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.
- Тригонометрическая линеаризация : linearization_trigo. Калькулятор, позволяющий линеаризовать тригонометрическое выражение.
- Упростить калькулятор: упростить. Калькулятор, который может упростить алгебраическое выражение онлайн.
- Секанс : сек. Тригонометрическая функция sec позволяет вычислить секанс угла, выраженного в радианах, градусах или градусах.
- Синус : синус. Тригонометрическая функция sin для вычисления греха угла в радианах, градусов или градианов.
- Тангенс: коричневый. Тригонометрическая функция тангенса для вычисления тангенса угла в радианах, градусов или градианов.
Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция arccos является обратной функцией функции косинуса.
Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.Прочие ресурсы
- Алгебраические вычисления
- Бесплатные онлайн игры для алгебраических вычислений
- Научитесь делать алгебраические вычисления
| Рабочий лист коэффициента масштабирования | обновление алгебратора | как сделать решатель квадратичных формул на моем калькуляторе Т1-84 |
стихотворения с использованием математических слов | алгебраический интеграл подстановки | Алгебра 1 рабочий лист ответы |
Алгебратор скачать | саксонских листа с домашним заданием | печатные математические изображения |
введение в бухгалтерию скачиваемая книга | Фактор моих домашних полиномов | умножить формулу значений времени |
целочисленных рабочих листа для детей | отработка алгебры | ti 89 решить единственную алгебру |
как обманывать с алекс | листы факторинга | вида математических мелочей |
«нахождение длины окружности» | Рационализация знаменателя в калькуляторе рациональных выражений | расширяющая программа алгебры |
тригонометрия с ti 84 плюс | Калькулятор коэффициента рационального выражения | Бумаги 8-го класса Guess 2009 Бахавалпур |
рабочие листы по математике в произвольном масштабе | TI-84 Дроби * */* | Калькулятор с пошаговым отображением линейных уравнений бесплатно |
коэффициент бесплатных математических печатных форм | печатные задачи на радикалы как частные | как преобразовать линейное уравнение в вершинную форму |
как найти радикальную форму | добавление уравнений квадратного корня | чтение загруженного текста ti 89 |
решение задач по алгебре | Matlab решает уравнения | Бесплатная пробная версия Алгебратора |
алгебра 2 элипс | Калькулятор дробей в радикальных уравнениях | может ли учитель дать мне свои записи по теории 9-12 |
кубики упрощения | задачи по математике для 11 класса | калькулятор для 11 класса по математике |
графический решатель нелинейных уравнений | бесплатная загрузка для aptitude book | факторинг трехчленов онлайн |
Алгебра Холта 1 Техасское издание для учителей pdf | бесплатных математических ресурса ks 3 | современная абстрактная алгебра ответы |
Решение алгебраических уравнений с несколькими переменными | добавление вычитания, умножение и деление дробей лист | Prentice hall Высшая математика Подход к предварительному исчислению математика помощь |
решатель задач на деление десятичных дробей | переменная как показатель степени | программа c для невещественных корней квадратного уравнения |
бесплатная математика для порядка операций | алгебра дроби радикал | комбинаций и перестановок в PowerPoint |
редуцирующие радикалы на ti 84 | как делать алгебру | листать страницы по алгебре 2 книга ответы |
Калькулятор уравнений баланса | Алгебра с пиццей | Формула начисления процентов для чайников |
запишите каждое десятичное число как дробь в простейшем калькуляторе формы | как рассчитать НОД | репетитор онлайн-решатель задач по алгебре |
упростить уравнения в квадрате | для поиска простых чисел с помощью команд Linux | Стратегии умножения и деления чисел. |
как решить квадратную формулу в калькуляторе TI-84 yahoo answer | Ответы из учебника по математике | нахождение общего знаменателя с тремя членами |
математические неравенства для второго класса | решатель факторного уравнения | решение однородных дифференциалов второго порядка |
Алгебра Холта 1 Техас | gre maths бесплатные вопросы о дробях и десятичных дробях | найти комплексные корни ti 89 |
