Уравнение с модулем 10 класс: Методическое пособие по теме «Уравнения с модулем» (10 класс)

Содержание

Урок по теме «Уравнение и неравенства с модулем». 10-й класс

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.

Цели урока:

Дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения.

Развивающая: развивать логическое мышление, память познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Воспитательная: развивать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыков контроля и самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный этап (1 минута).

2. Постановка цели (3 минуты).

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, используя как традиционные методы, так и нестандартные подходы.

3. Проверка домашнего задания (10 минут).

Если учащиеся не готовы показать все способы, то решение показывается на экране интерактивной доски. (Приложение 1)

Учитель вызывает по желанию 7-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам.

(Приложение 2) Выставляет оценку за д/з.

На дом вам было предложено решить уравнения

|x – 6| = x² – 5x + 9

|x² + 4x + 3| = x + 3

|x – 6| = |x² – 2x|

|x – 2| + |x – 1| = x – 8

и неравенства |x + 2| < 3 различными способами. Посмотрим ваше решение.

4. Выполнение упражнений (20 минут).

Многообразие приёмов решения задач с модулем подталкивает нас к выбору более рационального из них при решении конкретных уравнений или неравенств.

№ 1 (устно).

Учитель направляет на выбор рационального метода решения.

Учащиеся предлагают методы решения, один учащийся устно объясняет решение уравнения №1.

Решить уравнение |x² – 6x – 7| = 7 + 6x –

x².

Решение (на основе аналитического определения модуля).

№2 Решить уравнение .

Учитель совместно с учащимися выбирает метод решения уравнения.

Следит за грамотным решением предложенного уравнения и одновременно проверяет индивидуальные решения уравнений у учащихся работающих на боковой доске по карточке, выставляет оценки за работу.

2 человека работают на боковой доске индивидуально (Приложение 3), остальные записывают в тетрадь решение уравнения №2.

Решение (применение геометрической интерпретации модуля).

На геометрическом языке: требуется найти точки с координатами х такие, что сумма расстояний от этих точек до точек с координатами -1 и 1 равна 2. Очевидно, что эти точки располагаются на отрезке [–1;1]

Ответ: [–1;1].

№3 Решите неравенство

Учитель направляет на выбор рационального метода решения.

Один ученик решает неравенство № 3. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения неравенства. Записывают решение в тетрадь.

Решение (функционально графический метод).

Обе части неравенства определены на R. Левая часть неравенства принимает значения из отрезка [–1;1], а значения правой части составляют луч [1;∞]. Следовательно, исходное неравенство может иметь решение только, если выполняется система

Ответ: 0

№ 4 Найти все значения параметра b при которых уравнение ||x + 1| – 2| – 3 = b имеет ровно три различных корня.

Один ученик решает задание № 4 у доски. Три ученика работают по карточкам (Приложение 4), остальные записывают в тетрадь решение задания № 4.

Учитель следит за верностью рассуждений учащихся и одновременно проверяет решение заданий по карточкам, выставляет оценки за работу.

Решение (графический способ).

Рассмотрим функцию у = ||x + 1| – 2| – 3 и построим её график используя преобразования, содержащие модуль, а также параллельный перенос.

Графиком функции у = b является прямая параллельная оси х.

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три различных корня при b=-1.

Ответ: b = -1.

№ 5 Решить неравенство

Один ученик решает у доски, остальные записывают решение неравенства №5 в тетради.

Учитель обсуждает совместно с учащимися метод решения неравенства, следит за грамотностью рассуждений учащихся и верной записью решения неравенства. Выставляет оценку за работу.

Решение (метод интервалов).

Решим уравнение f(x)=0. Получим:

5. Домашнее задание (3 минуты).

(Заранее приготовлен слайд на интерактивной доске.)

1) Решить неравенство ||2x – 1| – 3| > 3.

2) Найти все значения параметра b при которых уравнение |x – 3| + |x + 1| = b имеет ровно два различных корня.

3) Решить уравнение cosx = |cosx|(x + 1.5)².

(Приложение №5)

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание учащихся на то, что аналогичные задания были разобраны на уроке.

