Уравнение окружности
Прежде всего, давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Сегодня на уроке мы попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.
В качестве линии рассмотрим окружность радиуса с центром в точке .
Пусть центр
окружности имеет координаты . Возьмем на
окружности произвольную точку . Запишем формулу
расстояния между точками C и M.
Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с
центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC
равно r. Возведем MC в квадрат
и получим уравнение MC2 = r2.
Заменим MC2 квадрат на выражение и получим, что если
точка лежит на окружности с радиусом r и центром в
точке C, то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению .
Задача. Записать уравнение окружности с радиусом и центром в начале координат.
Решение.
Начало координат имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат имеет вид
.
Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .
Решение.
Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего,
определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь
давайте определим величину радиуса окружности.
Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.
Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом равным двум.
Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .
Решение.
Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего определимся с координатами центра окружности.
Это будут числа -4 и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.
Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .
Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.
Теперь давайте попробуем решить задачу обратную данным.
Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Как и в предыдущих задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр окружности имеет координаты (0;0).
Нетрудно заметить, что радиус окружности равен 4.
Запишем уравнение окружности и подставим найденные значения.
Ответ: .
Решим еще одну задачу.
Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Решение.
– центр окружности
– радиус окружности
Ответ:.
Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Решение.
– центр окружности
– радиус окружности
Ответ:.
Решая задачи, мы с вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот порядок.
Для того, что бы составить уравнение окружности и построить ее надо:
1. Найти координаты центра окружности.
2. Найти длину радиуса этой окружности.
3. Записать уравнение окружности.
4. Подставить полученные значения в уравнение окружности.
5. Построить окружность, если это требуется для решения задачи.
Рассмотрим еще одну задачу.
Написать уравнение окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм имеет координаты шесть три.
Задача. Написать уравнение окружности с диаметром , если , .
Решение.
Найдем координаты
центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра.
Воспользуемся
формулами для нахождения координат середины отрезка.
Получим, что центр окружности имеет координаты .
Теперь определим радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов диаметра.
Запишем общее уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что уравнение данной окружности имеет вид:
Ответ: .
Подведем итоги урока.
На сегодняшнем уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С (x0; y0) и радиусом r.
Также мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале координат и радиусом r.
Мы рассмотрели задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение окружности по заданному уравнению.
ru1
Первый слайд презентации
Уравнение окружности Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9»
Изображение слайда
2
Слайд 2: Выполнять задания в соответствии с планом урока:
1)Ответить на вопросы математического диктанта и построить чертеж. 2)Записать определение уравнения линии (стр. 235 учебника) и построить чертеж. 3) Записать определение уравнения окружности и построить чертеж. 4)Записать примеры. 5)Выполнить самостоятельную работу.
Изображение слайда
3
Слайд 3: Математический диктант
1.Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек, равноудаленных от данной точки?
2.
Как называется хорда, проходящая через центр окружности?
3. Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности?
4. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, находящихся от данной точки на расстоянии, не превышающем данного?
5. Пересекаются ли окружности с центрами А и В, если
АВ = 10 см, а радиусы равны 5 см, и 6 см?
6. Найдите координаты точек пересечения окружности с
центром в начале координат и радиусом, равным 7, с
осями координат.
Изображение слайда
4
Слайд 4
x y O C ( x;y ) y = x Уравнение линии на плоскости M ( x;y ) L D ( x;y ) Если точка лежит на данной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой линии. Координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют ее уравнению.
