x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}
Умножьте -4 на -2.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}
Прибавьте 1 к 8.
x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}
Извлеките квадратный корень из 9.
x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}
Число, противоположное -1, равно 1.
x=\frac{1±3}{-4}
Умножьте 2 на -2.
x=\frac{4}{-4}
Решите уравнение x=\frac{1±3}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 3.
x=-1
Разделите 4 на -4.
x=\frac{-2}{-4}
Решите уравнение x=\frac{1±3}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 1.
x=\frac{1}{2}
Привести дробь \frac{-2}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.
x=-1 x=\frac{1}{2}
Уравнение решено.
\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)
Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-\frac{1}{2},0), так как деление на ноль не определено.
Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}
Упростите.
x=\frac{1}{2} x=-1
Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.
ЛЕКЦИЯ_6 — презентация онлайн
Похожие презентации:
Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости
Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости
Прямая на плоскости
Аналитическая геометрия
Прямая на плоскости
Уравнение прямой на плоскости
Прямая на плоскости
Прямая на плоскости
Уравнение прямой на плоскости
Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Прямая на плоскости
Лекция 6. Простейшие
формулы из геометрии.
Прямая на плоскости
1. Метод координат на плоскости.
2. Уравнение линии.
3. Различные виды уравнения прямой.
4. Угол между двумя прямыми на плоскости.
плоскости.
п.1. Метод координат на плоскости.
Суть метода: замена геометрических понятий
и фактов алгебраическими соотношениями
через координаты.
Основные формулы
1) Расстояние между двумя точками на
плоскости.
M1( x1; y1), M 2 ( x2 ; y2 ).
d M1M 2
x2 x1 y2 y1 .
2
2
2) Деление отрезка в данном отношении.
M(x;y)
M1( x1; y1), M 2 ( x2 ; y2 ),
M 1M
.
MM 2
x1 x2
x
,
1
y1 y2
y
.
1
Доказательство с помощью теоремы Фалеса.
Если
M1M MM 2 , т.е. M ─ середина отрезка
M1M 2 , то 1.
x1 x2
x
,
2
y1 y2
y
.
2
п.2. Уравнение линии.
Уравнение
F ( x, y ) 0,
связывающее x и y, называется уравнением
некоторой линии L, если этому
уравнению удовлетворяют координаты любой
удовлетворяют координаты никакой точки, не
лежащей на L.
Замечание 1. Чтобы определить, принадлежит
ли некоторая точка M ( x0 ; y0 ) заданной
линии L : F ( x, y ) 0, следует подставить
координаты точки M в уравнение линии L .
Если F ( x0 , y0 ) 0, то M принадлежит L,
иначе M не принадлежит L.
Пример. Определите, лежит ли точка M (3;4)
на окружности
( x 1) ( y 2) 9.
2
2
Решение. Так как
(3 1) (4 2) 4 36 40 9,
2
2
то M не лежит на данной окружности.
Замечание 2. Чтобы определить координаты
точки пересечения двух линий L1 : F1 ( x, y) 0
и L2 : F2 ( x, y) 0, следует решить систему
уравнений:
F1 ( x, y ) 0,
F2 ( x, y ) 0.
Пример. Найти количество точек
пересечения прямой y 2 x и окружности
2
2
( x 1) ( y 2) 9.
Решение. Решим систему уравнений
y 2 x,
( x 1) 2 ( y 2) 2 9;
( x 1) (2x 2) 9;
2
2
5x 6x 4 0.
2
Т.к. D>0, то система имеет два решения, т.е.
линии пересекаются в двух точках.
п.3. Различные виды уравнения
прямой.
Угол наклона прямой ─ это угол, на который
нужно повернуть ось Ox, чтобы положительное
направление совпало с одним из направлений
прямой.
y
Угловой коэффициент:
k tg
x
1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
NM
M ( x; y )
tg
BN
y b
N
y kx b
y b
k
x
2) Уравнение прямой, проходящей через
данную точку, с данным угловым
коэффициентом.
y
M ( x1; y1)
0
y kx b
x
y1 kx1 b b y1 kx1
y y1 k ( x x1)
3) Уравнение прямой, проходящей через
две данные точки.
y
M1( x1; y1 )
y y1 k ( x x1)
M 2 ( x2 ; y2 )
x
y2 y1 k ( x2 x1)
y2 y1
k
x2 x1
y y1
x x1
y2 y1 x2 x1
Замечание 1.
Если y1 y2 , то y y1 || Ox.
Если x1 x2 , то x x1 || Oy .
4) Уравнение прямой «в отрезках».
y
B
(
0
;
b
)
b
0
a
A(a;0)
x
x y
1
a b
5) Общее уравнение прямой.
Теорема. В прямоугольной системе координат
любая прямая задается уравнением первой
степени
(1)
Ax By C 0
и, обратно, уравнение (1) при произвольных
коэффициентах А, В, С (А и В одновременно
не равны нулю) определяет некоторую прямую
в прямоугольной системе координат Oxy.
Замечание 3. Вектор, параллельный данной
прямой, называется направляющим вектором
этой прямой.
Если прямая задана общим уравнением
Ax By C 0,
то вектор
l ( B, A)
является направляющим вектором этой
прямой.
Замечание 4. Вектор, перпендикулярный
данной прямой, называется нормальным
вектором этой прямой.
Если прямая задана общим уравнением
Ax By C 0,
то вектор
n ( A, B)
является нормальным вектором этой прямой.
A( x x0 ) B( y y0 ) 0
— уравнение прямой, проходящей через
данную точку перпендикулярно данному
вектору.
6) Расстояние от точки до прямой.
y
M ( x0 ; y0 )
d
d
0
x
Ax By C 0
Ax0 By 0 C
A B
2
2
п.4. Угол между двумя прямыми на
плоскости.
