Уравнение. Решение уравнений способом подбора (конспект урока во 2 классе) | План-конспект урока по математике (2 класс):
Математика 2 класс
Тема урока: Уравнение. Решение уравнений способом подбора. УМК « Школа России»
Задачи:
— совершенствовать вычислительные навыки, умение составлять верные равенства, умение решать текстовые задачи;
— развивать внимание и логическое мышление;
— формировать ключевые компетенции.
Цели урока: дать представление об уравнении как о равенстве, содержащем переменную; продолжать работу над задачами; развивать вычислительные навыки, мышление.
Планируемые образовательные результаты:
Личностные: принимают и осваивают социальную роль обучающегося; стремятся развивать внимание, память, логическое мышление, навыки сотрудничества со сверстниками и со взрослыми; проявляют самостоятельность, личную ответственность.
Предметные: знают, что такое уравнение, что значит «решить уравнение»; различные приемы сложения и вычитания двузначного числа с однозначным и двузначного числа с двузначным; устную и письменную нумерацию чисел в пределах 100; что такое равенство; умеют: находить корень уравнения подбором; решать задачи и выражения изученных видов; выявлять закономерности.
Метапредметны: регулятивные: формулируют учебную задачу урока; планируют свою деятельность, контролируют и корректируют собственную деятельность и деятельность партнеров по образовательному процессу; осознают то, что уже усвоено, и то, что необходимо усвоить; способны к саморегуляции; познавательные: формулируют познавательную цель; осознанно и произвольно строят речевое высказывание в устной форме; создают алгоритм деятельности
Тип урока – формирование новых знаний.
.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах .
Методы работы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формирование компетенций:
— учебно-познавательных: умение анализировать и обобщать;
— информационных: умение работать с учебным материалом;
— коммуникативных: умение работать в группах.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Начнём урок с хорошего настроения, как у нашего солнышка!! И ещё, убедительная просьба: ответить хочешь, не шуми, а только руку подними.
Ребята, посмотрите, к нам на урок заехали гости. Это герои мультфильма «Смешарики». Они ехали на елку, но у паровозика закончилось топливо. А топливо не простое. Паровозик работает от знаний. Давайте с вами поможем нашим героям вовремя попасть на елочку.
2. Каллиграфическая минутка.
Станция «Напиши-ка»
ххххх… b b b b b… ааааа…
3. Актуализация знаний. Устный счет.
Станция « Сосчитай-ка!»
1. Продолжите ряд: 4, 7, 11, 16, 22… (29, 37, 46.)
2. Найдите те выражения, значения которых равны 13:
7 + 6 9 + 4 7 + 5 10 + 2
4 + 8 6 + 6 13 + 0 9 + 3
8 + 5 13 – 1 13 – 0 14 – 1
3. Задание 3 (с. 81).
Выполняя данное задание, ученики повторяют термины «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», а также то, как найти неизвестное уменьшаемое, неизвестное вычитаемое, значение разности.
4.
Открытие новых знаний. Сообщение темы и целей.
1 – Послушайте следующий текст:
У Ромы было 3 карандаша. Папа принес ему еще несколько. Когда Рома сосчитал все карандаши, оказалось, что у него их стало 9.
– Что сделал Рома с карандашами, когда считал их? (Объединил или сложил).
– Как при помощи чисел и знаков арифметических действий записать то, что нам известно? (3 + = 9).
– Что следует написать на месте пропуска? (Какую-либо букву латинского алфавита).
– Прочитайте равенство, которое у вас получилось. (Например: 3 + а = 9).
Равенство, в котором есть неизвестное число, называется уравнением.
– Какое число следует поставить вместо а, чтобы равенство было верным?
– Число 6 является решением данного уравнения, или корнем.
Решить уравнение – значит найти такое число, при котором равенство будет верным.
2 — Ребята, посмотрите на записи, которые принес Крош.
16 — 9 =
+ 5 = 11
Х + 5 = 11
Ребята, какие записи вам знакомы? 16-9 и … + 5=11
— Как они называются? (Числовое выражение и пример с окошечком).
— А какую запись вы видите в первый раз?
Х+5=11
— А кто догадался, как называется эта запись?
Давайте повторим хором УРАВНЕНИЕ
Так с чем же мы познакомимся на уроке? (С УРАВНЕНИЕМ).
