11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром. — Системы уравнений. Основные сведения и примеры. Метод подстановки.
Комментарии преподавателяСистемы уравнений. Основные сведения и примеры
Рассмотрим системы двух уравнений с двумя неизвестными (1) и трех уравнений с тремя неизвестными (2).
Здесь р и q – некоторые выражения, зависящие от х и у.
Здесь р, q и r – некоторые выражения, зависящие от х, у и z.
Частным решением системы 1 называется пара чисел () такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.
Частным решением системы 2 называется тройка чисел () такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.
Решить систему уравнений – означает найти множество всех ее решений.
Чтобы найти множество всех решений системы, лучше всего пользоваться эквивалентными или равносильными преобразованиями, то есть такими, которые не искажают множество решений.
Таким образом, процесс решения системы сводится к постепенному переходу от заданной сложной системы к все более простой и так до тех пор, пока не получим ответ.
После получения ответа можно выполнить проверку, подставив найденные решения в исходную систему, но если при решении были применены только равносильные преобразования, то проверку выполнять принципиально не обязательно.
Методы решения систем с помощью эквивалентных преобразований:
-метод подстановки;
-метод алгебраического сложения;
-метод введения новых переменных;
Не всегда удается сохранить равносильность преобразований, в таких случаях приходится прибегать к переходу к следствию.
Пусть мы упростили исходную систему (система вида 1) и получили некоторую новую. Если в исходной системе было два решения – две пары чисел х и у, то в новой системе эти решения сохранятся, но добавятся новые – посторонние решения. В таких случаях необходимо выполнить проверку, найти и отбросить посторонние решения и только после этого выписать ответ.
Обратим внимание, что при решении систем недопустима потеря решений. Одной из важных причин таких потерь является сужение ОДЗ при упрощении системы. То есть, например, в исходной системе вида 1 было два решения, а в результате получена система, имеющая единственное решение. Поэтому важно во время преобразований следить за областью допустимых значений.
Пример 1 – решить систему:
В первом уравнении выразим у через х, второе уравнение без изменений:
Подставляем полученное выражение во второе уравнение:
Подставляем найденное значение х в первое уравнение и находим у:
Поскольку при решении мы пользовались эквивалентными преобразованиями, проверку выполнять не нужно.
Ответ: (1;1)
Пример 2 – решить систему:
Данную систему можно решать различными способами, мы перейдем к следствию – воспользуемся свойствами логарифма:
Получили простую систему с двумя неизвестными, решаем ее:
Поскольку не всегда при решении системы применялись равносильные преобразования, обязательна проверка. Второе решение () не удовлетворяет ОДЗ, его следует отбросить.
Ответ: ()
Рассмотрим некоторые формулы и их особенности, которые приводят к потере решений.
1.
Когда n – натуральное число, левое выражение справедливо при любом значении х, кроме нуля, а правое справедливо уже только при положительных х, произошло сужение ОДЗ. Для сохранения равносильности необходимо использовать модуль:
2.
Проанализируем ОДЗ. Для левой части:
Для правой части:
Сужение ОДЗ в данном случае продемонстрировано на рисунке 1:
Рис.
1. Cужение ОДЗ
Чтобы избежать данной ситуации, поставим модуль, при этом произойдет расширение ОДЗ, что не так страшно:
Теперь в правой части и х, и у могут быть любым числом.
Системы уравнений. Метод подстановки
Рассмотрим системы двух уравнений с двумя неизвестными (1) и трех уравнений с тремя неизвестными (2).
Здесь р и q – некоторые выражения, зависящие от пары переменных х и у.
Здесь р, q и r – некоторые выражения, зависящие от тройки переменных х, у и z.
Частным решением системы 1 называется пара чисел () такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.
Частным решением системы 2 называется тройка чисел () такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.
Решить систему уравнений означает найти множество всех ее решений.
Чтобы найти множество всех решений системы, лучше всего пользоваться эквивалентными или равносильными преобразованиями, то есть такими, которые не искажают множество решений. В результате таких преобразований мы получаем равносильные системы, то есть имеющие одно и то же множество решений
Таким образом, процесс решения системы сводится к постепенному переходу от заданной сложной системы к все более простой и так до тех пор, пока не получим ответ.
Методы решения систем с помощью эквивалентных преобразований:
-метод подстановки;
-метод алгебраического сложения;
-метод введения новых переменных;
Повторим метод подстановки. Напомним суть данного метода. Мы рассматриваем заданную систему вида 1 и замечаем, что в одном из уравнений, пусть во втором, легко выразить одну переменную через другую, пусть у через х:
Полученное выражение подставляем в первое уравнение системы:
Таким образом мы получаем одно уравнение (в данном случае первое) только относительно х.
