Уравнение четвертой степени общего вида СПРАВОЧНИК ПО…
Привет, сегодня поговорим про уравнение четвертой степени общего вида, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое уравнение четвертой степени общего вида , настоятельно рекомендую прочитать все из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. — уравнение четвертой степени общего вида .
1. Сокращение до неполного уравнения
Уравнение четвертой степени в общем сокращается до неполного уравнения
y4 + py2 + qy + r = 0
при помощи замены переменных
x = y — b/4a
2. Решение Декарта — Эйлера
Корни неполного уравнения четвертой степени определяются формулами:
где z1, z2, z3 это корни кубического уравнения
z3 + 2pz2 + (p2 — 4r) — q2 = 0,
которое называется резольвентой исходного уравнения .
Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Знаки корней в ней выбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство:
Корни неполного исходного уравнения определяются корнями кубической резольвенты согласно таблице:
Связь между корнями неполного уравнения четвертой степени и корнями резольвенты
| Кубическая резольвента | Уравнение четвертой степени |
| Все корни действительные и положительные (*) | Четыре действительных корня |
| Все корни действительные, они положительный и два отрицательных (*) | Две пары комплексно сопряженных корней |
| Один корень положительный, два комплексно-сопряженные | Два действительных и два комплексно-сопряженных корня |
(*) — по теореме Виета, произведение корней z1, z2, z3 = q2
3.
Решение Феррари
Предположим, z0 — один из корней вспомогательного кубического уравнения.
z3 + 2pz2 + (p2 — 4r) — q2 = 0,
Тогда четрые корня неполного уравнения четвертой степени находятся при помощи решения двух квадратных уравнений
Понравилась статья про уравнение четвертой степени общего вида? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое уравнение четвертой степени общего вида и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Из статьи мы узнали кратко, но емко про уравнение четвертой степени общего вида
Уравнения высших степеней
Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.
Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.
Так, например, уравнение (х3 – 1)2 + х5 = х6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х5 – 2х3 + 3 = 0 пятой степени.
Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:
1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Рn(х) = (х – α) · Qn – 1(x), где Qn – 1(x) – многочлен степени (n – 1).
4.
Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени
Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов
Р3(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х – α)(х2 + βх + γ).
7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х1, х2, …, хn – действительные корни многочлена
Р(х) = а0хn + а1хn — 1 + … + аn
, то имеют место следующие равенства:х1 + х2 + … + хn = -а1/а0,
х1 · х2 + х1 · х3 + … + хn – 1 · хn = a2/а0,
х1 · х2 · х3 + … + хn – 2 · хn – 1 · хn = -a3 / а0,
…
х1 · х2 · х3 · хn = (-1)nan / а0.
Решение примеров
Пример 1.
Найти остаток от деления Р(х) = х3 + 2/3 x2 – 1/9 на (х – 1/3).
Решение.
По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с».
Ответ: R = 0.
Пример 2.
Разделить «уголком» 2х3 + 3x2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.
Решение:
2х3 + 3x2 – 2х + 3| х + 2
2х3 + 4x2 2x2 – x
-x2 – 2x
-x2 – 2x
3
Ответ: R = 3; частное: 2х2 – х.
Основные методы решения уравнений высших степеней
1. Введение новой переменной
Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xn или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t).
(t1, t2, …, tn). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t1, q(x) = t2, … , q(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения.
Пример 1.
(х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3x – 1 = 0.
Решение:
(х2 + х + 1)2 – 3(х2 + x) – 1 = 0.
(х2 + х + 1)2 – 3(х2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Замена (х2 + х + 1) = t.
t2 – 3t + 2 = 0.
t1 = 2, t2 = 1. Обратная замена:
х2 + х + 1 = 2 или х2 + х + 1 = 1;
х2 + х — 1 = 0 или х2 + х = 0;
Ответ: Из первого уравнения: х
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель.
Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.
Пример 1.
х4 – 3x2 + 4х – 3 = 0.
Решение.
Представим — 3x2 = -2x2 – x2 и сгруппируем:
(х4 – 2x2) – (x2 – 4х + 3) = 0.
(х4 – 2x2 +1 – 1) – (x2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х2 – 1)2 – 1 – (x – 2)2 + 1 = 0.
(х2 – 1)2 – (x – 2)2 = 0.
(х 2 – 1 – х + 2)(х2 – 1 + х — 2) = 0.
(х2 – х + 1)(х2 + х – 3) = 0.
х2 – х + 1 = 0 или х2 + х – 3 = 0.
Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами.
Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример 1.
х3 + 4x2 + 5х + 2 = 0.
Решение.
Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х3 + 4x2 + 5х + 2 = (х – а)(x2 + bх + c),
х3 + 4x2 + 5х + 2 = х3 +bx2 + cх – ax2 – abх – ac,
х3 + 4x2 + 5х + 2 = х3 + (b – a)x2 + (cх – ab)х – ac.
Решив систему:
{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,
получим
{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.
х3 + 4x2 + 5х + 2 = (х + 1)(x2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4.
Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а0, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример 1.
6х3 + 7x2 – 9х + 2 = 0.