L1 : y k1x b1
k1 tg 1
L2 : y k2 x b2
k2 tg 2
Угол между прямыми L1 и L2 ─ это угол, на
который нужно повернуть против часовой
стрелки прямую L1 до совпадения с прямой L2 .
0
2 1
tg tg ( 2 1)
k 2 k1
tg
1 k1k 2
tg 2 tg 1
1 tg 1tg 2
k 2 k1
tg
1 k1k 2
L1 || L2 0 tg 0
k1 k2
─ условие
параллельности
1 k1k 2
ctg
k 2 k1
L1 L2
1 k1k2 0
k1
k2
ctg 0
2
─ условие
перпендикулярности
Пример.
Составить общее уравнение прямой,проходящей через точку M(3,-1) и
перпендикулярной прямой
y 2 x 1.
Решение.
1-й способ.
l1 : y 2 x 1
M
l1
k1 2.
l
Учитывая условие
перпендикулярности
1
k .
2
Воспользуемся уравнение из пункта 2)
1
l : y 1 ( x 3)
2
x 2 y 1 0.
2-й способ.
l1 : y 2 x 1, 2 x y 1 0.
Направляющий вектор прямой l1
(1, 2)
является нормальным вектором прямой l.
Тогда
l:
1( x 3) 2( y 1) 0,
x 2 y 1 0.
п.5. Взаимное расположение двух
прямых на плоскости.
L1 : A1x B1 y C1 0
L2 : A2 x B2 y C2 0
A1x B1 y C1 0,
A2 x B2 y C2 0.
y
A1 B1
A2 B2
M ( x; y)
0
x
прямые пересекаются
y
0
A1 B1 C1
A2 B2 C2
x
прямые параллельны
y
0
A1 B1 C1
A2 B2 C2
x
прямые совпадают
English Русский Правила
3-8Предварительное вычисление по алгебре — Решите уравнение $|2x-1| -|х+5| = 3$
Спросил
Изменено 6 лет, 4 месяца назад
Просмотрено 4k раз
$\begingroup$
Задача: решить уравнение $|2x-1| — |х+5| = 3$
В моей попытке решить проблему мне удалось получить только одно из решений.
Попытка решения
$$\begin{equation} \начать{разделить} |х|-|у| & \leq |х-у| \\ \подразумевает |2x-1| — |х+5| & \leq |(2x-1)-(x+5)| \\ \подразумевает 3 &\leq |x-6| \\ \подразумевает 3 &= |x-6| \\ \ подразумевает (x = 9) \ & \lor \ (x = 3 \ (\text{Отклонить})) \\ \подразумевает х &= 9 \конец{разделить} \end{уравнение} $$
Однако вставка правильного набора решений в это уравнение равна $x \in \{-\frac{7}{3}, 9\}$. Почему моя попытка решения не достигает $-\frac{7}{3}$ как одного из возможных решений? Кроме того, как бы вы подошли к решению проблемы такого рода?
- алгебра-предварительное исчисление
- неравенство
- абсолютное значение
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Помните, что $|x|=\begin{cases}x&\text{if}~x\geq 0\\ -x&\text{if}~x<0\end{cases}$
Теперь попробуем чтобы переписать исходное выражение без знаков абсолютного значения.
Для этого мы спрашиваем себя, когда нам нужно изменить знак для каждого? В каких регионах нам нужно будет изменить знак $|2x-1|$? Знак $|x+5|$?
$2x-1<0$, когда $x<\frac{1}{2}$.
$x+5<0$, когда $x<-5$
Итак, мы видим, что выражение можно записать без знаков абсолютного значения, если разбить его на следующие три области: case 1:$x<-5$, case 2: $-5\leq x<\frac{1}{2}$, и случай 3: $\frac{1}{2}\leq x$
$|2x-1|-|x+5| = \begin{case} -(2x-1)-(-(x+5))&\text{когда}~x<-5\\ -(2x-1)-(x+5)&\text{когда}~-5\leq x<\frac{1}{2}\\ (2x-1)-(x+5)&\text{когда}~\frac{1}{2}\leq x\end{cases}$
Установив каждое из них равным трем и найдя $x$ по отдельности, а затем проверив, что такое значение $x$ лежит в соответствующем регионе, вы закончите задачу.
$\endgroup$
$\begingroup$
Потому что $|2x-1|-|x+5|$ равно $\leq |(x+5) — (2x-1)|$. (Умножение на $-1$ не меняет абсолютное значение.
..)
Общий метод таков:
- $x+5$ неотрицательно для $x \geq -5$ и отрицательно для $x <-5$. г.
- $2x-1$ неотрицательно при $x \geq 1/2$ и отрицательно при $x < 1/2$.
- На интервале $(-\infty,-5)$ оба числа отрицательны, поэтому мы решаем $$ |2x-1|-|x+5| = -(2x-1)—(x+5) = -x + 6 = 3 \text{,} $$, поэтому $x = 3$, но этого нет в $(-\infty, -5)$ , поэтому мы отвергаем его.
- На интервале $[-5,1/2)$ решаем $$ |2x-1|-|x+5| = -(2x-1)-(x+5) = -3x — 4 = 3 \text{,} $$, поэтому $x = -7/3$, что находится в $[-5,1/2)$ .
- На интервале $[1/2,\infty)$ решаем $$ |2x-1|-|x+5| = (2x-1)-(x+5) = x — 6 = 3 \text{,} $$, поэтому $x = 9$, который находится в $[1/2,\infty)$.
Таким образом, набор решений равен $\{-7/3,9\}$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Выражения $2x-1$ и $x+5$ могут принимать положительные, нулевые и отрицательные значения.