— Как вы думаете, что мы сегодня будем делать на уроке? (Учиться решать такие уравнения).
Наш паровозик двигается дальше.
5. Станция «Узнай-ка»
— Рассмотрим данную запись. На какую запись похоже уравнение? (На пример с окошечком).
Что вы делали, чтобы решить пример с окошечком? (Мы подбирали такое число, чтобы равенство стало верным).
А теперь внимательно посмотрите на уравнение.
Х+5=11
— Что нам говорит знак «=»? (Это равенство).
— В нем известны все числа? (Нет).
— Что неизвестно? (Первое число).
— Как оно обозначено? Посмотрите, как называется эта латинская буква. (Буква х).
— Если оно неизвестно, что нужно сделать? (Найти это число).
— Попробуйте его найти, чтобы равенство стало верным (Это число 6, потому что 6+5=11).
Я записываю х+5=11
Найдите это число. Сколько надо прибавить к 5, чтобы получилось 11? (Это число 6).
Пишу х=6
Что вы сейчас сделали? (Подобрали значение х).
Проверим, верно ли вы подобрали это число.
Подставим вместо х его значение: 6+5=11.
Уравниваем правую и левую части.
— А знаете, что мы сейчас сделали? Решили уравнение.
6. Первичное закрепление знаний.
Станция « Размышляй-ка»
1- Устно выполняется задание 1 (с. 80).
2- Самостоятельная работа.
Задание «Проверь себя» (с. 81)
— Взаимопроверка.
Мы устали, засиделись, Нам размяться захотелось. Друг на друга посмотрели, И в окошко поглядели. Вправо, влево поворот, А потом – наоборот. | (Одна рука вверх, другая вниз, рывками менять руки.) (Повороты корпусом.) |
Приседанья начинаем, Ноги до конца сгибаем. Вверх и вниз, вверх и вниз, Приседать не торопись! И в последний раз присели, А теперь на место сели. | (Приседания.) (Дети садятся.) |
7. Включение в систему знаний и повторение.
1- Работа над задачами.
Задача 6 (с. 81).
– Поставьте вопрос, соответствующий условию. (Сколько лет папе?)
– Можно ли сразу ответить на поставленный вопрос? (Нет.)
– Почему? (Потому что мы не знаем, сколько лет маме.)
– Можем это узнать? Каким образом?
– Зная, сколько лет маме, можем решить задачу?
– Запишем решение задачи выражением.
Один ученик выполняет работу на доске: 5 + (5 + 19) = 29.
Ответ: папе 29 лет.
Задача7 (с. 81).
– Задайте такой вопрос, чтобы задача была простой, то есть решалась одним действием. (Сколько времени мама едет на автобусе?)
– Измените вопрос так, чтобы задача стала составной. (Сколько времени мама едет на автобусе и трамвае?)
– Запишите задачу кратко и решите ее.
Фронтальная проверка.
2- Составление равенств и неравенств. Групповая работа.
Задание 2 (с. 80) и задание 4 (с. 81).
8. Рефлексия.
Над какой темой мы сегодня работали?
Ребята, вспомните, какую цель мы ставили с вами вначале урока? (Узнать, что такое уравнение и как его решать).
Достигли мы этой цели?
Расскажите, что такое уравнение?
Что значит решить уравнение?
Как находили неизвестное число?
Наши герои с вашей помощью, наконец, добрались до елки. Но посмотрите, елочка-то не наряженная. Давайте поможем нарядить елочку. У доски лежат шарики.
Если вы научились решать уравнения, повесьте зеленый шарик.
Если вы допустили ошибки при решении уравнений, то жёлтый шарик.
Если кому-то было тяжело, то красный.
СПАСИБО ЗА РАБОТУ!
§ Как решать линейные уравнения 7 класс
Решение линейных уравнений Как решать уравнения с пропорцией Как решать уравнения с неизвестным в дроби
Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).
Свойство № 1
или
правило переноса
Запомните!
При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.
Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.
Перенесем число «3» из левой части уравнения в правую.
Так как в левой части уравнения у числа «3» был знак «+», значит в правую часть уравнения «3» перенесется со знаком «−».
Полученное числовое значение «x = 2» называют корнем уравнения.
Важно!
Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.
Рассмотрим другое уравнение.
5x = 4x + 9
По правилу переноса перенесем «4x» из правой части уравнения в левую, поменяв знак на противоположный.