Первое неравенство можно решить методом интервалов, второе уравнение – графически, а третье-с помощью аналитического определения модуля, рассматривая три случая (подмодульное выражение больше нуля, равно нулю и меньше нуля ) отдельно.

6. Подведение итогов урока (3 минуты).

Решение уравнений и неравенств с модулем требует от учащихся глубоких теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания трудолюбия, сообразительности. Наверное, поэтому такие задания и включены в материалы ЕГЭ.

Сегодня на уроке все очень хорошо поработали, 15 человек получили оценки. Молодцы ребята!

Контрольные работы по спецкурсу для 10 класса «Уравнения и неравенства с модулем» | Элективный курс по математике (10 класс) на тему:

КИМы по спецкурсу для 10 КЛАССА

Всего контрольных работ – 6.

Контрольные работы полностью соответствуют плану спецкурсу.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 по теме «Модуль числа. Уравнения, содержащие модуль»

Контрольная работа № 1 состоят из 4 заданий в три варианта.

На оценку «5» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «4» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «3» — необходимо выполнить верно 3 заданий;

2) Цели

1.Проверить знания, умения их применять для выполнения учащимися:

а) упрощения иррациональных выражений, б) построения графиков функций;

в) решения уравнений.

2.Проверка уровня сформированности навыка решения различных заданий

по изученным темам.

3. Формировать вычислительные навыки учащихся.

Текст контрольной работы № 1.

Вариант 1.

1.Найти значение выражения:

а) ∙ ; б) ;

в) -.

2.Упростите выражение: а) ; б) ; в) .

3.Построить график функции: а) у = ; б) у = 2. в) у = х2 — 4 +3.

4. Решите уравнение: а) = 1; б) — =9; в) + = 6.

Вариант 2.

Найти значение выражения:

а) ∙ ; б) ;

в) -.

2.Упростите выражение: а) ; б) ; в) .

3.Построить график функции: а) у = ; б) у = 2. в) у = х2 — 6 + 5.

4. Решите уравнение: а) = 1; б) — =9; в) + = 6.

С/ р Неравенства с модулем

1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»

1) . |2x + 3|

4). |x2 + 2x – 7|

7). |x3 — 2x -4|

2. Неравенства вида «Модуль больше функции»

1). |3x +1| > 5 — 4x ; 2). |x2 + 2x -3|> x ; 3). |2×2 — 9x +15|> 20 ;

4). |x2 — x -6 |>x +3; 5). |x2 -8x + 2|- x2 > 2x + 2 .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Неравенства, содержащие модуль».

Контрольная работа № 2 состоят из 4 заданий в два варианта.

На оценку «5» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «4» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «3» — необходимо выполнить верно 3 заданий;

2) Цели

1.Проверить знания, умения их применять для выполнения учащимися:

а) упрощения иррациональных выражений, б) построения графиков функций;

в) решения уравнений.

2.Проверка уровня сформированности навыка решения различных заданий

по изученным темам.

3. Формировать вычислительные навыки учащихся.

Текст контрольной работы № 2.

Вариант 1.

1.Решить неравенства по определению: а) ; б)

2.Решите неравенство ;

3. При каких значениях х выражение | |x| -3x + 5| больше 3.

4. Найдите целые решения неравенства , решив его методом интервалов.

Вариант 2.

1.Решить неравенства: а) ; б) .

2. Решите неравенство ;

3. При каких значениях х выражение | |x| + 3x — 5| меньше 3.

4. Найдите целые решения неравенства:, решив его методом интервалов.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 по теме «Решение уравнений»

Контрольная работа № 3 состоят из 4 заданий в три варианта.

На оценку «5» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «4» — необходимо выполнить верно 3 заданий;

На оценку «3» — необходимо выполнить верно 3 заданий;

2) Цели

1.Проверить знания, умения их применять для выполнения учащимися:

а) решения уравнений: иррациональных, показательных, логарифмических,

тригонометрических;

б) нахождения частных решений тригонометрических уравнений.

2.Проверка уровня сформированности навыка решения различных заданий

по изученным темам.