Изображение слайда
Слайд 5
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 x y O C ( x 0 ;y 0 ) MC = ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 d = ( x 2 –x 1 ) 2 +( y 2 –y 1 ) 2 M ( x;y ) r = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 уравнение окружности
Изображение слайда
6
Слайд 6
= 9 2 ( x – ) 2 + ( y – ) 2 ( ) y 0 r = 3 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 x y O C (4 ; -2 ) r = 2 r = 3 3 4 -2 x 0 r
Изображение слайда
7
Слайд 7
3 2 ( ) = 2 ( x – ) 2 + ( y – ) 2 C ( ; ) = 9 ( ) y 0 В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид = r 2 ( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2 x y O r 3 -2 x 0 r = 3 -3 y 0 x 0 C ( -3;-2)
Изображение слайда
8
Слайд 8: Выполните самостоятельную работу
Изображение слайда
9
Слайд 9: Из каждого уравнения окружности выпишите координаты центра и радиус окружности
1) ( x – 3) 2 + ( y – 2) 2 = 16; 2) ( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 4 ; 3) ( x + 5 ) 2 + ( y – 3) 2 = 25 ; 4) ( x – 1 ) 2 + y 2 = 8 ; 5) x 2 + ( y + 2) 2 = 2 ; 6) x 2 + y 2 = 9 ; 7) ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 0,09 ; 8) ( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 2,5 9) x 2 + ( y + 4) 2 = 6
Изображение слайда
10
Слайд 10: Проверьте свои ответы
Выполните работу над ошибками.
Изображение слайда
11
Слайд 11
Уравнение окружности Центр ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 16 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 4 ( x + 5 ) 2 + ( y – 3) 2 = 25 ( x – 1 ) 2 + y 2 = 8 x 2 + ( y + 2) 2 = 2 x 2 + y 2 = 9 ( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 0,09 ( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 2,5 r C ( 3; 2) C ( 1;-2) C ( -5; 3) C ( 1; 0) C ( 0;-2) C ( 0; 0) C ( 3; 2) C ( -7; 5) C ( 0;-4) r = 4 r = 2 r = 5 r = 3 r = 0,3 r = 8 r = 2 r = 2,5 x 2 + ( y + 4) 2 = 6 4 1 r = 2 5
Изображение слайда
12
Слайд 12: Выставьте себе оценку:
«5» — верно выполнены все 9 заданий; «4» — 8 или 7; «3» – 6 или 5; «2» – меньше пяти заданий.
Изображение слайда
13
Последний слайд презентации: Уравнение окружности Л.
3
2+n-72)=1/(n+9)центр называется ???(h,k)??? а радиус ???r???. Из уравнения видно, что круг представляет собой совокупность всех ???(x,y)??? точки, которые находятся на расстоянии ???r??? от центра, ???(h,k)???.
Коллекция ???(x,y)??? значения — это точки на окружности окружности.
Как найти уравнение окружности при различной информации о окружности
92???, а значит нам нужно найти центральную точку и длину радиуса.Центр находится в точке ???(2,3)???, поэтому ???h=2??? и ???k=3???.
Теперь посчитаем от центра до точки на окружности, чтобы найти длину радиуса.
Радиус ???3??? поэтому ???r=3???. Теперь подставим все в стандартную форму круга.
2??? 9{2}}=27???
Что позволяет нам определить ???h=0??? и ???k=3???, так что центр находится в ???(0,3)???. И тогда радиус равен ???\sqrt{27}???, поэтому
???r=\sqrt{27}???
???r=\sqrt{9\cdot 3}???
???r=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}???
???r=3\sqrt{3}???
Иногда нам нужно знать точки пересечения окружности.
Окружность может быть определена центральной точкой и радиусом определенной длины.
92=9???
Следовательно, центр круга находится в точке ???(h,k)=(-12,-5)??? а его радиус равен ???r=\sqrt{9}=3???.
Получить доступ к полному курсу геометрии
Начать
Учиться математикеКриста Кинг математика, учиться онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, геометрия, окружность, уравнение окружности, центр и радиус окружности, центр окружности, радиус окружности, уравнение окружности
0 лайков2 способа графика круга
BY: Мэри Джейн Стерлинг и
Обновлен: 07-09-2021
Из книги: Pre-Calculus для Dummies
Pre-Calculus для Dummies
69 4.