Несмотря на то, что перед «4x» не стоит никакого знака,
мы понимаем, что перед «4x» стоит знак «+».
5x = 4x + 9
5x = +4x + 9
5x − 4x = 9
Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.
5x − 4x = 9
x = 9
Ответ: x = 9
Свойство № 2
или
правило деления
Запомните!
В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.
Но нельзя делить на неизвестное!
Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.
Число «4», которое стоит при «x», называют числовым коэффициентом при неизвестном.
Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент «1».
Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «4», чтобы
получить
«1»?».
Ответ очевиден, нужно разделить на «4».
Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на «4».
Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.
Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.
Как решить уравнение, если «x» отрицательное
Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при «x» стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.
−2x = 10
Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «−2», чтобы получить «1»?». Нужно разделить на «−2».
−2x = 10 |:(−2)
=
Ответ: x = −5
Важно!
При делении на отрицательное число помните про правило знаков.
Примеры решения линейных уравнений
Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).
Также требуется вспомнить правило раскрытия скобок и правило приведения подобных.
- 25x − 1 = 9
25x = 9 + 1
25x = 10 |: 25
=
x =
Ответ: x = - 11(y − 4) + 10(5 − 3y) − 3(4 − 3y) = −6
11y − 44 + 50 − 30y − 12 + 9y = −6
11y − 30y + 9y − 44 + 50 − 12 = −6
20y − 30y + 6 − 12 = −6
−10y − 6 = −6
−10y = −6 + 6
−10y = 0 |:(−10)
=−10y −10
y = 0
Ответ: y = 0
Решение линейных уравнений Как решать уравнения с пропорцией Как решать уравнения с неизвестным в дроби
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
Решение уравнения: определение, понятия и примеры решения
- Автор Рачана
- Последнее изменение 24-01-2023
Решение уравнения: Математическое уравнение — это утверждение, что два выражения равны. 4 + 4=8 – это математическое выражение. Алгебраическое уравнение — это математическая формула, которая имеет одну или несколько переменных. В результате (2x + 5 = 35) представляет собой линейное уравнение с одной переменной. Он имеет переменную первой степени (x), а его график представляет собой прямую линию.
Решение уравнения — это процесс определения числа, которое представляет переменная. Полученное значение называется решением уравнения. Математический язык, который утверждает, что два алгебраических выражения должны быть равны по своей природе, известен как уравнение.
Решение уравнения – это массив всех значений, замена которых на неизвестные делает уравнение верным. Для уравнений, требующих одного неизвестного, возведенного в степень один, для определения их решений используются два основных правила алгебры, включающие свойство аддитивности и свойство мультипликативности.
Решение уравнения ПримечанияРешение уравнения примечания поясняются ниже:
Методы решения линейного уравнения с одной переменной 1. Метод транспонирования для решения линейных уравнений с одной переменной
2. Крест. -метод умножения для решения линейного уравнения с одной переменной
Иногда две части уравнения содержат переменную (неизвестную величину) и константу (числа). В таких случаях мы сначала упрощаем две стороны в их простейших формах, а затем транспонируем (сдвигаем) члены, содержащие переменные на \(RHS\) в \(LHS\) и постоянные члены на \(LHS\) в \(RHS\).
Метод перестановки включает следующие шаги:
Шаг I: Получите линейное уравнение.
Шаг II: Распознайте переменные и константы.
Шаг III: Сократите \(левая\) и \(правая\) до их наиболее простой формы, удалив скобки.
Шаг IV: Транспонировать все термины, включая переменную в \(левую сторону\) и постоянные члены в \(правую сторону\). самая основная форма, так что каждая сторона содержит только один термин.
Шаг VI: Решите уравнение, полученное на шаге \(V\), разделив две части на коэффициент при переменной \(LHS.\)
\( \Стрелка вправо 3x – 2x = 4 – 3 \Стрелка вправо x = 1\)
Метод перекрестного умножения для решения линейного уравнения с одной переменной
Процедура умножения числителя в \(левой части\) на знаменатель в \(правой части\) и приравнивания его к произведению общего знаменателя в \(левой части\) на числитель в \(правой части\) называется кросс- умножение.