3. Формировать вычислительные навыки учащихся.

Текст контрольной работы № 3.

Вариант 1

1.Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

2.Найдите наибольший корень уравнения: а) ;

б) ; в) .

3.Найдите корни уравнения: а) 2lg x = lg (6 – x)2; б) lоg4 (x2 -15х ) = 2;

в) 2lоg2(-х) = 1 + lоg2 (х + 4).

4.Решите уравнений: a) 2cos (x- ; б) sin2x — .

б) Найдите сумму корней уравнения (sin x + cos x)2 = 1 + sin x∙ cos x, принадлежащие

отрезку .

Вариант 2

1.Решите уравнения: а) ; б) ;

в) .

2.Найдите наибольший корень уравнения: а) ;

б) ; в) .

3.Найдите корни уравнения: а) 2lg x = lg (4 – x)2; б) lоg3 (x2 — 6х ) = 3;

в) 2lоg3(-х) = 2 + lоg3 (х — 2).

4.Решите уравнений: a) 2 sin (x — ; б) cos2 x — .

б) Найдите сумму корней уравнения sin4 x — cos 4х = sin2 x — 1, принадлежащие

отрезку .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 по теме «Общие методы решения уравнений».

Контрольная работа № 4 состоят из 4 заданий в три варианта.

На оценку «5» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «4» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «3» — необходимо выполнить верно 3 заданий;

2) Цели

1.Проверить знания, умения их применять для выполнения учащимися:

а) решения уравнений: иррациональных, показательных, логарифмических,

тригонометрических, используя общие методы решения уравненийю

б) нахождения частных решений тригонометрических уравнений.

2.Проверка уровня сформированности навыка решения различных заданий

по изученным темам.

3. Формировать вычислительные навыки учащихся.

Текст контрольной работы по теме «Общие методы решения

Вариант 1

1.Решите уравнение: а) 25∙; б) х2 + х + 2 + ;

в) 4.

2.Найдите количество корней уравнения: а) ;

б) 41-х + 4х = 5, в) 3⋅4х -5∙6х + 2⋅9х = 0.

3.Решите уравнения: а) lоg( х — 1 ) ∙ lоgх = lоgх

б) lоg х + lоgх = 0; в) lоg(4 х ) — lоgх — 2= 0.

4. Решите уравнение а) sin 3x – sin x = 0; в) 1+ cos 4x = cos 2x;

и найдите его корни принадлежащие промежутку .

Вариант 2

1.Решите уравнение: а) х2∙; б) х2 — х +;

в) .

2.Найдите количество корней уравнения: а) ;

б) 2х – 22-х = 3, в) 3⋅25х — 8∙15х + 5⋅9х = 0.

3.Решите уравнения: а) lоgх = lоg ( х + 1 ) ∙ lоgх ;

б) lоgх — lоgх = 0; в) lоg(2 х ) +3 lоgх + 3= 0.

4. Решите уравнение а) cos 3x + cos x = 0; в) 1- cos 4x = sin 2x;

и найдите его корни принадлежащие промежутку .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 по теме «Неравенства».

Контрольная работа № 5 состоят из 4 заданий в три варианта.

На оценку «5» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «4» — необходимо выполнить верно 4 заданий;

На оценку «3» — необходимо выполнить верно 3 заданий;

2) Цели

1. Проверить знания, умения их применять для выполнения учащимися:

а) решения уравнений: иррациональных, показательных, логарифмических,

тригонометрических, используя общие методы решения уравненийю

б) нахождения частных решений тригонометрических уравнений.

2.Проверка уровня сформированности навыка решения различных заданий

по изученным темам.

3. Формировать вычислительные навыки учащихся.

Текст контрольной работы по теме «Неравенства».

Вариант 1

1.Решите рациональное неравенство: а) 3х2 – 2х – 8 > 0; б) ;

в) .

2.Решите показательное уравнение: а) 0,2; б) 3х+1 ∙9х-0,5 ;

в) 32х – 9х-1 + 27> 51.

3. решите логарифмическое уравнение : а) lоg(1 — 2х)

б) lоg0,5 (1 + 2х) > -1; в) lоg0,5 (х2 – 5х + 6) > -1.