Решение:
2 : p = ±1, ±2
6 : q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
алгебраическое предварительное исчисление — Решение уравнения многочлена, возведенного в степень многочлена.
Если это просто случайная загадка, то я могу согласиться с принятым ответом. Однако, если мы хотим быть математически строгими, я утверждаю, что $3$ и $4$ не являются решениями уравнения, потому что они лежат вне области определения.
Отказ от ответственности: в этом посте я рассматриваю только реальное возведение в степень. Я не собираюсь погружаться в комплексные числа.
9{\ sqrt {2}} $. Это разные виды возведения в степень — первое получается как многократное умножение, второе — результат некоторого предельного процесса, и ни одно из определений не работает для другой стороны.
Таким образом, у нас есть выбор: если мы допускаем в качестве основания ноль и отрицательные числа, показатель степени должен быть неотрицательным целым числом, поэтому область определения равна $\mathbb{R} \times \mathbb{N}$. Если мы исключим $0$ в качестве базы, мы можем использовать отрицательные показатели степени, что делает домен $(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}) \times \mathbb{Z}$. Если мы пойдем дальше и исключим отрицательные числа в качестве оснований, мы можем использовать ограничения для перехода к действительным показателям степени, поэтому область определения станет $(0, \infty) \times \mathbb{R}$.Можно утверждать, что, поскольку три вида возведения в степень попарно согласуются в пересечении их областей определения, мы можем склеить их, т. е. рассмотреть возведение в степень на $\mathbb{R} \times \mathbb{N} \cup (\mathbb{ R} \setminus \{0\}) \times \mathbb{Z} \cup (0, \infty) \times \mathbb{R}$. Но это было бы неестественно, бесполезно и, по-моему, некрасиво.
Теперь: какое возведение в степень включает исходное уравнение? Если с натуральными или целыми показателями, то нам пришлось бы ограничить область определения теми $x$, для которых $x^2-7x+6$ является целым числом.
Это не кажется правильным. 92+(-34)*x+12 = 0 Пошаговое решение математических задач
- Решение уравнений и
неравенств - Упростить выражения
- Факторные полиномы
- Графические уравнения и неравенства
- Расширенные решатели
- Все решатели
- Учебники
- Решенные проблемы
Назад
Расширенные решатели
Дифференцировать
- Базовый
- Расширенный
Интегрировать
- Базовый
- Расширенный
Частичные дроби
- Базовый
- Расширенный
Матрицы
- Арифметика
- Обратный
- Определитель
Упростить
- Базовый
- Расширенный
Решить
- Базовый
- Расширенный
Фактор
- Базовый
- Расширенный
Расширить
- Базовый
- Расширенный
График
- Базовый
- Расширенный
Назад
Все решатели
Арифметика
- Проценты
- Научное обозначение
Выражения
- Упрощение
- Расширить
- Фактор
Уравнения
- Квадратика
- Решить
- График
Неравенства
- Решить
- График
Дроби
- Уменьшить
- Добавить
График
- Уравнения
- Неравенства
Добро пожаловать в Quickmath Solvers!
Дата создания: 04 февраля 2012 г.
Пример задачи, решенной с помощью веб-математического решателя Quickmath
Изучите методы умножения суммы, состоящей из двух членов.
КомандаРешить Уравнение
ПеременнаяРезультатТочное Решение 1 (комплексное)
Решение 2 ( сложное )
Решение 3 (реальное)
Решение 4 (вещественное)
Решение 1 (комплексное)
|
Второй множитель произведения равен X. Пятый член суммы равен двенадцати, правая часть равна нулю.
Первый член суммы равен дроби: числитель дроби — это произведение, которое содержит 2 множителя. Первый множитель произведения равен квадратному корню из трех. Второй множитель произведения равен i. Знаменатель дроби равен двум. Второй член суммы равен отрицательной дроби: числитель дроби равен единице. Знаменатель дроби равен двум. Второй член суммы представляет собой отрицательное рациональное выражение: числитель рационального выражения представляет собой произведение, состоящее из 2 множителей. Первый множитель произведения равен пяти. Второй множитель произведения представляет собой сумму, содержащую 2 члена. Первый член суммы — дробь: вершина дроби — произведение, состоящее из 2 множителей. Первый множитель произведения — отрицательный квадратный корень из трех. Второй фактор продукта i. Основание дроби равно двум. Второй член суммы представляет собой отрицательную дробь: вершина дроби равна единице. Основание дроби равно двум. Знаменатель рационального выражения является произведением двух множителей.
Первый множитель произведения равен девяти. Второй множитель произведения равен степени. Основание представляет собой сумму, состоящую из 2 слагаемых. Первый член суммы представляет собой частное: делимое частного равно квадратному корню из восьмидесяти трех. Делитель частного есть степень. База — три. Показатель степени представляет собой дробь: вершина дроби равна трем. Основание дроби равно двум. Второй член суммы равен отрицательному частному: делимое частного равно сорок шесть. Делитель частного равен двадцати семи. Показатель степени представляет собой дробь: вершина дроби равна единице. Основание дроби равно трем. Третий член суммы равен дроби: числитель дроби равен пяти. Знаменатель дроби равен трем.