Используя перекрестное умножение, мы можем преобразовать уравнение вида
\(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{m}{n}\)
в линейное уравнение \(n\left({ax + b} \right) = m\left({cx + d} \right.)\)
Например, \(\ frac{{x + 1}}{{2x + 3 }} = \frac{2}{3}\)
Ответ: \(3\left({x + 1} \right) = 2\left({2x + 3} \right)\)
\( \Стрелка вправо x = – 3\) Правила решения линейных уравнений с одной переменной
Решить уравнение означает найти его корни, т. е. определить значение переменной, которое ему удовлетворяет.
Правила решения линейных уравнений с одной переменной: Правило 1: К обеим частям уравнения можно добавить одну и ту же величину без изменения равенства.
Правило 2: Одна и та же величина может быть вычтена из любой части уравнения без изменения равенства.
Правило 3: Обе части уравнения можно умножить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
Правило 4: Обе части уравнения можно разделить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
Следует отметить, что некоторые сложные уравнения можно решить, используя два или более этих правил вместе.
Например, \(\frac{{2x}}{3} + 2 = \frac{3}{2}\)
Ответ: \(\frac{{2x}}{3} + 2 – 2 = \ frac{3}{2} – 2\) (вычитая обе стороны на \(2\))
\( \Стрелка вправо \frac{{2x}}{3} = \frac{{3 – 4}}{2}\)
\( \Стрелка вправо \frac{{2x}}{3} \times 3 = \ frac{{ – 1}}{2} \times 3\) (Умножая обе части на \(3\))
\( \Стрелка вправо 2x = \frac{{ – 3}}{2}\)
\( \Rightarrow \frac{{2x}}{2} = \frac{{ – 3}}{4}\) (делим обе стороны на \(2\))
\( \Rightarrow x = \frac{{ – 3}}{4}\)
В этом разделе мы рассмотрим постановку и решение некоторых практических задач. Эти задачи связаны с отношениями между неизвестными величинами, а числа часто задаются словами.
Чтобы найти решение задачи со словами, необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг I: Внимательно прочтите задачу и отметьте, что дано и что требуется.
Шаг II: Обозначьте неизвестную величину определенными буквами, скажем \(x,y,z,\) и т. д.
Шаг III: Переведите формулировку задачи в математические слова.
Шаг IV: При использовании условия (условий), представленных в задаче, сформируйте уравнение.
Шаг V: Решите уравнение для неизвестного.
Шаг VI: Проверьте, удовлетворяет ли решение уравнению.
Например,
Рави теперь на \(7\) лет старше Махеша. Если сумма их возрастов равна \(33\) лет, найдите возраст каждого из них.
Ответ: Пусть возраст Махеша \( = x\) лет
Тогда возраст Рави \( = \) возраст Махеша \( + 7 = \left({x + 7} \right)\) лет
Согласно задаче, Возраст Рави \( + \) Возраст Махеша \(= 33.\) т.е. \(x + \left({x + 7} \right) = 33\)
\(\Стрелка вправо 2x + 7 = 33 \Стрелка вправо 2x = 26 \Стрелка вправо x = 13\)
Следовательно, возраст Махеша \(= 13\) лет, возраст Рави \(= 20\) лет.
Непротиворечивая система: Система одновременных линейных уравнений непротиворечива, если она имеет хотя бы одно решение.
1. При \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}},\) мы получаем единственное решение . В этом случае две линии, представляющие уравнения, пересекаются друг с другом.
2. Когда \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}}{ {{c_2}}},\) решений бесконечно много. В этом случае две линии, представляющие уравнения, перекрывают друг друга.
Несовместная система: Система одновременных линейных уравнений считается несовместной, если она не имеет решения.
1. Когда \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}} }{{{c_2}}},\) решения нет. В этом случае две линии, представляющие уравнения, параллельны друг другу.
Говорят, что пара линейных уравнений с двумя переменными образует одновременные линейные уравнения.
Пара значений переменных \(х\) и \(у\), удовлетворяющая каждому из уравнений каждой системы двух одновременных линейных уравнений относительно \(х\) и \(у\), называется решением уравнения система.
Наиболее часто используемые алгебраические методы решения одновременных линейных уравнений с двумя переменными:
1. Метод устранения путем замены.
2. Метод исключения приравниванием коэффициентов.
3. Метод перекрестного умножения.
Метод исключения путем замены: В этом методе мы выражаем одну из переменных через другую переменную из каждого из двух уравнений. Это выражение подставляется в другое уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной, как поясняется в следующем алгоритме.
