Уравнение квадратное с ответом: Задачи с квадратными уравнениями — задачи с решениями

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х₁= 3      х₂= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x²+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b²–4ac = 8²–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х₁= 8   х₂= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x²–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b²–4ac =(–22)²–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х₁= 11  и   х₂= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x²–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b²–4ac =(–8)²–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x²–16 = 0     =>   4x² =16     =>   x² = 4    =>      x₁ = 2     x₂ = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x²–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x₁ = 0     x₂ = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x²–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x²+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² + (а² +1)∙х+ а= 0    = >   х₁= –а    х₂= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х² +37х+6 = 0.

х₁= –6    х₂= –1/6.

2. Если в уравнении ax² – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² – (а² +1)∙х+ а= 0      = >   х₁= а    х₂= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х² –226х +15 = 0.

х₁= 15    х₂= 1/15.

3. Если в уравнении ax² + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a² – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx² + (а² –1)∙х – а= 0    = >    х₁= – а    х₂= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х² +288х – 17 = 0.

х₁= – 17    х₂= 1/17.

4. Если в уравнении  ax² – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а² – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² –  (а² –1)∙х – а= 0      = >   х₁=  а    х₂= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²– 99х –10 = 0.

х₁= 10    х₂= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх² + bx + c = 0   имеет корни  х₁  и  х₂, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х²– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х² – 11х+5 = 0  (1)      =>     х² – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х₁ = 10  х₂ = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х² «перебрасывали» двойку), получим

х₁ = 5  х₂ = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х²:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х₁ = 5  х₂ = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x²— 45x = 0  или  15х+42+9x²— 45x=0  или   15 -5x+10x² = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Решение задач с помощью квадратных уравнений . 9 класс

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. «Решение задач с помощью квадратных уравнений »

2.

3. Актуальность темы:

4. Что такое квадратное уравнение?

6. Виды квадратных уравнений

7.

8. Полные квадратные уравнения

9. Неполые квадратные уравнения

10. Задача

11. Решение задачи 1

12. Задача 2

13. Решение задачи 2

14. Буклет

15. Заключения

16. «Решение задач с помощью квадратных уравнений »

English     Русский Правила

Как найти решение квадратного уравнения

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →

Алгебра 1 Помощь » Уравнения / Неравенства » Системы уравнений » Квадратные уравнения » Как найти решение квадратного уравнения

Решить x.

Возможные ответы:

x = –6, –3

x = 6, 3

x = –9, –2

не может быть основан на группировке

x = –2

Правильный ответ:

х = –6, –3

Пояснение:

1) Это относительно стандартное квадратное уравнение. Перечислите и добавьте коэффициенты 18.

1 + 18 = 19

2 + 9 = 11

3 + 6 = 9

2) Вытяните общие делители каждой пары, «x» из первой и «6» из второй.

3) Снова разложите на множители, вытащив «(x+3)» из обоих членов.

4) Приравнять каждый член к нулю и решить.

x + 3 = 0, x = –3

x + 6 = 0, x = –6

Сообщить об ошибке

Найдите x.

Возможные ответы:

x = –4

x = –1

x = 2, 4

x = 1

х = 4

Правильный ответ:

х = –1

Объяснение:

1) После добавления одинаковых членов и установки уравнения равным нулю ближайшим следующим шагом в решении любого квадратного уравнения является упрощение. Если коэффициенты всех трех слагаемых имеют общий множитель, вытяните его. Итак, продолжайте и разделите обе части (и, следовательно, ВСЕ члены с ОБЕИХ сторон) на 4.

Поскольку ноль, разделенный на четыре, по-прежнему равен нулю, меняется только левая часть уравнения.

2) Либо сгруппируйте, либо используйте квадратный трюк.

Группировка:

1 + 1 = 2

(«1» убрали только для того, чтобы прояснить следующий шаг факторизации.)

x + 1 = 0, x0 = –1

OR

Perfect Square:

x = –1

Сообщить об ошибке

Найти x.

Возможные ответы:

x = 4, –1/4

Нельзя разложить по группам

x = –4, 4

x = –1/4

x = –1, 1 х = 4, –1/4

Объяснение:

1) Квадратичные числа, как правило, легче понять, если они указаны в порядке убывания степени. Другими словами, нам нужно переставить уравнение.

2) Никакое другое упрощение невозможно, так как нет общих множителей между 15 и 4. Умножьте первый коэффициент на последний член и перечислите множители.

4 * –4 = –16

Коэффициенты –16 включают:

–1 + 16 = 15

1 + –16 = –15

.

4) Фактор путем извлечения наибольшего общего делителя из каждой пары терминов, «x» из первого и «-4» из второго.

5) Вычтите «4x+1» из обоих членов.

6) Приравняйте обе части к нулю и решите.

х – 4 = 0, х = 4

4x + 1 = 0, x = –1/4

Сообщить об ошибке

Найти x.

Возможные ответы:

Нет решения

Правильный ответ:

Объяснение:

Это можно сделать двумя способами.

Глядя на , a = 7, b = –4 и c = 13. Подставьте эти значения в квадратное уравнение, чтобы найти x.

Обратите внимание.

Вынесите два из них, затем сократите эти два и разделите члены.

Это наш ответ первым способом.

Другой метод решения включает в себя завершение квадрата.

Вычтите 13 с обеих сторон.

Разделите 7 на обе стороны.

Возьмите -4/7 из x-члена, разрежьте его пополам, чтобы получить -2/7. Возведите в квадрат это -2/7, чтобы получить 4/49. Наконец, прибавьте 4/49 к обеим сторонам

Умножьте левую часть на множители и упростите правую.