4. Решите неравенство методом интервалов: а) ; б) ;

в) (х2 – 9) ∙ lоg0,5 х

Вариант 2

1. Решите рациональное неравенство: а) 2х2 – 3х – 9 ;

в)

2.Решите показательное уравнение: а) 0,5; б) 2х-1 ∙4х+0,5 ;

в) 22х – 4х-1 + 814.

3. Решите логарифмическое уравнение : а) lоg (1 -3х)

б) lоg0,5 (1 — 2х) > -2; в) lоg0,5 (х2 – 7х + 12) > -1.

4. Решите неравенство методом интервалов: а) ; б) ;

в) (х2 – 16) ∙ lоg0,2 х > 0.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6 по теме «Решение заданий к ЕГЭ».

Контрольная работа № 6 состоят из 5 заданий в три варианта.

На оценку «5» — необходимо выполнить верно 5 заданий;

На оценку «4» — необходимо выполнить верно 5 заданий;

На оценку «3» — необходимо выполнить верно 5 заданий;

2) Цели

1.Проверить знания, умения их применять для выполнения учащимися:

а) решения уравнений: иррациональных, показательных, логарифмических,

тригонометрических, используя общие методы решения уравнений

б) решения неравенств: рациональных, показательных, логарифмических,

используя методы решения неравенств.

в) нахождения частных решений уравнений, неравенств

2.Проверка уровня сформированности навыка решения различных заданий

по изученным темам.

3. Формировать вычислительные навыки учащихся.

Текст контрольной работы № 6 будет составлен на основании сборника для подготовки к ЕГЭ за 2019г.

A2H Module 10 Review — Rationals

Поиск среди миллионов викторин

ВИКТОРИНА

Математика

84%
точность
6
играет
Ирэн Огето

2 года

Математика
Ирэн Огето
6
играет

25 вопросов
25 вопросы
Показать ответы
См. предварительный просмотр

1. Множественный выбор
15 минут
1 балл

Укажите исключенные значения.
x−4x+3\frac{x-4}{x+3}x+3x−4
без ограничений
2. Множественный выбор
15 минут
1 точка
Укажите исключенные значения.
2x+1x−11\frac{2x+1}{x-11}x−112x+1
без ограничений

1 точка
Каковы доменные ограничения следующего рационального выражения:
x ≠ -4, 4
x ≠ -16, 16
x ≠ 0, 4
4.
Множественный выбор
15 минут
1 точка
Укажите исключенные (неопределенные) значения для заданного выражения.
8, -10
8, 9
-8, 10
-8, -9
5. Множественный выбор
90 058 15 минут
1 балл
Найдите наименее распространенный знаменатель выражения
92+5x+19}{\влево(x+3\вправо)\влево(x-3\вправо)\влево(x+2\вправо)}(x+3)(x−3)(x+2) 3×2+5x+19
10. Множественный выбор
15 минут
1 pt
Джулия расставила числители и знаменатели на множители и умножить на обратную (оставить, изменить, перевернуть). Она должна быть…

Сложение или вычитание рациональных выражений
Умножение рациональных выражений
Деление рациональных выражений
11. Множественный выбор
15 минут
1 балл
Боб разложил знаменатели на множители и убедился, что есть общий знаменатель. Он должен быть…
Сложение или вычитание рациональных выражений
Умножение рациональных выражений
Деление рациональных выражений
12. Множественный выбор
15 минут
1 балл
Элисон разложила числители и знаменатели и умножаются. Она должна быть…