найти область в квадратном уравнении | упростить рациональные функции с помощью синтетического деления | Калькулятор уравнения факторизации |
КАЛЬКУЛЯТОР УРАВНЕНИЙ БАЛАНСИРОВКИ | ti 89 титановые слайдеры Powerpoint с ручным управлением | бесплатных листа по алгебре для колледжа |
сделай домашнее задание по алгебре бесплатно | листы ответов по математике Эддисона Уэсли | самый простой способ найти GCf расширенных чисел |
Математика KS2 | упрости дробь 49/36 | упрощение идеального квадрата |
упрощение алгебраических выражений | Макдугал Литтел Такс Практика | таблица функций, 3 класс, рабочие листы |
Калькулятор уравнений балансировки | Расположите дробь в порядке от наименьшего к наибольшему | как решить поверхность клена |
Практика GMAT | БЕСПЛАТНОЕ объяснение темы по математике на SAT | генератор неявного дифференцирования |
скачать из путешествия | «Алгебра со словами» 6 класс | Издание для учителей алгебры во Флориде pdf |
пошаговый бесплатный онлайн интегральный калькулятор | квадратичная гипербола | решение математических задач (отрицательные показатели) |
бесплатная распечатка GED по математике | алгебра, используемая в реальной жизни | бесплатно скачать тест на управленческие способности старые документы |
ти-84 плюс графический калькулятор | упростить решатель радикалов | одновременное уравнение |
вычисление корней + алгебра | добавление | Как мы используем квадратные уравнения |
очень сложных математических вопроса/математические печатные формы | понимание рабочих листов по элементарной алгебре | помогите мне решить уравнение по алгебре бесплатно |
Базовый английский + Грамматика, ключ ответа | бесплатные распечатки для работы во 2 классе | как рассчитать наклон линии в TI-83 |
TI 83- радикалы | ответ на кратное 6 класс по математике | для изучения химической формулы для тех, кто плохо учится |
ПЛОЩАДЬ МАТЕМАТИКА | Планы уроков четвертого класса по квадратным числам | сат-репетиторы купертино |
умножение ответов Rational Expressions | сочинить математическое стихотворение со словом упростить | Калькулятор и рациональные выражения |
как факторизовать не квадратное уравнение | перестановки в реальной жизни | тетрадь с квадратными уравнениями |
| Рабочий лист с подстановкой | как построить график неравенства ti-84 | решение системы уравнений с анализом реальной жизни |
умножение положительных и отрицательных чисел рабочий лист | Список математических мелочей | пинг-вер |
рабочих листа со свободным соотношением | нужна бесплатная помощь, чтобы решить уравнения абсолютного значения | Алгебра факторинг ЖК рабочий лист |
Макдугал Литтел учебное пособие по биологии | калькулятор вероятности зависимый | Предварительная алгебра Техаса, ответы Прентиса Холла |
определение линейной независимости в дифференциальных уравнениях второго порядка | бесплатная алгебра среднего уровня | бесплатных печатных листа наименьшего общего знаменателя |
решетка 4 класс рабочий лист | сверхсложные задачи по алгебре | WWW. |
Бесплатная распечатка по математике для 7-го класса | уравнения с процентами | вопросник с ответом |
задачи по алгебре в колледже | как решить стандартную форму | ДОГАДКИ-VIII |
вычитание многочленов | учебник геометрии ответ | Калькулятор переменного факторинга |
учитель ансер книги гленко математика техас курс 2 | Калькулятор наибольшего общего делителя | сложение и вычитание просмотрите рабочие листы версии |
алгебра 2 комплексный подход глава 10 тест ответы | бесплатно 11+ тестовых работ онлайн | умножение многочленов в java |
практических задач, как найти дыры в графике рациональных функций | Java-калькулятор Polygon Edge | Предварительная алгебра математики 3 класса |
переписать ОДУ второго порядка в два ОДУ первого порядка — matlab | Калькулятор факторизации уравнений | Преобразовать в экспоненциальную форму и упростить. |
Рабочий лист факторинговых неравенств | код на фортране для решения полинома | бесплатных рабочих листа по алгебре в колледже |
запись в вершинной форме | Математика | упрощение алгебраических выражений «объединение одинаковых терминов» удаление скобок |
печатных рабочих листа экспоненты | чем отличается набор решений системы линейных уравнений от набора решений системы линейных неравенств? | gcse+алгебра+рабочие листы |