Квадратный корень и прибавьте 2/7 к обеим сторонам.

Не забудьте написать через «i».

Обратите внимание, что мы должны найти один и тот же ответ любым методом.

Сообщить об ошибке

Билли на несколько лет старше Джонни. Билли старше Джонни более чем в два раза, а их возраст, перемноженный вместе, дает девяносто один год. Когда Билли будет в 1,5 раза старше Джонни?

Возможные ответы:

Когда Джонни 12, а Билли 18

Когда Джонни 14, а Билли 21

Когда Джонни 7, а Билли 13 Джонни 2 года, а Билли 3 года

Правильный ответ:

Когда Джонни 12 лет, а Билли 18 лет

Объяснение:

1) Прежде чем мы сможем вычислить, когда Билли будет в 1,5 раза старше Джонни, мы должны вычислить их текущий возраст. Итак, давайте определим наши переменные с точки зрения первой части вопроса.

B = возраст Билли и J = возраст Джонни

Решить проще, если мы представим одну переменную через другую. Если бы Билли был вдвое старше Джонни, мы могли бы записать его возраст как B = 2J.

Но Билли на один меньше чем в два раза старше Джонни, поэтому B = 2J – 1

2) Мы знаем, что два возраста мальчиков перемножаются вместе, чтобы получить девяносто один.

B * J = J(2J – 1) = 91

3) Теперь у нас есть факторизованный квадратичный. Нам просто нужно умножить это и установить все равным нулю, чтобы начать.

4) Теперь нам нужно вернуться к фактору. Начнем с умножения первого коэффициента на последний член и перечисления факторов.

2 * –91 = –182

1 + –182 = –181

2 + –91 = –89

7 + –26 = –19

13 + –14 = –1

5 Разделить вверх по среднему члену, чтобы можно было разложить по группам.

6) Разложить по группам, вытащив «2J» из первого набора терминов и «13» из второго.

7) Вынесите «(J-7)» из обоих терминов.

8) Приравняйте обе скобки к нулю и решите.

2J + 13 = 0, J = –13/2

J – 7 = 0, J = 7

Очевидно, работает только одно из двух решений, поскольку возраст Джонни должен быть положительным. Джонни 7, поэтому Билли 2(7) – 1=13. Но мы еще не закончили!

9) Нам нужно выяснить, в какой момент Билли будет в 1,5 раза старше Джонни. Угадать и проверить было бы довольно эффективным способом решения этой задачи, но составление уравнения было бы еще быстрее. Однако сначала нам нужно выяснить, что представляет собой наша переменная. Мы знаем текущий возраст Билли и Джонни; нам просто нужно выяснить их будущий возраст. Одна переменная всегда лучше двух, поэтому вместо использования двух разных переменных для представления их соответствующего будущего возраста мы будем использовать одну переменную для представления количества лет, которые мы должны добавить к каждому из их текущих возрастов, чтобы сделать Билли 1,5 года. раз старше Джонни. Назовем эту переменную «x».

1,5(J + x) = B + x

Мы знаем значения J и B, поэтому мы можем продолжить и заполнить их.

1,5(7 + x) = 13 + x

10) Тогда мы решаем для x алгебраически, с обратным порядком операций.

10,5 + 1,5x = 13 + x

0,5x = 2,5

x = 5

J = 7 + 5 = 12

B = 13 + 5 = 18

0 Сообщить об ошибке 0 решения следующего квадратного уравнения:

Возможные ответы:

Ничего из перечисленного

Правильный ответ:

Объяснение:

Это требует использования квадратичной формулы. Напомним, что:

 для .

Для этой задачи .

Итак,

.

.

Таким образом, есть два решения:

Сообщить об ошибке

Решить для .

Возможные ответы:

Нет решения

Правильный ответ:

. Правильная Ответ:

. Объяснение:

Отчет о ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 5 Следующий →

Копа 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Предварительное исчисление по алгебре — Дополнительные решения квадратных уравнений, которые не соответствуют формуле ответа. 92 — 4.1.896 $, что составляет 10816 — 3584 = 7232.

Используя квадратичную формулу, дискриминант равен 7232, а используя квадратичную формулу, ответ равен

$$ -104 \pm \sqrt{7232} \over 2 $$

Это упрощается до $ -72 \pm 4 \sqrt{113} $.

Проблема в том, что я не нашел ничего, что объясняло бы, почему, если вы подставите x = 8 в уравнение, оно также уравновесится. То, что я обнаружил, предполагает, что x = 8 является ответом на уравнение, но не фактором и, следовательно, не решением, но я действительно не понимаю сути.

Любые ссылки, поясняющие различие, помогут. У меня есть бесконечное количество этих уравнений, на которые я ищу целочисленные ответы, поэтому, если указанная ссылка также укажет, как вы можете получить целочисленные ответы, такие как 8 в этом случае, вместо иррационального, обеспечиваемого квадратичной формулой, это было бы здорово .

• алгебра-предварительное исчисление
• полиномы
• квадратичные формы
• квадратичные формы

$\endgroup$

3 92 — 4(-896)}}{2} =\frac{-104 \pm\sqrt{14400}}{2} = \frac{-104 \pm 120}{2}.$$ Это дает $x = 8$ или $-112$.

Кажется, проблема в ваших вычислениях заключалась в том, что вы забыли минус в $896$, когда подставляли его в квадратичную формулу.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Не могу комментировать, но вы явно ошиблись в своих расчетах.