Сложение или вычитание рациональных выражений
Умножение рациональных выражений
Деление рациональных выражений
13. Множественный выбор
15 минут 9 0003
1 точка
а
б
в
г
14. Множественный выбор
15 минут
1 точка
x2+6x+5x+1÷x(x+5)92-8x-20}{x-10}\times\frac{3x}{x+2}x−10×2−8x−20×x+23x
Упростить. **Подсказка: учитывайте сначала!
3x3x3x
x+9(x−6)(x+10)\frac{x+9}{\left(x-6\right)\left(x+10\right)}(x−6) (x+10)x+9
54\frac{5}{4}45
53\frac{5}{3}35
16. Множественный выбор
900 58 15 минут
1 pt
Найдите ЛК следующего рационального выражения
5/(x+8) и 2x/(x-3)
(x+8)(x-3) 92+5x+6}3x−12×2−6x+8÷x2+5x+6×2−4
(x+3)3\frac{\left(x+3\right)}{3}3(x +3)
Невозможно
(x−2)(x+3)3(x−4)\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{3\ влево(x-4\вправо)}3(x−4)(x−2)(x+3)
(x−4)(x−2)(x+3(x+2))3( х-4) (х-2) (х + 2) \ гидроразрыва {\ влево (х-4 \ вправо) \ влево (х-2 \ вправо) \ влево (х + 3 \ влево (х + 2 \ вправо) \вправо)}{3\влево(х-4\вправо)\влево(х-2\вправо)\влево(х+2\вправо)}3(х-4)(х-2)(х+2) (x−4)(x−2)(x+3(x+2))
18. 2+3}{x-2}x+x−210=x−2×2+3   92+3}{x-2}x+x−210=x−2×2+3
Решите данное уравнение.
21. Множественный выбор
15 минут
1 точка \ \ гидроразрыва {7 }{n-8}n−81−1 = n−87
22. Множественный выбор
15 минут
1 очко
Питер может косить газон через 40 минут и Джон может косить газон за 60 минут. Сколько времени им потребуется, чтобы косить газон вместе?
48 минут
50 минут
24 минуты
12 минут
23. Множественный выбор
15 минут
1 балл
Один компьютер может обработать платежную ведомость за 4 часа, а другой компьютер может обработать его за 6 часов. Если они начнут работать в 10 утра, когда они закончат?
11:30
13:00
12:24
12:48 92}2v21=3v1+6v21
Открыть все вопросы с бесплатной учетной записью
Уже есть учетная запись?
10.1 – Квадратные уравнения | Hunter College – MATh201
Цели обучения
(10.1.1) – Использование принципа нулевого произведения для решения квадратных уравнений, которые можно разложить на множители
(10.1.2) — Решение квадратного уравнения с помощью свойства квадратного корня
(10.1.3) – Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 9{2}-4=0[/latex] — квадратные уравнения. Они бесчисленным образом используются в инженерии, архитектуре, финансах, биологических науках и, конечно же, в математике.
Часто самый простой способ решения квадратного уравнения – это разложение на множители. Факторинг означает нахождение выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения. {2}+bх+с=0[/латекс], где 9{2}+x — 6=0[/latex] имеет стандартную форму.
Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вынести наибольшего общего делителя (НОК), а также для уравнений, которые имеют специальные формулы факторизации, такие как разность квадратов, оба из которых мы увидим позже в этом разделе.
Свойство нулевого произведения и квадратные уравнения
Свойство нулевого произведения утверждает
[латекс]\текст{Если }a\cdot b=0,\text{, то }a=0\text{ или } б=0[/латекс], 9{2}[/latex], равно 1. У нас есть один метод факторизации квадратных уравнений в этой форме.
Напоминание: дано квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1, разложите его на множители.
Найдите два числа, произведение которых равно [латекс]с[/латекс] и сумма которых равна [латекс]b[/латекс].
Используйте эти числа для записи двух множителей в виде [латекс]\влево(х+к\вправо)\текст{ или }\влево(х-к\вправо)[/латекс], где [латекс]к[/латекс] — одно из чисел, найденных на шаге 1. Используйте числа именно так, как они есть. Другими словами, если эти два числа равны 1 и [латекс]-2[/латекс], множители будут [латекс]\влево(х+1\вправо)\влево(х — 2\вправо)[/латекс]. 9{2}+bx+c=0[/latex], умножьте [latex]a\cdot c[/latex].
Найдите два числа, произведение которых равно [latex]ac[/latex] и сумма которых равна [latex]b[/latex].
Перепишите уравнение, заменив член [latex]bx[/latex] двумя членами, используя числа, найденные на шаге 1, в качестве коэффициентов [latex]x[/latex] .
Умножьте первые два члена, а затем факторизируйте два последних члена. Выражения в круглых скобках должны быть точно такими же, чтобы можно было использовать группировку.
Вынесите выражение в скобках на множители. 9{2}+15x+9=0[/латекс].
Показать ответ
Следующее видео содержит еще один пример решения квадратного уравнения с помощью факторизации с группировкой.
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/https/i.ytimg.com/vi/j1-0bShKdag/hqdefault.jpg' /></noscript> com/embed/04zEXaOiO4U?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»autoplay; encrypted-media» allowfullscreen=»»>
Иногда нам могут дать уравнение, которое на первый взгляд не похоже на квадратное. В наших следующих примерах мы будем решать кубическое полиномиальное уравнение, в котором GCF каждого члена равен [latex]x[/latex], и его можно разложить на множители. В результате получается квадратное уравнение, которое мы можем решить.
Пример
9{2}-2x=0[/латекс].
Показать ответ
В этом последнем видеопримере мы решаем квадратное уравнение со старшим коэффициентом [latex]-1[/latex], используя сокращенный метод факторизации и принцип нулевого произведения.