Руководство по реальным и комплексным решениям для анализа rudin | решать биномиальные задачи с помощью TI-83 | умножение подкоренных выражений |
Ti-30x IIs Калькулятор квадратичных формул инструкции | Контрольная по геометрии для 10 класса | простой вопрос о языковых навыках c с ответами |
ПРЕОБРАЗОВАТЬ ЧИСЛО В ДЕСЯТИЧНОЕ | упростить решатель рациональных выражений | алгебра множественное простое |
доалгебраические эквивалентные уравнения сложения | Программное обеспечение по алгебре для колледжа | самое сложное математическое уравнение в мире |
ti 83 решить линейные уравнения | решение линейных уравнений на ти-83 плюс | бесплатно сдал мимо mcqs по физике |
решать одновременные уравнения онлайн | уравнение кривой | основные понятия алгебры |
Алгебра «заметки о скалах» | с использованием распределительного свойства для дробей | Калькулятор тригонометрической подстановки |
как складывать и вычитать подкоренные выражения на графическом калькуляторе? | Элементарная математика и комбинации | Умножение биномов с листом алгебры |
Калькулятор деления многочлена | т 89 калькулятор онлайн | БЕСПЛАТНЫЙ калькулятор булевой алгебры |
стихотворения с математическими терминами | преобразовать сумму в целое число | как складывать и вычитать проценты |
алгебраический решатель с т-диаграммами и графиками | Java-программа для поиска корней полиномиальных уравнений | алгебра интернат помощь для чайников |
рабочий лист с бесплатными сатами за 6 год | онлайн алгебраический решатель | помощь с домашним заданием по алгебре в колледже |
практический тест дробей | формула для вычитания целых чисел | Макдугал Литтел — Радикалы геометрии |
переписать деление как умножение | ti 84 программа упрощения радикальных уравнений | расчетное решение в заказанной паре |
функция сложения и вычитания квадратного корня | высшие термины и дроби и рабочий лист | умножение и деление рациональных показателей |
mcdougal littell рабочий лист 3. | как сдать алгебру | вычесть квадратные уравнения |
как упростить корень | рабочие листы для 10 класса по алгебраическим выражениям | рабочих листа по решению системы неравенств |
Уроки 3 класса по сложению и вычитанию десятичных дробей | рабочих листа линейных уравнений бесплатно | бесплатное решение задач по алгебре |
рабочие листы по делению дробей для пятого класса | Лист практических задач по физике | бесплатные интерактивные игры, решающие системы уравнений по дополнению |
рабочий лист неравенства бесплатно | где взять scott foresman addison wesley онлайн листы практики для 5-го класса | упрощение экспоненциальных значений |
Математические уравнения | наибольший общий делитель, общий для чисел 10 и 40 | делящая алгебра |
6 класс IOWA TEST практика | Бесплатные рабочие листы для квадратных и кубических чисел | рабочие листы систем линейных уравнений |
лучшая книга по учету затрат | mcdougal littell курс три математических ответа | саксонская алгебра 2 издание для учителей бесплатные решения |
макдугал литтел алгебра 2 ответ | Алгебра 9 класс | Решение одновременных уравнений с 3 неизвестными в Matlab |
решить систему с помощью калькулятора подстановок | Программирование ti-84 для решения 2 из 3 переменных, заданных | список уравнений для GRE math |
как решить уравнение по алгебре | как решать точные задачи квадратного уравнения для y-пересечения | вопросов по java aptitude |
предварительная алгебра с рабочим листом | решение уравнений дробей умножить и разделить | решение систем с несколькими переменными на ti-89 |
отрицательное целое число и рабочий лист | вычисления определенного интеграла | калькулятор упрощения |
онлайн Т-83 калькулятор | преобразование погонных метров | триггерная диаграмма |
факторинг тик-так на | приложение уравнения баланса бесплатно | рабочих листа с переменными |
как рассчитать биномиальные ошибки | алгебраическая формула для бензина и пробега | онлайн полиномиальный решатель |
Алгебра 2 ответы | Каковы основные правила построения графика уравнения неравенства? | квадратный корень как дробь |
формула параболы | sloveequation. |
ГРАФИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА . COM
3 понимание вероятности