решаем это уравнение, находим все значения х, подставляем их в выражение для у и находим соответствующие значения у.
Пример 1 – решить систему методом подстановки:
В данном случае удобно из первого уравнения выразить у:
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
Находим соответствующие значения у:
Ответ: (2;-1), (-1;2)
Пример 2 – решить систему методом подстановки:
В данном случае удобно из первого уравнения выразить х:
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
Находим соответствующее значение х:
Ответ: (3;1)
В следующей системе важно обратить внимание на ОДЗ.
Пример 3 – решить систему методом подстановки:
Укажем ОДЗ для первого уравнения:
При соблюдении ОДЗ первое уравнение можно преобразовать:
Имеем систему:
В данном случае удобно из первого уравнения выразить у:
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
Находим соответствующие значения у:
Сверившись с ОДЗ, выписываем ответ.
Ответ: (5;4), (-1;0)
Пример 4 – решить систему методом подстановки:
В данном случае удобно из первого уравнения выразить у:
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
Находим соответствующие значения у:
Ответ: (), ()
Обратим внимание, что n здесь пробегает все целочисленные значения
Пример 5 – решить систему методом подстановки:
Рассмотрим первое уравнение:
ОДЗ соблюдено
Получили равносильную систему:
В данном случае удобно из первого уравнения выразить у:
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
Находим соответствующие значения у:
Ответ: (2;6)
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-uravneniy-osnovnye-svedeniya-i-primery?seconds=0&chapter_id=824
http://interneturok.
ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-uravneniy-metod-podstanovki
https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.
11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2
http://metodtest.ru/index.php/algebra/uravneniya/79-sistemy-uravnenij/396-reshite-sistemu-uravnenij-2x-3y-16-3x-2y-11-metodom-podstanovki.html
http://www.tutoronline.ru/blog/reshenie-sistem-uravnenij-sposobom-podstanovki
Решение систем линейных уравнений методом подстановки / Системы линейных уравнений с двумя переменными / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Алгебра
- Системы линейных уравнений с двумя переменными
- Решение систем линейных уравнений методом подстановки
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки:
1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
5) вычислить значение другой переменной;
6) записать ответ.
Пример:
Решите систему уравнений методом подстановки
Решение:
Из первого уравнения системы, используя свойства уравнений, выразим переменную через переменную . Для этого перенесем в первом уравнении системы слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак:
.
Теперь умножим обе части этого уравнения на 1, получим:
или .
Подставим во второе уравнение системы вместо переменной выражение . Получим систему
Эта и исходная система имеют одни те же решения.
Последнее уравнение полученной системы является уравнением с одной переменной. Решим его:
Используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки:
Перенесем слагаемое из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак:
В левой части уравнения приводим подобные слагаемые:
Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, разделив числитель на знаменатель, .
Подставим найденное значение переменной в уравнение . Получим:
Пара чисел (7; 3) — искомое решение системы.
Обратите внимание, при записи решения системы в скобках на первом месте пишут значение , на втором — значение .
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Уравнения с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Решение систем линейных уравнений методом сложения
Решение задач с помощью систем линейных уравнений
Введение в алгебру
Линейное уравнение с одной переменной
Решение задач с помощью уравнений
Тождественно равные выражения. Тождества
Степень с натуральным показателем
Свойства степени с натуральным показателем
Одночлены
Многочлены
Сложение и вычитание многочленов
Умножение одночлена на многочлен
Умножение многочлена на многочлен
Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения
Функции
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Алгебра
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Номер 1034, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1036, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1037, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1039, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1052, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1055, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1056, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1058, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1090, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 8, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Метод подстановки — Бесплатная помощь по математике
Метод исключения » |
Решение системы линейных уравнений: (урок 1 из 5)
Метод подстановки наиболее полезен для систем из 2 уравнений с 2 неизвестными.
Основная идея здесь состоит в том, что мы решаем одно из уравнений для одного из
неизвестных, а затем подставить результат в другое уравнение.
Метод замены может применяться в четыре этапа
Шаг 1:
Решите одно из уравнений либо для x = , либо для y = .
Шаг 2:
Подставьте решение шага 1 в другое уравнение.
Шаг 3:
Решите это новое уравнение.
Шаг 4:
Найдите вторую переменную.