для Dummies. Исследуйте книгу Купить на Amazon
С кругами легко работать в предварительном исчислении. Круг имеет один центр, один радиус и множество точек, но вы выполняете немного разные шаги, в зависимости от того, строите ли вы круг с центром в начале координат или вдали от начала координат.Первое, что вам нужно знать, чтобы нарисовать уравнение окружности, это где на плоскости расположен центр. Уравнение окружности выглядит как ( x – h ) 2 + ( y – v ) 2 = r 2 . Это называется центр-радиус форма (или стандартная форма), потому что она дает вам обе части информации одновременно.
h и v представляют собой координаты центра окружности, находящегося в точке ( h, v ), а r представляет собой радиус. В частности, h представляет горизонтальное смещение — насколько далеко влево или вправо от оси y- находится центр круга.
Переменная v представляет вертикальное смещение — насколько выше или ниже оси x- находится центр.
От центра можно отсчитать от центра r единиц (радиус) по горизонтали в обоих направлениях и по вертикали в обоих направлениях, чтобы получить четыре разные точки, все равноудаленные от центра. Соедините эти четыре точки с лучшей кривой, которую вы можете нарисовать, чтобы получить график окружности.
Графические круги с центром в начале координат
Простейший круг для построения графика — это круг, центр которого находится в начале координат (0, 0). Поскольку и h , и v равны нулю, они могут исчезнуть, и вы можете упростить стандартное уравнение окружности, чтобы оно выглядело как x 2 + y 2 = r 2 9. Например, чтобы нарисовать круг x 2 + y 2 = 16, выполните следующие действия:Осознайте, что центр окружности находится в начале координат (нет h и v ) и поместите эту точку туда.
Рассчитайте радиус, найдя r.
Установить р 2 = 16. В этом случае получится р = 4.
Нанесите точки радиуса на координатную плоскость.
Вы отсчитываете по 4 в каждом направлении от центра (0, 0): влево, вправо, вверх и вниз.
Соедините точки, чтобы нарисовать круг, используя плавную круглую кривую.
Рисование окружности с центром в начале координат
На рисунке показан этот круг на плоскости.
Графические круги с центром вдали от начала координат
Хотя графически рисовать круги в начале координат проще всего, очень немногие графы столь же прямолинейны и просты, как эти. В предварительном исчислении вы работаете с преобразованием графиков всех форм и размеров. К счастью, все эти графики построены по одной и той же схеме для горизонтального и вертикального смещения, так что вам не нужно запоминать множество правил. Не забывайте, что координаты центра круга имеют противоположные знаки h и v внутри скобок в уравнении.
Поскольку h и v находятся внутри символов группировки, это означает, что сдвиг происходит противоположно тому, что вы думаете.
Найдите центр круга по уравнению ( ч, v ).
( x – 3) 2 означает, что координата центра x положительна 3.
( y + 1) 2 означает, что координата центра y- отрицательная 1.
Поместите центр круга в (3, –1).
Рассчитайте радиус, найдя r.
Установите r 2 = 25 и квадратный корень с обеих сторон, чтобы получить r = 5.
Нанесите точки радиуса на координатную плоскость.
Считайте 5 единиц вверх, вниз, влево и вправо от центра (3, –1). Этот шаг дает вам очки в (8, –1), (–2, –1), (3, –6) и (3, 4).
Соедините точки на графике круга с помощью круглой плавной кривой.
Рисование окружности без центра в начале координат
На рисунке показано визуальное представление этого круга.
Об этой статье
Эта статья взята из книги:
- Предварительное исчисление для чайников,
Об авторе книги:
Мэри Джейн Стерлинг. более 30 лет. Она является автором нескольких книг для чайников, , в том числе Рабочая тетрадь по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.
Эту статью можно найти в категории:
- Предварительное вычисление,
Круги: завершение квадратов для определения радиуса и центра
Purplemath
Техника завершения квадрата используется для преобразования квадратного выражения в сумму квадратного бинома и числа.