Пусть уравнения будут \({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 — — — (1)\) и \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 — — – (2)\)
Шаг II: Выберите любое из двух уравнений, скажем, \(\left( 1 \right)\) и найдите значение одной переменной, скажем, \(y,\) через другое, т.
е. \(x.\) Шаг III: Подставить значение \(y,\), полученное на шаге \(II,\), в другое уравнение, т.е. \(\left( 2 \right), \), чтобы получить уравнение в \(x.\)
Шаг IV: Решите уравнение, полученное в шаге \(III\), чтобы получить значение \(x.\)
Шаг V: Подставьте значение \(x\), полученное на этапе \(IV\), в выражение для \(y\) через \(x\), полученное на этапе \(II\), чтобы получить значение \(у.\)
Шаг VI: Значения \(х\) и \(у\), полученные на этапах \(IV\) и \(V,\) соответственно, составляют решение задачи заданная система двух линейных уравнений. (см. вопрос 4 Решаемых примеров ниже) Метод исключения путем приравнивания коэффициентов
В этом методе мы удаляем одну из двух переменных, чтобы получить уравнение с одной переменной, которое можно легко решить. Затем, подставляя значение этой переменной в любое из указанных уравнений, можно получить значение другой переменной.
Следующий алгоритм объясняет процедуру.
Шаг I: Получите два уравнения.
Шаг II: Умножьте уравнения, чтобы коэффициенты переменной исключались одинаково.
Шаг III: Сложите или вычтите уравнения, полученные на шаге \(II\), в соответствии с условиями, имеющими одинаковые коэффициенты, противоположного или одного знака.
Шаг IV: Решить уравнение с одной переменной, полученное на шаге \(III.\)
Шаг V: Подставить найденное на шаге \(IV\) значение в любое из данных уравнений и найти значение другой переменной.
Значения переменных в шагах \(IV\) и \(V\) образуют решение системы уравнений.
Например,
Найдите \(x\) и \(y,\) в \(2x + 3y = 5\) и \(3x – y = 0\)
Ответ: пусть \(2x + 3y = 5 – – – (1)\) и \(3x – y = 0 – – – (2)\)
Теперь, умножая уравнение \(\left( 2 \right)\) на \(3,\) получаем получить \(9x – 3y = 0 – – – – – \left( 3 \right)\)
Добавив уравнение \(\left( 1 \right)\) и \(\left( 3 \right)\), мы имеем \(2x + 3y + \left({9x – 3y} \right) = 5\)
\( \Rightarrow 11x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{{11}}\) Тогда \( 3 \times \frac{5}{{11}} – y = 0 \Rightarrow y = \frac{{15}}{{11}}\)
Следовательно, \(x = \frac{5}{{11}}\) и \(y = \frac{{15}}{{11}}.
\)
Пусть \({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) и \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) — система одновременных линейных уравнений с двумя переменными \(x\) и \(y.\)
Чтобы найти решения, используя метод перекрестного умножения, мы имеем,
\(x = \frac {{\left({{b_1}{c_2} – {b_2}{c_1 }} \right)}}{{\left({{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)}}\) и \(y = \frac{{\left({{c_1}) {a_2} – {c_2}{a_1}} \right)}}{{\left({{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)}}\) 92} + bx + c = 0,\), где \(a,b,c \in R\) и \(a \ne 0.\)
Корни квадратного уравнения: Пусть \(p\left ( x \right) = 0\) — квадратное уравнение, то корни функции \(p\left( x \right)\) называются корнями уравнения \(p\left( x \right) = 0.\)
Таким образом, \(x = k\) является корнем \(p\left( x \right) = 0\) тогда и только тогда, когда \(p\left( k \right) = 0.\ )
Нахождение корней квадратного уравнения известно как решение квадратного уравнения.
92} + ax} \right) + (bx + q)\) и вынесите в каждой скобке общие множители.
Как найти \(a\) и \(b:\)
\(p\) будет разбит на \(a\) и \(b\) таким образом, что \(p = a + b\) и \(q = a \times b\)
Если знак \(q\) положителен, то оба множителя \(a\) и \(b\) из \(q\) будут иметь знак такой же, как у \(p,\), т. е. если \(p\) положительно, то и \(a\), и \(b\) будут положительными, но если \(p\) отрицательно, тогда и \(a\), и \(b\) будут отрицательными.
