Лекция по математике тема: «Логарифмические уравнения»
Лекция
Тема: Логарифмические уравнения
План
1. Определение логарифмического уравнения
2. Решение простейших уравнений
3. Потенцирование.
4. Cведение уравнений к виду log af(x) = log ag(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
5. Уравнения вида Alog af(x) + Blog bg(x) + C = 0.
6. Введение новой переменной
Определение логарифмического уравнения
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида loga x = b (где а>0, и а ≠1).
Функция у=log a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке
(0;
+∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения.
Решение простейших уравнений
Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:
log a x = b, a > 0, a ¹ 1.
log a f(x) = b, a > 0, a ¹ 1.
logf(x) b = c, b > 0.
Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:
если logb a = c, то a = bc.
Пример 2.1.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.
Уравнения вида logaf(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе
Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.
Пример 2.2. log3(5х – 1) = 2.
Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log3(5х– 1) = 2, log3(5х – 1) = log332, 5х — 1 =9,
х = 2. Ответ: 2.
Пример 2.3.
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:
Применим
правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 =
3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные
значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.
е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит,
являются его корнями.
Ответ. х1 = –1, х2 = 2.
Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения
проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.
Пример 2.4. logx–19 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Ответ. x = 4.
Потенцирование.
Суть метода заключается в переходе от уравнения
log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно
не равносильно исходному.
Уравнения вида loga
На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).
Переход от уравнения logaf(x) = logag(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.
Нужно отметить, что при
таком переходе может нарушиться равносильность уравнения.
В данном уравнении f(x)
> 0, g(x)
> 0, а в полученном
после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и
отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x)
= g(x)
нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения.
Остальные корни будут посторонними.
Пример 3.1 log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств
Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,
х2 – х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.
Cведение
уравнений к виду log af(x)
= log ag(x) с помощью свойств логарифмов по одному
основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log af(x) = log ag(x) используются следующие свойства логарифмов:
· logb a + logb c = logb(ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b ¹ 1,
· logb a – logb c = logb(a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b ¹ 1,
· m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b ¹ 1; mÎR.
Пример 4. 1. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств
Применяя преобразования, приходим к уравнению
log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,
log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3.
Учитывая
область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.
Пример 4.2.
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство
(3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.
Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма
(х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.
Ответ. х = –4.
Пример
4. 3. log
Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.
Ответ. х = 2.
Уравнения
вида Alog af(x)
+ Blog bg(x)
+ C = 0.
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:
Пример 5.1.
Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим
Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.
Пример 5.2.
Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).Ответ. х = 6.
Пример 5. 3.
Решение. Область определения уравнения x > –1, x ¹ 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).
Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ¹ 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)–1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и
x =
2.
Ответ. x =
2..
Введение новой переменной
Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.
Уравнения видагде a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.
Пусть t = loga f(x), tÎR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
Пример 6. 1. lg 2 x – lgx – 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.
Уравнение примет
вид t 2 – t – 6 = 0.
Его корни t1 = –2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Пример 6. 2.
Решение. Найдём область определения уравнения
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
Введём новую переменную t = log3 (–x), tÎR. Квадратное уравнение
t 2 – 4t + 4 = 0имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.
Уравнения
вида где a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа , A¹0, В¹0.
Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) ¹0. Учитывая, что loga f(x)× logf(x) a=1
(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение
Замена loga f(x)=t, tÎR приводит его к квадратному At2 + Ct + B = 0.
Из уравнений loga f(x)= t1 , logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f(x)
> 0, f(x)
¹1.
Пример.6.3
Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 ¹ 1, т.е. x >–2, x ¹ –1.Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) ¹0, получим
или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению t 2 – t – 2 = 0, t1 = –1, t2 =2.
Возвращаемся к первоначальной переменной:
log5 (x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,
log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.
Оба корня принадлежат области определения уравнения.
Ответ: x = –9/5, x = 23.
Упражнения для закрепления материала
Решить уравнения
1); 2); 3);
4); 5);
Контрольные вопросы
1.
Сформулировать определение логарифмического уравнения.
