Неравенство Коши Буняковского
Для любых двух векторов x и y евклид простр справедливо неравенство
|(x,y)|=|x| |y|
Неравенство треугольника
Для любых двух векторов x и y евклид простр справедливо неравенство
|x+y|=|x| + |y|
Ортогональные векторы
2 век-ра наз ортгон если их скалярн произв=0
Ортогональная сист век-в
Сисиема век-в наз ортогон если всякие 2 различных векра из этой сист ортогон
Теорема о линнез ортогон сист
Всякая ортогон сист век-в лнз
Процесс ортогонализации
По всякой лнз сист век-в а1…ак еклид простр можно построить ортогон сист ненулев век-в в1…вк причем такую что лин оболочка <b1,..bl>=<a1,..al> для всех l≤k
Ортонорм базис
Базис образующий ортогонал(ортонормиров) сист век-в наз ортогон (ортонормир)
Теорема о сущ онб
В любом п-мерном евклид простр есть онб
Скалярное произв в онб
Пусть X= Y= столбцы
коор-т век-в х и у в некотором онб.
Тогда их скаляр произв (х,у)=х1у1+…xnyn=XtY
Изоморфизм евклид простр
Отображение евклид простр L1 в евклид простр L2 наз изоморфизмом,если -изоморфизм лин простр L1 в лин простр L2 и если сохраняет скалярн произв ()=(а,в) (а,в)
Теорема об изоморфизм евклид простр
Всякое n-мерное евклид простр изоморфно евклид простр Rn
Ортогон дополнение
Пусть L1-лин простр в евклид простр L.Множ-во всех век-в из L аждый из которых ортогонален каждому век-ру из L1, наз ортогональным дополнением и обозн L1—
Теорема об ортогон дополнении
Ортогонал дополн L 1 подпростр L1 в евклид простр L явл подпростр в L, при этом dimL1+dimL1=dimLТеорема об ортогон проекц и ортогон составл
Пусть L евклид простр и L1 подпроср в L и х L.Тогда век-р х однозначно представим в виде х=y+z,где у L1(этот век-р наз ортогонал проекцией век-ра х на L1),а z L1 (этот век-р наз ортогон составляющ век-ра х относит L1)
Ортогон матрица и ее определитель
Квад матрица Q наз ортонал,если Qt= Q-1 иначе равносильно Qt Q=E
Если Q ортогон то det Q=1
Условие ортогон квад матрицы
След утвержд относит квад матр Q равносильны Q ,Qt ,Q-1-ортогональны;столбцы матрицы Q образ онсист;строки матрицы Q образ онс
Теорема о (матр перехода от одного онб к другому ортогональна)
Обратно.
Сопряженный лин оператор
L-n-мерное евклид простр. Лин оператор А*наз сопряженным к лин опер А,если (Ах,у)=(х,А*у) (х,уL)
Теорема о сопряж лин опер
Для всякого лин опер А на п-мерном евклид простр сущ сопряженный лин опер и при том единственный.В любом онб матрица сопряженного опер получ из матрицы А транпонированием
Самосопряж лин опер
Лин опер А наз самосопряженным если он совпадает со своим сопряж лин опер,те (Ах,у)=(х,Ау) (х,уL)
Теорема о матр самосопряж опер
Лин опер А явл самосопряж ТТТК его матр в некотор онб явл симметрической,более того его матр тогда в любом онб явл симмтрической
Теорема о собств век-рах
Собствен век-ры х1,х2 самосопряж опер соотв различным собств значениям ортогональны
Теорема о корнях характерист многочлена
Все корни характерист многочлена самосопряж опер действительны
Теорема о сущ собств значения
Всякий самосопряж опер имеет хотя бы одно собствен значение
Теорема об инвариантности ортогонального дополнения
Если подпростр L1 инвариантно самосопряж лин опер А,то его ортогона дополнение L1 также инвариантно относит А
Теорема о полноте собств век-в
Пусть А-самосопряж лин оператор на п-мерном евклид
простран L.
Тогда в L сущ онб из собств век-в опер А
Построение онб из его собственных век-в
L-n-мерное евклид простр и А-самосопряж лин опер на L 1)находим спектр лин опер А 2)Для каждого i=1..s в собств подпростр L(λi) находим онб βi 3)β=-искомый базис
Квадр форма
Канонич вид: q(x1..xn)= где aii
Матрицаэтой формы диагональная А=
Инвариантное задание кВ формы на евклид простр
Qx=(x,Ax)
Преобразование матр кВ формы при лин преобр переменных
При замене базиса с матрицей перехода Т матр кв формы преобразуется по формуле A’=TtAT
Для лин опер справедлива формула A’=T-1AT
Теорема о канон виде кв формы
Для любой кв формы евк прост-ва сущ онб в кот матр квад формы диагональна и эта квадр форма имеет каноническ вид
Теорема о ранге и опред матр квад формы
Ранг матр квад формы не зависит от выбора базиса
Если матр невырожд то знак ее определ не зависит от выбора базиса
Теорема закон инерции
Число положит(отриц) коэфф при квадр переменных в каноническом виде кВ формы не зависит от выбора базиса,в кот эта кВ форма имеет канон вид
Полож(отриц)определенные квадр формы
Квадр форма q наз полож(отриц) определенной если q(x)>0 (<0) (xL, x≠0)
Критерий Сильвестера
Для того, чтобы кВ форма была 1)полож определ, необ и дост чтобы все угловые миноры ее матр в любом базисе были положит 2) отриц определен необ и дост чтобы знаки ее угловых миноров чередовались начиная с минуса(а11<0)
Числовые последовательности: определение, формулы, пределы последовательностей
По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников».
Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.
Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.
Последовательности чисел
Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.
Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.
Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.Что такое числовая последовательность?
Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:
- для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
- это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
- для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.
Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.
Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.
На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.
Какие бывают последовательности
Различают:
- постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1…
- возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
- убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего
Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела.
Но о пределах немного позже.
Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Посмотрим на числа:
Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.
Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:
Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.
Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:
Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии.
Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:
Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:
Сумма первых n членов прогрессии:
Характеристическое свойство геометрической прогрессии:
Способы задания последовательностей
Последовательность можно задать несколькими способами:
- Аналитически или, проще говоря, формулой.
- Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
- Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.
Предел последовательности
Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.
Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.
Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.
Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.
Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей
Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10%
- Последовательность может иметь только один предел.
- Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
- Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
- Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
- Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
- Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
- Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
- Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
- Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
- Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.
Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.
Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.
n$, что я не вижу, или я ошибся раньше?РЕДАКТИРОВАТЬ:
Я должен был указать, что это упражнение должно быть выполнено с использованием девяти из двенадцати основных свойств чисел, которые Спивак описывает в своей книге:
- Ассоциативный закон для сложения
- Наличие аддитивной идентичности
- Существование аддитивных инверсий
- Коммутативный закон для дополнений
- Ассоциативный закон умножения
- Существование мультипликативной идентичности 92$. $\endgroup$ $\begingroup$
Так как степени x и y всегда больше или равны нулю, Вы можете доказать это с помощью математической индукции.