Если \(q\) отрицательно, то найти \(\left| q \right|\) (числовое значение \(q \)), тогда численно больший множитель \(q\) будет иметь тот же знак, что и знак \(p,\) и меньшего множителя будет иметь знак, противоположный знаку \(p.\) 92} – 4 \times 1 \times \left({ – 1} \right)} }}{{2 \times 1}}\)
\(\Rightarrow x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\) или \(x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2 }\)
Следовательно, корни данного квадратного уравнения равны \(x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\) и \(x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2.}\) Решение квадратного уравнения методом заполнения квадратов
Мы можем использовать следующий алгоритм для получения корней квадратного уравнения методом заполнения квадратов.
92}}}} \)
Шаг VII: Получите значения \(x\) сдвигом постоянного члена \(\frac{b}{{2a}}\) на \(RHS.\)
Q.1. Решите \(2\влево({5x — 2} \вправо) = 4x + 8.\)
Ответ: Данное уравнение имеет вид \(2\влево({5x — 2} \вправо) = 4x + 8\)
\( \Стрелка вправо 10x — 4 = 4x + 8\)
\( \Стрелка вправо 10x — 4x = 8 + 4\)
\( \Стрелка вправо 6x = 12\)
\( \Стрелка вправо x = 2\)
Следовательно, значение \(x\) равно \(2.\)
Q.2. Решите \(\frac{{7y + 2}}{5} = \frac{{6y – 5}}{{11}}\)
Ответ: Данное уравнение имеет вид \(\frac{ {7y + 2}}{5} = \frac{{6y – 5}}{{11}}\)
\( \Стрелка вправо 11\left({7y + 2} \right) = 5\left({6y – 5} \right)\)
\( \Стрелка вправо 77y + 22 = 30y – 25\)
\( \Стрелка вправо 77y – 30y = – 25 – 22\)
\( \Стрелка вправо 47y = – 47\) 92} = \frac{{19}}{{25}}\)
\(\Стрелка вправо x – \frac{3}{5} = \pm \frac{{\sqrt {19} }}{5}\ )
\( \Rightarrow x = \frac{3}{5} \pm \frac{{\sqrt {19}}}}{5} = \frac{{3 \pm \sqrt {19}}}}{5} \)
\( \Rightarrow x = \frac{{3 + \sqrt {19} }}{5}\) или \(x = \frac{{3 – \sqrt {19} }}{5}\)
Следовательно, корни данного уравнения равны \(x = \frac{{3 + \sqrt {19} }}{5}\) и \(x = \frac{{3 – \sqrt {19} }} {5.
}\)
Q.4. Решите следующую систему линейных уравнений \(x – y = 1\) и \(2x + y = 8.\)
Ответ: Пусть \(x – y = 1 – – – (1)\) и \(2x + y = 8 – – – (2 )\)
Из уравнения \(\left( 1 \right),\) путем решения значения \(x\) через \(y,\) имеем
\(x = 1 + y – – – (3 )\)
Подставив уравнение \(\left( 3 \right)\) в уравнение \(\left( 2, \right)\) получим
\(2\left({1 + y} \right) + y = 8\)
\( \Стрелка вправо 2 + 2y + y = 8\)
\( \Стрелка вправо 3y = 6\)
\( \Стрелка вправо y = 2\)
Подставив \(y = 2\) в уравнение \(\left( 3, \right)\) получаем 92} = 0\)
\(\Стрелка вправо \влево({x + 3} \вправо)\влево({x – 3} \вправо) = 0\)
\(\Стрелка вправо \влево({x + 3} \right) = 0\) или \(\left({x – 3} \right) = 0\)
\( \Rightarrow x = – 3\) или \(x = 3\)
Таким образом, \(x = 3\) и \(x = -3\) являются корнями данного уравнения.
Вы можете использовать математические уравнения для решения уравнения или системы уравнений.
Уравнение — это утверждение, в котором утверждается, что два выражения равны. В подавляющем большинстве случаев можно найти точные решения представленных математических уравнений. Однако в большинстве случаев получить точный ответ невозможно, но можно найти приближенные решения, которые по точности равны точному решению. Он имеет дело с квадратичными математическими задачами и конкретными инструкциями. Математический язык, который утверждает, что два алгебраических выражения должны быть равны по своей природе, известен как уравнение.