Квадратные уравнения можно решать разными способами. Возможно, вы уже знакомы с факторингом для решения некоторых квадратных уравнений. Однако не все квадратные уравнения могут быть факторизованы. В этом разделе вы будете использовать квадратные корни, чтобы изучить другой способ решения квадратных уравнений, и этот метод будет работать с 9{2}=a[/latex], затем [latex] x=\sqrt{a}[/latex] или [latex] -\sqrt{a}[/latex].
Приведенное выше свойство говорит о том, что вы можете извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, но вы должны рассмотреть два случая: положительный квадратный корень из [latex]a[/latex] и отрицательный квадратный корень из [latex ]а[/латекс].
Быстрый способ написать «[латекс] \sqrt{a}[/латекс]» или «[латекс] -\sqrt{а}[/латекс]»: [латекс] \pm \sqrt{a}[/ латекс]. Символ [латекс]\pm[/латекс] часто читается как «положительный или отрицательный». Если оно используется как операция (сложение или вычитание), оно читается как «плюс-минус». 9{2}=9[/latex], вы ищете всех чисел , квадрат которых равен 9. Для [latex] \sqrt{9}[/latex] вам нужен только основной (неотрицательный) квадратный корень. {2}[/латекс].
В нашем первом видео мы покажем больше примеров использования свойства квадратного корня для решения квадратного уравнения.

Иногда в квадрат возводится не только [латекс]x[/латекс]:
В следующем видео вы увидите больше примеров использования квадратных корней для решения квадратных уравнений.

Не все квадратные уравнения можно разложить на множители или решить в исходной форме с использованием свойства квадратного корня. В этих случаях мы можем использовать метод решения 9{2}–24x+16[/латекс].
Показать ответ
Если бы это было уравнение, мы могли бы решить его, используя свойство квадратного корня или свойство нулевого произведения. Если вы не начинаете с идеального квадратного трехчлена, вы можете завершить квадрат, чтобы превратить то, что у вас есть, в один.
Чтобы построить квадрат, старший коэффициент [latex]a[/latex] должен быть равен 1. Если это не так, то разделите все уравнение на [latex]a[/latex]. Затем мы можем использовать следующие процедуры для решения квадратного уравнения путем завершения квадрата. 9{2}-3x — 5=0[/латекс].
Показать ответ
В следующем видео вы увидите больше примеров того, как использовать дополнение квадрата для решения квадратного уравнения.