2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений
Литература
1.Ш.А.Алимов, стр.105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279 3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2
Логарифмические уравнения: решения от эксперта
К числу типовых задач, предлагаемых на вступительных (конкурсных) испытаниях, являются задачи, связанные с решением логарифмических уравнений. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства логарифмов и иметь навыки их применения.
В настоящей статье сначала приводятся основные понятия и свойства логарифмов, а затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений.
Основные понятия и свойства
Первоначально приведем основные свойства логарифмов, использование которых позволяет успешно решать относительно сложные логарифмические уравнения.
Основное логарифмическое тождество записывается в виде
, (1)
где , и .
К числу наиболее известных свойств логарифмов относятся следующие равенства:
1. Если , , и , то , ,
, .
2. Если , , , и , то .
3. Если , , и , то .
4. Если , , и натуральное число, то
.
5. Если , , и натуральное число, то
6. Если , , и , то .
7. Если , , и , то .
Более сложные свойства логарифмов формулируются посредством следующих утверждений:
8. Если , , , и , то
.
9. Если , , и , то
.
10. Если , , , и , то
.
Доказательство последних двух свойств логарифмов приведено в учебном пособии автора «Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной математики» (М.
: Ленанд / URSS, 2014).
Также следует отметить, что функция является возрастающей, если , и убывающей, если .
Рассмотрим примеры задач на решение логарифмических уравнений, расположенных в порядке возрастания их сложности.
Примеры решения задач
Пример 1. Решить уравнение
. (2)
Решение. Из уравнения (2) имеем . Преобразуем уравнение следующим образом: , или .
Так как , то корнем уравнения (2) является .
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение
. (3)
Решение. Уравнение (3) равносильно уравнениям
, или .
Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение
.
(4)
Решение. Из уравнения (4) следует, что . Используя основное логарифмическое тождество (1), можно записать
или .
Если положить , то отсюда получаем квадратное уравнение , которое имеет два корня и . Однако , поэтому и подходящим корнем уравнения является лишь . Так как , то или .
Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение
. (5)
Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (5) являются .
Пусть и . Так как функция на области определения является убывающей, а функция возрастает на всей числовой оси , то уравнение не может иметь более одного корня.
Подбором находим единственный корень .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение.
Если обе части уравнения прологарифмировать по основанию 10, то
, или .
Решая квадратное уравнение относительно , получаем и . Следовательно, здесь имеем и .
Ответ: , .
Пример 6. Решить уравнение
. (6)
Решение. Воспользуется тождеством (1) и преобразуем уравнение (6) следующим образом:
, или .
Далее обе части уравнения прологарифмируем по основанию 5 и получим или и .
Ответ: , .
Пример 7. Решить уравнение
. (7)
Решение. Принимая во внимание свойство 9, имеем . В этой связи уравнение (7) принимает вид
или .
Отсюда получаем или .
Ответ: .
Пример 8.
Решить уравнение
. (8)
Решение. Воспользуемся свойством 9 и перепишем уравнение (8) в равносильном виде .
Если затем обозначить , то получим квадратное уравнение , где . Так как уравнение имеет только один положительный корень , то или . Отсюда следует .
Ответ: .
Пример 9. Решить уравнение
. (9)
Решение. Так как из уравнения (9) следует , то здесь . Согласно свойству 10, можно записать .
В этой связи уравнение (9) будет равносильно уравнениям
, , или .
Отсюда получаем корень уравнения (9).
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение
. (10)
Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (10) являются .
Согласно свойству 4 здесь имеем
. (11)
Так как , то и уравнение (11) принимает вид квадратного уравнения , где . Корнями квадратного уравнения являются и .
Поскольку , то и . Отсюда получаем и .
Ответ: , .
Пример 11. Решить уравнение
. (12)
Решение. Обозначим , тогда и уравнение (12) принимает вид
или
. (13)
Нетрудно видеть, что корнем уравнения (13) является . Покажем, что данное уравнение других корней не имеет. Для этого разделим обе его части на и получим равносильное уравнение
. (14)
Так как функция является убывающей, а функция возрастающей на всей числовой оси , то уравнение (14) не может иметь более одного корня. Так как уравнения (13) и (14) равносильные, то уравнение (13) имеет единственный корень .
Поскольку , то и .
Ответ: .