Другими словами, завершение квадрата преобразует общий квадрат во что-то вроде этого:
( x − s ) 2 + T
Содержание продолжается ниже
Mathhelp.com
Уравнение Circle
Центральная форма уравнения Circle в этом формате:
( x — H ) 2 x — H ) 2 2. 2 2 2883 H ) 2 2883 2844) 2 x — H ) 2. + ( y − k ) 2 = r 2
В чем преимущество формы полного квадрата с центром и радиусом для уравнения окружности?
В форме законченного квадрата центр круга показан как находящийся в точке ( h, k ), а радиус показан как « r «. Эта форма уравнения полезна, потому что позволяет легко считывать координаты центра и длину радиуса.
, но уравнения круга часто приводятся в общем формате в соответствии с линиями:
x 2 + y 2 + DX + EY + F + EY + 33833383 F + EY + 3 F + EY + 3 F + EY + 33833383.
Если вам дали эту общую форму уравнения и попросили найти центр и радиус круга, вам нужно будет заполнить квадрат, чтобы преобразовать уравнение в форму центра-радиуса. Этот урок объясняет, как сделать это преобразование.
Какой пример заполнения квадрата, чтобы найти центр и радиус круга?
- Найдите центр и радиус окружности, используя следующее уравнение:
Вот уравнение, которое они мне дали:
4 x 2 + 4 y 2 — 16 x — 24 4 y 05 Во-первых, я перенесу свободное число на другую сторону знака «равно»: 4 x 2 + 4 y 2 − 16 x − 34 90 44 = −51 Now I’ll group the x -stuff together, and the y -stuff together: 4 x 2 − 16 x + 4 y 2 − 24 y = −51 Все, что умножается на квадраты членов (всегда будет одно и то же число), я буду делить из каждого члена по обе стороны от знака «равно»: Теперь сложный шаг. Для заполнения первой скобки беру х -членный коэффициент (то есть число, умноженное на линейное х , а не на квадрат х 2 члена), умножаю его на половину , возведите результат в квадрат, а затем добавьте это квадратичное значение к обеим частям уравнения. В данном случае число равно −4; половина этого равна -2; квадрат этого равен +4. Поэтому я добавляю +4 внутри x в скобках, и я также добавляю это к другой стороне уравнения: Теперь я сделаю то же самое с коэффициентом y : я возьму половину коэффициента, возведу его в квадрат и прибавлю результат каждой части уравнения. В данном случае коэффициент равен −6, поэтому половина этого числа равна −3, а квадрат равен +9, что я прибавлю к обеим частям уравнения: Значения, которые я получил, умножив на один- половина (или, что то же самое, путем деления пополам) — это значения для заполнения двух квадратов в левой части моего уравнения: В правой части уравнения мне нужно упростить: ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 1/4
Мне нужно будет вставить дополнительный пробел внутри моих группировок, потому что именно здесь я добавлю квадратный член.4 Числовое значение значение в правой части представляет собой квадрат длины радиуса.
В данном случае значение равно ¼, то есть квадрату ½:
( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = (1/2) 2
6 6Я заполнил два квадрата и нашел квадрат радиуса. Из этой формы уравнения центра и радиуса я могу легко прочитать решение:
центр: ( h , k ) = (2, 3)
радиус:
r = ½
Логику можно проследить на изображении ниже: 4
для завершения уравнения квадрата для круга?
- Если что-то умножается на квадраты членов (и это будет одно и то же значение для каждого из квадратов переменных), то разделите обе части уравнения на это значение.
- Соберите вместе термины, содержащие x , и соберите вместе термины, содержащие y .
- Переместите все отдельные числа на другую сторону знака «равно».
- Перепишите уравнение из предыдущей строки, заключив в скобки сгруппированные члены x и y , оставив дополнительное пространство для добавления третьего значения.
- Найдите половину коэффициентов каждой из линейных x и y членов (не квадраты членов!).
- Возведите в квадрат каждое из этих новых значений.
- Возьмите эти квадраты и ddd (с левой стороны) внутри соответствующего набора скобок; добавьте (в правой части) к любому существующему числовому значению (ям).