Возможно, вы заметили, что, поскольку вы должны использовать оба квадратных корня, все примеры имеют два решения. Вот еще один пример, который немного отличается.
Присмотритесь к этой проблеме, и вы увидите что-то знакомое. {2}}-4ac}}{2a}[/latex]. Это уравнение известно как квадратичная формула. 9{2}+bx+c=0[/latex] называется стандартной формой квадратного уравнения. Прежде чем решать квадратное уравнение с помощью квадратной формулы, важно убедиться, что уравнение имеет именно такую форму. В противном случае вы можете использовать неправильные значения для [латекс]а[/латекс], [латекс]b[/латекс] или [латекс]с[/латекс], и тогда формула будет давать неверные решения.
Решение квадратного уравнения с помощью квадратной формулы
Квадратная формула будет работать с любым квадратным уравнением , кроме 9{2}+bx+c=0[/латекс]. Чтобы использовать его, выполните следующие действия.
Сначала приведите уравнение в стандартной форме.
Определите коэффициенты [латекс]а[/латекс], [латекс]b[/латекс] и [латекс]с[/латекс]. Будьте осторожны, добавляя отрицательные знаки, если члены [latex]bx[/latex] или [latex]c[/latex] вычитаются.
Аккуратно подставьте значения, отмеченные на шаге 2, в уравнение. Чтобы избежать ненужных ошибок, используйте круглые скобки вокруг каждого числа, введенного в формулу.
Максимально упростить.
Используйте [latex]\pm[/latex] перед радикалом, чтобы разделить решение на два значения: одно, в котором добавляется квадратный корень, и другое, в котором он вычитается .
Упростите оба значения, чтобы получить возможные решения.
Много шагов. Давайте попробуем использовать квадратную формулу, чтобы сначала решить относительно простое уравнение; затем вы вернетесь и решите ее снова, используя другой метод факторинга.
Вы можете проверить эти решения, подставив [латекс]1[/латекс] и [латекс]−5[/латекс] в исходное уравнение. 9{2}+4\влево(-5\вправо)=5\,\,\,\,\,\\25-20=5\,\,\,\,\,\\5=5\,\ ,\,\,\,\end{массив}[/латекс]
Вы получаете два верных утверждения, поэтому вы знаете, что оба решения работают: [латекс]x=1[/латекс] или [латекс]-5[/латекс]. Вы успешно решили уравнение, используя квадратную формулу!
Посмотрите это видео, чтобы увидеть пример использования квадратной формулы для решения квадратного уравнения, имеющего два действительных рациональных решения.

Иногда бывает проще решить уравнение, используя обычные методы факторизации, например, найти пары чисел, которые в сумме дают одно число (в данном примере 4) и производят определенный продукт (в данном примере [латекс]−5 [/latex]) при умножении. Сила квадратичной формулы в том, что с ее помощью можно решить любые квадратные уравнения , даже те, где нахождение числовых комбинаций не получится.
В следующем видео-примере мы показываем, что квадратная формула полезна, когда квадратное уравнение имеет два иррациональных решения, которые нельзя было получить с помощью факторизации.

Большинство квадратных уравнений, которые вы рассматривали, имеют два решения, как и приведенное выше. Следующий пример немного отличается.
Квадратные уравнения с комплексными решениями
Далее мы покажем, что некоторые квадратные уравнения могут иметь комплексные решения. Поскольку мы упрощаем квадратичную формулу, мы можем получить отрицательное число под квадратным корнем, которое, как мы знаем, не определено для действительных чисел.
Мы видели два результата для решений квадратных уравнений, либо было одно, либо два решения с действительными числами. Мы также узнали, что можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, используя мнимые числа. Это новое знание позволяет нам исследовать еще один возможный результат, когда мы решаем квадратные уравнения. Рассмотрим это уравнение: 92+3x+6=0[/latex]
Используя квадратичную формулу для решения этого уравнения, мы сначала идентифицируем [латекс]a[/латекс], [латекс]b[/латекс] и [латекс]с[/ латекс].
[латекс]a = 2,b = 3,c = 6[/латекс]
Мы можем разместить [латекс]а[/латекс], [латекс]b[/латекс] и [латекс]с[/латекс ] в квадратичную формулу и упростить, чтобы получить следующий результат:
[латекс]\displaystyle x=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{-39}}{4}, x=-\ frac{3}{4}-\frac{\sqrt{-39}}{4}[/latex]
До этого момента мы бы сказали, что [latex]\sqrt{-39}[/latex] не определено для действительных чисел и определяет, что это уравнение не имеет решений.
No related posts.