Пример 12. Решить уравнение
. (15)
Решение. Обозначим и . Так как функция убывает на области определения , а функция является возрастающей для любых значений , то уравнение не может иметь боде одного корня. Непосредственным подбором устанавливаем, что искомым корнем уравнения (15) является .
Ответ: .
Пример 13. Решить уравнение
. (16)
Решение. Используя свойства логарифмов, получаем
.
Так как , то и имеем неравенство
.
Полученное неравенство совпадает с уравнением (16) только в том случае, когда или .
Подстановкой значения в уравнение (16) убеждаемся в том, что является его корнем.
Ответ: .
Пример 14. Решить уравнение
. (17)
Решение. Так как здесь , то и уравнение (17) принимает вид .
Если положить , то отсюда получаем уравнение
, (18)
где . Из уравнения (18) следует: или . Так как , то уравнение имеет один подходящий корень . Однако , поэтому и .
Ответ: .
Пример 15. Решить уравнение
. (19)
Решение. Обозначим , тогда и уравнение (19) принимает вид . Если данное уравнение прологарифмировать по основанию 3, то получим
, или
.
Отсюда следует, что и . Поскольку , то и . В этой связи и .
Ответ: , .
Пример 16. Решить уравнение
. (20)
Решение. Введем параметр и перепишем уравнение (20) в виде квадратного уравнения относительно параметра , т.е.
. (21)
Корнями уравнения (21) являются
или , . Так как , то имеем уравнения и . Отсюда получаем и .
Ответ: , .
Пример 17. Решить уравнение
. (22)
Решение. Для установления области определения переменной в уравнении (22) необходимо рассмотреть совокупность трех неравенств: , и .
Применяя свойство 2, из уравнения (22) получаем
или
. (23)
Если в уравнении (23) положить , то получим уравнение
.
(24)
Уравнение (24) будем решать следующим образом:
, или
.
Отсюда следует, что и , т.е. уравнение (24) имеет два корня: и .
Так как , то , или , .
Ответ: , .
Пример 18. Решить уравнение
. (25)
Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнение (25) следующим образом:
,
,
,
,
, ,
, , .
Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 19. Решить уравнение
. (26)
Решение. Так как , то .
Далее, имеем . Следовательно, равенство (26) выполняется только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 2.
Таким образом, уравнение (26) равносильно системе уравнений
Из второго уравнения системы получаем
, или .
Нетрудно убедиться, что значение удовлетворяет также и первому уравнению системы.
Ответ: .
Для более глубокого изучения методов решения логарифмических уравнений можно обратиться к учебным пособиям из списка рекомендуемой литературы.
Рекомендуемая литература
1. Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта, книга 1, 1995. – 576 с.
2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2014. – 216 с.
4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности.
– М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 200 с.
5. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Как решить логарифмическое уравнение в исчислении
Автор: adminОпубликовано
Вы будете работать со многими компонентами для решения логарифмических уравнений. Вот некоторые из них с краткой информацией о функциях каждого из них.
Показатель степени — это небольшое выпуклое число рядом с большим числом в уравнении. Меньшее число показывает, во сколько раз большее число умножается само на себя.
Маленькая выпуклая цифра 2 показывает, что большее число умножается само на себя дважды. Число, умноженное само на себя дважды, может быть равно 4 во второй степени или четырем в квадрате.
Переменная — это символ неизвестного числа. Линейные уравнения могут иметь множество значений, которые можно использовать вместо переменной. Однако большинство переменных решаются с одним значением.
Переменная F представляет график функции. График функции представляет все точки в f(x). Вы также можете называть график функции графиком уравнения.
Когда вы смотрите на уравнение прямой линии (например, y равно mx плюс b), точка пересечения с y — это место, где линия проходит через вертикальную ось y. В y равно mx плюс b, b — точка пересечения с осью y, наклон равен m, а переменная m умножается на переменную x.
В месте, где график пересекает ось X, появляется точка пересечения с осью x. Точка пересечения с х также является точкой на графике, которая показывает переменную х как ноль.