- Преобразуйте скобки в левой части в форму заполненного квадрата, заменив квадратное число на переменную и значение, которое вы нашли для этой переменной на шаге 5 выше. Не забудьте поставить над каждым набором скобок цифру 2 с надстрочным индексом.
- Преобразование числового выражения в правой части в форму радиуса путем упрощения
- Найдите значение радиуса, извлекая квадратный корень из этого упрощенного значения.
Заполнение квадрата для нахождения центра и радиуса круга всегда работает таким образом. Всегда выполняйте шаги в этом порядке, и каждое из ваших упражнений должно работать хорошо. (Кроме того, если вы выработаете привычку всегда выполнять упражнения в одной и той же манере, вы, скорее всего, запомните процедуру на тестах.)
Предупреждение: не истолковывайте окончательное уравнение неправильно. Помните, что формула круга:
( x — H ) 2 + ( Y — K ) 2 = R 2 2 . вот так:
( x + 4) 2 + ( y + 5) 2 = 5
…вы должны держать прямо, что ч и k 90 вычитаются форма центра-радиуса, так что у вас действительно есть это уравнение:
( x − (−4)) 2 + ( y − (−5)) 2 = 5
То есть центр, исходя из приведенного выше уравнения, находится в точке ( −4, −5), а не в (4, 5).
Будьте осторожны с этими знаками; не просто «прочитайте ответ», не подумав.
Также помните, что формула говорит « r 2 «, а не « r «, поэтому радиус в данном случае равен
sqrt (5), а не 5.
В ходе описанной выше процедуры единственной другой проблемой, которая может быть проблемой, является забывание знака на шаге, где вы умножаете на половину. Консультация: Если вы опустите знак «минус», вы получите неправильный ответ для координат центра, так что будьте осторожны с этим. Не пытайтесь проделать этот шаг в уме: запишите его!
- Найдите центр и радиус круга со следующим уравнением: 100 x 2 +100 y 2 — 100 x +240 y — 100 x +240 y – 1000383 x +240 y — 100.
Это уравнение, которое они дали мне:
100 x 2 + 100 y 2 — 100 x + 240 Y — 566 = 0
40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004
9000 4.
240 . делим на коэффициент при квадрате слагаемых (то есть делим на 100):
x 2 + y 2 — x + 2,4 y — 0,56 = 0
секунд, Il Group с x — 0,56 = 0
, секунд, с 3844 — 0,56 = 0
, секунды.
x 2 − x + y 2 + 2,4 y − 0,56 = 0
В-третьих, я перенесу другую сторону числового члена на знак равенства :
х 2 − х + y 2 + 2,4 y = 0,56
В-четвертых, я перепишу уравнение с круглыми скобками вокруг сгруппированных членов в левой части, оставив место для квадратов значений, которые вскоре будут Добавление:
( x 2 — x ) + ( y 2 + 2,4 Y ) = 0,56
Fif -Fif, я найду половину из линейного. В этом случае коэффициент x равно −1 (из которых половина равна −½), а коэффициент y равен +2,4, или +12/5 (из которых половина равна +6/5).
В-шестых, я возведу каждое из этих значений в квадрат. Для скобок x я буду использовать квадрат −½, что равно +¼; для скобок и я буду использовать квадрат +6/5, что равно +36/25.
В-седьмых, я добавлю эти квадраты членов в соответствующие скобки в левой части уравнения, а также к числовому значению в правой части уравнения. (Для простоты я также преобразую десятичную форму числового значения в дробную форму. Это будет полезно вскоре, когда я буду упрощать эту сторону.)
В-восьмых, я перепишу скобки в левой части уравнения в форме заполненного квадрата:
В-девятых, я упрощу числовой материал в правой части уравнения:
( x − ½) 2 + ( y + 6/5) 2 = 9/4
В-десятых, я закончу, найдя значение радиуса, которое является квадратным корнем из значение в правой части уравнения:
sqrt[9/4] = 3/2 = r
Теперь у меня есть уравнение в форме центр-вершина, так что я могу прочитать координаты центра из уравнения; радиус — это квадратный корень, который я только что нашел.