Пример 1: Решите следующую систему подстановкой
$$ \begin{выровнено} 2х + 3у &= 5\ х + у &= 5 \end{выровнено} $$
Решение:
Шаг 1: Решите одно из уравнений либо для x = , либо для y = . мы решим второе уравнение для y.
$$ \begin{выровнено} х + у &= 5 \\ \color{синий}{y} &\color{синий}{=} \color{синий}{5 — x} \end{выровнено} $$
Шаг 2: Подставьте решение шага 1 во второе уравнение.
$$ \begin{выровнено} 2x + 3\цвет{синий}{у} &= 5 \\ 2x + 3\цвет{синий}{( 5 — x)} &\цвет{синий}{=} \цвет{синий}{5} \end{выровнено} $$
Шаг 3: Решите это новое уравнение.
$$ \begin{выровнено} 2х + 3( 5 — х) &= 5 \\ 2х + 15 — 3х &= 5\ — х + 15 &= 5\ — х &= 5 — 15\ \color{red}{x} &\color{red}{=} \color{red}{10} \end{выровнено} $$
Шаг 4: Решите для второй переменной
$$ \begin{выровнено} у &= 5 — \цвет{красный}{х} \\ у &= 5 — \цвет{красный}{10} \\ у &= — 5 \end{выровнено} $$
Решение: (x, y) = (10, -5)
Примечание: Неважно, какое уравнение мы выберем. первый и какой второй. Просто сначала выберите наиболее удобный!
Пример 2: Решение подстановкой
$$ \begin{выровнено} 2х + 5у &= 12\ 4х — у &= 2 \end{выровнено} $$
Решение:
Шаг 1: Решите одно из уравнений либо для x =, либо для y =.
Поскольку коэффициент y в уравнении 2 равен -1, проще всего найти y в уравнении 2.
$$ \begin{выровнено} 4х — у&=2\ — у &= 2 — 4х \\ \color{синий}{y} &\color{синий}{=} \color{синий}{4x — 2} \end{выровнено} $$
Шаг 2: Подставьте решение шага 1 во второе уравнение.
$$ \begin{выровнено} 2x + 5\цвет{синий}{у} &= 12 \\ 2x + 5 \color{blue}{(4x — 2)} &= 12 \\ \end{выровнено} $$
Шаг 3: Решите это новое уравнение (для x).
$$ \begin{выровнено} 2x + 5\color{blue}{(4x — 2)} &= 12 \\ 2х + 2х + 20х — 10 &= 12\ 22x &= 22\\ \color{red}{x} &\color{red}{=} \color{red}{1} \end{выровнено} $$
Шаг 4:
Решите для второй переменной$$ \begin{выровнено} у &= 4 \цвет{красный}{х} — 2 \\ y &= 4 \cdot \color{red}{x} — 2 \\ у &= 2 \end{выровнено} $$
Решение: $(x, y) = (1, 2)$
Упражнение: Решите следующие системы путем замены
Уровень 1
| $$ \color{синий}{x + y = 4}\\\color{синий}{2x — 3y = 18} $$ | $ ( х , у ) = ( 6 , 2 ) $ | |
| $ (х, у) = (-6, 2) $ | ||
| $ ( х , у ) = ( 6 , -2 ) $ | ||
| $ ( х , у ) = (-6 , -2 ) $ |
Уровень 2
| $$ \color{синий}{3x + 5y = -2}\\\color{синий}{2x — y = 3} $$ | $ ( х , у ) = ( 1 , -1 ) $ | |
| $ ( х , у ) = (-1 , -1 ) $ | ||
| $ ( Икс , у ) = ( 1 , 1 ) $ | ||
Решение систем линейных уравнений с использованием подстановки
Горячая математикаСистемы линейных уравнений:
А система линейные уравнения
представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.
В двух переменных ( Икс а также у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.
Есть три возможности:
- Линии пересекаются в нулевых точках. (Прямые параллельны.)
- Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
- Прямые пересекаются в бесконечном числе точек. (Два уравнения представляют одну и ту же прямую.)
Как решить систему с помощью
Метод замены- Шаг 1 : Сначала решим одно линейное уравнение относительно у с точки зрения Икс .
- Шаг
2
: Затем подставьте это выражение вместо
у
в другом линейном уравнении.
Вы получите уравнение в
Икс
. - Шаг 3 : Решите это, и вы получите Икс -координата перекрестка.
- Шаг 4 : Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координата.
Вы получите уравнение в
Икс
.Примечание 1 :
Пример:
Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19
Решите второе уравнение для
у
.
у знак равно 19 − 7 Икс
Заменять 19 − 7 Икс за у в первом уравнении и решить Икс .
3 Икс + 2 ( 19− 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 − 14 Икс знак равно 16 − 11 Икс знак равно − 22 Икс знак равно 2
Заменять
2
за
Икс
в
у
знак равно
19
−
7
Икс
и решить для
у
.