Обзор логарифмических уравнений
Задача с одним логарифмом в каждой части уравнения, имеющего одинаковое основание, позволяет использовать одинаковые аргументы. Выражения M и N являются аргументами в следующем описании:
Log b M равно Log b N ведет к M равно N
Задача с логарифмом в одной части уравнения. Вы можете использовать показательное уравнение, чтобы найти ответ.
Log B M Equalls n Приведен к M Equals B N
Пример № 1
Решить эту проблему:
Log 3 (x) плюс log 3 (x -2) равны равновесие. Журнал 3 (x плюс 10)
Объедините аргументы журнала в левой части в один логарифм с помощью правила продукта. Вам нужно одно логарифмическое выражение для обеих сторон уравнения. X будет иметь степень двойки, поэтому вам нужно будет решить квадратное уравнение.
Вы получаете Log 3 [(x) (x минус 2)] равно Log 3 (x плюс 10). Теперь уплотните (x) (x-2) = x в квадрате минус 2x. Тогда вы получите Log 3 (x в квадрате минус 2x) равно Log 3 (x плюс 10)
Избавьтесь от журналов и установите аргументы внутри скобок так, чтобы они совпадали друг с другом.
X в квадрате минус 2x равно x плюс 10
Теперь используйте метод факторизации, чтобы закончить квадратное уравнение. Переместите всю информацию в одну сторону и сделайте противоположную сторону нулевой.
X в квадрате минус 3x минус 10 равно нулю
(x минус 5) (x плюс 2) равно нулю
Теперь приравняем каждый множитель к нулю и решим x. Х минус 5 равно нулю означает, что х равно 5. Х плюс 2 равно нулю означает, что х равно минус 2. Х равно 5 и Х равно минус 2 — вот ответы, которые мы можем использовать. Теперь проверьте ответы, чтобы убедиться, что они верны.
Поместите ответы обратно в первое l огарифмическое уравнение, чтобы проверить их достоверность.
Для x равно 5, Log 3 (5) плюс Log 3 (5-2) равно Log 3 (5 плюс 10)
Log 3 (5) плюс Log 3 (3) равно Log 4
3 )
Это правильный ответ. X равно минус 2 дает нам несколько отрицательных чисел в скобках, а логарифм нуля и отрицательных чисел в уравнении делает минус 2 неправильным ответом.
Пример #2
Решите следующую задачу: ½ log (X в четвертой степени) минус log (2x минус 1) равно log (x в квадрате) плюс log (2).
Журнал без письменной базы имеет основание 10. Основание 10 — это десятичный логарифм. Сожмите обе части уравнения в один журнал. Слева будет применено правило отношения (разность журналов), а справа — правило произведения (сумма журналов).
Обратите внимание на коэффициент ½ слева. Вам нужно будет использовать степенное правило и увеличить коэффициент на ½ в обратном порядке.
Log (по основанию), M в степени k равно K, умноженному на log (по основанию) M, затем ½ log (X в четвертой степени) минус log (2x минус 1) равно log (x в квадрате) плюс log (2)
Теперь используйте ½ в качестве показателя степени слева.
Лог (х в четвертой степени) в половине степени минус логарифм (2х минус 1) равно логарифму (х во второй степени) плюс логарифм (2).
Теперь упростите экспоненту до log (x в квадрате) минус log (2x минус 1) равно log (x в квадрате) плюс log (2) Теперь уплотните log, используя правило произведения справа и правило частного слева.
Log (x в квадрате на 2x минус один) равно log (2x во второй степени)
Можно показать, что если у нас одинаковая база в наших уравнениях (база 10), мы можем показать, что они равны друг друга. Теперь отбросьте журналы и поместите аргументы в скобки.
X в квадрате 2x минус 1 равно 2x в квадрате
Используйте перекрестное произведение для решения рационального уравнения. Чтобы получить краткий окончательный ответ, выделите фактор, переместив все члены в одну часть уравнения. Приравняйте каждый множитель к нулю, а затем решите x. X равно ¾ — один из возможных ответов, x равен нулю — другой.
Проверьте возможные ответы.
X равно нулю вводит в уравнение неопределенный нулевой логарифм, что неверно. X равно 3,4 — единственное решение.