В нем мы узнали об определении решения уравнения, заметках о решении уравнения, правилах решения линейных уравнений с одной переменной, приложениях линейных уравнений к практическим задачам, решении одновременных линейных уравнений с двумя переменными , решение квадратного уравнения, решаемые примеры на решение уравнения.
Результат обучения этой статьи помогает перевести слово проблема в виде уравнения, известного как формулировка проблемы.
Таким образом, процедура решения текстовой задачи состоит из двух частей, таких как постановка и решение.
Q.1. Что такое решение алгебраического уравнения?
Ответ: Решение уравнения – это массив всех значений, замена которых на неизвестные делает уравнение верным. Для уравнений, требующих одного неизвестного, возведенного в степень один, для определения их решений используются два основных правила алгебры, включающие свойство аддитивности и свойство мультипликативности.
Q.2. Как решать уравнения с переменной?
Ответ : Одним из методов решения уравнений с переменной является метод транспонирования. Метод перестановки включает \(6\) шагов.
Шаг I: Получите линейное уравнение.
Шаг II: Распознайте переменные и константы.
Шаг III: Сократите \(левая\) и \(правая\) до их наиболее простой формы, удалив скобки.
Шаг IV: Транспонируйте все члены, которые включают переменную в \(LHS\) и постоянные члены в \(RHS.\)
Шаг V: Упростите \(LHS\) и \(RHS\) в самой простой форме, чтобы каждый сторона содержит только одно слагаемое.
Шаг VI: Решить уравнение, полученное на шаге \(V\), путем деления двух частей на коэффициент при переменной \(LHS.\)
Q.3. Каковы \(4\) правила решения уравнения?
Ответ: Правило 1: К обеим частям уравнения можно добавить одно и то же количество без изменения равенства.
Правило 2: Одинаковую величину можно вычесть из любой части уравнения без изменения равенства.
Правило 3: Обе части уравнения можно умножить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
Правило 4: Обе части уравнения можно разделить на одинаковое ненулевое число без изменения равенства.
Следует отметить, что некоторые сложные уравнения можно решить, используя два или более этих правил вместе.
Q.4. Какова формула отсутствия решения?
Ответ: Система одновременных линейных уравнений считается несовместной, если она не имеет решения.
Когда \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{ {c_2}}},\) две прямые параллельны и, следовательно, решения нет.
Q.5. Как решить пару одновременных уравнений с двумя переменными?
Ответ: Одним из методов решения уравнения с двумя переменными является метод исключения.
Шаг I: Получите два уравнения.
Шаг II: Умножьте уравнения, чтобы коэффициенты переменной исключались одинаково.
Шаг III: Сложите или вычтите уравнения, полученные на шаге \(II\), в соответствии с условиями, имеющими одинаковые коэффициенты, противоположного или одного знака.
Шаг IV: Решить уравнение с одной переменной, полученное на шаге \(III.\)
Шаг V: Подставьте значение, найденное в шаге \(IV\), в любое из данных уравнений и найдите значение другой переменной.
Значения переменных в шагах \(IV\) и \(V\) образуют решение системы уравнений.
Мы надеемся, что эта подробная статья о решении уравнения поможет вам в подготовке. Если вы застряли, сообщите нам об этом в разделе комментариев ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.
Решение линейных уравнений с нулевым Soln, без Soln и «All-x» Soln
Add/SubtractTimes/DivideMulti-StepParentheses
Purplemath
Существует три типа решений, которые могут вызвать путаницу. Мы рассмотрим по одному примеру каждого, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.
Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, проведя «минус» через круглые скобки и объединив «подобные» члены:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.
com5 − (3 x + 4)
5 − 1(3 x ) − 1(+4)
902 30008 403 − 3 00115 − 4 − 3 x
1 − 3 x
Теперь я могу решить обычным способом:
1 — 3x = 1
-1 -1
————
-3x = 0
— —
-3 -3
x = 0
Является ли « x = 0″ допустимым решением? Да, действительно так, потому что ноль — допустимое число. Дело не в том, что решение «ничего»; дело в том, что решение есть «что-то», и это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:
x = 0
Обычно учащиеся могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, физическая мера чего-то вроде «нет яблок» или «нет денег») может вызвать путаницу.
Пожалуйста, убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничего». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной задачи) может подразумевают , что «ничего» того или иного нет, но сам ноль есть реальная вещь; это существует; это что-то».
Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:
Эм… подождите одну минуту…
С каких это пор четыре когда-либо равны пяти? Никогда! Существует ли какое-либо возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то осмысленное? Будет ли любое значение из x когда-либо заставить это уравнение работать?
№; это просто невозможно. Я сделал все шаги правильно, но эти шаги привели к уравнению (а) без переменных и (б) не имеющему смысла. Поскольку не существует значения x , которое заставит это уравнение работать, то и решения этого уравнения нет. Вот мой ответ на это упражнение:
нет решения
Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле это решение. Когда вы получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет.
Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно ложно, а поскольку не существует такого значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.
Рекомендация: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было значением x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации: «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «решение вообще не существует».
И не путайте приведенное выше уравнение типа «нет решения» со следующим типом уравнения:
Во-первых, я буду комбинировать одинаковые термины; тогда я решу:
Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , что могло бы сделать уравнение верным. Этот результат противоположен предыдущему. Существует ли для этого уравнения какое-либо возможное значение 90 325 x 90 326, которое могло бы сделать приведенное выше утверждение 90 325 ложным? №; 5 равно , всегда будет равно 5.
На самом деле, поскольку в последней строке вычислений выше нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение все равно будет верным. Итак, решение:
все x
Это решение также может быть сформулировано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(−∞, +∞)» или « x ∈ &reals ;» (это последнее значение « x является членом множества действительных чисел»). Вы должны ожидать увидеть некоторые различия в жаргоне от одного учебника или преподавателя к другому, так что не удивляйтесь различиям в форматировании.
Обратите внимание, что если бы я решил уравнение, вычитая 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:
4 x = 4 x
Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с каждой стороны, или я мог бы разделить обе части приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть оба 4 x и 5 с обеих сторон исходного уравнения.
Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от предпринятых конкретных шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение все равно будет одним и тем же: «все x «.
Поскольку (как я перечислил выше) есть много способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вас не должно удивлять, если для «всех действительных чисел» или «отсутствия решения» уравнений, вы не использовали те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников. Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильного) получения этих ответов
Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:
x = 0: обычное решение регулярного уравнения
бессмыслица (например, 3 = 4): нет решения почти наверняка увидите хотя бы один из этих вопросов «без решения» или «все реальные» вопросы в следующем тесте (и, вероятно, также в финальном), обычно их не так много в наборе домашних заданий, и ваш преподаватель, вероятно, привел только один пример каждого типа.
Это не дает вам много практики в интерпретации этих типов решений, так что давайте еще несколько примеров.
Во-первых, я умножу 3 через скобки в левой части. Потом решу.
3x + 12 = 3x + 11
-3x -3x
——————
12 = 11
Мои расчеты были правильными, но результат — чепуха. Двенадцать никогда не равняются одиннадцати. Итак, мой ответ:
нет решения
Я умножу и упростлю в левой части. Потом решу.
6 — 2(х + 3) = -2х
6 — 2x — 6 = -2x
6 — 6 — 2x = -2x
0 — 2x = -2x
-2x = -2x
+2x +2x
———
0 = 0
Ноль всегда будет равен нулю, а в последней строке моей работы даже нет никакой переменной, поэтому переменная явно не имеет значения. Это уравнение верно, независимо от значения x . Итак, мой ответ:
все x
Мне нужно умножить и упростить каждую часть этого уравнения.
2(х + 1) + х = 3(х + 2) — 2
2х + 2 + х = 3х + 6 — 2
2х + х + 2 = 3х + 4
3x + 2 = 3x + 4
-3x -3x
———————-
2 = 4
Нет; никогда не правда.
нет решения
Мне нужно упростить правую часть, а потом посмотреть, к чему это приведет.
5x + 7 = 4(2x + 1) — 3x — 2
5x + 7 = 8x + 4 — 3x — 2
5x + 7 = 8x — 3x + 4 — 2
5х + 7 = 5х + 2
-5x -5x
——————
7 = 2
Нет; никогда не правда.
нет решения
Я разверну левую часть, а потом решу.
8(х + 2) = 2х + 16
8х + 16 = 2х + 16
-2x -2x
——————
6х + 16 = 16
-16 -16
——————
6x + 0 = 0
—— —
6 6
x = 0
Это уравнение имеет значение решения , равное нулю.
x = 0
Я расширю и упрощу правую часть, а затем решу.