Скорректируйте расписание занятий, чтобы получать более высокие оценки
Учащиеся, которые постоянно получают отличные оценки по математическому анализу или геометрии, делают это потому, что занимаются ежедневно и проявляют постоянный интерес к своим классным и домашним заданиям. Установите режим учебы, выбрав тихое место, где вы сможете читать и практиковаться в решении задач в одно и то же время каждый день (или хотя бы несколько раз в неделю).
Добавляйте в закладки математические веб-сайты и видеоролики, содержащие видеоролики, которые помогут вам понять формулы и понятия, вызывающие у вас затруднения, включая любое логарифмическое уравнение . Наряду с вашими конспектами занятий и практическими задачами в учебнике вы будете оснащены всем необходимым для более эффективной учебы.
Свяжитесь с другими учащимися вашего класса, репетиторами с математического факультета или независимыми репетиторами по математике, чтобы помочь вам, если вы не можете самостоятельно освоить определенную формулу.
Даже лучшим ученикам время от времени требуется помощь другого ученика или наставника. Вы можете найти онлайн-помощь у профессиональных наставников, которые доступны круглосуточно и без выходных, чтобы помочь ответить на ваши вопросы. Задать вопрос нажмите здесь.
Не думайте, что математический анализ или любой другой математический предмет будет сложным или легким; работайте над заданиями, не беспокоясь о своих оценках или результате. Подготовьтесь к тестам за неделю до начала, желательно с одноклассниками или другими студентами-математиками. Делитесь советами и обсуждайте различные решения и подходы к проблемам.
Никто не терпит неудач в вычислениях из-за отсутствия навыков или умственных способностей для правильного выполнения упражнений. Люди терпят неудачу, потому что они не хотят или не могут выполнять требуемую работу. Учителя и специалисты по математическому анализу советуют вам заниматься шесть или семь часов по выходным и несколько часов каждый вечер по будням, чтобы получить наилучшие оценки.
Всем, у кого есть от пяти до десяти часов в неделю на учебу и подготовку к занятиям или тестам, следует отложить занятия по математике до тех пор, пока они не будут готовы заниматься чаще. Курсы математического анализа проходят в быстром темпе, и если вы отстанете, вам будет трудно угнаться за уроками, которые вы пропустили или не поняли.
Работайте изо всех сил в первый месяц занятий. Определите свои сильные и слабые стороны и пригласите репетиторов или учебную группу, если они вам нужны. Не отставайте и не думайте, что сможете быстро наверстать упущенное без посторонней помощи. Вы можете в конечном итоге бросить класс, если не возьмете на себя ответственность за учебу.
Не пропускать занятия. Математическое исчисление не похоже на историю или английский язык, где наверстать упущенное сложно, но не невозможно. Если вы пропустите один урок, вы сможете наверстать упущенное, если у вас есть сносное понимание предыдущих классов.
Любой, кто плохо разбирается в предыдущих формулах и методах решения проблем, обнаружит, что они полностью потеряны после пропуска одного или двух занятий.
Как только вы почувствуете замешательство, сообщите об этом своему учителю, репетитору или учебной группе и попросите о помощи. Если вам нужна гибкость с помощью, вы можете использовать онлайн-репетиторов.
Нажмите здесь , чтобы получить помощь наставника.
Приложения для решения экспоненциальных и логарифмических функций
приложения для решения экспоненциальных и логарифмических функций
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
06.2005 
У меня есть набор вопросов, который, если бы кто-нибудь помог мне решить, очень помог бы мне.
Когда я был новичком, я получил поддержку от Algebrator. Алгебратор охватывает все принципы Алгебры 1. Вместо того, чтобы использовать Алгебратор в качестве пошагового руководства для выполнения всех ваших домашних заданий, вы можете использовать его в качестве тренера, который может дать основные принципы линейных неравенств, gcf и треугольника сходство. Как только вы усвоите принципы, вы сможете решить любые сложные задачи по студенческой алгебре в кратчайшие сроки.
Он не просто решит вопрос за вас, но также объяснит каждый шаг, который был предпринят для достижения конкретного решения. И это лучшая функция на мой взгляд. Раньше я сталкивался со многими проблемами, решая вопросы, основанные на приложениях для решения экспоненциальных и логарифмических функций, но с тех пор, как я купил это программное обеспечение, математика была для меня как кусок пирога.